2020-2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式精品测试题

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这是一份2020-2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式精品测试题，共9页。试卷主要包含了已知直线l1，))解得－1

选择题:
1.已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，则m的取值范围是( )
A. 1,18 B. -1,-18 C. -1,18 D.1,-18．
2．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是( )
A.a≠4 B.a=4 C.a=2 D. a≠2.
3．已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，则点P的坐标为（）．
(2,2) B. (-2,-2) C. (-2,2) D. (2,-2)
4. 已知直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0互相垂直，交点为(1，c)，则
a＋b＋c＝( )．
4 B. -4 C. 2 D. -2
填空题：
5. 设三条直线x－2y＝1, 2x＋ky＝3, 3kx＋4y＝5交于一点，则k的值为________．
6. 直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转eq \f(π,2)所得的直线方程是
7. 不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
8.平面上有三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．(将你认为所有正确的序号都填上)
①0 ②eq \f(1,2) ③1 ④2 ⑤3
三．拓展题：
9.已知直线l1：x－2y＋4＝0，l2：x＋y－2＝0，设其交点为P.
(1)求交点P的坐标；
(2)设直线l3：3x－4y＋5＝0，分别求过点P且与直线l3平行及垂直的直线方程．
10．求过两直线x－2y＋3＝0和x＋y－3＝0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．
(1)和直线x＋3y－1＝0垂直； (2)在x轴，y轴上的截距相等．
创新题：
11．若三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，
求a的值. 12.已知三条直线l1：x＋y－1＝0，l2：ax－2y＋3＝0，l3：x－(a＋1)y－5＝0.
(1)若这三条直线交于同一点，求实数a的值；
(2)若这三条直线相交，且能围成一个三角形，求实数a的取值范围．
同步练习答案
选择题：
1. 答案：C
解析:由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3m＝0，,2x－y＋2m－1＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(m＋1,3)，,y＝\f(8m－1,3).))∴交点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋1,3)，\f(8m－1,3)))．
∵交点在第四象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋1,3)>0，,\f(8m－1,3)<0.))解得－1∴m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,8))) 故选C.
2.答案：D
解析：由题意得6a－12≠0，即a≠2. 故选D.
3. 答案：A.
解析：
如图，直线AB与直线y＝x交于点Q，则当点P移动到点Q位置时
|PA|＋|PB|的值最小．
直线AB的方程为y－5＝eq \f(5－－1,3－1)(x－3)，即3x－y－4＝0.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－4＝0，,y＝x，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))
于是当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标为(2,2)．故选A.
4.答案：B.
解析：由两直线垂直得－eq \f(a,4)×eq \f(2,5)＝－1，所以a＝10，
将交点坐标(1，c)代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，
再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4. 故选B.
二．填空题：
5.答案：1或－eq \f(16,3).
解析：
解法一：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝1，,2x＋ky＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k＋6,k＋4)，,y＝\f(1,k＋4).))
即前两条直线的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋6,k＋4)，\f(1,k＋4))).
因为三条直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，
故3k×eq \f(k＋6,k＋4)＋4×eq \f(1,k＋4)＝5，解得k＝1或k＝－eq \f(16,3).
解法二：过直线x－2y－1＝0与2x＋ky－3＝0的交点的直线可设
为(x－2y－1)＋λ(2x＋ky－3)＝0(λ∈R)，
即(1＋2λ)x＋(kλ－2)y－(1＋3λ)＝0.
由题设三条直线交于一点知存在λ使该直线与
直线3kx＋4y－5＝0重合，即eq \f(1＋2λ,3k)＝eq \f(kλ－2,4)＝eq \f(－1＋3λ,－5)，
解得λ＝－2，k＝1或λ＝－eq \f(21,58)，k＝－eq \f(16,3).所以k的值为1或－eq \f(16,3).
6.答案： x＋2y＋4＝0.
解析：所求直线与直线2x－y－2＝0垂直，从而所求直线的斜率k＝eq \f(－1,2)＝－eq \f(1,2)，而2x－y－2＝0与y轴的交点为(0，－2)，
于是所求直线方程为y＝－eq \f(1,2)x－2，整理得x＋2y＋4＝0.
7.答案：定点(－3，3)
解析：
法一：取λ＝0时，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，
取λ＝1时，得到直线l2：x＝－3. 故l1与l2的交点为P(－3，3)．将点P(－3，3)代入(λ＋2)x－(λ－1)y中，
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3.
故点P(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．
所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．
法二：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3整理，
得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0，
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线
2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3＝0，,x－y＋6＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝3.))
所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．
法三：因为(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
所以λ(x－y＋6)＝－2x－y－3.
因为λ为任意实数，所以关于λ的一元一次方程
λ(x－y＋6)＝－2x－y－3的解集为R.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3＝0，,x－y＋6＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝3.))
所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．
8．答案：①③④
解析：因为这三条直线将平面划分为六部分，所以三条直线交于一点或其中两条平行线和第三条相交，
验证知k＝0，1，2满足题意．故①③④正确．
三.拓展题：
9.答案：(1) P(0,2)
(2) 过点P(0,2)且与l3平行的直线方程是3x－4y＋8＝0.
过点P(0,2)且与l3垂直的直线方程是4x＋3y－6＝0.
解析： (1)∵直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y－2＝0的交点为P，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))∴P(0,2)．
(2)∵l3：3x－4y＋5＝0，设与l3平行的直线方程为3x－4y＋C＝0(C≠5)，将P(0,2)代入得C＝8，
∴过点P(0,2)且与l3平行的直线方程是3x－4y＋8＝0.
设与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋C＝0，将P(0,2)代入得C＝－6，
∴过点P(0,2)且与l3垂直的直线方程是4x＋3y－6＝0.
10.答案：（1）3x－y－1＝0．（2）x＋y－3＝0．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋3＝0，,x＋y－3＝0))可得两直线的交点为(1,2)．
(1)∵直线l与直线x＋3y－1＝0垂直，∴直线l的斜率为3，
则直线l的方程为3x－y－1＝0．
(2)当直线l过原点时，直线l的方程为2x－y＝0，
当直线l不过原点时，令l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1．
∵直线l过(1,2)，∴a＝3，则直线l的方程为x＋y－3＝0．
四、创新题：
11.答案： a=-1 或 a=23
解析：因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点，
要使三条直线共有两个不同交点，
（1）当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－eq \f(a,2)＝eq \f(1,2)，解得a＝－1；
（2）当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，有－eq \f(a,2)＝－eq \f(1,3)，解得a＝eq \f(2,3).
综上可得，a=-1 或 a=23
12. 答案：（1）a＝－7.
（2）a的取值范围是(－∞，－7)∪(－7，－2)∪(－2，1)∪(1，＋∞)．
解析：
(1)由l1，l2的方程组成的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,ax－2y＋3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(－1,2＋a)，,y＝\f(3＋a,2＋a)，))
所以l1与l2的交点是Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,2＋a)，\f(3＋a,2＋a))).又因为三条直线交于同一点，所以点P的坐标满足l3的方程．
即eq \f(－1,2＋a)－(a＋1)·eq \f(3＋a,2＋a)－5＝0，解得a＝－7或a＝－2(舍去)．
故a＝－7.
(2)要使l1，l2，l3能围成三角形，应使l1，l2，l3两两相交．
①若l1，l2，l3交于同一点，由(1)知a＝－7；
②若l1∥l2，此时应满足1×(－2)＝1×a，得a＝－2；
③若l1∥l3，此时应满足1×(－a－1)＝1×1，得a＝－2；
④若l2∥l3，此时应满足－a(a＋1)＝－2×1，得a＝－2或a＝1.
综上可知，当a＝－7时，三条直线交于同一点；
当a＝－2时，三条直线两两平行；
当a＝1时，l2与l3平行，都与l1相交．
因此要使三条直线能围成三角形，需a≠－7，且a≠－2，且a≠1.
即a的取值范围是(－∞，－7)∪(－7，－2)∪(－2，1)∪(1，＋∞)．

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