2020合肥高三第一次教学质量检测数学（文）试题含答案
展开合肥市2020年高三第一次教学质量检测
数学试题(文科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷 (60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( ).
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数( ).
A. B. C. D.
3.设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为( ).
A.13 B.14 C.15 D.17
4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是( ).
A.这五年，2013年出口额最少
B.这五年，出口总额比进口总额多
C.这五年，出口增速前四年逐年下降
D.这五年，2017年进口增速最快
5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为( ).
A. B. C.1 D.
6.若执行右图的程序框图，则输出的值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知正方形的边长为2，点为边中点，点为边中点，将分别沿折起，使两点重合于点，则三棱锥的外接球的表面积为( ).
A. B. C. D.
8.已知函数，则下列关于函数的说法，不正确的是( ).
A.的图象关于对称
B.在上有2个零点
C.在区间上单调递减
D.函数图象向右平移个单位，所得图像对应的函数为奇函数
9.函数的图像大致为( ).
10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001)
A.0.110 B.0.112 C. D.
11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：
①四边形一定是平行四边形；
②多面体与多面体的体积相等；
③四边形在平面内的投影一定是平行四边形；
④平面有可能垂直于平面.
其中所有正确结论的序号为( ).
A.①② B.②③④ C.①④ D.①②④
12.已知函数()，.若存在实数使不等式的解集为，则实数的取值范围为( ).
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.已知实数满足则取得最大值的最优解为 .
14.已知向量(1，1)，，且⊥，则的值等于 .
15.在中，内角所对的边分别为，若，则 ，的最大值为 .
16.已知点，抛物线()的焦点为，若此抛物线的准线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形，则的值等于___________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若()，求的值.
18.(本小题满分12分)
某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量(单位：万辆)数据如下表所示：
月份 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
销售量(万辆) | 3.008 | 2.401 | 2.189 | 2.656 | 1.665 | 1.672 | 1.368 |
(1)某企业响应国家号召，购买了6辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的4辆，五月份生产的2辆，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门使用，其中A部门用车4辆，B部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；
(2)经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设关于的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂10月份的销售量.
19. (本小题满分12分)
如图，该几何体的三个侧面，，都是矩形.
(1)证明：平面∥平面；
(2)若，，为中点，证明：平面.
20.(本小题满分12分)
设椭圆()的左右焦点分别为，椭圆的上顶点为点，点为椭圆上一点，且.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若，过点的直线交椭圆于两点，求线段的中点的轨迹方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数，.
(1)求直线与曲线相切时，切点的坐标；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()，不等式的解集为.
(1)求的值；
(2)若，，，且，求的最大值.
合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | B | B | C | A | B | C | C | A | C | D | D |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(4，2) 14.1 15.3，(第一空2分，第二空3分) 16.
三、解答题：大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
(1)设等差数列的公差为，
由得，，整理得.
又∵，∴，
∴(). ………………………5分
(2)可化为，
解得. ………………………12分
18.(本小题满分12分)
(1)设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为，，，；5月份生产的2辆车为，，6辆汽车随机地分配给两个部门.
部门2辆车可能为(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，，(，)，(，)共15种情况；
其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(， )，(，)共9种，
所以该企业部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为．………………………5分
(2)由题意得，.
因为线性回归方程过样本中心点，所以，解得.
当时，，
即该厂10月份销售量估计为1.151万辆. ………………………12分
19.(本小题满分12分)
(1)∵侧面是矩形，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
同理可得：平面.
∵，∴平面平面. ………………………5分
(2)∵侧面都是矩形，∴.
又∵，，∴平面.
∵，∴.
∵为的中点，，∴都是等腰直角三角形，
∴，，即.
而，∴平面. ………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：(1)设()，，.由得
，即，
又∵()在椭圆上，
∴，得，即椭圆的离心率为.
………………………5分
(2)由(1)知，.又∵，，解得，，
∴椭圆的方程为.
当线段在轴上时，交点为坐标原点(0，0).
当线段不在轴上时，设直线的方程为，，，
代入椭圆方程中，得.
∵点在椭圆内部，∴， ，
则，
∴点的坐标满足，，
消去得，().
综上所述，点的轨迹方程为. ……………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)设切点坐标为，，
则，∴.
令，∴，∴在上单调递减，
∴最多有一个实数根.
又∵，∴，此时，即切点的坐标为(1，0). ………………………5分
(2)当时，恒成立，等价于对恒成立.
令，则，.
①当，时，，
∴，在上单调递增，因此.
②当时，令得.
由与得， .
∴当时，，单调递减，
∴当时，，不符合题意；
综上所述得，的取值范围是. ……………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)曲线的方程，∴，∴，
即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分
(2)把直线代入曲线得，
整理得，.
∵，设为方程的两个实数根，则
，，∴为异号，
又∵点(3，1)在直线上，
∴.
…………………………10分
23.(本小题满分10分)
解：(1)∵，∴的解集为，
∴，解得，即. …………………………5分
(2)∵，∴.
又∵，，，
∴
，
当且仅当，结合解得，，时，等号成立，
∴的最大值为32. …………………………10分
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