人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀同步达标检测题

4.5 函数的应用（二）

4.5.3 函数模型的应用

同步练习

1.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（　）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.

A. 8 B. 16 C. 24 D. 32

2. 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

A　　　    　B　　　    　C　　　　   D

3.通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M表示，国家标准《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值（A/T）max进行测定，计算公式如下M＝lg（A/T）max+1.66lg Δ+3.5（其中Δ为震中距），已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为（　）

A. 58 B. 78 C. 98 D. 118

4.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f（x）＝（P>0，a>1，k<0）的形式.已知＝（x∈N）描述的是一种果树的高度随着时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该果树的高为25 m，则该果树的高度超过4.8 m，至少需要（　）（附：log23≈1.585）

A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年

5.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的           倍时，火箭的最大速度可达12 千米/秒．

6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？

7.某公司为调动员工的工作积极性，拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%，即假定奖励方案模拟函数为

y＝f（x）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈［25，1 600］时，①f（x）单调递增；②f（x）≤90恒成立；③f（x）≤恒成立.

（1）现有两个奖励函数模型：

（Ⅰ）f（x）＝x+10；

（Ⅱ）f（x）＝-6.

试分析这两个函数模型是否符合公司要求.

（2）已知函数g（x）＝-10（a≥2）符合公司奖励方案函数模型的要求，求实数a的取值范围.

8.2020年，全世界范围内都受到新冠肺炎疫情的影响，了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快.经过2分钟菌落的覆盖面积为18 mm2，经过3分钟覆盖面积为27 mm2，现菌落覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（x∈）分钟的关系有两个函数模型y＝kax （k>0，a>1）与y＝+q （p>0）可供选择.

（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，求开始时菌落的面积，并求约经过多久培养基中菌落面积是开始时的1 000倍.

（参考数据：≈1.414，≈1.732，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）

4.5 函数的应用（二）

4.5.3 函数模型的应用

参考答案

1.B  2.D  3.C  4.B  5.

6.解：由题意知40－24＝(88－24)×，即＝，

解之，得h＝10，故原式为T－24＝(88－24)×，即T－24＝64×，

当T＝32时，代入上式，得32－24＝64×，即,∴t＝30.

因此，降温到32 ℃需要30 min.

7. 解：（1）对于函数（Ⅰ）：因为f（30）＝12>6，即函数（Ⅰ）不符合条件③，所以函数f（x）＝+10不符合公司奖励方案函数模型的要求.

对于函数（Ⅱ）：当x∈［25，1 600］时，f（x）单调递增，

且f（x）max＝f（1 600）＝2×40-6＝74<90，所以f（x）≤90恒成立.

设h（x）＝-6-＝-（-5）2-1，

因为∈［5，40］，

所以当＝5时，h（x）max＝-1≤0，所以f（x）≤恒成立.

所以函数模型（Ⅱ）符合公司要求.

（2）因为a≥2，所以函数g（x）满足条件①.

由函数g（x）满足条件②得-10≤90，所以a≤.

由函数g（x）满足条件③得-10≤对x∈［25，1 600］恒成立，

即a≤+对x∈［25，1 600］恒成立.

因为+≥，当且仅当x＝50时等号成立，所以a≤.

综上所述，实数a的取值范围是.

8.解：（1）因为y＝kax（k>0，a>1）的增长速度越来越快，y＝+q（p>0）的增长速度越来越慢，

所以依题意应选函数y＝kax（k>0，a>1）.

则有解得

所以y＝（x∈）.

（2）当x＝0时，y＝8，故开始时菌落的面积为8 mm2.

设经过x分钟，该培养基中菌落面积是开始时的1 000倍，则8×＝8×1 000.

所以x＝1 000＝＝≈17.

答：开始时菌落的面积为8 mm2，约经过17分钟，培养基中菌落面积是开始时的1 000倍.