精练14 直线与圆-备战2022年新高考数学选填题分层精练

精练14 直线与圆

基础练

1．已知直线与直线平行，则m的值为（    ）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1

【答案】B

【分析】

根据两直线平行可得，解之即可求出结果.

【详解】

由题意可得，解得，

故选：B.

2．1765年，数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”．已知的顶点，则的欧拉线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由，可得的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可求出的欧拉线方程．

【详解】

解：因为，所以，，即，所以为等腰三角形，所以的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，因为的中点的坐标为，线段所在直线的斜率，

线段垂直平分线的方程为，即，

的欧拉线方程为．

故选：A．

3．己知圆，直线，直线l被圆O截得的弦长最短为（    ）

A． B． C．8 D．9

【答案】B

【分析】

先求得直线过定点，再根据当点与圆心连线垂直于直线l时，被圆O截得的弦长最短求解.

【详解】

因为直线方程，即为，

所以直线过定点，

因为点在圆的内部，

当点与圆心连线垂直于直线l时，被圆O截得的弦长最短，

点与圆心（0，0）的距离为，

此时，最短弦长为，

故选：B

4．已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】

先确定点是在以O为圆心，1为半径的圆上，根据当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，可知点应在以的中点为圆心，2为半径的圆外，由此可列出关于参数的不等式，即可求得答案.

【详解】

连接,则 ,

所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上，

设的中点为，则 ，且 ,

因为当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，

所以以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相离，

故 ，解得 或 ，

即 ，

故选:A.

5．已知点，关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过，两点，且与直线相切．若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设点的坐标为，根据以为圆心的圆过，两点，得到，再由与直线相切，得到，联立得到，然后结合抛物线的定义求解.

【详解】

解：线段为的一条弦，是弦的中点，

圆心在线段的中垂线上，

设点的坐标为，则，

与直线相切，，

，

整理得，

的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

，

当为定值时，则点与点重合，即的坐标为，

存在定点使得当运动时，为定值．

故选：D．

6．设圆：与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆О的切线为，对于切线上的点B和圆О上的点C，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则点B的坐标为

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】

对A：在直角三角形中即可求解；对B：当与圆О相切时，最大；当B、O、C三点共线时，最小，分两种情况讨论即可；对C、D：当与圆О相切时，最大，即最大，此时，分析点B在点和之间变动即可求解.

【详解】

解：对A：若，在直角三角形中，由可得，所以点B的坐标为或，故选项A错误；

对B：当与圆О相切时，最大，此时在直角三角形中，因为，所以易得；当B、O、C三点共线时，最小，此时.综上，，故选项B正确；

对C、D：当与圆О相切时，最大，即最大，此时，当时，，.当点B在点和之间变动时，，，所以若，即，则.故选项C错误，选项D正确.

故选项：BD.

7．设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（    ）

A．P可能为中点 B．的最小值为3

C．若，则的方程为 D．的面积最大值为

【答案】AD

【分析】

判断点P在圆的内部，当直线时，P为中点，且此时最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D.

【详解】

圆，圆心，半径

对于A，，即点P在圆的内部，当直线时，P为中点，故A正确；

对于B，当直线时，最小，，，

则直线的方程为，圆心到直线的距离，，故B错误；

对于C，当直线斜率不存在时，即，此时，符合；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，

则圆心到直线的距离，解得，即，所以满足题意的直线为或，故C错误；

对于D，，

当且仅当，即时等号成立，所以的面积最大值为，故D正确.

故选：AD

8．圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（    ）

A．点P的轨迹方程为 B．以PM为直径的圆过定点

C．的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则

【答案】ABD

【分析】

由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果.

【详解】

圆M：配方得： ，

圆M关于直线对称，

直线过圆心.

,即

点P的轨迹方程为，A正确.

由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确.

的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误.

由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确.

故选：ABD

9．已知圆：，直线：，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“____________”．

【答案】3

【分析】

先分析圆C上恰有3个点到直线l的距离都是1，再利用充分条件的定义即可求解.

【详解】

若圆C与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1，

故圆C与直线相交，即圆心C到直线的距离，

要使圆C上恰有3个点到直线l的距离是1，需，即

圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1，则

根据充分条件的定义知使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“”

故答案为：3

10．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为___________.

【答案】

【分析】

先设点，发现P、A、O、B四点共圆，求出P、A、O、B四点确定的圆的方程，联立后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标

【详解】

设点，则

∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B，

∴，

∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径

所以圆心坐标为，半径长为

∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为：

化为一般方程为：

即

与联立，求得AB所在直线方程为：①

其中，代入①中，得：

所以 解得：

直线AB恒过定点的坐标为

故答案为：

提升题

1．设，其中.则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C． D．

【答案】B

【分析】

将问题转化为动点到点距离之和最小求解.

【详解】

解：设，

则表示：，

又直线AB与y轴相交于点，

所以，

所以，当点P为时，等号成立，

故的最小值为9，

故选：B

2．已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

把方程有两个解转化为两个函数有两个不同交点，结合图象可求.

【详解】

设，则的图象是恒过点的直线，是圆心为，半径为2的圆的上半部分；如图，

过点时，它们有两个交点，此时

当的图象与上半部分圆相切时，它们只有一个公共点，此时；

由图可知，方程有两个不同的解时，；

故选：C

3．对于圆上任意一点，的值与，无关，则当时，的最大值是（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】

根据点到直线的距离公式可得到表示点到直线和直线的距离和的倍，从而可得出当时，的最大值是两平行线间距离的一半.

【详解】

因为，

所以表示点到直线和直线的距离和的倍.

所以要使的值与，无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，

又因为，

所以两平行线和之间的距离为，

所以的最大值是.

故选：C.

4．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则：

①．圆M上的点到原点的最大距离为

②．圆M上存在三个点到直线的距离为

③．若点在圆M上，则的最小值是

④．若圆M与圆有公共点，则

上述结论中正确的有（    ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】

由题意求出的垂直平分线可得△的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围判断D．

【详解】

由题意，△的欧拉线即的垂直平分线，

，，

的中点坐标为，，则的垂直平分线方程为，即．

由“欧拉线”与圆相切，

到直线的距离，

，则圆的方程为：，

圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故①错误；

圆心到直线的距离为，

圆上存在三个点到直线的距离为，故②正确；

的几何意义：圆上的点与定点连线的斜率，

设过与圆相切的直线方程为，即，

由，解得，

的最小值是，故③错误；

的圆心坐标，半径为，

圆的的圆心坐标为，半径为，

要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，，

，解得，故④错误．

故选：A．

5．我校校徽代表三种德性：一是虚心，代表学习；二是不断，代表工作；三是精诚团结，代表最后胜利.如图，这三个圆可看作半径为，且过彼此圆心的圆，圆心分别是、、（都在坐标轴上），是圆与圆位于左下方的公切线，是圆与圆位于右下方的公切线，点在圆上运动，、分别在与上，且，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

求出直线、的方程，设点，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性可求得的取值范围.

【详解】

连接、，设直线分别切圆、圆于点、，连接、，

由题意可知，是边长为的等边三角形，

由于三个圆心、、都在坐标轴上，则为线段的中点，

所以，、、，故圆的方程为，

由圆的几何性质可知，且，故四边形为矩形，

所以，，同理可证，所以，直线的斜率为，

设直线的方程为，由图可知，

因为直线与圆相切，则，因为，解得，

所以，直线的方程为，即，

同理可求得直线的方程为，

设点，则

，

，

所以，

.

故选：A.

6．已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（    ）

A．直线与圆恒有两个公共点

B．当时，直线与圆相切

C．存在一个值，使直线经过圆心

D．若直线与圆相交的弦长为，则

【答案】BC

【分析】

根据直线方程求出直线过定点，而定点在圆：上，从而可判断直线与圆的位置关系，即可判断A选项；当时，设圆心到直线：的距离为，利用点到直线的距离公式求出，并与比较，即可得出直线与圆的位置关系，即可判断B选项；将圆心代入直线的方程求出的值，即可判断C选项；由直线与圆相交的弦长为，根据直线与圆的弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出，进而可求出的值，即可判断D选项.

【详解】

解：由于直线：，即，

令，解得：，则直线过定点，

而定点在圆：上，

所以直线与圆有1个或2个公共点，故A错误；

当时，直线：，

而圆：，即，可知圆心，半径，

设圆心到直线的距离为，则，

所以直线与圆相切，故B正确；

若直线：经过圆心，

则，解得：，

所以存在一个值，使直线经过圆心，故C正确；

若直线与圆相交的弦长为，

设圆心到直线：的距离为，

则，即，解得：，

而，

解得：或，故D错误.

故选：BC.

7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若､为平面上相异的两点，则所有满足：，且的点的轨迹是圆"，后来人们称这个四为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，若，则下列关于动点的结论正确的是(    )

A．点的轨迹方程为

B．面积的最大值为6

C．在轴上必存在异于的两定点，使得

D．若点，则的最小值为

【答案】ACD

【分析】

设出点的坐标，根据即可求出点的轨迹方程，即可判断选项A是否正确；根据点的位置关系和圆的性质，即可求出面积的最大值，进而判断选项B是否正确；设，根据可求出点的轨迹方程，在与方程进行对比，根据系数关系，列出方程组，即可求出值，进而判断选项C是否正确；由题意可知，所以，当三点共线时，取最小值，最小值为，由此即可判断选项D是否正确.

【详解】

对于选项A，设，因为满足，所以，化简得，故A正确；

对于选项B，由选项A可知，点的轨迹方程为，即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

又，且点在直径上，

故当点到圆的直径距离最大的时候，的面积最大值，

因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即的高的最大值为，

所以面积的最大值为，故B错误；

对于选项C，假设在轴上存在异于的两定点，使得，

设，

故，即，

化简可得，

又点的轨迹方程为，可得，

解得或（舍去），

故存在异于的两定点，使得，故C正确;

对于选项D，因为，所以，所以，

又点在圆上，

如图所示，

所以当三点共线时取最小值，此时，故D正确.

故选:ACD.

8．已知直线过点且与圆：相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，过点的直线平行于直线，则（    ）

A．面积的最大值为20

B．的最大值为

C．，，，四点共圆的充要条件是

D．当直线与直线的距离为时，圆上恰有3个点到直线的距离为

【答案】BCD

【分析】

判断出点在圆上，求出，，利用点斜式求出直线的方程得到点坐标和，

当点、、在同一条直径上且所在的直径与直线垂直时面积的最大，

求出面积的最大值可判断A；

当与圆相切时锐角最大，即最大，此时，

由正切的二倍角公式求出可判断B；

先判断充分性，，得出四点共圆，再判断必要性，当，，，四点共圆时，由B选项和得出答案，可判断C；

设直线的方程为，求出，利用点到直线距离公式可判断D.

【详解】

因为，所以点在圆上，

因为，所以，

所以，所以直线，

令得，所以，，

所以当点、、在同一条直径上且所在的直径与直线垂直时面积的最大，

，所以面积的最大值为，故A错误；

当与圆相切时锐角最大，即最大，

此时，，

因为，所以，故B正确；

由B选项知，，

且，，

所以，

在，，当时，

，所以，

因为是切线，，也是圆的切线，

即，所以，，，四点共圆，

当，，，四点共圆时，，

由B选项知，

所以，，，，四点共圆的充要条件是，

所以C正确；

设直线的方程为，因为直线与直线的距离为，

所以，解得或（舍去），

直线的方程为，因为圆心到直线的距离为，

此时，过圆心且与直线平行的直径的两个端点和与直线垂直相交的半径的端点到直线的距离都为，圆上恰有3个点到直线的距离为，故D正确.

故选：BCD.

9．已知平面上两个点集，，若，则实数的取值范围为___________..

【答案】

【分析】

根据抛物线的定义可知集合是以原点为焦点，以直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，集合是以为中心的正方形内部的点，数形结合先求出时实数的取值范围，再求其补集即可求解.

【详解】

由可得，

点到直线的距离大于等于点到点的距离，

所以点的轨迹是以原点为焦点，以直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的部分，即集合是以原点为焦点，以直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，

由可得：或或或，

作出其表示的平面区域如图所示：

将该图象向上平移一个单位可得的图象如图：

将其向左或右平移个单位可得的表示的平面区域，

作出对应的抛物线如图：

将代入得，解得：，

所以时，，

将代入得，解得：，

当时，，

综上所述：当，即时，，

故答案为：.

10．已知实数满足，，，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】

设，为坐标原点，则，由题意两点在圆上，且三角形为等边三角形，，由的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，根据，且即可得答案.

【详解】

解：设，为坐标原点，则，

由，

可得两点在圆上，且，则，

所以三角形为等边三角形，，

的几何意义为两点到直线的距离与之和，

记线段的中点分别是，到直线的距离为，

则有，且，

所以，

所以的最大值为，

故答案为：.