专题2.4 一元二次函数、方程和不等式（高考真题精选）-2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

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专题2.4 一元二次函数、方程和不等式

一、单选题
1．若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省2021年普通高等学校对口招生考试
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项．
【解析】A．根据不等式的性质可知，A正确；
B．若，，，可知B不正确；
C．若，，，故C不正确；
D． 若，，，故D不正确．故选A
2．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是

A． B．
C． D．
【试题来源】2020年山东省春季高考数学真题
【答案】A
【分析】本题可根据图象得出结果．
【解析】结合图象易知，不等式的解集，故选A．
3．设，，，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试（文）（北京卷）
【答案】D
【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；
当时，选项C错误；因为函数在上单调递增，
所以当时，．本题选择D选项．
【名师点睛】判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．
4．若则一定有
A． B．
C． D．
【试题来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试（文）（四川卷）
【答案】D
【解析】本题主要考查不等关系．已知，所以，所以，故．故选
5．不等式组的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试（文）（大纲卷）
【答案】C
【解析】，所以不等式的解集为
6．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
【试题来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试（文）（福建卷）
【答案】C
【解析】设长方体底面边长分别为，则，
所以容器总造价为，
由基本不等式得，，
当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C．
7．若实数满足，则的最小值为
A． B．2
C． D．4
【试题来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试（文）（湖南卷）
【答案】C
【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C．
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
8．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【试题来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试（理）（上海卷）
【答案】B
【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B．而A，D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根
9．已知集合，则
A． B．
C． D．
【试题来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试（理）（新课标I卷）
【答案】B
【解析】【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果．
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B．
【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果．
10．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为
A． B．
C．{x|} D．{x| }
【试题来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试（理）（安徽卷）
【答案】D
【解析】由一元二次不等式的解集为，可以设函数解析式为，将代入得，由指数函数的值域可得，，则D正确．
11．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试（理）（山东卷）
【答案】B
【解析】当且仅当时成立，因此所以
【考点定位】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值．
12．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试（文）（山东卷）
【答案】C
【解析】当且仅当时成立，因此所以
13．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b= a∨b=
若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
【试题来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（文）（浙江卷）
【答案】C
【解析】因为a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，
所以不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；
再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．
14．关于x的不等式的解集为，且：，则a=
A． B．
C． D．
【试题来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（文）（重庆卷）
【答案】A
【解析】因为关于x的不等式的解集为，
所以，又，所以，
解得，因为，所以．故选A．
15．不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是
A． B．（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．∪（1，+∞）
【试题来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试（文）（广东卷）
【答案】D
【解析】由，所以选D
16．下列选项中，使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（文）（江西卷）
【答案】A
【解析】故选A．
17．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是
A． B．4
C． D．5
【试题来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试（理）（重庆卷）
【答案】C
【解析】因为a+b=2，所以=1
所以=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C
18．f(x)=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=
A．1+ B．1+
C．3 D．4
【试题来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试（文）（重庆卷）
【答案】C
【解析】f（x）=x+=x﹣2++2≥4，当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．
因为x=a处取最小值，所以a=3故选C
19．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
A． B．
C． D．
【试题来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试（文）（浙江卷）
【答案】B
【解析】由，，所以
，故；同理，
，故．
因为，
故．故最低费用为．故选B．
20．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【试题来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试（理）（山东卷精编版）
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B．
【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断．
21．已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A．3 B．4
C． D．
【试题来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理）
【答案】B
【解析】考察均值不等式，
整理得即，又，
二、多选题
1．已知a>0，b>0，且a+b=1，则
A． B．
C． D．
【试题来源】2020年新高考全国卷Ⅱ（海南卷）
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解．
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选ABD
【名师点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养．
三、填空题
1．不等式的解集为___________．
【试题来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试（理）（广东卷）
【答案】
【解析】不等式的解集为．
2．不等式＜0的解为___________．
【试题来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试（文）（上海卷）
【答案】0＜x＜
【解析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
原不等式化为或，解得0＜x＜，故答案为0＜x＜
3．设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为___________．
【试题来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试（文）（上海卷）
【答案】[，+∞）
【解析】常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，
9x+≥6a，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立，故6a≥a+1，解得a≥
4．设a + b = 2， b>0，则的最小值为___________．
【试题来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试（文）（天津卷）
【答案】
因为a + b = 2，所以，即==，当且仅当，即时取等号，当时，=；当时，=，所以的最小值为．
【考点定位】本题主要考查均值不等式的变形应用(1的代换)，要注意应用均值不等式成立的条件，熟练不等式的基础知识是解答好本类题目的关键．
5．在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x为___________(m)．

【试题来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（文）（陕西卷）
【答案】20
【解析】设矩形高为，由三角形相似得且，
所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为．
6．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．
【试题来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试（理）（浙江卷）
【答案】
【解析】因为4x2+y2+xy=1，所以 ，
当且仅当时，等号成立．此时，所以．
即2x+y的最大值是．故答案为．
7．若实数x，y满足xy=1，则+的最小值为___________．
【试题来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试（理）（上海卷）
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立．
8．不等式的解集为___________．
【试题来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）
【答案】
【解析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．
，是一个递增函数；
故答案为．
9．要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是___________．（单位：元）
【试题来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试（理）（福建卷）
【答案】160
【分析】设底面长方形的长宽分别为和，先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值．
【解析】设底面长方形的长宽分别为和，则，
所以总造价
当且仅当的时区到最小值，则该容器的最低总造价是160．故答案为160．
10．已知，，且，则的取值范围是___________．
【试题来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试（文）（北京卷精编版）
【答案】
【解析】，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值．因此的取值范围为．
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单．
11．已知，当方程有无穷多解时，的值为___________．
【试题来源】上海市2019年1月春季高考
【答案】
【分析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果．
【解析】方程有无穷多解 两方程相同，
又 ，
，本题正确结果：
12．设，使不等式成立的的取值范围为___________．
【试题来源】2019年天津市高考数学试卷（文）
【答案】
【分析】通过因式分解，解不等式．
【解析】，即，即，
故的取值范围是．
【名师点睛】解一元二次不等式的步骤：（1）将二次项系数化为正数；（2）解相应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
13．已知，则的最小值是___________．
【试题来源】2020年江苏省高考数学试卷
【答案】
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解．
【解析】因为，所以且，
所以，当且仅当，
即时取等号．所以的最小值为．故答案为．
【名师点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．
14．若，则的最小值为___________．
【试题来源】2021年天津高考
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出．
【解析】，，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为．故答案为．
15．已知实数、、满足，，则的最大值为___________．
【试题来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试（文）（浙江卷）
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以，由，解得，
故实数的最大值为．
16．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为
（1）如果不限定车型，，则最大车流量为___________辆/小时；
（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加__________辆/小时．
【试题来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试（文）（湖北卷）
【答案】（1）1900；（2）100
【解析】（1）当时，则，
当且仅当即（米/秒）时取等号．
（2）当时，则，
当且仅当即（米/秒）时取等号，
此时最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时．
17．定义运算“”： （）．当时，的最小值是___________．
【试题来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试（文）（山东卷）
【答案】
【解析】由新定义运算知，，因为，，
所以，，当且仅当时，的最小值是．
18．设a＞0，b＞0． 若关于x，y的方程组无解，则的取值范围是___________．
【试题来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试（文）（上海卷精编版）
【答案】
【解析】方程组无解等价于直线与直线平行，所以且．又，为正数，所以（），即取值范围是．
19．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．
【试题来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版）
【答案】
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30．
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
20．若，，则的最小值为___________．
【试题来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试（文）（天津卷精编版）
【答案】4
【解析】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）．
21．设，则的最小值为___________．
【试题来源】2019年天津市高考数学试卷（理）
【答案】
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【解析】
，当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
22． 设，，，则的最小值为___________．
【试题来源】2019年天津市高考数学试卷（文）
【答案】
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【解析】由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．
【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
23．已知，且，则的最小值为___________．
【试题来源】2020年天津市高考数学试卷
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解．
【解析】，，
，当且仅当=4时取等号，
结合，解得，或时，等号成立．故答案为
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题．
24．设，则的最大值为___________．
【试题来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试（文）（重庆卷）
【答案】
【解析】由两边同时加上
得两边同时开方即得（且当且仅当时取“=”），从而有（当且仅当，即时，“=”成立）故填：．
25．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是___________．
【试题来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试（文）（天津卷）
【答案】
【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果．
【解析】分类讨论：①当时，即，
整理可得，由恒成立的条件可知，
结合二次函数的性质可知，当时，，则；
②当时，即，整理可得，
由恒成立的条件可知，
结合二次函数的性质可知
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为．
【名师点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；（2）a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
四、解答题
1．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨．
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本；
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润．
【试题来源】江苏省2021年普通高考对口单招文化统考
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元．
【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值．
【解析】（1），

当且仅当时，即取“=”，符合题意；
所以年产量为100吨时，平均成本最低为16万元．
（2）
又，所以当时，．
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元．
2．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3．2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【试题来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）
【答案】（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【解析】（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解
试题解析：（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
⇔存在k＞0，使3．2＝ka－ （1＋k2）a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
⇔a≤6．
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．