2020-2021学年山东省德州市某校高二(下)4月月考数学试卷
展开1. 在数列an中,a1=2,a2=5,an+2+an=an+1n∈N+,则a5=( )
A.3B.−2C.−5D.3
2. 对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时,得到一组数据1,0.3,2,4.7,3,m,4,8 ,通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x−2,则m的值为( )
A.3B.5C.5.2D.6
3. 已知函数fx=7x2−2x+1,若数列an是公差不为0的等差数列,fa4=fa18,则an的前21项和为( )
A.0B.252C.42D.3
4. 用数学归纳法证明不等式1+12+13+14+⋯+12n−1>n2n∈N+,n≥2,当n取第一个值时,左边的表达式为( )
A.1B.1+12
C.1+12+13D.1+12+13+14
5. 等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若anbn=3n−24n+3,则S11T11=( )
A.3147B.1323C.1627D.3
6. 在数列an中,an=an−2,n≤3,1−2an+2,n>3,对于任意的n∈N+都有an+1
7. 已知数列an满足a1=1,an+1an=2nn∈N+,则使an>4n成立的最小正整数n为( )
A.6B.5C.4D.7
8. 对于数列an,定义Hn=a1+2a2+4a3+⋯+2n−1annn∈N+为数列an的“好数”,已知某数列an的“好数”Hn=2n,则an+12+1an−1的最小值为( )
A.25+4B.172C.263D.8
二、多选题
下列各函数的导数,正确的为( )
A.x′=12x−12B.xcsx′=csx+xsinx
C.ln1−x′=11−xD.x+1ex′=−xex
对两个变量y和x进行回归分析,则下列结论正确的为( )
A.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
B.回归直线至少会经过其中一个样本点xi,yi
C.建立两个回归模型,模型1的相关系数r1=−0.999,模型2的相关系数r2=0.876,则模型2的拟合度更好
D.以y=aebx模型去拟合某组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,将其变换后得到线性方程z=6x+ln2,则a,b的值分别为2,6
已知等差数列an的前n项和为Sn,|a5|=|a11|,公差d<0,则下列结论正确的为( )
A.a8=0
B.S7,S8均为Sn的最大值
C.S16>0
D.当d=−2时,|an|的前n项和为Tn,则T12=76
已知等比数列an的公比为q,a1∈12,1,an>0,前n项和为Sn,前n项积为Tn,函数fx=xx+a1x+a2x+a3x+a4x+a5,若f′0=1,则下列结论正确的为( )
A.1
B.数列lnan为单调递增的等差数列
C.使得Tn>1的n的最小值为6
D.数列Sn为等比数列
三、填空题
已知函数fx=x2+ex−lnx,,则limΔ→0f1+Δx−f1Δx=________.
斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”.在自然界中,某些蜗牛壳每一圈的半径尺寸及许多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数都是斐波那契数列中的数.斐波那契数列an满足:a1=a2=1,an+2=an+1+ann∈N+,则1+a2+a4+a6+a8+⋯+a100的结果是斐波那契数列an中的第________项.
已知数列an的前n项和为Sn,a1=3,an+1+an=2n−1n∈N+,则S19= .
将等比数列1,2,4,8,16,⋯的各项按照上小下大,左小右大的原则写成如图的三角形数表,则第5行的第3个数为________;数表中每行的最后一个数自上而下依次构成数列an,则其通项公式为________.
四、解答题
设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,已知a1 ,a2,a5成等比数列,________.
请在①Sn+1=Sn+an+2,②S4=16,③a5=9这三个条件中,任选一个补充在横线上,并解答下面问题.
(1)求数列an的通项公式;
(2)若数列bn满足bn=2an,求数列an+bn的前n项和Tn.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作,并对某图书定价x(元)与当天销量y(本/天)之间的关系进行调查,得到了一组数据,发现变量x,y大致呈线性相关关系.数据如下表所示.
(1)根据以上数据,求出y关于x的回归直线方程;
(2)根据回归直线方程,预测当该图书每天的销量为4本时,该图书的定价是多少元?
参考数据: i=1nxi−xyi−y=−24,
参考公式:回归方程y=bx+a中斜率的最小二乘估计值公式为:
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2.
设函数fx=x2−alnx,曲线y=fx在x=2处的切线与直线2x+7y+1=0垂直.
(1)求fx的解析式;
(2)设曲线y=fx在x=1处的切线为l,求l与两直线x=0和y=−x+1所围成的三角形的面积.
已知等差数列an是首项为1的单调递增数列,a4−1是a2与a6+1的等比中项,数列bn的前n项和为Sn,b1=a1,bn+1=Sn+1n∈N+.
(1)求数列an的通项公式;
(2)求数列an⋅bn的前n项和Tn.
十三届全国人大四次会议于2021年3月5日在北京召开,会议讨论了关注民生的诸多议题,其中“多渠道增加居民收入,加快电商快进农村”这一议题广受农民朋友关注,该议题希望通过电商进农村,为地方特色农产品的发展找准销售定位和出路,推动当地农业升级、农村发展、农民增收,让农民不出家门就可以致富,不用远离家乡务工.为了更好的了解农村外出务工现状,现对该地区的300位农民外出务工的情况进行了调查,根据数据得到如下的年龄分布柱状图.将年龄段在[20,40)的农民称为“年轻人”,年龄段在20岁以下及[40,60)的农民称为“非年轻人”.已知在被调查的农民中有80%外出务工,而且“外出务工的农民”中有56是”年轻人”.
(1)请你根据图表中的数据,补全下列2×2列联表,计算K2并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为农民外出务工与年龄有关?
外出务工情况与年龄2×2列联表
(2)若将以上样本中的频率视为概率,从该地区农民中随机任取4人,设其中既是“外出务工人员”又是“年轻人”的人数为随机变量X,求X的分布列与期望.
参考数据:独立性检验界值表
其中,n=a+b+c+d,,K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d(注:结果保留三位小数).
已知数列an满足3an+1−2an+1an−an=0n∈N+,a1=14,an≠0.
(1)证明:数列1an−1为等比数列,并求出an;
(2)设bn=an+1⋅1−an.
(i)求数列bn的前n项和Sn;
(ii)若对任意的n∈N+都有Sn≥λ3n+1成立,求实数λ的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省德州市某校高二(下)4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
【解析】
利用数列的递推公式得到an+2=an+1−an,进行求解即可.
【解答】
解:由题意可得:a3=a2−a1=3,
a4=a3−a2=−2,
a5=a4−a3=−5.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
本题考查线性回归方程的公式的逆,已知公式,利用系数公式求解未知数.
【解答】
解:根据题意可知b=2.4,a=−2.
∵y=0.3+4.7+m+84=13+m4,x=1+2+3+44=2.5,
∴ a=y−bx=13+m4−2.4×2.5=−2,
∴m=3.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
数列与函数的综合
等差数列
等差数列的前n项和
等差中项
【解析】
本题考查等差数列的前n项和与等差中项,跟二次函数相结合,其实本质不变,首先要看到二次函数的对称性,然后找到等差中项的形式即可.
【解答】
解:由题意知,数列an是公差不为0的等差数列.
∵ 函数fx=7x2−2x+1,
∴ f(x)的对称轴为直线x=17.
∵f(a4)=f(a18),
则a4+a18=2⋅17=27.
又a4+a18=2a11,
则a11=17,
∴ 等差数列的前21项和为:
a1+a2+⋯+a20+a21
=10a4+a18+a11
=10×27+17=3.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
数学归纳法
【解析】
本题考查数学归纳法的定义,但是要注意题目要求,看准是从第几项开始.
【解答】
解:用数学归纳法证明不等式1+12+13+14+⋯+12n−1>n2n∈N+,n≥2,
第一步应代入n=2,则左边的表达式为1+12.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列性质求解即可.
【解答】
解:由等差数列性质可知:
S11T11=11a1+a11211b1+b112=a1+a11b1+b11
=2a62b6=3×6−24×6+3=1627.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性
不等式
分段函数的应用
【解析】
本题考查函数的单调性与数列的综合应用,首先按分段函数每一段都是递减的,然后整体也是递减的,进而求得答案.
【解答】
解:∵an+1∴数列an是单调递减的,
由指数函数的单调性知a∈0,1且1−2a<0,
则a∈12,1,
又由分段函数的单调性,得a>1−2a⋅4+2,
解之得a>23,则a∈23,1.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
数列与不等式的综合
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】
本题考查利用数列的递推关系求通项公式,然后运用函数的单调性求n的值.
【解答】
解:∵an+1an=2n,
∴a2a1=2,a3a2=22,⋯,anan−1=2n−1,
左右两边累乘得到,
ana1=2⋅22⋅23⋯2n−1=21+2+⋯+(n−1).
由于1+2+⋯+n−1=n(n−1)2,a1=1,
故an=2n(n−1)2.则an=2n(n−1)2>4n=22n.
又函数y=2x 在其定义域上单调递增,
∴n(n−1)2>2n,解得n>5,
∴ 使an>4n成立的最小正整数n为6.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
数列递推式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
本题考查数列求和的综合应用,首先利用已知求出an的通项公式,然后利用基本不等式求得最小值.
【解答】
解:设bn=2n−1an,bn的前n项和为Sn,
则Hn=Snn=2n,
∴Sn=n⋅2n,Sn−1=(n−1)2n−1,
两式相减得bn=Sn−Sn−1=(n+1)2n−1,
则an=n+1.
∴an+12+1an−1=n2+4n+5n=4+n+5n.
∵ n∈N+,
∴ 4+n+5n≥4+n⋅5n=4+5,
当且仅当n=5n时,等号成立.
由于n是正整数,
∴ n=2或3时原式取最小值,
又172<263,
∴ 最小值为172.
故选B.
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
导数的运算
简单复合函数的导数
【解析】
可利用求导公式逐一判断,A.用到幂函数求导法则,B.用到积函数求导,C.利用对数复合函数求导法则,D.商函数求导法则.
【解答】
解:(x)′=12x−12,故A正确;
(xcsx)′=csx−xsinx,故B错误;
ln1−x′=1x−1,故C错误;
x+1ex′=−xex,故D正确.
故选AD.
【答案】
A,D
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
相关系数
独立性检验的应用
【解析】
考点;考查回归曲线的性质
【解答】
解:A,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故A正确;
B,回归直线可以不经过样本点xi,yi,回归直线经过x,y,故B错误;
C,相关系数|r|越接近1,拟合效果越好,则模型1的拟合度更好,故C错误;
D,y=aebx两边取对数,得lny=lna+bx.
又z=lny=lna+bx=ln2+6x,则a=2,b=6,故D正确.
故选AD.
【答案】
A,B,D
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:由d<0,得a5>a11.
又∵ |a5|=|a11| ,
∴a5≠a11.
∴a5=−a11且a5>0,
∴a1+4d=−a1+10d,
则a1+7d=0,即a8=0,故A正确;
∵ a8=0,d<0,
∴S7,S8均为Sn的 最大值,故B正确;
S16=162a1+a16=8a8+a9=8a9<0,故C错误;
当d=−2 时, a1+7d=0,则 a1=14,
∴ T12=a1+a2+⋯+a8−a9−a10−a11−a12
=82(a1+a8)−(a9+a10+a11+a12)
=414+0+2+4+6+8
=56+20=76,故D正确.
故选ABD.
【答案】
A,B,C
【考点】
数列的求和
等比数列的性质
数列与函数的综合
等比数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:A,设gx=x+a1x+a2x+a3x+a4x+a5,
则 fx=xgx,
∴f′x=gx+xg′(x),
∵f′0=1,
∴f′0=g0=a1a2a3a4a5=1,
又∵an 为等比数列,
∴a1a2a3a4a5=a35=1,即a3=a1q2=1,
∵a1∈12,1且an>0 ,
则q>0,则q=1a1,
解得,1B,lnan+1−lnan=lnan+1an=lnq,
又q>1,则lnq>0,
∴lnan+1−lnan=lnq>0,
∴{lnan}为单调递增的等差数列,公差为lnq,故B正确;
C,∵ an>0,a1∈12,1,q∈1,2,a3=1,
∴当n>3时, an>1,故a6>1,
又T5=a1a2a3a4a5=1,
∴T6>1,故C正确;
D,Sn=a11−qn1−q=a11−q−a11−qqn.
∵a11−q≠0,
∴Sn不为等比数列,故D错误.
故选ABC.
三、填空题
【答案】
e+1
【考点】
导数的运算
【解析】
先求导,利用导数的概念可知,lim△→0f1+△x−f1△x=f′1,代入导函数中即可得到答案.
【解答】
解:∵ fx=x2+ex−lnx,
∴ f′x=2x+ex−1x,
∴ limΔ→0f1+Δx−f1Δx
=f′1=2+e−1=e+1.
故答案为:e+1.
【答案】
101
【考点】
归纳推理
数列递推式
【解析】
本题考查归纳推理的知识,就是运用题目给的条件,推理出想要的答案.
【解答】
解:由斐波那契数列的定义可得,a1=a2=1,an+2=an+1+an,
则1+a2=a1+a2=a3,a3+a4=a5,⋯,a99+a100=a101,
∴由归纳推理得到:1+a2+a4+⋯+a100=a101,
则1+a2+a4+a6+a8+⋯+a100的结果是斐波那契数列的第101项.
故答案为:101.
【答案】
174
【考点】
等差数列的前n项和
等比数列的通项公式
数列递推式
【解析】
利用递推关系得出其对应关系,即可求解.
【解答】
解: ∵a1=3,an+1+an=2n−1,
∴a2=−2.
又an+1+an=2n−1,①
则an+2+an+1=2n+1−1,②
②−①,得an+2−an=2,
∴a2n−1是3为首项,2为公差的等差数列,
则a2n 是−2为首项,2为公差的等差数列,
∴S19=a1+a2+⋯+a18+a19
=a1+a3+⋯+a19+a2+a4+⋯+a18
=12×3+21×10+12×−2+14×9
=120+54
=174.
故答案为: 174.
【答案】
4096,2n2+n−22
【考点】
等比数列的性质
等比数列的通项公式
【解析】
【解答】
解:设等比数列为{bn},则第5行第3个数为b13.
∵ bn=1×2n−1=2n−1,
∴b13=212=4096.
∵ a1=b1,a2=b3,a3=b6,⋯
∴ an=b(n+1)2⋅n=2n2(n+1)−1=2n2+n−22.
故答案为:4096;2n2+n−22.
四、解答题
【答案】
解:(1)选①.
因为{an}是等差数列,则设公差为dd≠0,
由Sn+1=Sn+an+2,
得Sn+1−Sn=an+1=an+2,
得d=an+1−an=2,
又因为a1,a2,a5成等比数列,
所以a22=a1⋅a5,即a1+22=a1a1+8,
得a1=1,则an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1.
选②.
因为{an}是等差数列,则设公差为dd≠0,
又因为a1,a2,a5成等比数列,S4=16,
所以(a1+d)2=a1⋅(a1+4d),4a1+6d=16,
解得a1=1,d=2,或a1=4,d=0.(舍)
所以an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1.
选③.
因为{an}是等差数列,则设公差为dd≠0,
由a5=9,a1,a2,a5成等比数列,
所以a1+4d=9,(a1+d)2=a1⋅(a1+4d),
得a1=1,d=2,或a1=9,d=0,(舍)
所以an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1.
(2)由(1)得,bn=2an=22n−1,
所以Tn=21+23+25+⋯+22n−1+1+3+5+⋯+2n−1
=2(1−4n)1−4+n2=23(4n−1)+n2.
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
等比数列的性质
等比数列的前n项和
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)选①.
因为{an}是等差数列,则设公差为dd≠0,
由Sn+1=Sn+an+2,
得Sn+1−Sn=an+1=an+2,
得d=an+1−an=2,
又因为a1,a2,a5成等比数列,
所以a22=a1⋅a5,即a1+22=a1a1+8,
得a1=1,则an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1.
选②.
因为{an}是等差数列,则设公差为dd≠0,
又因为a1,a2,a5成等比数列,S4=16,
所以(a1+d)2=a1⋅(a1+4d),4a1+6d=16,
解得a1=1,d=2,或a1=4,d=0.(舍)
所以an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1.
选③.
因为{an}是等差数列,则设公差为dd≠0,
由a5=9,a1,a2,a5成等比数列,
所以a1+4d=9,(a1+d)2=a1⋅(a1+4d),
得a1=1,d=2,或a1=9,d=0,(舍)
所以an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1.
(2)由(1)得,bn=2an=22n−1,
所以Tn=21+23+25+⋯+22n−1+1+3+5+⋯+2n−1
=2(1−4n)1−4+n2=23(4n−1)+n2.
【答案】
解:(1)x=14(6+8+10+12)=9,
y=14(14+11+8+7)=10,
i=14xi−x2=20,
∴ b=i=14xi−xyi−yi=14xi−x2=−2420=−1.2,
a=y−bx=20.8,
∴ y=−1.2x+20.8.
(2)令y=4,得4=−1.2x+20.8,
∴ x=14,
∴ 预测当该图书每天的销量为4本时,该图书的定价约为14元.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
【解答】
解:(1)x=14(6+8+10+12)=9,
y=14(14+11+8+7)=10,
i=14xi−x2=20,
∴ b=i=14xi−xyi−yi=14xi−x2=−2420=−1.2,
a=y−bx=20.8,
∴ y=−1.2x+20.8.
(2)令y=4,得4=−1.2x+20.8,
∴ x=14,
∴ 预测当该图书每天的销量为4本时,该图书的定价约为14元.
【答案】
解:(1)由题意得,f′x=2x−ax,
因为与直线2x+7y+1=0垂直,
所以在x=2处的切线斜率为72,
所以f′2=2×2−a2=72,
解得a=1,
所以fx=x2−lnx.
(2)由(1)得f′x=2x−1x,f′1=1,
所以k1=1,且过1,1点,
所以直线l:y=x.
y=−x+1与y轴交点B0,1,
y=x与y=−x+1交点A12,12,
如图,
所以S=12×1×12=14.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)由题意得,f′x=2x−ax,
因为与直线2x+7y+1=0垂直,
所以在x=2处的切线斜率为72,
所以f′2=2×2−a2=72,
解得a=1,
所以fx=x2−lnx.
(2)由(1)得f′x=2x−1x,f′1=1,
所以k1=1,且过1,1点,
所以直线l:y=x.
y=−x+1与y轴交点B0,1,
y=x与y=−x+1交点A12,12,
如图,
所以S=12×1×12=14.
【答案】
解:(1)设等差数列an的公差为d,且d>0,
因为a4−1是a2与a6+1的等比中项,
所以a4−12=a2a6+1,
a1+3d−12=a1+da1+5d+1,
把a1=1代入,化为4d2−7d−2=0,
解得d=2或d=−14(舍),
所以an=1+2n−1=2n−1,
所以an=2n−1 .
(2)b1=a1=1,
当n≥2时,bn=Sn−Sn−1=bn+1−1−bn−1,
化为bn+1=2bn,即bn+1bn=2,
当n=1时,b2=S1+1=2,b2b1=2 ,
所以bn是首项为1,公比为2的等比数列,
所以bn=2n−1,
所以an⋅bn=2n−1⋅2n−1,
Tn=1×20+3×21+5×22+⋯+2n−3⋅2n−2+2n−1⋅2n−1,①
2Tn=1×21+3×22+5×23+⋯+2n−3⋅2n−1+2n−1⋅2n,②
①−②得,−Tn=1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−2n−1⋅2n
=1+41−2n−11−2−2n−1⋅2n
=1+2n+1−4−2n−1⋅2n
=−3+3−2n⋅2n,
所以Tn=2n−3⋅2n+3.
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)设等差数列an的公差为d,且d>0,
因为a4−1是a2与a6+1的等比中项,
所以a4−12=a2a6+1,
a1+3d−12=a1+da1+5d+1,
把a1=1代入,化为4d2−7d−2=0,
解得d=2或d=−14(舍),
所以an=1+2n−1=2n−1,
所以an=2n−1.
(2)b1=a1=1,
当n≥2时,bn=Sn−Sn−1=bn+1−1−bn−1,
化为bn+1=2bn,即bn+1bn=2,
当n=1时,b2=S1+1=2,b2b1=2 ,
所以bn是首项为1,公比为2的等比数列,
所以bn=2n−1,
所以an⋅bn=2n−1⋅2n−1,
Tn=1×20+3×21+5×22+⋯+2n−3⋅2n−2+2n−1⋅2n−1,①
2Tn=1×21+3×22+5×23+⋯+2n−3⋅2n−1+2n−1⋅2n,②
①−②得,−Tn=1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−2n−1⋅2n
=1+41−2n−11−2−2n−1⋅2n
=1+2n+1−4−2n−1⋅2n
=−3+3−2n⋅2n,
所以Tn=2n−3⋅2n+3.
【答案】
解:(1)2×2列联表如表:
K2=300(200×20−40×40)2240×60×240×60≈8.333,
因为8.333>6.635,
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为农民外出务工与年龄有关.
(2)既是“外出务工人员”又是“年轻人”的人数有200人 ,
占总人数的频率为23,
所以X∼B4,23,
P(X=0)=C40230134=181,
P(X=1)=C41231133=881,
P(X=2)=C42232132=827,
P(X=3)=C43233134=3281,
P(X=4)=C44234130=1681,
所以X的分布列为
则E(X)=4×23=83.
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解:(1)2×2列联表如表:
K2=300(200×20−40×40)2240×60×240×60≈8.333,
因为8.333>6.635,
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为农民外出务工与年龄有关.
(2)既是“外出务工人员”又是“年轻人”的人数有200人 ,
占总人数的频率为23,
所以X∼B4,23,
P(X=0)=C40230134=181,
P(X=1)=C41231133=881,
P(X=2)=C42232132=827,
P(X=3)=C43233134=3281,
P(X=4)=C44234130=1681,
所以X的分布列为
则E(X)=4×23=83.
【答案】
(1)证明:因为3an+1−2an+1an−an=0,an≠0,
所以3an+1−an=2an+1⋅an,
所以3an+1−anan+1⋅an=2,则3an−1an+1=2,
所以3an=1an+1+2,
所以31an−1=1an+1−1.
又因为1a1−1=3≠0,
所以1an−1≠0,即1an+1−11an−1=3,
所以1an−1是以3为首项 , 以3为公比的等比数列,
所以1an−1=3⋅3n−1=3n,
所以an=13n+1.
(2)解:(i)因为bn=an+1⋅(1−an)=13n+1+1⋅1−13n+1
=3n(3n+1+1)⋅(3n+1)=1213n+1−13n+1+1,
所以Sn=12[14−110+110−128+⋯+13n+1−13n+1+1]
=1214−13n+1+1.
(ii)因为对n∈N+ , 1214−13n+1+1≥λ3n+1,
所以λ≤3n+18−3n+12(3n+1+1)对n∈N+恒成立,
设f(n)=3n+18−3n+12(3n+1+1),n∈N+,
因为f(n+1)−f(n)=3n+28−3n+22(3n+2+1)−3n+18+3n+12(3n+1+1)
=3n+114−1(3n+1+1)(3n+2+1)=3n+1⋅(32n+3+3n+2+3n+1−3)4(3n+1+1)(3n+2+1),
因为对∀n∈N+,有32n+3+3n+2+3n+1−3>0 ,
所以f(n+1)>f(n) ,
所以当n=1时 , f(n)min=f(1)=2740,
所以λ≤2740.
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
数列与不等式的综合
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
(1)证明:因为3an+1−2an+1an−an=0,an≠0,
所以3an+1−an=2an+1⋅an,
所以3an+1−anan+1⋅an=2,则3an−1an+1=2,
所以3an=1an+1+2,
所以31an−1=1an+1−1.
又因为1a1−1=3≠0,
所以1an−1≠0,即1an+1−11an−1=3,
所以1an−1是以3为首项 , 以3为公比的等比数列,
所以1an−1=3⋅3n−1=3n,
所以an=13n+1.
(2)解:(i)因为bn=an+1⋅(1−an)=13n+1+1⋅1−13n+1
=3n(3n+1+1)⋅(3n+1)=1213n+1−13n+1+1,
所以Sn=12[14−110+110−128+⋯+13n+1−13n+1+1]
=1214−13n+1+1.
(ii)因为对n∈N+ , 1214−13n+1+1≥λ3n+1,
所以λ≤3n+18−3n+12(3n+1+1)对n∈N+恒成立,
设f(n)=3n+18−3n+12(3n+1+1),n∈N+,
因为f(n+1)−f(n)=3n+28−3n+22(3n+2+1)−3n+18+3n+12(3n+1+1)
=3n+114−1(3n+1+1)(3n+2+1)=3n+1⋅(32n+3+3n+2+3n+1−3)4(3n+1+1)(3n+2+1),
因为对∀n∈N+,有32n+3+3n+2+3n+1−3>0 ,
所以f(n+1)>f(n) ,
所以当n=1时 , f(n)min=f(1)=2740,
所以λ≤2740.定价x(元)
6
8
10
12
销售量y(本/天)
14
11
8
7
年轻人
非年轻人
合计
外出务工人数
200
在家留守人数
20
合计
300
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
年轻人
非年轻人
合计
外出务工人数
200
40
240
在家留守人数
40
20
60
合计
240
60
300
X
0
1
2
3
4
P
181
881
827
3281
1681
年轻人
非年轻人
合计
外出务工人数
200
40
240
在家留守人数
40
20
60
合计
240
60
300
X
0
1
2
3
4
P
181
881
827
3281
1681
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