第四章 第四节 万有引力定律及其应用-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第四节　万有引力定律及其应用　

一、开普勒三定律

二、万有引力定律

1．公式

F＝　G　，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2。

2．适用条件

(1)两个质点之间的相互作用。

(2)质量分布均匀的球体。

3．万有引力与重力的关系

(1)在赤道上：G＝mg1＋__mω2R__。

(2)在两极上：G＝mg2。

(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和，如图。越靠近南北两极g值越__大__，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝__mg__。

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。(√)

(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)

(3)开普勒第三定律＝k中k值与中心天体质量无关。(×)

(4)只有天体之间才存在万有引力。(×)

(5)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。(×)

(6)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(√)

(7)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)

考点一　开普勒定律的理解及应用

1．在开普勒第三定律中，所有行星绕太阳转动的k值均相同；但对不同的天体系统k值不相同。k值的大小由系统的中心天体决定。

2．由开普勒第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度比较快，而离太阳比较远时，行星运行的速度比较慢。

3．开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动。

[题组突破]

1．(多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M，Q到N的运动过程中(　　)

A．从P到M所用的时间等于

B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大

C．从P到Q阶段，速率逐渐变小

D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

[解析]　在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N

的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。

[答案]　CD

2．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为(　　)

A．2∶1　　 B．4∶1　　

C．8∶1　　 D．16∶1

[解析]　根据开普勒第三定律＝k，得两卫星周期之比为＝ ＝ ＝8，故C正确。

[答案]　C

考点二　万有引力定律的理解及应用

1．万有引力的计算

公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为均质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。

2．天体表面重力加速度的计算

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。

(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。

(3)其他天体的“重力加速度”，可参考地球上的情况做相应分析。

[例1]　(2020·抚州模拟)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二。若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.  D.

[解析]　令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝G。由于地球的质量为M＝ρ×πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGρR。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝πGρ(R－d)。所以有＝。根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”的加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误。

[答案]　C

◆规律总结

1．在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F＝0。

2．如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝G。

[跟踪训练]

[万有引力定律的应用]

1．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的1/10，半径约为地球半径的1/2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)

A．0.2  B．0.4

C．2.0  D．2.5

[解析]　由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝G，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。

[答案]　B

[重力和万有引力的关系]

2．(2021·济宁模拟)假设地球为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0、在赤道处的大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为(　　)

A．2π   B．2π

C．2π   D．2π

[解析]　在两极处物体不随地球转动，所以G＝mg0；在赤道处物体随地球绕地心转动，可得G＝mg＋mR，联立解得T＝2π，所以选项B正确，A、C、D错误。

[答案]　B

考点三　天体质量和天体密度的计算

1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。

(1)由G＝mg，得天体质量M＝。

(2)天体密度ρ＝＝＝。

2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。

(1)由G＝mr，得M＝。

(2)若已知天体的半径R，则天体的密度

ρ＝＝＝。

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

[例2]　“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。探测器在2020年11月24日由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为(　　)

A.　　　 B.　　　

C．4　　　 D．6

[解析]　利用题给信息，对地球，有

G＝mg，得M＝

又V＝πR3

得地球的密度：ρ＝＝

对月球，有

G＝mg0，得M0＝

又V0＝π·R

得月球的密度：ρ0＝＝

则地球的密度与月球的密度之比＝，故A、C、D错误。

[答案]　B

[跟踪训练]

3．(多选)(2020·开封模拟)“嫦娥四号”是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息可求出(　　)

A．“嫦娥四号”绕月运行的速度为

B．“嫦娥四号”绕月运行的速度为

C．月球的平均密度

D．月球的平均密度为

[解析]　根据万有引力提供向心力有G＝m，得v＝ ，月球表面重力等于万有引力mg＝G，得GM＝gR2，所以“嫦娥四号”绕月运行的速度v＝ ，故A正确，B错误；根据公式G＝mr可得，月球的质量为M＝，月球的平均密度为ρ＝＝＝×＝，故C正确，D错误。

[答案]　AC

◆易错警示

1．不考虑自转问题时，有＝mg，其中g为星球表面的重力加速度，若考虑自转问题，则在两极上才有：＝mg。

2．利用G＝mr计算天体质量时，只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。

3．注意区分轨道半径r和中心天体的半径R，计算中心天体密度时应用ρ＝而不是ρ＝，但在表面附近绕行的卫星，可近似认为R＝r。

4．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)

A．5×109 kg/m3  B．5×1012 kg/m3

C．5×1015 kg/m3  D．5×1018 kg/m3

[解析]　脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝ρ··πr3，整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3。

[答案]　C