2022年辽宁省协作体高考数学一模试卷（含答案解析）

2022年辽宁省协作体高考数学一模试卷

1. 设i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 命题，的否定为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

4. A，B，C，D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法种数是

A. 24种 B. 12种 C. 48种 D. 36种

5. 已知某批零件的长度单位：毫米服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度落在区间内的概率为
   附：若随机变量服从正态分布，则，

A.  B.  C.  D.

6. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间天满足的函数关系式为若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为那么采摘下来的这种水果多长时间后失去新鲜度

A. 25天 B. 30天 C. 35天 D. 40天

7. 如图为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C共渐近线的是

A.  B.  C.  D.

8. 已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为

A.  B.  C.  D.

9. 2017年1月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占、、和，则适合表示上述调查结果的是

A. 柱形图 B. 折线图
C. 扇形图 D. 频率分布直方图

10. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变得到函数的图象，则下列说法正确的是

A. 函数的最大值为2
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增

11. 已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是

A.  B.  C.  D.

12. 已知圆的圆心在直线上，且与相切于点过作圆的两条互相垂直的弦AE，则下列结论正确的是

A. 圆的方程为：
B. 弦AE的长度的最大值为
C. 四边形ABEF面积的最大值为
D. 设线段AE，BF的中点分别为M，N，直线MN恒过定点

13. 椭圆的离心率为______.
14. 已知向量、、，且，，，，则的最小值为______.
15. 在数列中，，，，则的前2022项和为______.
16. 已知函数不存在零点，则a的取值范围是______.
17. 已知是等差数列，，，且
    求的通项公式；
    求的前2n项和．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在平面五边形ABCDE中，已知，，，，，
    当时，求DC；
    当五边形ABCDE的面积时，求BC的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在三棱锥中，，，，点O是AC的中点，点P在线段MC上，
    证明：平面ABC；
    若，直线AP与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值的大小．
    
     

20. 北京时间2021年11月17日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟全球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili平台，总决赛的直播就有亿人观看．电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
    第一轮：四支队伍分别两两对阵即比赛1和，两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．
    第二轮：胜者组两支队伍对阵即比赛，获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵即比赛，失败队伍已两败被淘汰获得殿军，获胜队伍留在败者组．
    第三轮：败者组两支队伍对阵即比赛，失败队伍被淘汰获得季军；获胜队伍成为败者组第一名．
    第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛即比赛，争夺冠军．
    假设每场比赛双方获胜的概率均为，每场比赛之间相互独立．问：
    若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
    已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．

21. 已知点，在抛物线E：上，，分别为过点A，B且与抛物线E相切的直线，，相交于点
    条件①：点M在抛物线E的准线上；
    条件②：；
    条件③：直线AB经过抛物线的焦点
    在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并证明该命题成立；
    若，直线与抛物线E交于C、D两点，试问：在x轴正半轴上是否存在一点N，使得的外心在抛物线E上？若存在，求N的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数，
    讨论函数的单调性；
    证明：存在，使不等式有解是自然对数的底
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，
对应的点的坐标为，位于第一 象限．
故选：
由已知的复数整理得到其在复平面内对应点的坐标即可得到答案．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，
故选：
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：，，

故选：
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：A，B，C，D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法种数是种
故选：
把AB捆绑进行排列可解决此题．
本题考查排列数应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：，
故选：
利用正态分布的性质，即可解出．
本题考查了正态分布的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．的范围有误
 

6.【答案】B
 

【解析】解：依题意，，
解得，
当时，，
即，
解得，
于是得，解得，
所以采摘下来的这种水果30天后失去新鲜度．
故选：
根据给定条件求出m及的值，再利用给定公式计算失去新鲜度对应的时间作答．
本题考查了指数型函数在生活中的应用及指数运算，属于基础题．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，双曲线C经过点，，
则有，解可得，，
则双曲线C的方程为，其渐近线方程为，
由此依次分析选项：
对于A，，其渐近线方程为，符合题意，
对于B，，其渐近线方程为，不符合题意，
对于C，，其渐近线方程为，不符合题意，
对于D，，其渐近线方程为，不符合题意，
故选：
根据题意，分析可得双曲线C经过点，，由待定系数法求出C的方程，即可得其渐近线方程，依次求出选项中双曲线的渐近线方程，即可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，属于基础题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：结合题目边长关系，三棱锥如图所示，

，
由题意，是等腰直角三角形，
则，
则表面积为
故选：
依次计算4个三角形的面积，相加即可．
本题考查了三棱锥的表面积的计算，属于基础题．
 

9.【答案】AC
 

【解析】解：上述调查结果是分类比例，
适合表示上述调查结果的是柱形图和扇形图，
故选：
由实际问题中调查类型判断所用图示即可．
本题考查了数据分析中图示的应用，属于基础题．
 

10.【答案】ABD
 

【解析】解：函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变得到函数的图象；
对于A：函数的最大值为2，故A正确；
对于B：函数的最小正周期为，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：当时，故，故函数在该区间上单调递增，故D正确．
故选：
直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

11.【答案】BD
 

【解析】解：对于AC，取，，显然错误，
对于B，，，且，
，故B正确，
对于D，，
，D正确，
故选：
根据不等式的基本性质分别判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是基础题．
 

12.【答案】AD
 

【解析】解：设圆心为，圆的半径为r，
由题可知，，解得，，
故圆的方程为，故A正确，
当AE过圆心C时，AE长度最长为圆的半径4，故B错误，
如图，

线段AE，BF的中点分别为M，N，
设，，
则，
，，
，
故时，四边形ABEF面积有最大值，故C错误，
四边形MDNC为矩形，
与CD互相平分，即MN过CD中点，故D正确．
故选：
对于A，根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及两点之间的距离公式，即可求解，
对于B，当AE为直径时，AE长度最长，即可求解，
对于C，设圆心到BF的距离为d，，再几何关系和三角形面积公式，即可求解，
对于D，四边形MDNC为矩形，对角线互相平方，即可判断MN经过CD中点．
本题主要考查直线与圆的位置关系，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由椭圆，得，，
，

故答案为：
由椭圆方程求得a，b，进一步求得c，则椭圆离心率可求．
本题考查椭圆的简单性质，是基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：因为，，，
所以，
因为，所以，
故的最小值为
故答案为：
由模与数量积的运算性质可求得，由即可求解最小值．
本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】2024
 

【解析】解：由，得，
所以，，
可知数列为周期数列，周期为4，
故
故答案为：
求出数列前若干项，根据其周期性可解．
本题考查了周期数列的求和问题，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：因为不存在零点，
所以无解，
令，，
则无解，即
又因为，
令，则有，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
，
令，则有，
当，即，对恒成立，
即在上单调递增，
，
满足；
当，即时，在上成立，
所以在上单调递增，
所以，
因为在上单调递增，
所以，在上，仍成立，
满足；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
，
不满足；
综上所述，a的取值范围为
令，，原命题转化为利用导数求得；令，解得，分，，讨论即可．
本题考查了转化思想、分类讨论思想及利用导数确定函数的单调区间及最值，属于难题．
 

17.【答案】解：由于是等差数列，，，设首项为公差为d，
所以，整理得，
所以，
由得：，
所以
 

【解析】直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式；
利用分组法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：连结EB，在中，，，
由余弦定理可得，，
所以，
同时可得，
又由五边形内角和可求得，
所以，进而可得四边形BCDE为等腰梯形，
过点C作于M，可求得，
进而
，
又所以
设BC边长为x，则，
化简整理得，解得，或，
又，，
所以BC的取值范围是
 

【解析】连结EB，在中由余弦定理可求，同时可得，可得四边形BCDE为等腰梯形，过点C作于M，解三角形可求，进而可求DC的值．
由题意利用三角形的面积公式可求，根据题意设BC边长为x，则，化简整理即可求解．
本题考查了三角形、梯形的面积计算，考查了函数的思想，属于中档题．
 

19.【答案】证明：，设，则，
在中，，
根据余弦定理得，
，
，
，
即，连接OB，
为斜边AC的中点，
，
又，，
≌，
，
，O为AC中点，
，即，
，
，
而，平面ABC，平面ABC，
平面ABC，
解：过P作于E，过E作于F，连接PF，

，
，
平面ABC，
为直线AP于平面ABC所成的角，即，
为二面角的平面角，
设，
在中，，
又，，
在和中，
，，
∽，
，即，，
在中，，

 

【解析】由题意，利用线面垂直的判定定理进行证明即可；
由题意，求出为二面角的平面角，再求的大小即可．
本题考查线面垂直及二面角的大小，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以所求的概率为，
设表示队伍B在比赛i中胜利，表示队伍B在比赛i中失败，
设事件E：队伍B获得亚军，事件F：队伍B所参加的所有比赛中败了两场，
则事件F包括，，，，，且这五种情况彼此互斥，
进而
，
事件包括，且这两种情况互斥，
进而，
所以所求事件的概率为
 

【解析】根据分析得到获胜队伍需要圆得比赛3的胜利，失败队伍需要贺得比赛4 和比赛5 的胜利，从而求出相应的概率；
合理设出事件，利用条件概率公式进行求解．
本题考查概率的性质，条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意，抛物线化为，则，
则的切线斜率，
所以的方程为，
将代入，化简整理得，
同理可得的方程为，
抛物线E：的准线为，焦点F的坐标为，
若选择①作为条件，②③作为结论，证明如下：
因为点M在抛物线E的准线上，可设点M的坐标为，
又，相交于点M，所以，点A，B坐标满足方程，
即直线AB的方程为，进而直线AB经过抛物线的焦点，③得证；
又，消去y整理得，所以，
设直线、的斜率分别为，，有，所以，②得证；
若选择②作为条件，①③作为结论，证明如下：
因为，设直线、的斜率分别为，，
有，即，
又，相交于点M，所以，解得，
所以点M在抛物线E的准线上，①得证；
设点M的坐标为，所以，
点A，B的坐标满足方程，
即直线AB的方程为，进而直线AB经过抛物线的焦点，③得证；
若选择③作为条件，①②作为结论，证明如下：
直线AB经过抛物线的焦点F，设直线AB的方程为，
所以消去y整理得，所以，
设直线、的斜率分别为，，有，所以，②得证；
又，相交于点M，所以，解得，
所以点M在抛物线E的准线上，①得证；
由，可得，所以，，
设线段CD的中点为，则，，
进而线段CD的中垂线方程为，即，
联立，得，解得或4，
从而的外心Q的坐标为或，
又，，，
假设存在点，若Q的坐标为，
所以，则，
因为，所以，
若Q的坐标为，则，，则Q的坐标不可能为，
故在x轴的正半轴上存在一点，使得的外心在抛物线E上．
 

【解析】求导写出点A，B处的切线方程，写出准线方程及焦点坐标，若选择①作为条件，设出点M的坐标，表示出直线AB联立抛物线证明；若选择②作为条件，先求出，进而证明；若选择③作为条件，设出直线AB联立抛物线证明；
假设存在，求出于CD的中垂线联立抛物线先解出外心坐标，再去反推点N的坐标．
本题关键点在于假设点N的存在，求出CD的中垂线方程，联立抛物线求出外心坐标，再通过到三角形顶点距离相等解出点N的坐标即可，属于难题．
 

22.【答案】解：的定义域为，
，
①当时，，有两个不等实数根为：，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
②当时，，，
所以在上单调递增；
证明：不等式等价于，
所以只需证的最大值大于1，
因为，，
又所以时等号成立，
所以，
设函数，
，，单调递增，
，，单调递减，
因为，所以存在，使不等式有解．
 

【解析】对原函数求导后利用判别式对进行分类讨论即可；
理解“有解”的含义，构造函数将原不等式转化为求函数的最大值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．