2022年四川省宜宾市江安县中考数学一诊试卷（含解析）

2022年四川省宜宾市江安县中考数学一诊试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入元记作元，支出元记作

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

2. 年宜宾市累计完成公路项目投资亿元，数据亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.
 

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 不等式组的解集是

A.  B.  C.  D.

6. 一副三角板如图摆放，则的值

A.
B.
C.
D.

7. 如图，，，，，则线段的长

A.
B.
C.
D.

8. “强国有我”下面是张老师在某一周内强国学习得分情况，绘制成条形统计图．则张老师在这一周内得分的众数为

A.  B.  C.  D.

9. 某公司今年月的营业额为万元，按计划第二季度的总营业额要达到万元，设该公司，两月的营业额的月平均增长率为根据题意列方程，则下列方程正确的是   

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知的直径垂直于弦，垂足为点，，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为

A.  B.  C.  D.

12. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：，，，，正确的有
     

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共6小题，共24分）

13. 因式分解：______．
14. 若、是一元二次方程的两根，则的值是______．
15. 在一个不透明的袋子里装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为，则袋子内共有乒乓球的个数为______．
16. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从月日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买盒肉粽和盒白粽需元，打折后购买盒肉粽和盒白粽需元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各盒，则他月日购买的花费比在打折前购买节省______元．
17. 圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______度．
18. 如图，，点，，，，在轴上，点，，，，在正比例函数的图象上，若，，，，都是等边三角形，且为正整数，则点的坐标______．

三．解答题（本题共7小题，共78分）

19. 计算：；
    化简求值：，其中．
20. 如图，，，．
    求证：；
    若，求的度数．

21. 某校举行“知党史，感党恩，童心向党”系列活动．现决定组建四个活动小组，包括党在我心中演讲，党史知识竞赛，讲党史故事，大合唱该校随机抽取了本校部学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“”的圆心角为，请结合图中的信息解答下列问题：
    
    本次共调查______名学生，扇形统计图中“”的圆心角为______；
    请将条形统计图补充完整；
    若学校主办者在、、、四个活动小组中抽出个小组对外展评，请用树状图或列表法求出恰好抽中、两个小组的概率．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，以为边，在直线的左侧作菱形，边轴于点若点坐标为，，．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    求点的坐标．

23. 如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面成角，在离电线杆米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米，求拉线的长结果保留根号．

24. 如图，是的直径，，点在上，平分，交于点，过点作直线，垂足为点，交的延长线于点．
    求证：直线是的切线；
    若，求线段的长．

25. 如图，抛物线，过点，与轴的正半轴交于，与轴的负半轴交于，直线经过、两点．
    
    请求出抛物线和直线的解析式；
    若点在抛物线上，连接、，从点运动到点的过程中，求的面积的最大值；
    若点在轴上，且，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：收入为正，支出为负，收入元记作元，
支出元记作元，
故选：．
理解题意，根据“正”和“负”所表示的是相反意义的量．根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，直接求解即可．
本题考查正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
 

2.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

4.【答案】

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和单项式乘以单项式运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算和单项式乘以单项式运算、完全平方公式等知识，正掌握运算法则是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故选：．
先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同大取大”来求不等式组的解集．
主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

6.【答案】

【解析】解：如图所示：

，点为的中点，
，
，
根据题意，得，，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，，根据一副三角板可得，，进一步可得的度数，再根据三角形外角的性质可得的值．
本题考查了三角形外角的性质，涉及直角三角形的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，，，，
，即，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，则可求出的长，然后计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：这组数据是，，，，，，，
出现的次数最多，众数是，
故选：．
根据众数的定义解答即可．
本题考查众数的概念，熟练掌握众数的定义是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程应用中的增长率问题，从实际问题抽象出一元二次方程，准确掌握季度总营业额是解题的关键 根据题意分别表示出 月， 月的营业额进而得出方程即可．
【解答】
解：设该公司 、 两月的营业额的月平均增长率为 ．
根据题意列方程得：
．
故选 D ．   

10.【答案】

【解析】解：连结，如图，

，
，
的直径垂直于弦，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故选B．
连结，根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出 ，由勾股定理求出 ， ，进而求出 即可．
【解答】
解： 矩形 ，
， ， ，
，
由折叠可得 ，
，
，
由折叠得， ， ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
故选： ．   

12.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，即，
，则，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故正确；
抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点横坐标在和之间，
则与轴的另一个交点在和之间，
当时，，故错误；
时，的最大值是，
，
，即，故正确；
当时，，，
，故正确；
故选：．
根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴交点可得，，的符号，从而判断；再根据二次函数的对称性，与轴的交点可得当时，，可判断；再根据时，取最大值可得，从而判断；最后根据时，，结合，可判断．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
 

13.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系可得，，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可求出代数式的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及完全平方公式，分式的计算等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：设有个黄球，由题意得：，
解得：，
，
故答案为：．
设有个黄球，利用概率公式可得，解出的值，可得黄球数量，再求总数即可．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
 

16.【答案】

【解析】解：设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，
依题意得：，
解得：，
．
故答案为：．
设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，根据“打折前购买盒肉粽和盒白粽需元，打折后购买盒肉粽和盒白粽需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数打折前购买的总费用打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：圆锥侧面展开图的圆心角是，
则，
解得，，
故答案为：．
根据弧长公式、圆锥的底面圆周长是扇形的弧长进行计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
的边的高为，
的纵坐标为，
把代入得，
，
同理可求得，，
，
故答案为：
根据等边三角形的性质，求出等边三角形的边长和等边三角形的高，从而求出点纵坐标，再代入函数解析式，求出点横坐标，找出点坐标规律，即可求解．
本题考查图形规律，点坐标变换规律，正比例函数图象上点的坐标特征，找出点坐标变换规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式


，
当时，
原式

．

【解析】先代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：由知，≌，
，
，
．

【解析】先求出，根据全等三角形的判定定理推出≌，根据全等三角形的性质求解即可；
根据全等三角形的性质求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，能运用全等三角形的判定与性质进行推理是解此题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：本次调查的学生总人数为名，
扇形统计图中“”所占的百分比为：，
扇形统计图中“”所占的百分比为：，
扇形统计图中“”的圆心角度数为：，
故答案为：，；
项活动的人数为：名，
项活动的人数为：名，
补全统计图如下：

列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中恰好抽中、两个小组的有种结果，
所以恰好抽中、两个小组的概率为．
根据“”活动小组的人数及其百分比可得总人数；扇形统计图中用乘以所占的百分比可得“”的圆心角度数；
总人数乘以“”、“”活动小组所占百分比求出“”、“”活动小组的人数，据此补全统计图可得；
根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：在中，，．
点，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数为．
反比例函数为经过点，
，解得：，
点，
经过点，点，
，解得：，
一次函数的解析式为．
点，点，
，
点，
即点．

【解析】由题意可得点的坐标；根据反比例函数经过点，即可求出反比例函数解析式；由点在反比例函数图象上，可求得点的坐标；根据一次函数将过点，，利用待定系数法即可求的一次函数解析式；
根据已知两点坐标求线段长度的方法求出的长度，即的长度，进而求得点的坐标．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类题目的关键是能熟练运用待定系数法求函数解析式及已知函数解析式求出点的坐标．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意可知四边形为矩形，，
，，
在中，，
，
米，
，，
在中，
，，
米，
答：拉线的长为米．

【解析】由题意可先过点作于在中，可求出，进而，再在中，求出的长．
命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

24.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
解：，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．

【解析】连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，由切线的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：把点，，代入得，
，解得，
抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把，代入得，
，解得，
直线的解析式为；

过作轴于，交于，

设 ，则，
，
．
当时，有最大值，
的面积的最大值为；

过点作于，

点，，
，
，
，．
设，
，
，
联立解得：或，
或，
设直线解析式为，
把，代入得：
，解得，
，
；
把，代入得：
，解得，
，
；
综上，点的坐标为或

【解析】用待定系数法求解即可；
过作轴于，交于，设 ，由利用二次函数的最值求解即可；
过点作于，由、坐标求出，从而求得，设，根据两点间距离公式列方程组，求解即可求出点坐标，然后用待定系数法求直线解析式，最后由解析式求出与轴交点的坐标即可．
本题是二次函数综合题，考查用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，含度直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和函数图象上点的坐标特征是解题的关键．