2022年北京市西城区高考数学二模试卷（含答案解析）

2022年北京市西城区高考数学二模试卷

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点P满足，则该双曲线的离心率为

A.  B.  C. 2 D. 3

3. 已知为等差数列，首项，公差，若，则

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知直线与圆C：交于A，B两点，且，则k的值为

A.  B.  C.  D. 2

6. 已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知，记关于x的方程的所有实数根的乘积为，则

A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值

9. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图为某商铺A、B两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A商品卖出一件盈利20元，B商品卖出一件盈利10元．图中点、、的纵坐标分别表示A商品2022年前3个月的销售量，点、、的纵坐标分别表示B商品2022年前3个月的销售量．根据图中信息，下列四个结论中正确的是
    ①2月A、B两种商品的总销售量最多；
    ②3月A、B两种商品的总销售量最多；
    ③1月A、B两种商品的总利润最多；
    ④2月A、B两种商品的总利润最多．

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

11. 二项式的展开式中的系数为21，则______.
12. 已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为______.
13. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，则焦点到准线的距离为______；直线与抛物线分别交于P、Q两点点P在x轴上方，过点P作直线PQ的垂线交准线l于点H，则______.
14. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列．若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为______.
15. 已知四棱锥的高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：
    ①四棱锥可能为正四棱锥；
    ②空间中一定存在到P，A，B，C，D距离都相等的点；
    ③可能有平面平面ABCD；
    ④四棱锥的体积的取值范围是
    其中所有正确结论的序号是______.
16. 在中，
    求B的大小；
    若，证明：
    
    
    
    
    
    
     
17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布．义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．
    某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．
    从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
    从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；
    已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小．结论不需要证明
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点不与A，C重合，平面与棱交于点
    求证：；
    若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值．
    条件①：平面平面；
    条件②：；
    条件③：

19. 已知函数
    若，求a的值；
    当时，
    ①求证：有唯一的极值点；
    ②记的零点为，是否存在a使得？说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知椭圆的左顶点为，圆O：经过椭圆C的上、下顶点．
    求椭圆C的方程和焦距；
    已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点不在坐标轴上，且直线PQ与x轴平行，线段AP的垂直平分线与y轴交于点M，圆O在点Q处的切线与y轴交于点求线段MN长度的最小值．
    
    
    
    
    
    
     

已知数列A：，，⋯，，其中m是给定的正整数，且
令，，⋯，m，，
，，⋯，m，
这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值．
若数列A：2，0，2，1，，2，求，的值；
若数列A是首项为1，公比为q的等比数列，且，求q的值；
若数列A是公差的等差数列，数列B是数列A中所有项的一个排列，求的所有可能值用m表示







答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：因为，，
则
故选：
先求出集合B，然后结合集合的并集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：双曲线的焦点分别为，，，所以，
双曲线上一点P满足，所以，
所以双曲线的离心率
故选：
利用已知条件求解a，c，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质，离心率的求法，是基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：因为为等差数列，，公差，
所以，
，
则
故选：
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：因为函数为奇函数，且在上单调递增，
在上单调递减，不符合题意；
为非奇非偶函数，不符合题意；
在上不具有单调性，不符合题意；
为奇函数，当时，单调递增，符合题意．
故选：
结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：由圆C：，得，半径，
圆心C到直线l：的距离
又，所以，
解得：
故选：
直接利用弦长判定圆心在直线上，利用代入法求出结果．
本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用，属基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：因为是单位向量，向量满足，
设与夹角为，
所以，即，
又，，
，
故选：
根据平面向量数量积的公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：函数，，
，可得，
在上是增函数，
，且，，
，，
，
，
故“”是“在上是增函数”的既不充分也不必要条件，
故选：
直接根据三角函数的性质以及充要条件的判定即可得到结论．
本题考查了三角函数的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：由可得，
所以或，
即或，
解得或，
所以，
由指数函数的性质可知既无最大值，也无最小值．
故选：
解出的根即可得到的解析式，再根据的解析式确定其最值即可．
本题考查了函数的零点、对数的运算、指数的运算及指数函数的性质，属于基础题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：由题意得函数定义域为，
当时，
要使得定义域和值域的交集为空集，
则，
又时，，
若，则，此时显然不满足题意，
若，则在上单调递减，
故
所以，
解得
故选：
结合分段函数的性质先求出函数定义域，然后结合指数函数及二次函数的性质求解函数值域，即可求解．
本题主要考查了指数函数，二次函数及分段函数定义域及值域的求解，属于中档题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：对于①②，根据统计图可得，，的纵坐标之和显然最大，
故3月A，B两种商品的总销量最多，故②正确；
对于③④，因为A商品卖出一件盈利20元，B商品卖出一件盈利10元，
根据统计图表，用对应点的纵坐标表示销量，则易得，
，故③正确；
故选：
对选项根据统计图表进行逐项分析，即可解出．
本题考查了统计图表的相关知识，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】7
 

【解析】解：展开式中含的项为，
则，解得，
故答案为：
求出展开式中含的项，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则，
则
故答案为：
根据复数的几何意义可得，再根据复数的运算和复数的模即可求出．
本题考查了复数的几何意义和复数的运算和复数的模，属于基础题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：抛物线的焦点，准线l为，
所以焦点到准线的距离为2，
如图，作交准线l于点P，

因为直线过焦点F，
则，
因为，所以轴，
又直线的倾斜角为，
所以，所以，
则
故答案为：
求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作交准线 l于点，易得直线过焦点，则 从而可得出答案．
本题考查了抛物线性质的应用，属于中档题．
 

14.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：易得数列逐项递减，逐项递增，
故可考虑，
此时只需即可，
即，解得，
故符合题意的的一个取值为答案不唯一，
故答案为：答案不唯一
易得数列逐项递减，可先确定集合中的3项再列式求的范围即可．
本题考查了等差数列与等比数列的综合，属于中档题．
 

15.【答案】①②④
 

【解析】解：根据题意，设，则，又因为和均是边长为的等边三角形，易得，且，

对①，当时，底面为正方形，且O为底面中心，此时四棱锥可能为正四棱锥，故①正确；
对②，，故一定存在到P，A，B，C，D距离都相等的点O，故②正确；
对③，当平面平面ABCD时，因为，故平面PAD，此时，又因为，此时B，C重合，不满足题意，③错误；
对④，设，则
，
因为，故所以故④正确；
故答案为：①②④．
对①，分析当四棱锥为正四棱锥时是否满足条件即可；对②，设四棱锥的高为PO，分析可得点O满足；对③，假设平面平面ABCD，再推导得出矛盾即可判断；对④，设，得出四棱锥的体积表达式再求解即可．
本题主要考查面面垂直的判定，锥体体积的计算，锥体的结构特征，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

16.【答案】解：因为在中，，
所以，可得，
因为，可得，
所以，
所以；
证明：因为，可得，
所以由余弦定理可得，①，
因为，
所以，②，
联立①②，可得，整理可得，
所以，得证．
 

【解析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简已知等式可得，可求范围，进而可求B的值．
由题意利用余弦定理可得，由已知可得，联立即可证明
本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：样本中男生的人数为人，
样本中女生的人数为人，
设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A，
则该学生选考乒乓球的概率；
设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B，
从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C，
由题意，，
则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，
估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为；
，
，
所以
 

【解析】分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；
根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；
根据平均数公式分别求出，，即可得解．
本题考查了古典概型概率的计算，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在三棱柱中，，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，
所以；
解：选条件①②．
连接，取AC中点O，连接，
在坌形中，，
所以为等边三角形．
又因为O为AC中点，所以，
又因为平面平面，
平面平面，
平面，且，
所以平面ABC，平面ABC，
所以
又因为，所以
以O为原点，以OB、OC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，
所以
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，，故，
又因为，
设直线AB与平面所成角为，
所以，
所以直线AB与平面所成角的正弦值为，
选条件②③．
连接，取AC中点O，连接，
在菱形中，，
所以为等边三角形，
又O为AC中点，故，且，
又因为，
所以，
所以，
又因为，所以平面ABC；
以下同选①②．
选条件①③，
取AC中点O，连接BO，，
在中，因为，所以，且，，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
在中，，
又因为，，
所以，
所以
以下同选①②．
 

【解析】由棱柱的性质可得，即可得到平面，再根据线面平行的性质证明即可；
选条件①②，连接，取AC中点O，连接，BO，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面ABC，即可得到，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
选条件②③，连接，取AC中点O，连接，BO，依题意可得，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面ABC，接下来同①②；
选条件①③，取AC中点O，连接BO，，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到接下来同①②．
本题考查了空间中的平行关系以及直线与平面所成的角的求解，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，所以，
因为，所以
①的定义域是，
，
令，则
设，因为在上单调递减，
所以在上单调递减．
因为，，所以在上有唯一的零点，
所以有有唯一解，不妨设为
与的情况如下，

所以有唯一的极值点
由题意，，则，
若存在a，使，则，所以，
因为在单调递减，，
则需，即，与已知矛盾．
所以，不存在，使得
 

【解析】求得导函数，由，代入计算即可．
①求得，设，由函数性质可知在上单调递减进而由，，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点
②由题意，可得，假设存在a，使，进而可知，由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误．
本题考查利用导数求函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意知，，，
，
椭圆C的方程为，焦距为

由直线PQ与x轴平行，可设，，则，，
根据椭圆与圆的对称性，不妨取，
，，
直线AP的斜率为，线段AP的中点为，
线段AP的垂直平分线为，
令，则，
圆O在点Q处的切线方程为，
令，则，
线段MN长度为，
当且仅当，即时，等号成立，
故线段MN长度的最小值为
 

【解析】由题意知，，，从而求得，即可得椭圆的方程与焦距；
设，，取，写出线段AP的垂直平分线方程，从而知，由圆的切线方程可得，再结合基本不等式求出的最小值，即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握圆的切线方程，中垂线方程，利用基本不等式解决最值问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题设，，，，
则，，，，
则，
所以，；
若数列A任意两项均不相等，
当，…，m时，；
当i，…，且时，，
又，，
此时；
综上，…，…，，故，不合要求；
要使，即存在且i，…，使，即，
又，则，
当，则，，不合要求；
当，则，满足题设；
综上，；
由题设，数列A单调递增且……，
由知：，
根据题设定义，存在且i，…，，，，
则，
由比数列A中个项大，，同理，
所以；
又至少比数列A中一项小，，同理，
所以；
综上，…，
令数列B：，，…，，下证，1，2，…，各值均可取到，
i、当，，，2，…，m，而数列A递增，
，，且，…，m，
此时，…，…，，…，…，，
则；
ii、当，2，…，时，，，，，则，，，，
当，…，m且，m时，令，，则，，
所以…，…，，，
…，…，，，，…，，
此时…，；
iii、给定…，，
令，…，且，…，，
则…，，…，，
又数列A递增，…，，
所以…，，
此时且…，，
故…，，
综上，…，
 

【解析】根据函数定义写出，即可；
讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设，定义判断…，…，，当存在相等项，由等比数列通项公式求q，进而确定q的值；
利用数列A的单调性结合的结论求的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证对应所有可能值均可取到，即可得结果．
本题考查了等差数列的单调性，等比数列通项公式基本量的计算以及数列的新定义，难度系数比较大．