2023版步步高物理一轮复习讲义第四章 第3讲　圆周运动

第3讲　圆周运动 目标要求　1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法.3.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型． 考点一　圆周运动的运动学问题 1．描述圆周运动的物理量 2．匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动． (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动． (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 1．匀速圆周运动是匀变速曲线运动．(　×　) 2．物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的．(　×　) 3．物体做匀速圆周运动时，其合外力是变力．(　√　) 4．匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比．(　×　) 1．对公式v＝ωr的理解 当ω一定时，v与r成正比． 当v一定时，ω与r成反比． 2．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解 在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比． 3．常见的传动方式及特点 (1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB. (2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB. (3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比． 考向1　圆周运动物理量的分析和计算 例1　(多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图．已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点)(　　) A．线速度大小之比为5∶4 B．周期之比为5∶4 C．向心加速度大小之比为4∶5 D．受到的合力大小之比为15∶14 答案　AD 解析　学员和教练员一起做圆周运动的角速度相等，根据v＝rω，知半径之比为5∶4，则线速度大小之比为5∶4，A正确；学员和教练员做圆周运动的角速度相等，根据T＝eq \f(2π,ω)，知周期相等，B错误；学员和教练员做圆周运动的角速度相等，半径之比为5∶4，根据a＝rω2，则向心加速度大小之比为5∶4，C错误；所受合力提供做圆周运动所需向心力，根据F＝ma，向心加速度大小之比为5∶4，质量之比为6∶7，则所受合力大小之比为15∶14，D正确． 考向2　圆周传动问题 例2　如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　) A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4 答案　D 解析　A、B靠摩擦传动，则边缘上a、b两点的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，选项A错误；B、C同轴转动，则边缘上b、c两点的角速度相等，即ωb＝ωc，转速之比eq \f(nb,nc)＝eq \f(ωb,ωc)＝eq \f(1,1)，选项B、C错误；对a、b两点，由an＝eq \f(v2,r)得eq \f(aa,ab)＝eq \f(RB,RA)＝eq \f(3,2)，对b、c两点，由an＝ω2r得eq \f(ab,ac)＝eq \f(RB,RC)＝eq \f(3,2)，故aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，选项D正确． 考向3　圆周运动的多解问题 例3　如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则(　　) A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s D．圆盘转动的加速度可能是π2 m/s2 答案　A 解析　根据h＝eq \f(1,2)gt2可得t＝eq \r(\f(2h,g))＝2 s，则小球平抛的初速度v0＝eq \f(r,t)＝2.5 m/s，A正确，B错误；根据ωt＝2nπ(n＝1、2、3、…)，解得圆盘转动的角速度ω＝eq \f(2nπ,t)＝nπ rad/s(n＝1、2、3、…)，圆盘转动的加速度为a＝ω2r＝n2π2r＝5n2π2 m/s2(n＝1、2、3、…)，C、D错误． 考点二　圆周运动的动力学问题 1．匀速圆周运动的向心力 (1)作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． (2)大小 Fn＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv. (3)方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 2．离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动． (2)受力特点(如图) ①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动． ②当0mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动． (3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力． 3．匀速圆周运动与变速圆周运动合力、向心力的特点 (1)匀速圆周运动的合力：提供向心力． (2)变速圆周运动的合力(如图) ①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动． ②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向． 1．做匀速圆周运动的物体，当所受合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出．(　×　) 2．摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故．(　×　) 3．向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力．(　√　) 4．变速圆周运动的向心力不指向圆心．(　×　) 1．向心力来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．匀速圆周运动的向心力来源 3．变速圆周运动的向心力 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，半径方向的合力提供向心力，FT－mgcos θ＝meq \f(v2,R)，如图所示． 4．圆周运动动力学问题的分析思路 考向1　圆周运动的动力学问题 例4　如图所示，一个圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，角速度为ω，盘面上有一质量为m的物块随圆盘一起做匀速圆周运动，已知物块到转轴的距离为r，下列说法正确的是(　　) A．物块受重力、弹力、向心力作用，合力大小为mω2r B．物块受重力、弹力、摩擦力、向心力作用，合力大小为mω2r C．物块受重力、弹力、摩擦力作用，合力大小为mω2r D．物块只受重力、弹力作用，合力大小为零 答案　C 解析　对物块进行受力分析可知物块受重力、圆盘对它的支持力及摩擦力作用．物块所受的合力等于摩擦力，合力提供向心力．根据牛顿第二定律有F合＝Ff＝mω2r，选项A、B、D错误，C正确． 例5　如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则(　　) A．绳的张力可能为零 B．桶对物块的弹力不可能为零 C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变 D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大 答案　C 解析　当物块随圆桶做匀速圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的水平分力恰好提供向心力的时候，圆桶对物块的弹力恰好为零，故B错误． 例6　(2020·全国卷Ⅰ·16)如图，一同学表演荡秋千．已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计．当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　) A．200 N B．400 N C．600 N D．800 N 答案　B 解析　取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，设每根绳子中的平均拉力大小为F. 由牛顿第二定律知：2F－mg＝eq \f(mv2,r)， 取g＝9.8 m/s2，代入数据得F＝405 N，故每根绳子平均承受的拉力约为405 N， 选项B正确． 考向2　圆锥摆模型 例7　(2022·辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是(　　) A．小球A、B角速度相等 B．小球A、B线速度大小相同 C．小球C、D向心加速度大小相同 D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等 答案　B 解析　对题图甲A、B分析：设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,lcos θ))＝eq \r(\f(g,h))，所以小球A、B的角速度相等，线速度大小不相同，故A正确，B错误；对题图乙C、D分析：设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳长为L，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝ma，FTcos θ＝mg得a＝gtan θ，FT＝eq \f(mg,cos θ)，所以小球C、D向心加速度大小相同，小球C、D受到绳的拉力大小也相同，故C、D正确． 例8　如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则(　　) A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度 B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度 C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期 D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力 答案　B 解析　对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝meq \f(v2,R)＝mRω2，解得v＝eq \r(gRtan θ) ，ω＝eq \r(\f(gtan θ,R))，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN＝eq \f(mg,cos θ)，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误． 例9　如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力 B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ C．b小球受到的绳子拉力为eq \f(mg,cos θ) D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为eq \f(mg,sin θ) 答案　C 解析　小球a速度变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周运动，所受合外力充当向心力，故A错误；由几何关系可知，a、b两小球圆周运动的半径之比为eq \f(1,sin θ)，故B错误；根据矢量三角形可得Fbcos θ＝mg，即Fb＝eq \f(mg,cos θ)，故C正确；a小球到达最高点时速度为零，将重力正交分解有Fa＝mgcos θ，故D错误． 圆锥摆模型 1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝eq \r(gLtan θsin θ)，ω＝eq \r(\f(g,Lcos θ)). 2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq \f(mg,cos θ)和运动所需向心力也越大． 考向3　生活中的圆周运动 例10　列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度v＝eq \r(\f(gRh,d))时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度v<eq \r(\f(gRh,d))时，列车轮缘会挤压外轨 D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度 答案　B 解析　列车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，则meq \f(v2,R)＝mgtan α＝mgeq \f(h,d)，解得v＝eq \r(\f(gRh,d))，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v<eq \r(\f(gRh,d))时，转弯所需的合力F