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专题一 第5课时 圆周运动 万有引力与航天课件PPT
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这是一份专题一 第5课时 圆周运动 万有引力与航天课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了命题规律，高考题型1圆周运动，专题强化练，高考预测，常见的圆周运动，高考题型1，圆周运动，高考题型2，卫星的发射及运行，双星问题等内容，欢迎下载使用。
第5课时 圆周运动 万有引力与航天
1.命题角度：(1)圆周运动的动力学分析； (2)万有引力定律、天体运动.2.常考题型：选择题，在计算题中，圆周运动通常与能量观点 综合考查.
高考题型2 万有引力定律 天体运动
2.圆周运动的三种临界情况(1)接触面滑动临界：摩擦力达到最大值.(2)接触面分离临界：FN＝0.(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子最大承受拉力.
例1 图1甲所示为球形铁笼中进行的摩托车表演，已知同一辆摩托车在最高点A时的速度大小为8 m/s，在最低点B时的速度大小为16 m/s，铁笼的直径为8 m，取重力加速度g＝10 m/s2，摩托车运动时可看作质点.则摩托车在A、B点对铁笼的压力之比为A.1∶21 B.1∶4 C.13∶27 D.3∶37
例2 (多选)(2021·华中师范大学附属中学高三期末)如图2甲所示，两个质量分别为m、2m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为2l，b与转轴的距离为l.如图乙所示(俯视图)，两个质量均为m的小木块c和d(可视为质点)放在水平圆盘上，c与转轴、d与转轴的距
离均为l，c与d之间用长度也为l的水平轻质细线相连.木块与圆盘之间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，
下列说法正确的是A.图甲中，a、b同时开始滑动B.图甲中，a、b所受的静摩擦力始终相等C.图乙中，c、d与圆盘相对静止时，细线的最大拉力为kmgD.图乙中，c、d与圆盘相对静止时，圆盘的最大角速度为
解析 在题图甲中kmg＝mω2r，ω＝ ，r越大，开始滑动时的角速度越小，则a先滑动，选项A错误；对木块a有Ffa＝mω2(2l)，对b有Ffb＝2mω2l，即a、b所受的静摩擦力始终相等，选项B正确；
例3 (2018·全国卷Ⅲ·25)如图3，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sin α＝ .一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用.已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零.重力加速度大小为g.求：(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
解析 设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F.由力的合成法则有
F2＝(mg)2＋F02②设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得
由①②③式和题给数据得
(2)小球到达A点时动量的大小；
解析 设小球到达A点的速度大小为v1，作CD⊥PA，交PA于D点，由几何关系得DA＝Rsin α ⑥CD＝R(1＋cs α) ⑦小球从A点到达C点过程，由动能定理有
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间.
解析 小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g.设小球在竖直方向的初速度为v竖直，从C点落至水平轨道上所用时间为t.由运动学公式有
v竖直＝vsin α⑪由⑤⑦⑩⑪式和题给数据得
万有引力定律 天体运动
越高越慢，只有T与r变化一致
2.天体质量和密度的计算
例4 (2021·江苏镇江市高三期末)如图4所示为火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三位置，F1、F2为椭圆的两个焦点.火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功.下列判断正确的是A.太阳位于焦点F1处B.S1>S2C.在M和N处，火星的动能EkM>EkND.在N和P处，火星的加速度aN>aP
考向一 开普勒行星运动定律的应用
解析 已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，所以太阳位于焦点F2处，故A错误； 根据开普勒行星运动定律得火星由M到P的过程中速度增大，火星由M到N和由N到P的过程
中，通过的路程相等，所以火星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，则S1>S2，故B正确； 已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，根据动能定理得火星的动能EkM
考向二 天体的质量和密度的估算
解析 可以近似把S2的运动看成匀速圆周运动，由题图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1 000R地球绕太阳做圆周运动所需的向心力由太阳对地球的万有引力提供，由向心力公式可知
同理S2绕黑洞做圆周运动所需的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
综上可得Mx≈4×106M故选B.
例6 (2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火.已知它们的轨道半径R金a地>a火 B.a火>a地>a金C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
考向三 天体运动参量分析
例7 (2021·河北卷·4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为
由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径
例8 (2021·广东省1月适应性测试·2)2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史.如图6所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球.下列说法正确的是A.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重B.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等C.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等D.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等
解析 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误；嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ上P处的速率小于在轨道
Ⅱ运行至P处时速率；加速后势能不变，动能增大，则机械能增大，故B、C错误；
例9 (多选)(2021·湖北高三检测)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.在中子星合并前，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，在浩瀚的银河系中，这样的双星系统很多.设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图7所示，若AO>OB，则A.星球A的线速度一定大于B的线速度B.星球A的质量一定大于B的质量C.双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越小D.双星之间的距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小
解析 双星系统角速度相等，根据v＝ωr，且AO>OB，可知，A的线速度大于B的线速度，故A正确；
1.(多选)(2021·天津市河西区高三期末)如图8所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，重力加速度为g，当圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时，A.细绳对小球的拉力可能为零B.细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等C.细绳对小球的拉力与小球的重力大小不可能相等
解析 如果细绳对小球的拉力为零，则小球受到的重力与支持力的合力不可能提供向心力，故A错误；细绳和金属圆环对小球的作用力大小如果相等，二者在水平方向的合力为零，则向心力为零，故B错误；
2.(多选)(2021·湖北省部分重点中学高三期末联考)2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空.至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署已全面完成.如图9是北斗卫星导航系统中的三个轨道示意图.轨道A为地球赤道同步卫星轨道，轨道B为倾斜同步卫星轨道.轨道C为一颗中地球轨道卫星，D为赤道上某个建筑物(图中未画出).
D.建筑物D的向心加速度一定小于地面的重力加速度
A.若轨道A上的卫星某时刻与轨道B上的卫星正好 同时到达D的正上方，则以后每隔相同时间这 两个卫星都会相遇在该建筑物D正上方B.轨道B、C上的卫星及建筑物D的速度大小关系 为：vB
轨道高度越大，需要的发射速度就越大，所以发射C更容易，故C错误；赤道表面的物体随地球自转的向心加速度一定小于地球表面的重力加速度，故D正确.
3.(2021·华大新高考联盟1月联考)2020年7月23日，我国成功发射了“天问一号”火星探测器.如图10所示，已知火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，火星绕太阳的公转轨道半径是地球的1.5倍.为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时(地球位于太阳与火星之间，且三者共线)为最佳发射期.则下一个火星探测器的最佳发射期至少要经过约A.1.2年 B.1.8年C.2.2年 D.2.8年
解析 地球绕太阳运行周期为T1＝1年，设火星绕太阳运行周期为T2.
设地球与火星再一次最近至少经过时间t，
解得t≈2.2年，故选C.
4.(2021·黑龙江鹤岗一中三校高三期末联考)如图11所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上A、B两点各粘有一小物体，当B点转至最低位置时，此时O、A、B、P四点在同一竖直线上，已知：OA＝AB，P是地面上的一点.此时A、B两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点.不计空气阻力，则OP的距离是
1.(2021·全国甲卷·15)“旋转纽扣”是一种传统游戏.如图1，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现.拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为A.10 m/s2 B.100 m/s2C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
解析 根据匀速圆周运动的规律，此时ω＝2πn＝100π rad/s，向心加速度a＝ω2r≈1 000 m/s2，故选C.
2.(2021·山西吕梁市高三一模)中学生常用的学习用具修正带的结构如图2所示，包括上下盖座、大小齿轮、压嘴座等部件.大小齿轮分别嵌合于大小轴孔中，大小齿轮相互吻合，大齿轮半径是小齿轮半径的2倍，a、b点分别位于大小齿轮的边缘.c点在大齿轮的半径中点，当修正带被匀速拉动进行字迹修改时A.大小齿轮的转向相同B.a点的线速度比b点大C.b、c两点的角速度相同D.b点的向心加速度最大
解析 大小齿轮相互吻合，传动时边缘点的线速度大小相等，方向相反，A、B错误；根据v＝ωr，解得ωa∶ωb＝rb∶ra＝1∶2，同轴传动时，角速度相等，故ωa＝ωc，所以b点与c点的角速度不相同，C错误；
根据a＝ω2r，b、c点的向心加速度大小之比为ab∶ac＝ωb2∶ωc2＝ωb2∶ωa2＝4∶1，b点的向心加速度最大，D正确.
3.(多选)(2021·河北卷·9)如图3，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时A.小球的高度一定降低B.弹簧弹力的大小一定不变C.小球对杆压力的大小一定变大D.小球所受合外力的大小一定变大
可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；
解析 对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有FTsin θ＝mg
水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，则FTcs θ－FN＝mω2r，即FN＝FTcs θ－mω2r当转速较大，FN指向转轴时，则FTcs θ＋FN′＝mω′2r
即FN′＝mω′2r－FTcs θ因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r可知，因角速度变大，则小球受合外力变大，则D正确.
4.(2021·河北唐山市一模)假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，上升的最大高度为h.已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力.则月球的密度为
5.(2021·北京市顺义区高三期末)中国北斗卫星导航系统(简称BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，可为全球用户提供定位、导航和授时服务，该导航系统由多颗不同轨道的卫星组成.如图4所示，a、b、c为该系统中三颗轨道为圆的卫星，a是地球同步卫星，b是轨道半径与a相同的卫星，c的轨道半径介于近地卫星和同步卫星之间.下列说法正确的是A.卫星b也可以长期“悬停”于北京正上空B.卫星c的运行速度一定大于第一宇宙速度C.卫星b的运行周期与地球的自转周期相同D.卫星a的向心加速度大于卫星c的向心加速度
解析 卫星b不是同步卫星，不能“悬停”在北京正上空，故A错误；
6.(2021·河南郑州市高三上第一次质量检测)如图5为嫦娥五号登月轨迹示意图.图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点.a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是A.嫦娥五号在M点进入地月转移轨道 时应点火加速B.设嫦娥五号在圆轨道a上经过N点时 的速度为v1，在椭圆轨道b上经过N 点时的速度为v2，则v1>v2C.设嫦娥五号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点 时的加速度为a2，则a1>a2D.嫦娥五号在圆轨道a上的机械能等于在椭圆轨道b上的机械能
解析 嫦娥五号在M点点火加速，使万有引力小于所需向心力做离心运动，才能进入地月转移轨道，故A正确；
嫦娥五号在圆轨道a上加速做离心运动才能进入椭圆轨道b，即a上的机械能小于b上的机械能，嫦娥五号经过a、b轨道上的N点时，引力势能相同，则在椭圆轨道b上经过N点时的动能大于圆轨道a上经过N点时动能，则有v2>v1，故B、D错误；
7.(多选)(2021·湖南省1月适应性考试·7)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接.以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球.对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小.如图6所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道.下列说法正确的是A.在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙B.甲可以通过增大速度来抬高轨道C.在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大D.返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大
甲需增大速度才能做离心运动，与高轨道上的乙对接，B正确；
地球表面的重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，故相同的物体在地球上重量大，D正确.
8.(2021·河北张家口市一模)如图7所示，一长度为R的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角θ＝30°的光滑斜面上O点，小球在斜面上绕O点做半径为R的圆周运动，A、B分别是圆周运动轨迹的最低点和最高点，若小球通过B点时轻绳拉力大小等于mg，重力加速度为g，则小球通过A点时，轻绳拉力大小为A.2mg D.7mg
9.(多选)(2021·湖南岳阳市高三检测)如图8所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为ma的a球置于地面上，质量为mb的b球从与C、D等高的位置(轻绳伸直)静止释放.当b球摆过的角度为90°时，a球对地面的压力刚好为零，下列结论正确的是A.ma∶mb＝2∶1B.ma∶mb＝3∶1C.若只将b的质量变大，则当b球摆过的角度为小于90° 的某值时，a球对地面的压力刚好为零D.若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度为小于90°的某值 时，a球对地面的压力刚好为零
解析 由于b球摆动90°过程中机械能守恒，则有mbgl＝ mbv2，此时a球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为mag，根据牛顿第二定律和向心力公式得mag－mbg＝ 解得ma∶mb＝3∶1，故A错误，B正确；
10.(2021·黑龙江鹤岗一中三校高三期末联考)如图9所示，天文观测中观测到有三颗星体位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是A.三颗星体的质量可能不相等
11.(2021·重庆市高三第一次联合诊断检测)某人参加户外活动，水平轻绳一端固定，人手握轻绳另一端从静止开始无初速度运动，到最低点时松开轻绳，最后落到水平地面上.如图10所示，将这一过程简化为：长度为L的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端拴接一质量为m的小球(可视为质点)，O点距离水平地面高度为H(L＜H)，将轻绳水平拉直，使小球从静止开始无初速度释放，小球到达最低点时与轻绳脱离，最后落到水平地面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力.(1)求小球落地前瞬时速度大小；
解析 设小球落地前瞬时速度大小为v，由机械能守恒定律得
(2)如果L大小可以改变(L仍小于H)，其他条件不变，求小球落地点与O点的最大水平距离.
解析 设小球摆至最低点时，速度大小为v0
小球在最低点脱离轻绳后做平抛运动，历时t落地，设小球落地点与O点的水平距离为x，有
12.(2021·华大新高考联盟1月联考)如图11甲所示，光滑半圆环轨道固定在竖直平面上，最低点与光滑水平面平滑连接，一长度与半圆轨道直径相等的轻弹簧左端固定在高h＝0.4 m的固定竖直挡板P上，弹簧的右端在半圆轨道的最低点处.将一小球(可视为质点)置于弹簧的右端(与弹簧接触但不连接)并向左压缩弹簧，然后静止释放，小球被弹簧弹开后进入半圆轨道运动.多次重复，每次弹簧的压缩量不同.通过固定在半圆轨道最高点处的压力传感器与速度传感器(甲图中未画出)测出小球对轨道的压力大小F与此处小球速度的平方v2的关系如图乙所示.已知当某次弹簧的压缩量x＝0.1 m静止释放小球后.小球恰能经过挡板P的上端.重力加速度g＝10 m/s2.不计空气阻力.求：
解析 小球在半圆轨道的最高点处，
(1)小球的质量m与半圆轨道的半径r；
答案 0.1 kg 0.3 m
由题图乙知－mg＝－1 N，可得m＝0.1 kg当FN＝0时v2＝3 m2·s－2，可得r＝0.3 m
(2)弹簧的劲度系数k.
小球离开半圆轨道最高点做平抛运动，设历时t经过挡板P的最高点，
2r＝v1t代入数据联立解得k＝210 N/m.
第5课时 圆周运动 万有引力与航天
1.命题角度：(1)圆周运动的动力学分析； (2)万有引力定律、天体运动.2.常考题型：选择题，在计算题中，圆周运动通常与能量观点 综合考查.
高考题型2 万有引力定律 天体运动
2.圆周运动的三种临界情况(1)接触面滑动临界：摩擦力达到最大值.(2)接触面分离临界：FN＝0.(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子最大承受拉力.
例1 图1甲所示为球形铁笼中进行的摩托车表演，已知同一辆摩托车在最高点A时的速度大小为8 m/s，在最低点B时的速度大小为16 m/s，铁笼的直径为8 m，取重力加速度g＝10 m/s2，摩托车运动时可看作质点.则摩托车在A、B点对铁笼的压力之比为A.1∶21 B.1∶4 C.13∶27 D.3∶37
例2 (多选)(2021·华中师范大学附属中学高三期末)如图2甲所示，两个质量分别为m、2m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为2l，b与转轴的距离为l.如图乙所示(俯视图)，两个质量均为m的小木块c和d(可视为质点)放在水平圆盘上，c与转轴、d与转轴的距
离均为l，c与d之间用长度也为l的水平轻质细线相连.木块与圆盘之间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，
下列说法正确的是A.图甲中，a、b同时开始滑动B.图甲中，a、b所受的静摩擦力始终相等C.图乙中，c、d与圆盘相对静止时，细线的最大拉力为kmgD.图乙中，c、d与圆盘相对静止时，圆盘的最大角速度为
解析 在题图甲中kmg＝mω2r，ω＝ ，r越大，开始滑动时的角速度越小，则a先滑动，选项A错误；对木块a有Ffa＝mω2(2l)，对b有Ffb＝2mω2l，即a、b所受的静摩擦力始终相等，选项B正确；
例3 (2018·全国卷Ⅲ·25)如图3，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sin α＝ .一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用.已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零.重力加速度大小为g.求：(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
解析 设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F.由力的合成法则有
F2＝(mg)2＋F02②设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得
由①②③式和题给数据得
(2)小球到达A点时动量的大小；
解析 设小球到达A点的速度大小为v1，作CD⊥PA，交PA于D点，由几何关系得DA＝Rsin α ⑥CD＝R(1＋cs α) ⑦小球从A点到达C点过程，由动能定理有
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间.
解析 小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g.设小球在竖直方向的初速度为v竖直，从C点落至水平轨道上所用时间为t.由运动学公式有
v竖直＝vsin α⑪由⑤⑦⑩⑪式和题给数据得
万有引力定律 天体运动
越高越慢，只有T与r变化一致
2.天体质量和密度的计算
例4 (2021·江苏镇江市高三期末)如图4所示为火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三位置，F1、F2为椭圆的两个焦点.火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功.下列判断正确的是A.太阳位于焦点F1处B.S1>S2C.在M和N处，火星的动能EkM>EkND.在N和P处，火星的加速度aN>aP
考向一 开普勒行星运动定律的应用
解析 已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，所以太阳位于焦点F2处，故A错误； 根据开普勒行星运动定律得火星由M到P的过程中速度增大，火星由M到N和由N到P的过程
中，通过的路程相等，所以火星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，则S1>S2，故B正确； 已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，根据动能定理得火星的动能EkM
考向二 天体的质量和密度的估算
解析 可以近似把S2的运动看成匀速圆周运动，由题图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1 000R地球绕太阳做圆周运动所需的向心力由太阳对地球的万有引力提供，由向心力公式可知
同理S2绕黑洞做圆周运动所需的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
综上可得Mx≈4×106M故选B.
例6 (2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火.已知它们的轨道半径R金
考向三 天体运动参量分析
例7 (2021·河北卷·4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为
由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径
例8 (2021·广东省1月适应性测试·2)2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史.如图6所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球.下列说法正确的是A.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重B.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等C.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等D.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等
解析 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误；嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ上P处的速率小于在轨道
Ⅱ运行至P处时速率；加速后势能不变，动能增大，则机械能增大，故B、C错误；
例9 (多选)(2021·湖北高三检测)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.在中子星合并前，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，在浩瀚的银河系中，这样的双星系统很多.设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图7所示，若AO>OB，则A.星球A的线速度一定大于B的线速度B.星球A的质量一定大于B的质量C.双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越小D.双星之间的距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小
解析 双星系统角速度相等，根据v＝ωr，且AO>OB，可知，A的线速度大于B的线速度，故A正确；
1.(多选)(2021·天津市河西区高三期末)如图8所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，重力加速度为g，当圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时，A.细绳对小球的拉力可能为零B.细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等C.细绳对小球的拉力与小球的重力大小不可能相等
解析 如果细绳对小球的拉力为零，则小球受到的重力与支持力的合力不可能提供向心力，故A错误；细绳和金属圆环对小球的作用力大小如果相等，二者在水平方向的合力为零，则向心力为零，故B错误；
2.(多选)(2021·湖北省部分重点中学高三期末联考)2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空.至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署已全面完成.如图9是北斗卫星导航系统中的三个轨道示意图.轨道A为地球赤道同步卫星轨道，轨道B为倾斜同步卫星轨道.轨道C为一颗中地球轨道卫星，D为赤道上某个建筑物(图中未画出).
D.建筑物D的向心加速度一定小于地面的重力加速度
A.若轨道A上的卫星某时刻与轨道B上的卫星正好 同时到达D的正上方，则以后每隔相同时间这 两个卫星都会相遇在该建筑物D正上方B.轨道B、C上的卫星及建筑物D的速度大小关系 为：vB
轨道高度越大，需要的发射速度就越大，所以发射C更容易，故C错误；赤道表面的物体随地球自转的向心加速度一定小于地球表面的重力加速度，故D正确.
3.(2021·华大新高考联盟1月联考)2020年7月23日，我国成功发射了“天问一号”火星探测器.如图10所示，已知火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，火星绕太阳的公转轨道半径是地球的1.5倍.为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时(地球位于太阳与火星之间，且三者共线)为最佳发射期.则下一个火星探测器的最佳发射期至少要经过约A.1.2年 B.1.8年C.2.2年 D.2.8年
解析 地球绕太阳运行周期为T1＝1年，设火星绕太阳运行周期为T2.
设地球与火星再一次最近至少经过时间t，
解得t≈2.2年，故选C.
4.(2021·黑龙江鹤岗一中三校高三期末联考)如图11所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上A、B两点各粘有一小物体，当B点转至最低位置时，此时O、A、B、P四点在同一竖直线上，已知：OA＝AB，P是地面上的一点.此时A、B两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点.不计空气阻力，则OP的距离是
1.(2021·全国甲卷·15)“旋转纽扣”是一种传统游戏.如图1，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现.拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为A.10 m/s2 B.100 m/s2C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
解析 根据匀速圆周运动的规律，此时ω＝2πn＝100π rad/s，向心加速度a＝ω2r≈1 000 m/s2，故选C.
2.(2021·山西吕梁市高三一模)中学生常用的学习用具修正带的结构如图2所示，包括上下盖座、大小齿轮、压嘴座等部件.大小齿轮分别嵌合于大小轴孔中，大小齿轮相互吻合，大齿轮半径是小齿轮半径的2倍，a、b点分别位于大小齿轮的边缘.c点在大齿轮的半径中点，当修正带被匀速拉动进行字迹修改时A.大小齿轮的转向相同B.a点的线速度比b点大C.b、c两点的角速度相同D.b点的向心加速度最大
解析 大小齿轮相互吻合，传动时边缘点的线速度大小相等，方向相反，A、B错误；根据v＝ωr，解得ωa∶ωb＝rb∶ra＝1∶2，同轴传动时，角速度相等，故ωa＝ωc，所以b点与c点的角速度不相同，C错误；
根据a＝ω2r，b、c点的向心加速度大小之比为ab∶ac＝ωb2∶ωc2＝ωb2∶ωa2＝4∶1，b点的向心加速度最大，D正确.
3.(多选)(2021·河北卷·9)如图3，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时A.小球的高度一定降低B.弹簧弹力的大小一定不变C.小球对杆压力的大小一定变大D.小球所受合外力的大小一定变大
可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；
解析 对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有FTsin θ＝mg
水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，则FTcs θ－FN＝mω2r，即FN＝FTcs θ－mω2r当转速较大，FN指向转轴时，则FTcs θ＋FN′＝mω′2r
即FN′＝mω′2r－FTcs θ因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r可知，因角速度变大，则小球受合外力变大，则D正确.
4.(2021·河北唐山市一模)假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，上升的最大高度为h.已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力.则月球的密度为
5.(2021·北京市顺义区高三期末)中国北斗卫星导航系统(简称BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，可为全球用户提供定位、导航和授时服务，该导航系统由多颗不同轨道的卫星组成.如图4所示，a、b、c为该系统中三颗轨道为圆的卫星，a是地球同步卫星，b是轨道半径与a相同的卫星，c的轨道半径介于近地卫星和同步卫星之间.下列说法正确的是A.卫星b也可以长期“悬停”于北京正上空B.卫星c的运行速度一定大于第一宇宙速度C.卫星b的运行周期与地球的自转周期相同D.卫星a的向心加速度大于卫星c的向心加速度
解析 卫星b不是同步卫星，不能“悬停”在北京正上空，故A错误；
6.(2021·河南郑州市高三上第一次质量检测)如图5为嫦娥五号登月轨迹示意图.图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点.a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是A.嫦娥五号在M点进入地月转移轨道 时应点火加速B.设嫦娥五号在圆轨道a上经过N点时 的速度为v1，在椭圆轨道b上经过N 点时的速度为v2，则v1>v2C.设嫦娥五号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点 时的加速度为a2，则a1>a2D.嫦娥五号在圆轨道a上的机械能等于在椭圆轨道b上的机械能
解析 嫦娥五号在M点点火加速，使万有引力小于所需向心力做离心运动，才能进入地月转移轨道，故A正确；
嫦娥五号在圆轨道a上加速做离心运动才能进入椭圆轨道b，即a上的机械能小于b上的机械能，嫦娥五号经过a、b轨道上的N点时，引力势能相同，则在椭圆轨道b上经过N点时的动能大于圆轨道a上经过N点时动能，则有v2>v1，故B、D错误；
7.(多选)(2021·湖南省1月适应性考试·7)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接.以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球.对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小.如图6所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道.下列说法正确的是A.在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙B.甲可以通过增大速度来抬高轨道C.在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大D.返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大
甲需增大速度才能做离心运动，与高轨道上的乙对接，B正确；
地球表面的重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，故相同的物体在地球上重量大，D正确.
8.(2021·河北张家口市一模)如图7所示，一长度为R的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角θ＝30°的光滑斜面上O点，小球在斜面上绕O点做半径为R的圆周运动，A、B分别是圆周运动轨迹的最低点和最高点，若小球通过B点时轻绳拉力大小等于mg，重力加速度为g，则小球通过A点时，轻绳拉力大小为A.2mg D.7mg
9.(多选)(2021·湖南岳阳市高三检测)如图8所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为ma的a球置于地面上，质量为mb的b球从与C、D等高的位置(轻绳伸直)静止释放.当b球摆过的角度为90°时，a球对地面的压力刚好为零，下列结论正确的是A.ma∶mb＝2∶1B.ma∶mb＝3∶1C.若只将b的质量变大，则当b球摆过的角度为小于90° 的某值时，a球对地面的压力刚好为零D.若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度为小于90°的某值 时，a球对地面的压力刚好为零
解析 由于b球摆动90°过程中机械能守恒，则有mbgl＝ mbv2，此时a球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为mag，根据牛顿第二定律和向心力公式得mag－mbg＝ 解得ma∶mb＝3∶1，故A错误，B正确；
10.(2021·黑龙江鹤岗一中三校高三期末联考)如图9所示，天文观测中观测到有三颗星体位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是A.三颗星体的质量可能不相等
11.(2021·重庆市高三第一次联合诊断检测)某人参加户外活动，水平轻绳一端固定，人手握轻绳另一端从静止开始无初速度运动，到最低点时松开轻绳，最后落到水平地面上.如图10所示，将这一过程简化为：长度为L的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端拴接一质量为m的小球(可视为质点)，O点距离水平地面高度为H(L＜H)，将轻绳水平拉直，使小球从静止开始无初速度释放，小球到达最低点时与轻绳脱离，最后落到水平地面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力.(1)求小球落地前瞬时速度大小；
解析 设小球落地前瞬时速度大小为v，由机械能守恒定律得
(2)如果L大小可以改变(L仍小于H)，其他条件不变，求小球落地点与O点的最大水平距离.
解析 设小球摆至最低点时，速度大小为v0
小球在最低点脱离轻绳后做平抛运动，历时t落地，设小球落地点与O点的水平距离为x，有
12.(2021·华大新高考联盟1月联考)如图11甲所示，光滑半圆环轨道固定在竖直平面上，最低点与光滑水平面平滑连接，一长度与半圆轨道直径相等的轻弹簧左端固定在高h＝0.4 m的固定竖直挡板P上，弹簧的右端在半圆轨道的最低点处.将一小球(可视为质点)置于弹簧的右端(与弹簧接触但不连接)并向左压缩弹簧，然后静止释放，小球被弹簧弹开后进入半圆轨道运动.多次重复，每次弹簧的压缩量不同.通过固定在半圆轨道最高点处的压力传感器与速度传感器(甲图中未画出)测出小球对轨道的压力大小F与此处小球速度的平方v2的关系如图乙所示.已知当某次弹簧的压缩量x＝0.1 m静止释放小球后.小球恰能经过挡板P的上端.重力加速度g＝10 m/s2.不计空气阻力.求：
解析 小球在半圆轨道的最高点处，
(1)小球的质量m与半圆轨道的半径r；
答案 0.1 kg 0.3 m
由题图乙知－mg＝－1 N，可得m＝0.1 kg当FN＝0时v2＝3 m2·s－2，可得r＝0.3 m
(2)弹簧的劲度系数k.
小球离开半圆轨道最高点做平抛运动，设历时t经过挡板P的最高点，
2r＝v1t代入数据联立解得k＝210 N/m.
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