江苏省扬州市广陵区竹西中学2021-2022学年中考联考数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（   ）

A．的长 B．的长 C．的长 D．的长

2．如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．按一定规律排列的一列数依次为：﹣，1，﹣，、﹣、…，按此规律，这列数中的第100个数是（　　）

A．﹣ B． C． D．

5．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则sin∠AFG的值为（  ）

A． B． C． D．

6．（2011贵州安顺，4，3分）我市某一周的最高气温统计如下表：

则这组数据的中位数与众数分别是（     ）

A．27，28 B．27.5，28 C．28，27 D．26.5，27

7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（  ）

A． B． C． D．

8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（    ）

A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对

9．7的相反数是(   )

A．7 B．－7 C． D．－

10．一、单选题

小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（1）计算△ABC的周长等于_____．

（2）点P、点Q（不与△ABC的顶点重合）分别为边AB、BC上的动点，4PB=5QC，连接AQ、PC．当AQ⊥PC时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AQ、PC，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

___________________________．

12．不等式＞4﹣x的解集为_____．

13．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为正方形．

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=12，若以点A为圆心， AC为半径的弧交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径的弧交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积为__（保留根号和π）

15．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照这样的规律，摆第n个图，需用火柴棒的根数为_______________．

16．某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20%，另一台亏本20%，则本次出售中商场是_____（请写出盈利或亏损）_____元．

17．如果将“概率”的英文单词 probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母b的概率是________．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．

（1）求证：∠G=∠CEF；

（2）求证：EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =，AH=3，求EM的值．

19．（5分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．

（1）求证：AH是⊙O的切线；

（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；

（3）若，求证：CD＝DH．

20．（8分）（1）计算： ；

（2）解不等式组 ：

21．（10分）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，求电线杆PQ的高度．（结果保留根号）.

22．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．

求：（1）求∠CDB的度数；

（2）当AD＝2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．

23．（12分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．

24．（14分）在平面直角坐标系中，关于的一次函数的图象经过点，且平行于直线．

（1）求该一次函数表达式；

（2）若点Q（x，y）是该一次函数图象上的点，且点Q在直线的下方，求x的取值范围．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.

【解答】用求根公式求得：

∵

∴

∴

AD的长就是方程的正根.

故选B.

【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.

2、C

【解析】
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．

【详解】

由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，

则，

过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|．

又∵M为矩形ABCO对角线的交点，

∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，

∵函数图象在第一象限，k＞0，

∴．

解得：k=1．

故选C．

【点睛】

本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

3、B

【解析】
先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算．

【详解】

∵数据1、2、3、x、5的平均数是3，

∴=3，

解得：x=4，

则数据为1、2、3、4、5，

∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2，

故选B．

【点睛】

本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．

4、C

【解析】
根据按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，…，可知符号规律为奇数项为负，偶数项为正；分母为3、7、9、……，型；分子为型，可得第100个数为．

【详解】

按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，…，按此规律，奇数项为负，偶数项为正，分母为3、7、9、……，型；分子为型，

可得第n个数为，

∴当时，这个数为，

故选：C．

【点睛】

本题属于规律题，准确找出题目的规律并将特殊规律转化为一般规律是解决本题的关键.

5、B

【解析】
如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．由题意可得：DE=1，∠HDE=60°，△BCD是等边三角形，即可求DH的长，HE的长，AE的长，
NE的长，EF的长，则可求sin∠AFG的值．

【详解】

解：如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．

∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=60°，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠DCB=60°，DC∥AB
∴∠HDE=∠DAB=60°，
∵点E是CD中点
∴DE=CD=1
在Rt△DEH中，DE=1，∠HDE=60°
∴DH=1，HE=
∴AH=AD+DH=5
在Rt△AHE中，AE==1
∴AN=NE=，AE⊥GF，AF=EF
∵CD=BC，∠DCB=60°
∴△BCD是等边三角形，且E是CD中点
∴BE⊥CD，
∵BC=4，EC=1
∴BE=1
∵CD∥AB
∴∠ABE=∠BEC=90°
在Rt△BEF中，EF1=BE1+BF1=11+（AB-EF）1．
∴EF=

由折叠性质可得∠AFG=∠EFG，
∴sin∠EFG= sin∠AFG = ，故选B.

【点睛】

本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度是本题的关键．

6、A

【解析】

根据表格可知：数据25出现1次，26出现1次，27出现2次，28出现3次，

∴众数是28，

这组数据从小到大排列为：25，26，27，27，28，28，28

∴中位数是27

∴这周最高气温的中位数与众数分别是27，28

故选A.

7、B

【解析】
由题意可知，

当时，；

当时，

；

当时，.∵时，；时，.∴结合函数解析式，

可知选项B正确.

【点睛】

考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．

8、B

【解析】
解方程得：x=5或x=1．

当x=1时，3+4=1，不能组成三角形；

当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．

∴该三角形的周长为3+4+5=12，

故选B．

9、B

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【详解】

7的相反数是−7，

故选：B.

【点睛】

此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义.

10、C

【解析】
解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，

可列方程得，

故选C．

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、12    连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH与格线交于点N，连接MN与AB交于P．   

【解析】
(1)利用勾股定理求出AB，从而得到△ABC的周长；

(2) 取格点D，E，F，G，H，连接DE与BC交于点Q；连接DF与BC交于点M；连接GH与格线交于点N；连接MN与AB交于点P；连接AP，CQ即为所求.

【详解】

解：(1)∵AC=3，BC=4，∠C=90º，

∴根据勾股定理得AB=5，

∴△ABC的周长=5+4+3=12.

(2)取格点D，E，F，G，H，连接DE与BC交于点Q；连接DF与BC交于点M；连接GH与格线交于点N；连接MN与AB交于点P；连接AQ，CP即为所求。

故答案为：(1)12；(2)连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH与格线交于点N，连接MN与AB交于P.

【点睛】

本题涉及的知识点有：勾股定理，三角形中位线定理，轴对称之线路最短问题.

12、x＞1．

【解析】
按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.

【详解】

解：去分母得：x﹣1＞8﹣2x，

移项合并得：3x＞12，

解得：x＞1，

故答案为：x＞1

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.

13、∠BAD=90° （不唯一）

【解析】
根据正方形的判定定理添加条件即可.

【详解】

解：∵平行四边形 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形，

当∠BAD=90°时，四边形ABCD为正方形.

故答案为：∠BAD=90°.

【点睛】

本题考查了正方形的判定：先判定平行四边形是菱形，判定这个菱形有一个角为直角.

14、15π−18.

【解析】
根据扇形的面积公式：S=分别计算出S扇形ACE，S扇形BCD，并且求出三角形ABC的面积，最后由S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC即可得到答案．

【详解】

S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC，

∵S扇形ACE==12π，

S扇形BCD==3π，

S△ABC=×6×6=18，

∴S阴影部分=12π+3π−18=15π−18.

故答案为15π−18.

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形的面积公式.

15、6n+1．

【解析】

寻找规律：不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，即：

第1个图形有8根火柴棒，

第1个图形有14＝6×1＋8根火柴棒，

第3个图形有10＝6×1＋8根火柴棒，

……，

第n个图形有6n+1根火柴棒．

16、亏损    1   

【解析】
设盈利20%的电子琴的成本为x元，设亏本20%的电子琴的成本为y元，再根据（1+利润率）×成本=售价列出方程，解方程计算出x、y的值，进而可得答案．

【详解】

设盈利20%的电子琴的成本为x元，
x（1+20%）=960，
解得x=10；
设亏本20%的电子琴的成本为y元，
y（1-20%）=960，
解得y=1200；
∴960×2-（10+1200）=-1，
∴亏损1元，
故答案是：亏损；1．

【点睛】

考查了一元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．

17、

【解析】

分析：让英文单词probability中字母b的个数除以字母的总个数即为所求的概率．

详解：∵英文单词probability中，一共有11个字母，其中字母b有2个，∴任取一张，那么取到字母b的概率为．

    故答案为．

点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；

（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；

（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得，由此即可解决问题；

试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G==，∵AH=，∴HC=，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣，HC=，∴，∴r=，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴，∴，∴EM=．

点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．

19、（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】
（1）连接OA，证明△DAB≌△DAE，得到AB＝AE，得到OA是△BDE的中位线，根据三角形中位线定理、切线的判定定理证明；

（2）利用正弦的定义计算；

（3）证明△CDF∽△AOF，根据相似三角形的性质得到CD＝CE，根据等腰三角形的性质证明．

【详解】

（1）证明：连接OA，

由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，

∵∠ADE＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠ADB，

∵BD是直径，

∴∠DAB＝∠DAE＝90°，

在△DAB和△DAE中，

，

∴△DAB≌△DAE，

∴AB＝AE，又∵OB＝OD，

∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，

∴OA⊥AH，

∴AH是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，

∴∠E＝∠ACD，

∴AE＝AC＝AB＝1．

在Rt△ABD中，AB＝1，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，

∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；

（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，

∴OA∥DE，OA＝DE．

∴△CDF∽△AOF，

∴＝，

∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，

∵AC＝AE，AH⊥CE，

∴CH＝HE＝CE，

∴CD＝CH，

∴CD＝DH．

【点睛】

本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键．

20、（1）；（2）．

【解析】
（1）根据幂的运算与实数的运算性质计算即可.

（2）先整理为最简形式，再解每一个不等式，最后求其解集.

【详解】

（1）解：原式=

=

（2）解不等式①，得 .

解不等式②，得 .

∴ 原不等式组的解集为

【点睛】

本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握和运用相关运算性质是解答关键.

21、（6+）米

【解析】
根据已知的边和角,设CQ=x，BC=QC=x，PC=BC=3x，根据PQ=BQ列出方程求解即可.

【详解】

解：延长PQ交地面与点C，

由题意可得：AB=6m，∠PCA=90°，∠PAC=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，设CQ=x，则在Rt△BQC中，BC=QC=x，∴在Rt△PBC中PC=BC=3x，∵在Rt△PAC中，∠PAC=45°，则PC=AC，∴，3x=6+x，解得x==3+，∴PQ=PC-CQ=3x-x=2x=6+，则电线杆PQ高为（6+）米．

【点睛】

此题重点考察学生对解直角三角形的理解，掌握解直角三角形的方法是解题的关键.

22、：(1) 30º；（2）．

【解析】

分析：

（1）由已知条件易得∠ABC=∠A=60°，结合BD平分∠ABC和CD∥AB即可求得∠CDB=30°；

（2）过点D作DH⊥AB于点H，则∠AHD=30°，由（1）可知∠BDA=∠DBC=30°，结合∠A=60°可得∠ADB=90°，∠ADH=30°，DC=BC=AD=2，由此可得AB=2AD=4，AH=，这样即可由梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积了.

详解：

 (1) ∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，

∴∠CBA=∠A=60º，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CDB=∠ABD=∠CBA=30º，

（2）在△ACD中，∵∠ADB=180º–∠A–∠ABD=90º．

∴BD=AD A=2tan60º=2.

过点D作DH⊥AB，垂足为H，

∴AH=ADA=2sin60º=.

∵∠CDB=∠CBD=∠CBD=30º，

∴DC=BC=AD=2

∵AB=2AD=4

∴．

点睛：本题是一道应用等腰梯形的性质求解的题，熟悉等腰梯形的性质和直角三角形中30°的角所对直角边是斜边的一半及等腰三角形的判定，是正确解答本题的关键.

23、（1）；（2）这个游戏不公平，理由见解析.

【解析】
（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．

【详解】

解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，

故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；

（2）这个游戏不公平．

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，

∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．

∴P（甲胜）≠P（乙胜），

故这个游戏不公平．

【点睛】

本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

24、（1）；（2）．

【解析】
（1）由题意可设该一次函数的解析式为：，将点M（4，7）代入所设解析式求出b的值即可得到一次函数的解析式；

（2）根据直线上的点Q（x，y）在直线的下方可得2x－1<3x+2，解不等式即得结果.

【详解】

解：（1）∵一次函数平行于直线，∴可设该一次函数的解析式为：，

∵直线过点M（4，7），

∴8+b=7，解得b=－1，

∴一次函数的解析式为：y=2x－1；

（2）∵点Q（x，y）是该一次函数图象上的点，∴y=2x－1，

又∵点Q在直线的下方，如图，

∴2x－1<3x+2，

解得x>－3.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与不等式的关系，属于常考题型，熟练掌握待定系数法与一次函数与不等式的关系是解题的关键.