2022高考数学真题分类汇编06数列

2022高考数学真题分类汇编

六、数列

一、选择题

1.（2022·全国乙（文）T10）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）

A. 14 B. 12 C. 6 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列的公比为，

若，则，与题意矛盾，

所以，

则，解得，

所以.

故选：D.

2.（2022·全国乙（理）T8） 已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）

A. 14 B. 12 C. 6 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列的公比为，

若，则，与题意矛盾，

所以，

则，解得，

所以.

故选：D.

3.（2022·全国乙（理）T4） 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.

【详解】解：因为，

所以，，得到，

同理，可得，

又因为，

故，；

以此类推，可得，，故A错误；

，故B错误；

，得，故C错误；

，得，故D正确.

故选：D.

4.（2022·新高考Ⅱ卷T3） 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）

A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9

【答案】D

【解析】

【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设，则，

依题意，有，且，

所以，故，

故选：D

5.（2022·浙江卷T10） 已知数列满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．

【详解】∵，易得，依次类推可得

由题意，，即，

∴，

即，，，…，，

累加可得，即，

∴，即，,

又，

∴，，，…，，

累加可得，

∴，

即，∴，即；

综上：．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

二、填空题

1.（2022·全国乙（文）T13）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．

【答案】2

【解析】

【分析】转化条件为，即可得解.

【详解】由可得，化简得，

即，解得.

故答案为：2.

2.（2022·北京卷T15） 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；   ②为等比数列；

③为递减数列；       ④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①③④

【解析】

【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.

【详解】由题意可知，，，

当时，，可得；

当时，由可得，两式作差可得，

所以，，则，整理可得，

因为，解得，①对；

假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，

所以，，可得，解得，不合乎题意，

故数列不等比数列，②错；

当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；

假设对任意，，则，

所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

三、解答题

1.（2022·全国甲（文T18）(理T17）记为数列的前n项和．已知．

（1）证明：是等差数列；

（2）若成等比数列，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；

（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【小问1详解】

解：因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

【小问2详解】

解：由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时．

2.（2022·新高考Ⅰ卷T17） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）证明：．

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.

【小问1详解】

∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,

∴当时，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

【小问2详解】

∴

3.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．

（1）证明：；

（2）求集合中元素个数．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得，即可解出．

【小问1详解】

设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．

【小问2详解】

由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．

4.（2022·北京卷T21） 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．

（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；

（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；

（3）若为连续可表数列，且，求证：．

【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．   

（2）证明见解析．    （3）证明见解析．

【解析】

【分析】（1）直接利用定义验证即可；

（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；

（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．

【小问1详解】

，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．

【小问2详解】

若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；

当时,数列，满足，，，，，，，， ．

【小问3详解】

，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，

若，则至多可表个数，矛盾,

从而若,则，至多可表个数，

而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，

则所有数之和，，

，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，

（仅一种方式），

与2相邻，

若不在两端,则形式，

若，则（有2种结果相同，方式矛盾），

， 同理 ，故在一端，不妨为形式，

若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，

，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，

由于,由表法唯一知3,4不相邻,、

故只能，①或，②

这2种情形，

对①：，矛盾，

对②：，也矛盾，综上

．

【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题．

5.（2022·浙江卷T20） 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．

（1）若，求；

（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；

(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.

【小问1详解】

因为，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

所以，

【小问2详解】

因为，，成等比数列，

所以，

，

，

由已知方程的判别式大于等于0，

所以，

所以对于任意的恒成立，

所以对于任意的恒成立，

当时，，

当时，由，可得

当时，，

又

所以