2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第十章 §10.7　离散型随机变量及其分布列、数字特征

§10.7　离散型随机变量及其分布列、数字特征 考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征． 知识梳理 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 常用结论 均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量．(　√　) (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　) (4)方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　√　) 教材改编题 1．设随机变量X的分布列如下： 则p为(　　) A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,12) 答案　C 解析　由分布列的性质知， eq \f(1,12)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1， ∴p＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4). 2．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________． 答案　0 解析　因为P(X＝c)＝1， 所以E(X)＝c×1＝c， 所以D(X)＝(c－c)2×1＝0. 3．已知随机变量X的分布列如下： 若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________． 答案　eq \f(7,3) 解析　E(X)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)， 则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3). 题型一　分布列的性质 例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为 则q等于(　　) A．1 B.eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),2) C．1＋eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2) 答案　D 解析　由离散型随机变量分布列的性质得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1－q＋q－q2＝1，,0≤1－q≤\f(1,2)，,0≤q－q2≤\f(1,2)，)) 解得q＝eq \f(\r(2),2). (2)(多选)设随机变量ξ的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则(　　) A．a＝eq \f(1,15) B．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(4,5)))＝eq \f(1,5) C．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(1,2)))＝eq \f(2,15) D．P(ξ＝1)＝eq \f(3,10) 答案　AB 解析　对于选项A， ∵随机变量ξ的分布列为 Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)， ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(4,5)))＋P(ξ＝1) ＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1， 解得a＝eq \f(1,15)，故A正确； 对于B，易知 Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(4,5)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＝3×eq \f(1,15)＝eq \f(1,5)， 故B正确； 对于C，易知 Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(1,2)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5))) ＝eq \f(1,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(1,5)， 故C错误； 对于D，易知P(ξ＝1)＝5×eq \f(1,15)＝eq \f(1,3)，故D错误． 教师备选 1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为 则常数a的值为(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3)或eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)或－eq \f(2,3) 答案　A 解析　由分布列的性质可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤9a2－a≤1，,0≤3－8a≤1，,9a2－a＋3－8a＝1，))解得a＝eq \f(1,3). 2．离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)E(Y)， 所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核． 思维升华　随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 跟踪训练3　(2021·北京)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒． (1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数； ②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为eq \f(1,11)，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和均值E(X)； (2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的均值为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)． 解　(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的一组每个人进行检测，需要10次， 所以总检测次数为20. ②由题意，X可以取20,30， P(X＝20)＝eq \f(1,11)，P(X＝30)＝1－eq \f(1,11)＝eq \f(10,11)， 则X的分布列为 所以E(X)＝20×eq \f(1,11)＋30×eq \f(10,11)＝eq \f(320,11). (2)由题意，Y可以取25,30， 两名感染者在同一组的概率为P1＝eq \f(C\o\al(1,20)C\o\al(2,2)C\o\al(3,98),C\o\al(5,100))＝eq \f(4,99)，不在同一组的概率为P1＝eq \f(95,99)， 则E(Y)＝25×eq \f(4,99)＋30×eq \f(95,99)＝eq \f(2 950,99)>E(X)． 课时精练 1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．2 答案　B 解析　由于是逐次试验，可能最后一枚钥匙才能打开锁，即前5次都打不开锁，所以试验次数X的最大可能取值为5. 2．若随机变量X的分布列为 则X的均值E(X)等于(　　) A．2a＋b B．a＋2b C．2 D．3 答案　C 解析　E(X)＝1×a＋2×b＋3×a＝2(2a＋b)，由分布列的性质可知2a＋b＝1，所以E(X)＝2. 3．已知随机变量X的分布列是 则E(2X＋a)等于(　　) A.eq \f(5,3) B.eq \f(7,3) C.eq \f(7,2) D.eq \f(23,6) 答案　C 解析　由分布列的性质可得eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋a＝1， 解得a＝eq \f(1,6)， 所以E(X)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3)， 因此E(2X＋a)＝Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2X＋\f(1,6)))＝2E(X)＋eq \f(1,6)＝2×eq \f(5,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(7,2). 4．(2022·南平模拟)某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查： 更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析(　　) A．不更换设备 B．更换为A设备 C．更换为B设备 D．更换为A或B设备均可 答案　C 解析　设更换为A品牌设备使用年限为X， 则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3，更换为A品牌设备年均收益为3×100－60＝240(万元)； 设更换为B品牌设备使用年限为Y， 则E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7，更换为B品牌设备年均收益为3.7×100－90＝280(万元).280>240，所以更换为B品牌设备． 5．(多选)(2022·烟台模拟)中华人民共和国第十四届运动会于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有(　　) A．设事件A：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P(A)＝eq \f(6,7) B．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P(B|A)＝eq \f(2,17) C．用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝eq \f(12,7) D．用Y表示抽取的三人中男志愿者的人数，则D(Y)＝eq \f(24,49) 答案　ABD 解析　对于A，所有可能的情况有Ceq \o\al(3,7)＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,3)＝30(种)， 故P(A)＝eq \f(30,35)＝eq \f(6,7)，故A正确； 对于B，P(AB)＝eq \f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(4,35)， P(A)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4)C\o\al(1,3)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(34,35)， 所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(4,34)＝eq \f(2,17)， 故B正确； 对于C，X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(4,35)， P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(18,35)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(12,35)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq \f(1,35)， 所以E(X)＝0×eq \f(4,35)＋1×eq \f(18,35)＋2×eq \f(12,35)＋3×eq \f(1,35)＝eq \f(9,7)，故C错误； 对于D，Y的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(Y＝0)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq \f(1,35)， P(Y＝1)＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(12,35)， P(Y＝2)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(18,35)， P(Y＝3)＝eq \f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(4,35)， 则E(Y2)＝0×eq \f(1,35)＋1×eq \f(12,35)＋4×eq \f(18,35)＋9×eq \f(4,35)＝eq \f(24,7)， E(Y)＝0×eq \f(1,35)＋1×eq \f(12,35)＋2×eq \f(18,35)＋3×eq \f(4,35)＝eq \f(12,7)， 则D(Y)＝E(Y2)－(E(Y))2＝eq \f(24,7)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)))2＝eq \f(24,49)， 故D正确． 6．(多选)(2022·永州模拟)已知eq \f(1,4)eq \f(1,4)，A错误； 因为eq \f(1,4)