专题8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

这是一份专题8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题81直线的倾斜角与斜率直线的方程解析版doc、专题81直线的倾斜角与斜率直线的方程原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共20页， 欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3.掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系
【命题趋势】
直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系及距离公式是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝eq \f(y2－y1,x2－x1). 
3．直线方程的五种形式
【素养清单•常用结论】
特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0.
【真题体验】
1．直线x＋eq \r(3)y＋m＝0(m∈R)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
【答案】C
【解析】 由k＝tan α＝－eq \f(\r(3),3)，α∈[0°，180°)得α＝150°.
2．已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－eq \f(3,4)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
【答案】A
【解析】由y－5＝－eq \f(3,4)(x＋2)得3x＋4y－14＝0.
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
【答案】A
【解析】由1＝eq \f(4－m,m＋2)得m＋2＝4－m，即m＝1.
4．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________．
【答案】4
【解析】kAC＝eq \f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq \f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
【考法拓展•题型解码】
考法一 直线的倾斜角与斜率
误区防范
注意斜率与倾斜角的对应分段
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))三种情况讨论．当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq \f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)．
【例1】 (1)直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
【答案】B
【解析】(1)直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，
所以 eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2)，因此k＝2cs α∈[1，eq \r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3)]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________．
【答案】(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
【解析】如图，因为kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，所以
k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)．
考法二 直线方程的求法
归纳总结:求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．
【例2】 根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10)；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
【答案】见解析
【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(10),10)(0<α<π)，从而cs α＝±eq \f(3\r(10),10)，
则k＝tan α＝±eq \f(1,3).故所求直线方程为y＝±eq \f(1,3)(x＋4)，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1.
又直线过点(－3,4)，从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，
解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式得eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4).
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
考法三 直线方程的综合应用
归纳总结
(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
【例3】 (1)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
(2)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(15,4)，当a＝eq \f(1,2)时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a的值为eq \f(1,2).
(2)依题意知直线l的斜率k存在且k<0，
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,k)，0))，B(0,2－3k)，
所以S△ABO＝eq \f(1,2)(2－3k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,k)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12＋－9k＋\f(4,－k)))≥
eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12＋2\r(－9k·\f(4,－k))))＝eq \f(1,2)×(12＋12) ＝12，
当且仅当－9k＝eq \f(4,－k)，即k＝－eq \f(2,3)时，等号成立．
故△ABO的面积的最小值为12，
此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
【易错警示】
易错点 忽略直线方程的适用范围
【典例】 (1)过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x＋2y－9＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
(2)如图，已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点C(2,3)且与圆M交于A，B两点，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(3)，则直线l的方程为__________．
【错解】：(1)设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b，故可设直线方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，将点(5,2)代入得b＝eq \f(9,2)，故直线方程为x＋2y－9＝0.故选C.
(2)因为r＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(3)，
所以圆心M(1,1)到直线l的距离为1.
设其方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋(3－2k)＝0，
所以eq \f(|k－1＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝eq \f(3,4)，
所以y－3＝eq \f(3,4)(x－2)，即3x－4y＋6＝0.
【错因分析】：本题求解过程中都忽视了直线方程的特殊形式的适用范围，问题(1)中直线过原点时，两个截距均为0，也满足条件，但这时方程不可以用截距式来求；问题(2)中，当斜率不存在时，也有可能满足条件，不能遗漏，故上述两个问题的解答都出现错误．
【正解答案】：(1)D (2)x＝2或3x－4y＋6＝0
【正解】：(1)当直线过原点时，满足条件，此时直线方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b，故可设直线方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，将点(5,2)代入得b＝eq \f(9,2)，此时直线方程为x＋2y－9＝0.
(2)因为r＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(3)，
所以圆心M(1,1)到直线l的距离为1.
当直线l垂直于x轴时，符合题意，此时直线l的方程为x＝2.
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋(3－2k)＝0，所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k－1＋3－2k)),\r(k2＋1))＝1，所以k＝eq \f(3,4)，
所以y－3＝eq \f(3,4)(x－2)，即3x－4y＋6＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝2或3x－4y＋6＝0.
【误区防范】：求直线方程谨防三种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；应用“两点式”方程时要注意它不能表示与坐标轴垂直的直线．
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
【跟踪训练】 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________________．
(2)若a＞－1，直线l与x轴、y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积最小时，直线l对应的方程为______________．
【答案】 (1)x－y＝0或x＋y－2＝0 (2)x＋y－2＝0
【解析】(1)当直线l经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2，且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得eq \f(2＋a,a＋1)＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
(2)由直线方程可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋a,a＋1)，0))，N(0,2＋a)，因为a>－1，所以S△OMN＝eq \f(1,2)×eq \f(2＋a,a＋1)×(2＋a)＝eq \f(1,2)×eq \f([a＋1＋1]2,a＋1)＝eq \f(1,2)≥eq \f(1,2)＝2.当且仅当a＋1＝eq \f(1,a＋1)，即a＝0时，等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
【递进题组】
1．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
【答案】B
【解析】因为a2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y＝－eq \f(1,a2＋1)x－eq \f(1,a2＋1)，所以斜率k＝－eq \f(1,a2＋1)，即tan α＝－eq \f(1,a2＋1)，所以－1≤tan α<0，解得eq \f(3π,4)≤α<π，即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).故选B.
2．过点P(eq \r(3)，1)，且比直线l：x＋eq \r(3)y－1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．
【答案】 eq \r(3)x＋y－4＝0
【解析】 直线l：x＋eq \r(3)y－1＝0的斜率为－eq \f(\r(3),3)，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k＝－eq \r(3).又直线过点P(eq \r(3)，1)，所以所求直线的方程为y－1＝－eq \r(3)(x－eq \r(3))，即eq \r(3)x＋y－4＝0.
3．当k＞0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为__________．
【答案】 eq \f(\r(2),4)
【解析】 因为2x＋ky－2＝0与x轴交于点(1,0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＝0，,2x＋ky－2＝0，))解得y＝eq \f(2k,k2＋2)，所以两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(2k,k2＋2)＝eq \f(1,k＋\f(2,k))≤eq \f(1,2\r(2))，故三角形面积的最大值为eq \f(\r(2),4).
4．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为__________．
【答案】eq \f(1,2)
【解析】直线方程可化为eq \f(x,2)＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)．由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2).由于0≤b≤1，故当b＝eq \f(1,2)时，ab取得最大值eq \f(1,2).
【考卷送检】
一、选择题
1．直线l的方程为eq \r(3)x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
【答案】A
【解析】由直线l的方程为eq \r(3)x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－eq \f(\r(3),3)，所以α＝150°.故选A.
2．若函数y1＝sin 2x1－eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，函数y2＝x2＋3，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为( )
A.eq \f(\r(2)π,12) B.eq \f(π＋182,72)
C.eq \f(π＋182,12) D.eq \f(π－3\r(3)＋152,72)
【答案】B
【解析】设z＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y1＝sin 2x1－eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，所以y1′＝2cs 2x1.因为函数y2＝x2＋3的斜率为1，所以令y1′＝2cs 2x1＝1，解得x1＝eq \f(π,6)，则y1＝0，即函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))处的切线和直线y2＝x2＋3平行，则最短距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋3)),\r(2)).所以(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为d2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋3)),\r(2))))2＝eq \f(π＋182,72).故选B.
3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1B．k3C．k3D．k1【答案】D
【解析】 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D.
4．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
【答案】A
【解析】 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．
5．(2019·陕西师大附中月考)如果AB＞0，且BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】 直线Ax＋By＋C＝0的斜率k＝－eq \f(A,B)＜0，在y轴上的截距为－eq \f(C,B)＞0，所以直线不经过第三象限．
6．设点 A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段 AB没有交点，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(5,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(4,3)))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
【答案】B
【解析】易知直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a.
因为kMA＝＝－eq \f(5,2)，kMB＝＝eq \f(4,3)，
由图可知－a＞－eq \f(5,2)且－a＜eq \f(4,3)，所以a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(5,2))).
二、填空题
7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为________．
【答案】y＝eq \f(2,3)x
【解析】 直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3,2)，则直线l：y＝eq \f(2,3)x.
8．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
【答案】y＝－eq \f(5,3)x或x－y＋8＝0
【解析】当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(5,3)x；当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a.代入点(－3,5)，得a＝－8.即直线方程为x－y＋8＝0.
9．若 ab>0，且 A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
【答案】16
【解析】根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故eq \f(－2,a)＋eq \f(－2,b)＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab＞0，故a＜0，b＜0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4eq \r(ab)，可得eq \r(ab)≤0(舍去)或eq \r(ab)≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时，等号成立．故ab的最小值为16.
三、解答题
10．已知点A(3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．
(1)经过点A且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【答案】见解析
【解析】(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.①若a＝0，
即直线过点(0,0)及(3,4)，
所以直线的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
②若a≠0，设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1.又点(3,4)在直线上，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，所以a＝7.所以直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
11．(2019·临川一中月考)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥0，,1＋2k≥0，))解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞)．
12．(2019·长治二中月考)已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)．
(1)求方程表示一条直线的条件；
(2)当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；
(3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值．
【答案】见解析
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3＝0，,2m2＋m－1＝0，))解得m＝－1，因为方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)表示直线，所以m2－2m－3,2m2＋m－1不同时为0，所以m≠－1.故方程表示一条直线的条件为m≠－1.
(2)因为方程表示的直线与x轴垂直，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3≠0，,2m2＋m－1＝0，))解得m＝eq \f(1,2).
(3)当5－2m＝0，即m＝eq \f(5,2)时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0；当m≠eq \f(5,2)时，由(1)的结论和eq \f(2m－5,m2－2m－3)＝eq \f(2m－5,2m2＋m－1)，解得m＝－2.故实数m的值为eq \f(5,2)或－2.
13．(2019·西安交大附中期中)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)(点P与点A，B不重合)，则△PAB的面积最大值是( )
A．2eq \r(5) B．5
C.eq \f(5,2) D.eq \r(5)
【答案】C
【解析】 由题意可知动直线x＋my＝0过定点A(0,0)．动直线mx－y－m＋3＝0⇒m(x－1)＋3－y＝0，因此直线过定点B(1,3)．当m＝0时，两条直线分别为x＝0，y＝3，交点P(0,3)，S△PAB＝eq \f(1,2)×1×3＝eq \f(3,2).当m≠0时，两条直线的斜率分别为－eq \f(1,m)，m，则－eq \f(1,m)·m＝－1，因此两条直线相互垂直．当|PA|＝|PB|时，△PAB的面积取得最大值．由eq \r(2)|PA|＝|AB|＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，解得|PA|＝eq \r(5).所以S△PAB＝eq \f(1,2)|PA|2＝eq \f(5,2).综上可得，△PAB的面积最大值是eq \f(5,2).
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用