专题03数形思想之几何图形中的角度计算问题综合专练- 2022-2023学年七年级数学专题训练（浙教版）

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一、单选题
1．（2021·浙江）如图，从8点钟开始，过了20分钟后，分针与时针所夹的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
此时时针超过8点，分针指向4，根据每2个数字之间相隔30度和时针1分钟走0.5度可得夹角度数．
【详解】
解：时针超过20分所走的度数为20×0.5=10°，
分针与8点之间的夹角为4×30=120°，
∴此时时钟面上的时针与分针的夹角是120+10=130°．
故选：B．
【点睛】
本题考查钟面角的计算，用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走0.5度．
2．（2021·浙江七年级期末）周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内钟面上的时针转了（ ）
A．37.5°B．45°C．52.5°D．60°
【答案】B
【分析】
9时是分针指向12，时针指向9，10：30时分针指向6，时针指向10和11正中间，所以时针走了1.5个大格，因为每个大格所对的角度是30度，所以3个大格之间的夹角是30°×1.5=45°，据此解答即可．
【详解】
解：由分析得出：从上午9：00到上午10：30，钟面上的时针转了：30°×1.5=45°．
故选：B．
【点睛】
解决本题要先分析时针位置的变化，再利用每个大格所对的角度是30度进行解答．
二、填空题
3．（2021·浙江七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________．
【答案】
【分析】
根据，，求出，利用AO平分，求得，即可得到∠DOB=．
【详解】
∵，，
∴，
∵AO平分，
∴,
∴∠DOB=,
故答案为：．
【点睛】
此题考查求一个角的补角，角平分线的性质，对顶角相等，正确理解补角定义求出是解题的关键．
三、解答题
4．（2021·浙江七年级期末）(1)如图()，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起
①若，则__________；若，则___________.
②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由.
(2)如图()，两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由.
(3)如图()，已知，作(，都是锐角且)，若在的内部，请直接写出与的度数关系.
【答案】（1）①120°；40°②∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析（3）∠AOD+∠BOC= 或∠AOD+∠BOC= 或∠BOC-∠AOD=
【分析】
（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE-∠BCD求出即可；
②根据∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE-∠BCD，利用角的加减化简即可
（2）先表示∠CAB、∠DAB，利用角的加减即可求解.
（3）分①OD在OB上方时②OD在∠BOC内部③OD在∠AOC内部④OD在OA下方4种情况进行讨论.
【详解】
(1)①若∠DCE=60°
∵∠DCE=60°，∠ACD=∠BCE=90°
∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=30°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=120°；
若∠ACB=140°
∵∠ACB=140°，∠ACD=∠BCE=90°
∴∠BCD=∠ACB -∠ACD =50°
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=40°
故答案为：120°；40°
②猜想：∠ACB+∠DCE=180°，理由是：
∵∠ACD=∠BCE=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+∠BCD，∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-∠BCD
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠BCD+90°-∠BCD=180°
（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由是：
∵∠DAC=∠EAB=60°
∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+∠CAB，∠CAE=∠BAE-∠CAB=60°-∠CAB
∴∠DAB+∠CAE=60°+∠CAB+60°-∠CAB=120°
(3)①OD在OB上方时，如图：
∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD=∠AOB +∠COD=
②OD在∠BOC内部，如图：
∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠BOD+∠COD+∠BOD=∠AOB +∠COD=
③OD在∠AOC内部，如图：
∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠BOD +∠BOD-∠COD =∠AOB -∠COD=
④OD在OA下方，如图：
∠BOC-∠AOD= ∠AOB-∠AOC-（∠COD-∠AOC）=∠AOB -∠COD=
综上所述：∠AOD+∠BOC= 或∠AOD+∠BOC= 或∠BOC-∠AOD=
【点睛】
本题考查了角的有关计算的应用，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键.
5．（2021·浙江七年级期末）操作探究：将两块相同的直角三角板（含有角）如图1摆放在直线上，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至与射线重合时停止．设旋转时间为t秒．
（1）若三角板保持不动，如图2，当时，试判断和是否相等，并说明理由；
（2）若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转至与射线重合时停止．
①在三角板停止运动之前，求和的度数（用含t的代数式表示）；
②定义：能把一个角分成的两部分的直线叫做该角的三分线，当直线为的三分线时，求t的值．
【答案】（1）相等，见解析；（2）①，（大于时填写也可）；②
【分析】
（1）分别求出当时，和的度数即可得出答案；
（2）①根据三角板转动的速度结合时间即可得出和的度数；
②在三角板停止运动时，运动时间为24秒直线为的三分线，分为两种情况：当时，及当时，结合三角板转动的速度及时间和三分线的定义即可解答本题．
【详解】
解：（1）相等．理由如下：
当时，
所以．
（2）①，（大于时填写也可）；
②在三角板停止运动时，运动时间为24秒直线为的三分线，分为两种情况：
情况1：当时，
当时，如图1．
；
当时，如图2．
；
情况2：当时
当时，如图3．
；
；

【点睛】
本题考查了三分线的定义，以及角的和差，解题的关键是结合三角形转动的速度解题．
6．（2021·浙江七年级期末）如图，已知直线与相交于点为的角平分线．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由对顶角相等的性质得，再由，即可求出的度数；
（2）先求出的度数，再由角平分线的性质得到的度数，即可求出的度数．
【详解】
解：（1），
∴，
∵，
；
（2）∵直线与相交于点O，
，
∴，
为的角平分线，
，
．
【点睛】
本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质．
7．（2021·浙江七年级期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，∠AOE=90°，OF平分∠BOC，
（1）若∠EOF=30°，求∠BOD的度数；
（2）试问∠EOF与∠BOD有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1）∠BOD=60°；（2）∠BOD=2∠EOF，理由见解析
【分析】
(1)求出∠FOB=90°-∠EOF=60°，由OF平分∠BOC求出∠BOC=120°，进而求出∠BOD=180°-120°=60°；
(2)设∠EOF=α，将∠FOB、∠BOC分别用α的代数式表示，最后∠BOD=180°-∠BOC即可求解．
【详解】
解：(1)∠BOE=180°-∠AOE=180°-90°=90°，
∵∠EOF=30°，
∴∠FOB=90°-30°=60°，
∵OF为∠BOC的角平分线，
∴∠BOC=2∠FOB=120°，
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-120°=60°；
(2)设∠EOF=α，则∠FOB=90°-α，
∵OF为∠BOC的角平分线，
∴∠BOC=2∠FOB=2(90°-α)，
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-2(90°-α)=2α，
即∠BOD=2∠EOF．
【点睛】
本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及平角的综合运用，掌握角平分线平分角，垂线得到直角这两个性质是解决本题的关键．
8．（2021·浙江七年级期末）将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分．
（1）_______；
（2）将图1的三角板绕点逆时针旋转度至图2位置．
①当时，求的度数．
②当时，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】
（1）根据角平分线的定义分别计算∠BOM和∠BON的度数，从而求解；
（2）①根据角平分线的定义分别计算∠DOM和∠BON的度数，从而求解；
②根据角平分线的定义分别表示出∠DOM和∠BON的度数，从而利用角的数量关系求解．
【详解】
解：（1）在图1中，
∵平分，平分，，，
∴∠BOM=，∠BON=
∴
（2）在图2中，当时，
∵平分，平分，，
∴，
（3）当时，
∵平分，平分
∴，
=+
∴．
【点睛】
本题考查角平分线的定义与角的运算，正确理解图意列出角之间的数量关系式正确计算是解题关键．
9．（2021·浙江宁波市·七年级期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．
（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）∠BOC=35°；（2）∠AOC+∠BOD=180°，理由见解析
【分析】
（1）先求出∠BOD的度数，进而可求出∠BOC的度数；
（2）分两种情况，根据∠AOB=∠COD=90°即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOD=35°，
∴∠BOD=90°-35°=55°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOC=90°-55°=35°；
（2）∠AOC+∠BOD=180°，
如图1时，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD
=∠AOB+∠BOC+∠BOD
=∠AOB+∠COD
=90°+90°
=180°；
如图2时，
∠AOC+∠BOD=360°-90°-90°=180°；
综上可知，∠AOC+∠BOD=180°．
【点睛】
本题考查了三角板中角的计算，正确识图是解题的关键．
10．（2021·浙江七年级期末）从一个锐角顶点出发在角的内部引一条射线，把分成两个角，若其中一个角与互余，则这条射线叫做锐角的余分线，这个角叫做锐角的余分角．
例如：图①中，当时，与互余，那么是的余分线，是的余分角．
（1）若，是它的余分线，则_________；
（2）如图②，是平角，是的余分角，，试说明．
（3）如图③，在（2）的条件下，若是的平分线，，求度数．
【答案】（1）20°或50°；（2）见解析；（3）24°
【分析】
（1）根据余分线的定义分情况讨论，从而求解；
（2）根据余分角的定义可得，根据题意可得，从而利用同角的余角相等可以得到结论；
（3）根据上一问的结论可得，然后利用余分角和角平分线的定义求得角的数量关系，从而求解．
【详解】
解：（1）∵，是它的余分线，
∴或
∴或
解得：或
故答案为：20°或50°
（2）∵是的余分角，
∴，
∵是平角，，
∴，
∴
（3）∵，，
∴，
∵是的余分角，
∴，
∵平分，
∴，
∴
【点睛】
本题考查角平分线的定义及角的数量关系，正确理解题意准确计算并注意分类讨论思想的运用是解题关键．
11．（2021·浙江）如图，直线，交于点，射线，都在直线的上方，且．
（1）若，，求的度数．
（2）若平分，请写出图中与互余的角：________．（直接写出所有答案）
【答案】（1）148°；（2）∠BOF，∠BOD，∠AOC
【分析】
（1）根据对顶角相等得到∠AOC=∠BOD=28°，结合OE⊥OF，得到∠DOE=∠EOF+∠BOD+∠BOF；
（2）根据∠EOF=90°得到∠AOE+∠BOF=90°，再证明∠BOD=∠BOF，∠AOC=∠BOD，可得其他互余的角．
【详解】
解：（1）∵∠AOC=∠BOD=28°，OE⊥OF，
∴∠DOE=∠EOF+∠BOD+∠BOF=90°+28°+30°=148°；
（2）∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵OB平分∠DOF，
∴∠BOD=∠BOF，
∴∠AOE+∠BOD=90°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOE+∠AOC=90°，
∴与∠AOE互余的角有：∠BOF，∠BOD，∠AOC．
【点睛】
本题考查了余角，角平分线的定义，对顶角相等，是基础题，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
12．（2021·浙江七年级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，，射线OE从OC开始绕点O按顺时针方向旋转到OB．
（1）当时，求的度数．
（2）当OE平分时，求的度数．
【答案】（1）120°；（2）105°
【分析】
（1）根据垂直，得出，再根据对顶角的性质得出，相加即可；
（2）根据角平分线，求出即可．
【详解】
解：（1）∵，∴．
∵，∴，
∴．
（2）∵，∴．
∵OE平分，∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了垂线的性质，角平分线的性质，对顶角的性质，解题关键是熟练运用这些性质进行推理和计算．
13．（2021·浙江）如图，直线与交于点O，垂足为O，平分．
（1）若，求和的度数；
（2）若，则___________．（用含的代数式表示）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，利用垂直的定义求得，然后利用角的和差运算及角平分线的定义求解；
（2）根据角的和差运算及角平分线的定义列式求解．
【详解】
解：（1） ∵与是对顶角
∴（对顶角相等）
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
（2）由题意可得：
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查对顶角相等，角平分线的定义及角的和差运算，准确识图，掌握相关概念正确推理计算是解题解题关键．
14．（2021·浙江七年级期末）已知与互补，射线平分，设，．
（1）如图1，在的内部，
①当时，求的值．
②当时，求的度数．
（2）如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．
【答案】（1）①90°；②45°；（2）．
【分析】
（1）①根据补角的定义可得，-即可得到结论；
②设，根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差求出，则，根据角的和差求出，再由与互补即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵，，
∴，
∴；
②设，
∵平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键．
15．（2021·浙江）新定义问题
如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
（阅读理解）
（1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
（初步应用）
（2）如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为_______；
（解决问题）
（3）如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的值．
【答案】（1）是；（2）15°或22.5°或30°；（3）或或或
【分析】
（1）若OC为∠AOB的角平分线，则有，则根据题意可求解；
（2）根据“幸运线”的定义可得当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的幸运线可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的幸运线可分类进行求解．
【详解】
解：（1）若OC为∠AOB的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义，所以角平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为是；
（2）由题意得：
∵，射线为的“幸运线”，
∴①当时，则有：；
②当时，则有；
③当时，则有；
综上所述：当射线为的“幸运线”时，∠AOC的度数为，，，
故答案为，，；
（3）∵，
∴射线ON与OA重合的时间为（秒），
∴当时在与重合之前，如图所示：
∴，，
是的幸运线，则有以下三类情况：
①，，
②，，
③，；
当时，在与重合之后，如图所示：
∴，，
是的幸运线，则有以下三类情况：
①，（不符合题意，舍去），
②，，
③，（不符合题意，舍去）；
综上：或或或．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及角的动点问题，熟练掌握角平分线的定义及和差关系是解题的关键．
16．（2021·浙江七年级期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且，OG平分，若，求的度数．
【答案】18°
【分析】
首先根据角平分线的性质可得∠EOG=∠BOG，设∠EOG=x°，进而得到∠EOG=∠AOE=x°，再根据平角为180°可得x+x+3x=180，解出x可得∠EOG，进而可得∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OG平分∠BOE，
∴∠EOG=∠BOG，
设∠EOG=x°，
∵∠EOG=∠AOE，
∴∠AOE=3x°，
∵x+x+3x=180，
解得：x=36，
∴∠AOE=3×36°=108°，
∴∠AOF=180°-∠AOE=180°-108°=72°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=90°-72°=18°．
所以∠DOF的度数18°．
【点睛】
此题考查了垂线、角平分线，关键是掌握角平分线可以把角分成相等的两部分．
17．（2021·浙江）已知：如图，直线相交于点O，于O．
（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数．
【答案】（1）130°；（2）40°或140°
【分析】
（1）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；
（2）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=40°；若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=140°．
【详解】
解：（1）∵∠BOD：∠BOC=2：7，
∴∠BOD=∠COD=40°，
∴∠AOC=40°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE=90°+40°=130°；
（2）分两种情况：
若F在射线OM上，
∵∠EOD=∠BOF=90°，
∴∠EOF=∠BOD=40°；
若F'在射线ON上，
则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=140°；
综上所述，∠EOF的度数为40°或140°．
【点睛】
本题考查了角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是分类讨论思想的运用．
18．（2021·浙江杭州外国语学校七年级期末）已知，为内部的一条射线，.
（1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为秒，当时，求的值；
（3）若射线绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及相应所在的时间段.（本题中的角均为大于且小于的角）
【答案】（1）；（2）t的值为3或7.5；（3）当或时，为定值，此时补全的图形见解析．
【分析】
（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；
（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，OF在OC的右侧，因此，分OE在OC左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；
（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分OM与OB在一条直线上、ON与OB在一条直线上、OM与OA在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案．
【详解】
（1）平分，
；
（2）
由题意知，当OE转到OB时，两条射线均停止运动
此时（秒）
则OF停止转动时，
即OF从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧
因此，分以下2种情况：
①当OE在OC左侧时，
则由得，解得
②当OE在OC右侧时，
则由得，解得
综上，t的值为3或7.5；
（3）射线OM从开始转动至OB结束时，转动时间为（秒）
由题意，分OM与OB在一条直线上（）、ON与OB在一条直线上（）、OM与OA在一条直线上（）三个临界位置
①当时，如图1所示
此时，
则为定值
②当时，如图2所示
此时，
则不为定值
③当时，如图3所示
此时，
则为定值
④当时，如图4所示
此时，
则不为定值
综上，当或时，为定值．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题关键．
19．（2021·浙江七年级期末）已知是内部的一条射线，分别为上的点，线段同时分别以的速度绕点O逆时针旋转，设旋转时间为t秒．
（1）如图①，若，当逆时针旋转到处，
①若旋转时间t为2时，则______；
②若平分平分_____；
（2）如图②，若分别在内部旋转时，请猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）若在旋转的过程中，当时，求t的值．
【答案】（1）①40°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析；（3）3秒或5秒
【分析】
（1）①先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解；
②先由角平分线求出，，再求出，即；
（2）设旋转时间为，表示出、，然后列方程求解得到、的关系，再整理即可得解；
（3）设旋转时间为，表示出、，然后得到，再列方程求解得到的关系，整理即可得解．
【详解】
解：（1）线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
；
故答案为：；
②平分，平分，
，，
，
即；
（2），理由如下：
设，则，，
旋转秒后，，，
，，
；
（3）设旋转秒后，，，
，，
可得，
可得：，
解得：秒或秒，
故答案为：3秒或5秒．
【点睛】
此题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．
20．（2021·浙江）如图1，点O在直线上，过点O引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
（操作一）：将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．
（1）的度数是___________，图1中与它互补的角是___________．
（2）三角尺旋转的度数可表示为___________（用含t的代数式表示）：当___________时，．
（操作二）：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，，并说明理由？
（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2），秒或秒；（3）4秒或22秒，理由见解析；（4）存在，秒、秒、秒
【分析】
（1）根据与互补即可得出结果；
（2）用旋转的速度乘以得到度数，由，分情况讨论，求出旋转角的度数，即可算出的值；
（3）分类讨论，用表示出三角尺和直尺的旋转度数，根据，列式求出的值；
（4）分类讨论，当在左侧或当在右侧，根据与中其中一个角是另一个角的两倍，列出式子求出的值．
【详解】
（1）∵，，
∴，
与互补的角是，
故答案是：，；
（2）旋转的速度是每秒，
∴旋转的度数表示为，
当时，
①，
∴，
，解得，
②旋转角为，
，解得，
故答案是：，或；
（3）①如图①当在左侧时，度，度，
∵，
∴，
由题意得，解得，
②如图②当在右侧时，三角尺旋转的角度为度，直尺旋转的角度为度，
∵，
∴，
由题意得，解得，
综上所述，当秒或22秒时，；
（4）①当在左侧时，
（ⅰ），如图③，
，解得；
（ⅱ），如图④，
，解得；
②当在右侧时，
（ⅰ），如图⑤，
，解得；
（ⅱ），因为，所以不存在；
∴综上所述，当秒、秒、秒时两个角其中一个是另一个的两倍．
【点睛】
本题考查角度旋转问题，解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数，再根据题意列出与时间有关的方程进行求解，需要掌握分类讨论的思想．