(新高考)高考数学一轮复习讲与练第4章§4.8《解三角形及其应用举例》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲与练第4章§4.8《解三角形及其应用举例》(含详解)，共23页。试卷主要包含了21，sin 18°≈0，124，CD约为19米．等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
测量中的几个有关术语
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．( √ )
(2)若△ABC为锐角三角形且A＝eq \f(π,3)，则角B的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
教材改编题
1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．20eq \r(2) m B．30eq \r(2) m
C．40eq \r(2) m D．50eq \r(2) m
答案 D
解析 由三角形内角和定理，
可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，
由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)
⇒eq \f(AB,\f(\r(2),2))＝eq \f(50,\f(1,2))⇒AB＝50eq \r(2).
2．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________ m.
答案 30＋10eq \r(3)
解析 如图所示，依题意∠ACE＝30°，
∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，
由eq \f(AE,sin 30°)＝eq \f(CE,sin 60°)，得AE＝10eq \r(3)，
所以AB＝(30＋10eq \r(3)) m.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的面积最大值为________．
答案 eq \r(3)
解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴4＝b2＋c2－bc，
∴bc＋4＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤4(当且仅当b＝c时取“＝”)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc≤eq \r(3)，
∴△ABC的面积最大值为eq \r(3).
题型一 解三角形的应用举例
命题点1 距离问题
例1 (1)(2022·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1) m B．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) m D．30(eq \r(2)－1) m
答案 C
解析 从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m，
所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，
所以AB＝eq \f(60,sin 75°)，
由正弦定理可得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(BC,sin 45°)，
所以BC＝eq \f(ABsin 45°,sin 30°)＝eq \f(60×\r(2),sin30°＋45°)
＝120(eq \r(3)－1)．
(2)(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．
答案 80eq \r(5)
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得
AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))
＝160sin 15°
＝40(eq \r(6)－eq \r(2))．
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4
＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80eq \r(5)，
故图中海洋蓝洞的口径为80eq \r(5).
命题点2 高度问题
例2 (1)(2022·重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为9eq \r(6)米(如图所示)，则旗杆的高度为( )
A．9米 B．27米
C．9eq \r(3)米 D．9eq \r(6)米
答案 B
解析 依题意可知∠AEC＝45°，
∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理可知eq \f(AE,sin∠ACE)＝eq \f(AC,sin∠AEC)，
∴AC＝eq \f(AE,sin∠ACE)·sin∠AEC＝18eq \r(3)(米)，
∴在Rt△ABC中，
BC＝AC·sin∠CAB＝18eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝27(米)．
(2)(2022·河南豫南九校联盟联考)如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C，D两个观测点，并在C，D两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和60°，且∠BDC＝60°，则此建筑物的高度为( )
A．10eq \r(3)米 B．5eq \r(3)米
C．10米 D．5米
答案 B
解析 设AB＝x，则BC＝x，BD＝eq \f(\r(3),3)x，
在△BCD中，由余弦定理可得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DCcs∠BDC，
即x2＝eq \f(1,3)x2＋100－2×eq \f(\r(3),3)x×10×eq \f(1,2)，
整理得x2＋5eq \r(3)x－150＝0，
解得x＝5eq \r(3)或x＝－10eq \r(3)(舍)．
命题点3 角度问题
例3 (1)(2022·合肥检测)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
答案 B
解析 由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图，B正确．
(2)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cs θ等于( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(6)－2
C.eq \r(3)－1 D.eq \r(2)－1
答案 C
解析 由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，
所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(AC,sin 135°)，
又AB＝100 m，所以AC＝100eq \r(2) m.
在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，
由正弦定理得eq \f(AC,sinθ＋90°)＝eq \f(CD,sin 15°)，
所以cs θ＝sin(θ＋90°)＝eq \f(AC·sin 15°,CD)
＝eq \r(3)－1.
教师备选
1．(2022·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10eq \r(2)海里 B．10eq \r(3)海里
C．20eq \r(3)海里 D．20eq \r(2)海里
答案 A
解析 如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，
解得BC＝10eq \r(2)(海里)．
2．圣·索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15eq \r(3)－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A．20 m B．30 m
C．20eq \r(3) m D．30eq \r(3) m
答案 D
解析 由题意知∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，
所以∠ACM＝30°，
在Rt△ABM中，AM＝eq \f(AB,sin∠AMB)＝eq \f(AB,sin 15°)，
在△ACM中，由正弦定理得eq \f(AM,sin 30°)＝eq \f(CM,sin 45°)，
所以CM＝eq \f(AM·sin 45°,sin 30°)＝eq \f(AB·sin 45°,sin 15°·sin 30°)，
在Rt△DCM中，
CD＝CM·sin 60°＝eq \f(AB·sin 45°·sin 60°,sin 15°·sin 30°)
＝eq \f(15\r(3)－15×\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2),\f(\r(6)－\r(2),4)×\f(1,2))＝30eq \r(3)(m)．
思维升华 解三角形的应用问题的要点
(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
跟踪训练1 (1)如图所示，为了测量A，B两岛屿的距离，小明在D处观测到A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两岛屿的距离为________海里．
答案 5eq \r(6)
解析 由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，
∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，
在△ACD中，由正弦定理得eq \f(AD,sin 30°)＝eq \f(10,sin 45°)，
所以AD＝eq \f(10sin 30°,sin 45°)＝eq \f(5,sin 45°)＝5eq \r(2)，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
所以△BCD为等腰直角三角形，
则BD＝eq \r(2)CD＝10eq \r(2)，在△ABD中，由余弦定理可得AB＝eq \r(AD2＋BD2－2AD·BDcs 60°)
＝5eq \r(6)(海里)．
(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m.
答案 100eq \r(6)
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，
故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，
故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)＝100eq \r(6)(m)．
题型二 解三角形中的最值和范围问题
例4 (2022·辽宁实验中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq \f(\r(3),3)bsin C＋ccs B＝a.
(1)若a＝2，b＝eq \r(3)，求△ABC的面积；
(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围．
解 (1)∵eq \f(\r(3),3)bsin C＋ccs B＝a，
∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccs B＝sin A，
∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)，
∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccs B
＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＝sin Bcs C，
∵sin B≠0，∴eq \f(\r(3),3)sin C＝cs C，
又易知cs C≠0，
∴tan C＝eq \r(3)，
∵0∴C＝eq \f(π,3).
∵a＝2，b＝eq \r(3)，C＝eq \f(π,3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×sin eq \f(π,3)
＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,2).
(2)在△ABC中，c＝2，C＝eq \f(π,3)，
由余弦定理得4＝a2＋b2－ab，
∴(a＋b)2－4＝3ab≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，
即(a＋b)2－4≤eq \f(3,4)(a＋b)2，
即(a＋b)2≤16，
∴0又a＋b>c＝2，
∴2故△ABC周长的取值范围是(4,6]．
延伸探究 把本例(2)改为△ABC为锐角三角形，若c＝2，求△ABC周长的取值范围．
解 (1)同例题．
(2)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(2,sin \f(π,3))，
∴a＝eq \f(4\r(3),3)sin A，b＝eq \f(4\r(3),3)sin B，
∴a＋b＋c＝eq \f(4\r(3),3)sin A＋eq \f(4\r(3),3)sin B＋2
＝eq \f(4\r(3),3)sin A＋eq \f(4\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＋2
＝eq \f(4\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)sin A＋\f(\r(3),2)cs A))＋2
＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＋2，
∵△ABC为锐角三角形，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0解得eq \f(π,6)∴eq \f(\r(3),2)∴2eq \r(3)＋2<4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＋2≤6，
∴△ABC周长的取值范围为(2eq \r(3)＋2,6]．
教师备选
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cs C＋cs Acs B＝2eq \r(2)sin Acs B.
(1)求cs B的值；
(2)若a＋c＝2，求b的取值范围．
解 (1)因为cs C＋cs Acs B＝2eq \r(2)sin Acs B，
所以－cs(A＋B)＋cs Acs B＝2eq \r(2)sin Acs B，
即sin Asin B＝2eq \r(2)sin Acs B，
因为sin A≠0，
所以sin B＝2eq \r(2)cs B>0，
又因为sin2B＋cs2B＝1，解得cs B＝eq \f(1,3).
(2)由a＋c＝2，可得c＝2－a，
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－eq \f(2,3)ac
＝a2＋(2－a)2－eq \f(2,3)a(2－a)
＝eq \f(8,3)(a－1)2＋eq \f(4,3)，
因为0所以eq \f(2\r(3),3)≤b<2，
所以b的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，2)).
思维升华 解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．
跟踪训练2 (2022·大连模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(3)，求BC边上的中线AM的最大值．
解 (1)∵b2＋c2－a2＝bc，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
又A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－bc＝3，
∴b2＋c2＝bc＋3≥2bc(当且仅当b＝c时取等号)，
∴bc≤3.
又cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
在△ABC中，∵eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))2)
＝eq \f(1,4)(b2＋c2＋bc)＝eq \f(1,4)(2bc＋3)
≤eq \f(1,4)(2×3＋3)＝eq \f(9,4)，
∴AM≤eq \f(3,2)，即中线AM的最大值为eq \f(3,2).
课时精练
1．(2022·济南模拟)如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)( )
A．10 km B．20 km
C．30 km D．40 km
答案 B
解析 在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，
得C＝150°，
由正弦定理得eq \f(500,sin 150°)＝eq \f(BC,sin 12°)＝eq \f(AC,sin 18°)，
所以eq \f(500,\f(1,2))≈eq \f(BC,0.21)≈eq \f(AC,0.31)，
所以AC＝310 km，BC＝210 km，
所以AC＋BC－AB＝20 km.
2．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)( )

A．18米 B．19米
C．20米 D．21米
答案 B
解析 在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，
则AC＝eq \r(3)CD，
在Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD，
由AC－BC＝AB得
eq \r(3)CD－CD＝14⇒CD＝eq \f(14,\r(3)－1)
＝7(eq \r(3)＋1)≈19.124，CD约为19米．
3.第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区．如图，A点，正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向，船航行eq \f(3,4) h后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45°方向．此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为( )
A．9eq \r(2) n mile B．9(eq \r(2)－1)n mile
C．9(eq \r(3)－1)n mile D．9(eq \r(3)－eq \r(2))n mile
答案 C
解析 如图，SE⊥AB，
在△ASB中，∠ABS＝135°，
AB＝24×eq \f(3,4)＝18，∠BAS＝15°，
∠ASB＝180°－∠ABS－∠SAB＝30°，
由正弦定理得
eq \f(AS,sin∠ABS)＝eq \f(AB,sin∠ASB)，
所以AS＝eq \f(ABsin 135°,sin 30°)＝18eq \r(2)(n mile)，
所以船与S岛的最近距离
SE＝SA·sin∠SAB＝18eq \r(2)sin 15°
＝18eq \r(2)×eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝9(eq \r(3)－1)(n mile)．
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(0,4) B．(2,2eq \r(3))
C．(2,4) D．(2eq \r(2)，4)
答案 C
解析 因为a＝2，B＝2A，
所以由正弦定理得
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(b,2sin Acs A)，
得b＝4cs A，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0解得0所以eq \f(1,2)所以2<4cs A<4，所以25．(多选)某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值是( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．3 D．6
答案 AB
解析 如图，AB＝x，BC＝3，AC＝eq \r(3)，∠ABC＝30°.
由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cs 30°.
解得x＝2eq \r(3)或x＝eq \r(3).
6．(多选)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c可能的取值是( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D.eq \f(\r(13),2)
答案 BD
解析 若c边为最大边，则cs C>0，
∴eq \f(a2＋b2－c2,2ab)>0，
∴c若b边为最大边，则cs B>0，
∴eq \f(a2＋c2－b2,2ac)>0，∴c>eq \r(3)，
∴eq \r(3)∴边长c可能的取值是2，eq \f(\r(13),2).
7．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，则甲、乙共走了________步．
答案 35
解析 由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为t秒，每步走a米，则AC＝3ta，AB＝10a，BC＝(7t－10)a，
在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，
即(3ta)2＋(10a)2＝[(7t－10)a]2，
解得t＝eq \f(7,2)，
故甲走了7t＝eq \f(49,2)＝24.5步，
乙走了3t＝eq \f(21,2)＝10.5步．
故共走了24.5＋10.5＝35步．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Asin B·cs C＝2sin2C，则eq \f(a2＋b2,c2)＝________，sin C的最大值为________．
答案 5 eq \f(3,5)
解析 ∵sin Asin Bcs C＝2sin2C，
∴利用正弦定理可得abcs C＝2c2，
又∵cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
∴eq \f(a2＋b2－c2,2)＝2c2 ，
整理可得eq \f(a2＋b2,c2)＝5.
∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－\f(a2＋b2,5),2ab)
＝eq \f(2a2＋b2,5ab)≥eq \f(2·2ab,5ab)＝eq \f(4,5)，
当且仅当a＝b时等号成立，
∴sin C的最大值为eq \r(1－cs2C)＝eq \f(3,5)，
当且仅当a＝b时等号成立．
9．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin xcs x－2cs2x＋m，且函数f(x)的最大值为3.
(1)求m的值；
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B)＝0，b＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)因为f(x)＝2eq \r(3)sin xcs x－2cs2x＋m
＝eq \r(3)sin 2x－2×eq \f(1＋cs 2x,2)＋m
＝eq \r(3)sin 2x－cs 2x＋m－1
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋m－1，
所以f(x)max＝m＋1＝3，解得m＝2.
(2)因为f(B)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,6)))＋1＝0，
可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，
因为0则－eq \f(π,6)<2B－eq \f(π,6)所以2B－eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，
可得B＝eq \f(2π,3)，
由余弦定理可得4＝b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac，即ac≤eq \f(4,3)，
当且仅当a＝c＝eq \f(2\r(3),3)时，等号成立，
因此S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)ac≤eq \f(\r(3),4)×eq \f(4,3)＝eq \f(\r(3),3)，
即△ABC面积的最大值为eq \f(\r(3),3).
10．(2022·江苏前黄高级中学质检)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
①(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B；②2S＝eq \r(3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))(其中S为△ABC的面积)；③eq \r(3)a－csin B＝eq \r(3)bcs C.
(1)若b＝4，ac＝3，求a＋c的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求a的取值范围．
解 选择①(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B，
由正弦定理得(a－c)a＋c2＝b2，
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，B∈(0，π)，
则B＝eq \f(π,3)；
选择②2S＝eq \r(3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))，
则acsin B＝eq \r(3)cacs B，
所以tan B＝eq \r(3)，又B∈(0，π)，
则B＝eq \f(π,3)；
选择③eq \r(3)a－csin B＝eq \r(3)bcs C，
由正弦定理得
eq \r(3)sin A－sin Csin B＝eq \r(3)sin Bcs C，
又因为sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
所以eq \r(3)cs Bsin C－sin Csin B＝0，
则tan B＝eq \r(3)，又B∈(0，π)，则B＝eq \f(π,3)，
故选择①②③均得到B＝eq \f(π,3).
(1)若b＝4，ac＝3，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，
即16＝a2＋c2－2accs eq \f(π,3)＝(a＋c)2－3ac，
所以a＋c＝5.
(2)由△ABC为锐角三角形及B＝eq \f(π,3)，
得A＝eq \f(2π,3)－C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(2,sin C)，
所以a＝eq \f(2sin A,sin C)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,3))),sin C)
＝eq \f(sin C＋\r(3)cs C,sin C)
＝1＋eq \f(\r(3),tan C).
因为C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
所以tan C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))，
所以eq \f(1,tan C)∈(0，eq \r(3))，
所以1＋eq \f(\r(3),tan C)∈(1,4)，即所求a的取值范围是(1,4)．
11.(2022·大庆模拟)小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是( )
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.
A．①和② B．①和③
C．②和③ D．①和②和③
答案 D
解析 根据题意，△P1P2D的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，
①中，eq \f(CD,sin∠DP1C)＝eq \f(DP1,sin∠DCP1)，
故CD＝eq \f(DP1sin∠DP1C,sin∠DCP1)，
故①可以求出CD；③与①条件等价．
②中，在△P1P2C中，
eq \f(P1P2,sin∠P1CP2)＝eq \f(P1C,sin∠P1P2C)，
故P1C＝eq \f(asin∠P1P2C,sin∠P1CP2)，
在△P1CD中，利用余弦定理求解CD即可．
12．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度是( )
A．30 m B．40eq \r(2) m
C．40eq \r(3) m D．40 m
答案 D
解析 由题意，设AB＝x，
由于AB⊥平面BCD，BC，BD⊂平面BCD，
∴AB⊥BC，AB⊥BD，
由题意可得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝eq \f(AB,BC)，
∴BC＝eq \f(AB,tan 45°)＝x，同理可得BD＝eq \r(3)x，
在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝40，
根据余弦定理
得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs∠DCB，
即(eq \r(3)x)2＝402＋x2－2×40·x·cs 120°，
整理得x2－20x－800＝0，
解得x＝40 或x＝－20 (舍)，
即所求电视塔的高度为40 m.
13．(2022·长春模拟)在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约_____________小时后气象台所在地开始受到影响(参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(7)≈2.6)．
答案 2
解析 设气象台所在地为O，台风中心为A，约t小时后气象台所在地将受到影响，t小时后台风中心移动至B处，∠BAO＝45°，
在△OAB中，AB＝40t，OA＝300，OB＝250，
由余弦定理得
2502＝(40t)2＋3002－2×300×40t×eq \f(\r(2),2)，
整理得16t2－120eq \r(2)t＋275＝0，
解得t1＝eq \f(15\r(2)－5\r(7),4)，t2＝eq \f(15\r(2)＋5\r(7),4)，
依题意保留t1＝eq \f(15\r(2)－5\r(7),4)≈2，故约2小时后影响气象台所在地．
14.如图，△ABC为等腰直角三角形，A＝eq \f(π,2)，点D是△ABC外一点，且DB＝2，DC＝1，则四边形ABDC的面积的最大值为________．
答案 eq \f(5,4)＋eq \r(2)
解析 设∠BDC＝θ，则θ∈(0，π)，
∴S△BDC＝eq \f(1,2)·DB·DC·sin θ＝sin θ，
在△BDC中，由余弦定理得
BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cs θ＝5－4cs θ，
又S△ABC＝eq \f(1,2)·BC·eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,4)BC2＝eq \f(5,4)－cs θ，
∴S四边形ABDC＝eq \f(5,4)－cs θ＋sin θ
＝eq \f(5,4)＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))，θ∈(0，π)，
当θ－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(3π,4)时，
S四边形ABDC的最大值为eq \f(5,4)＋eq \r(2).
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccs A＋acs C＝2，AC边上的高为eq \r(3)，则∠ABC的最大值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 ∵ccs A＋acs C＝2，
由余弦定理可得c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋a·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝2，整理可得b＝2，
又AC边上的高为eq \r(3)，
∴eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \f(1,2)acsin B，即ac＝eq \f(2\r(3),sin B)，
∵cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq \f(2ac－b2,2ac)＝1－eq \f(2,ac)，当且仅当a＝c时取等号，∴cs B≥1－eq \f(\r(3),3)sin B，
即eq \r(3)sin B＋3cs B≥3，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))≥eq \f(\r(3),2)，
∵B∈(0，π)，
∴B＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，则B＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，
∴B∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，故∠ABC的最大值为eq \f(π,3).
16.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
解 设∠AMN＝θ，在△AMN中，
eq \f(MN,sin 60°)＝eq \f(AM,sin120°－θ).
因为MN＝2，所以AM＝eq \f(4\r(3),3)sin(120°－θ)．
在△APM中，cs∠AMP＝cs(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cs∠AMP
＝eq \f(16,3)sin2(120°－θ)＋4－2×2×eq \f(4\r(3),3)sin(120°－θ)cs(60°＋θ)
＝eq \f(16,3)sin2(θ＋60°)－eq \f(16\r(3),3)sin(θ＋60°)cs(θ＋60°)＋4
＝eq \f(8,3)[1－cs(2θ＋120°)]－eq \f(8\r(3),3)sin(2θ＋120°)＋4
＝－eq \f(8,3)[eq \r(3)sin(2θ＋120°)＋cs(2θ＋120°)]＋eq \f(20,3)
＝eq \f(20,3)－eq \f(16,3)sin(2θ＋150°)，0°<θ<120°.
当且仅当2θ＋150°＝270°，
即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2eq \r(3).所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ