中考数学一轮总复习33《数形结合问题》知识讲解+巩固练习（基础版）（含答案）

中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（基础）

【中考展望】

1．用数形结合的思想解题可分两类:

(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；

(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.

2. 热点内容：

在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.
【方法点拨】

数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.
    数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.

特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，a的符号决定抛物线的开口方向,b与a 一起决定抛物线的对称轴的位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线图形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的有关变化.

在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识，提高解题能力．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中．数与形及其相互关系是数学研究的基本内容．

【典型例题】

类型一、利用数形结合探究数字的变化规律

1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是         ．

【思路点拨】

首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减

去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n．

【答案与解析】

第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；

第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；
   第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；
   按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.
   故答案为n（n+2）=n2+2n.

【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规

律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.

举一反三：

【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．

【答案】解：设第n个图形的棋子数为．
第1个图形，S1=1；
第2个图形，S2=1+4；
第3个图形，S3=1+4+7；

第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；
第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；
则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．

类型二、 利用数形结合解决数与式的问题 

 2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 （　　）.

A.a+c       B.-a-2b+c      C.a+2b-c      D.-a-c

【思路点拨】

首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果． 具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.

运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式(.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.

3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（    ）

A.         B.  

C.           D.

【思路点拨】

这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．

【答案】B.

【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．
故选B．

【总结升华】

本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．

举一反三:

【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？
（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；

（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    【答案】

解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；
   （2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；
   （3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．

类型四、利用数形结合思想解决极值问题

 4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：
（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.

（(2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：
   ①作图确定水塔的位置；
   ②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.
（3）已知x+y=6，求 的最小值？

此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：
①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____3DB= ____.
②在AB上取一点P，可设AP= _____x，BP= _____.
③ 的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值，最小值为 ___.

．

【思路点拨】

（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；
（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD于点P，则点P即为所求；
     ②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；
（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，
     ②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；
     ③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可.

【答案与解析】

解：（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；
 

（2）①如图所示，点P即为所求．
（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD于点P，则  点P即为所求.
    说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）
    ②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD  

都是矩形．
∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．                   
∵AB=3，BD=2，
∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，
∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，
∴AF=2   EG=2.

∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，

∴BE=（cm）.
∴PA+PB的最小值为cm.
即所用水管的最短长度为cm.

∴最小值为10．

故答案为：①4； ②x，y； ③PC，PD，10．

【总结升华】

此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．

作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.

类型五、利用数形结合思想，解决函数问题

5.（2016•杭州校级自主招生）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论是　    　（写出正确命题的序号）．

【思路点拨】

根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=2对应y值的正负判断即可．

【答案与解析】

解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，

∵对称轴在y轴右侧，且﹣=1，即2a+b=0，

∴a与b异号，即b＜0，

∴abc＞0，选项①正确；

∵二次函数图象与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；

∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），

∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；

∵x=﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，

故答案是：①④．

【总结升华】

此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

举一反三：

【变式】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C.

【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，

∴c=0，

∴abc=0

∴①正确；

∵x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，

∴②不正确；

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴是x=﹣，

∴﹣，b＜0，

∴b=3a，

又∵a＜0，b＜0，

∴a＞b，

∴③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，

∴△＞0，

∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，

∴④正确；

综上，可得正确结论有3个：①③④．

故选：C．

中考冲刺：数形结合问题—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、 选择题

1．（2016•枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：

①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）

A．1个     B．2个      C．3个       D．4个

2.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（     ）

A 、       B、

C、   D、

二、 填空题

3. 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的序号为____________.

①b+c＞0 　   ②a+b>a+c       ③ac＜bc 　    ④ab＞ac

4.（2016•通辽）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：

①abc＜0

②b2﹣4ac＞0

③4b+c＜0

④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2

⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，

其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）　         　．

三、解答题

5.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么2个小时时血液中含药最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.当成人按规定剂量服药后.

(1)分别求出x≤2和x≥2时y与x的函数解析式；

(2)如果每毫升血液中含量为4微克或4微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有

多长?

6．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
  
  （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 _____；
  （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．① ______②_______；
  （3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

（4）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求（m+n）2的值．
  （5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值．

7.为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图所示：
  （1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
  （2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜．

8.（长宁区二模）如图，一次函数y=ax﹣1（a≠0）的图象与反比例函数y=（ k≠0）的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（ 2，1），点B的坐标（﹣1，n）．

（1）分别求两个函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

9.请同学们仔细阅读如图所示的计算机程序框架图，回答下列问题：
（1）如果输入值为2，那么输出值是多少？
（2）若要使输入的x的值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围；
（3）若要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么x的取值范围又是多少？

10.观察如图所包含规律（图中三角形均是直角三角形，且一条直角边始终为1，四边形均为正方形．S1，S2，S3，…Sn依次表示正方形的面积，每个正方形边长与它左边相邻的直角三角形斜边相等），再回答下列问题．
  （1）填表：

（2）当s1+s2+s3+s4+…+sn=465时，求n．

11.某报社为了了解读者对该报社一种报纸四个版面的认可情况，对读者做了一次问卷凋查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，并将调查结果绘制成如下的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题．
  （1）在这次活动中一共调查了多少读者？
  （2）在扇形统计图中，计算第一版所在扇形的圆心角度数；
  （3）请你求出喜欢第四版的人数，并将条形统计图补充完整．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】C；

【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；

∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，

又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，

∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；

综上可得，正确结论有3个：①③④．

2．【答案】D；

二、 填空题

3．【答案】②③④；

4．【答案】②③⑤；

【解析】由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．

∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．

∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），

∴a+b+c=0，﹣=﹣1，∴b=2a，c=﹣3a，∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．

∵B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，点C离对称轴近，∴y1＜y2，故④错误，

由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．

∴②③⑤正确.

三、 解答题

k=，b=
∴x≥2时，y=x+

则x2-x1=6（小时）．

答：这个有效时间为6小时．

6．【答案与解析】

解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；

（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n）2，

还可以表示为（m+n）2-4mn；

（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（4）∵mn=-2，m-n=4，
    ∴（m+n）2=（m-n）2+4mn=42+4×（-2）=16-8=8；

（5）x2+2x+y2-4y+7，
        =x2+2x+1+y2-4y+4+2，
        =（x+1）2+（y-2）2+2，
     ∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，
     ∴（x+1）2+（y-2）2≥2，
     ∴当x=-1，y=2时，代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值是2．
     故答案为：（1）m-n；（2）（m-n）2，（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．(4) 8  (5) 最

小值是2.

（2）当y1=y2时，

x+29=x，

x=；           

当y1＜y2时，

所以，当通话时间等于min时，两种卡的收费一致，
当通话时间小于min时，“如意卡便宜”，
当通话时间大于min时，“便民卡”便宜．

解：（1）一次函数y=ax﹣1（a≠0）的图象与反比例函数y=（ k≠0）的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（ 2，1），

，

解得

一次函数的解析式是y=x﹣1，

反比例函数的解析式是y=；

（2）当x=0时，y=﹣1，

S三角形AOB=|﹣1|×2+|﹣1|×|﹣1|

=1+

=．

解得＜x≤.

10.【答案与解析】

解：(1)，

，

(1+n) ×n=465

解得：n=-31（不合题意舍去）或n=30，
故：n=30．

11.【答案与解析】