2023年中考数学压轴题培优专题08 将军饮马模型（含答案解析）

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【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题8将军饮马模型
解题策略


模型1：当两定点A、B在直线l异侧时,在直线l上找一点P,使PA＋PB最小．

连接AB交直线l于点P,点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB.
模型2：当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得PA＋PB最小．


作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点P,点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'
模型3：当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得最大．

连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点,的最大值为AB
模型4：当两定点A、B在直线l异侧时,在直线l上找一点P,使得最大．

作点B关于直线I的对称点B',连接AB'并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点．的最大值为AB'
模型8：当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得最小．

连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于点P,点P即为所求作的点．的最小值为0
模型6：点P在∠AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得△PCD周长最小．

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″,连接P′P″,交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″
模型7：点P在∠AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得PD＋CD最小．


作点P关于OB的对称点P′,过P′作P′C⊥OA交OB,PD＋CD的最小值为P′C
经典例题



【例1】．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点,将三角形分成两个三角形,其中一个三角形与原三角形相似,则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=108°,DE垂直平分AB,且交BC于点D,连接AD．


(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2,点P为直线DE上一点,当点P运动到什么位置时,PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3,射线CF平分∠ACB,点Q为射线CF上一点,当AQ+5−14CQ取最小值时,求∠QAC的正弦值．
【例2】．（2021·四川南充·一模）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4,0）、B（0,4）、C．其对称轴l交x轴于点D,交直线AB于点F,交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点,求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合）,在抛物线上是否存在一点M,使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由．
【例3】（2022·浙江衢州·模拟预测）如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,弦AD平分∠BAC,过点D作射线AC的垂线,垂足为M,点E为线段AB上的动点．

(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°,AB＝8,在点E运动过程中,EC+EM是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上,连接CE并延长,交⊙O于点F,交AD于点P,连接AF,CP＝3,EF＝4,求AF的长．
【例4】（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）在Rt△ABC中,AB＝BC,在Rt△CEH中,∠CEH＝45°,∠ECH＝90°,连接AE．

(1)如图1,若点E在CB延长线上,连接AH,且AH＝6,求AE的长；
(2)如图2,若点E在AC上,F为AE的中点,连接BF、BH,当BH＝2BF,∠EHB+12∠HBF＝45°时,求证：AE＝CE；
(3)如图3,若点E在线段AC上运动,取AE的中点F,作FH'∥BC交AB于H,连接BE并延长到D,使得BE＝DE,连接AD、CD；在线段BC上取一点G,使得CG＝AF,并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中,当ACD的周长取得最小值时,△AED的面积为25,请直接写出GE+BH′的值．
【例5】（2022·江苏·九年级课时练习）如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B＝90°,AB＝8,BC＝20,AD＝18,点Q为BC中点,动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动,设动点P的运动时间为t秒．

(1)当t为何值时,四边形PBQD是平行四边形,请说明理由?
(2)在AD边上是否存在一点R,使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出t的值：若不存在,请说明理由．
(3)在线段PD上有一点M,且PM＝10,当点P从点A向右运动_________秒时,四边形BCMP的周长最小,其最小值为_________．
培优训练


一、解答题
1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC底边BC上的中线,点P为线段AB上一点．
（1）在AD上找一点E,使得PE+EB的值最小；
（2）若点P为AB的中点,当∠BPE满足什么条件时,△ABC是等边三角形,并说明理由．

2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示,在平面直角坐标系中,已知一次函数y=12x+1的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求边AB的长；
（2）求点C,D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M,使△MDB的周长最小？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠,且BC＝9,∠B＝30°．
（1）如图1、2,若点D是CB上一点,且CD＝3,点E是AB上的动点,将△DBE沿DE对折,点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧）,DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时,求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时,求∠DEB的度数．
（2）如图2,若点D是CB上一点,且CD＝3,M是线段AC上的动点,以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D,M,N三点顺时针方向排列）,在点M的运动过程中,直接写出CN+NB的最小值．

4．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,AC＝2,以BC为边向左作等边△BCE,点D为AB中点,连接CD,点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．

5．（2022·江苏·八年级专题练习）如图,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE．

（1）若∠ABC=68°,求∠AED的度数；
（2）若点P为直线DE上一点,AB=8,BC=6,求△PBC周长的最小值．
6．（2021·江苏·星海实验中学八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,直线l平行于x轴,l上有两点A、B,且点A坐标为（－14,8）,点B位于A点右侧,两点相距8个单位,动点P、Q分别从A、B出发,沿直线l向右运动,点P速度为2个单位/秒,点Q速度为6个单位/秒,设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ）,Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中,取线段PQ的中点D,当△OBD为直角三角形时,求出t的值及相应的点D的坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点,若坐标系中存在另一点E（−133,－4）,请问x轴上是否存在一点F,使FD－FE的值最大,若存在,求出最大值；若不存在,说明理由．

7．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝33x2﹣233x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E（4,n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE．当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM＋MN＋NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点,将抛物线y＝33x2﹣233x﹣3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰三角形？若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．
8．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC,其中∠A＝∠D＝90°,AB＝AC,AC、BD交于点P．
（1）如图1,BP平分∠ABC,求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2,过点A作AE⊥BP,分别交BP、BC于点E、点F,连接AD,过A作AG⊥AD,交BD于点G,连接CG,交AF于点H,
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3,点M为边AB的中点,点Q是边BC上一动点,连接MQ,将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK,连接PK、CK,当∠DBC＝15°,AP＝2时,请直接写出PK+CK的最小值．

9．（2021·广东·岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣12x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点,点B（1,0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′,问在AB的垂直平分线上是否存在一点G,使得△GBC′的周长最小？若存在,求出点G的坐标和最小周长；若不存在,请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点,过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q,过点Q作QM⊥x轴于点M,再过点P作PN⊥x轴于点N,得到矩形PQMN,在点P的运动过程中,当矩形PQMN为正方形时,求该正方形的边长．

10．（2021·陕西宝鸡·九年级期中）问题提出
（1）在图1中作出点B关于直线AC的对称点B'
问题探究
（2）如图2,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,D为AC的中点,P为线段BC上一点,求AP+DP的最小值.
问题解决
（3）如图3,四边形ABCD为小区绿化区,DA=DC,∠ADC=90°,AB=6+63,BC=12,∠B=30°,AC是以D为圆心,DA为半径的圆弧.现在规划在AC,边BC和边AC上分别取一点P,E,F,使得DP+PE+EF+PF为这一区域小路,求小路长度的最小值.

11．（2021·全国·九年级专题练习）已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠ABO=30°,OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,得到△ODC,点D在BO上,连接BC．
                  
（1）如图①,求线段BC的长；
（2）如图②,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度；
（3）如图③,点M是线段OC的中点,点N是线段OB上的动点（不与点O重合）,求△CMN周长的最小值．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,A0,2、B−2,0、C2,2,点E、F分别是直线AB和x轴上的动点,求△CEF周长的最小值．

13．（2021·全国·九年级专题练习）如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0、B两点,与y轴交于点C0,−3．
          
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①,连接BC,点P是抛物线在第四象限上一点,连接PB,PC,求△BCP面积的最大值；
（3）如图②,点D为抛物线的顶点,点C关于抛物线对称轴的对称点为点E,连接DE．将抛物线沿x轴向右平移t个单位,点A,B的对应点分别为A'、B',连接A'D、B'E,当四边形A'DEB'的周长取最小值时,求t的值．
14．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,CD上的点,连接AE,AF,EF．
（1）如图①,AB=AD,∠BAD=120°,∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；
              
（2）如图②,∠BAD=120°,当△AEF周长最小时,求∠AEF+∠AFE的度数；
（3）如图③,若四边形ABCD为正方形,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,若BE=3,DF=2,请求出线段EF的长度．
15．（2021·全国·九年级专题练习）如图,等边△ABC的边长为6,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接BE．
（1）如图①,求点D到线段BE的最短距离；
                
（2）点P,N分别是BE,BC上的动点,连接PN、PD．
①如图②,当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度；
②如图③,点Q在BE上,若BQ=1,连接QN,求QN+NP+PD的最小值．
16．（2021·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中,以点P23,−3为圆心的圆与x轴相交于A、B两点,与y轴相切于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C,顶点为D．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为y轴上一点,连接DM,MP,是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在,求出点M的坐标及△DMP的周长最小值；若不存在,请说明理由．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,BC=4,⊙O是△ABC的外接圆,D是CB延长线上一点,且BD=2,连接DA,点P是射线DA上的动点
       
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时,∠BPC的度数最大,最大度数是多少？请说明理由；
（3）点P运动的过程中,PB+PC的值能否达到最小,若能,求出这个最小值；若不能,请说明理由．
18．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC=90°,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下,点M在AC线段上移动,请直接回答,当点M移动到什么位置时,MB+MD有最小值．
19．（2022·全国·八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内,过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2.

①如图1,若∠AOB=25∘,请直接写出∠P1OP2=______；
②如图2,连接P1P2分别交OA、OB于C、D,若∠CPD=98∘,求∠AOB的度数；
③在②的条件下,若∠CPD=α度（90<α<180）,请直接写出∠AOB=______度（用含α的代数式表示）.
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形”这个结论,解答问题：如图3,在ΔABC中,∠BAC=30∘,点P是ΔABC内部一定点,AP=8,点E、F分别在边AB、AC上,请你在图3中画出使ΔPEF周长最小的点E、F的位置（不写画法）,并直接写出ΔPEF周长的最小值.
20．（2012·浙江金华·中考真题）在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．
（1）如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数；
（2）如图2,连接AA1,CC1．若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积；
（3）如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值．
21．（2021·全国·九年级专题练习）已知,如图,二次函数y=ax2+2ax−3aa≠0图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧),点H、B关于直线l：y=33x+3对称.

(1)求A、B两点的坐标,并证明点A在直线l上；
(2)求二次函数解析式；
(3)过点B作直线BK//AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连结HN、NM、MK,求HN+NM+MK的最小值.
22．（2022·吉林松原·八年级期中）教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．




(1)问题解决：请结合图①,写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB＝4,∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②,连结OE,则OE的长为____．
(3)如图③,若点P是对角线BD上的一个动点,连结PC、PE,则PC＋PE的最小值为_____．
23．（2022·河北保定·一模）[问题提出]
初中数学的学习中,我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识……常可利用它们来解决“最值问题”．
[简单运用]


(1)如图1,在△ABC中,AB＝6,∠A＝60°,∠B＝45°,在BC上取一点D,则AD的长的最小值是______．
[综合运用]
(2)如图1,在△ABC中,AB＝6,∠A＝60°,∠B＝45°,在BC、AB、AC．上分别取点D、E、F,使得△DEF的周长最小．画出图形确定D、E、F的位置,并直接写出△DEF的周长的最小值．
[拓展延伸]
(3)图2是由线段AB、线段AC、BC组成的图形,其中∠A＝60°,AB＝6,AC＝3,BC为60°,分别在BC、线段AB和线段AC．上取点D、E、F,使得△DEF的周长最小,画出图形确定D、E、F的位置,并直接写出△DEF的周长的最小值．
24．（2022·山东济宁·一模）如图,已知抛物线y=ax2+bx−6与x轴的交点A（-3,0）,B（1,0）,与y轴的交点是点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点,当PB＋PC的值最小时,求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M,N,使得∠CMN=90∘且以点C,M,N为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,求出点M和点N的坐标；若不存在,说明理由．

经典例题



【例1】（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点,将三角形分成两个三角形,其中一个三角形与原三角形相似,则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=108°,DE垂直平分AB,且交BC于点D,连接AD．


(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2,点P为直线DE上一点,当点P运动到什么位置时,PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3,射线CF平分∠ACB,点Q为射线CF上一点,当AQ+5−14CQ取最小值时,求∠QAC的正弦值．
【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)当点P运动到D点时,PA+PC的值最小,此时PA+PC=5+12；
(3)∠QAC的正弦值为5+14
【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；
（2）根据垂直平分线的性质可得PA+PC=PB+PC≥BC,当点P与D重合时,PA+PC=PB+PC=BC,此时PA+PC最小,设BD=x,则BC=x+1
根据△DBA∽△ABC,列出方程,解方程求解即可求得BD,进而即可求得BC的长,即PA+PC最小值；
（3）过点A作AH⊥BC于点H,过点Q作QG⊥BC于点G,连接AG,设CF与AD交于点M,根据已知条件求得GQ=5−14CQ,进而转化为AQ+5−14CQ=AQ+GQ,则当Q点落在AG上时,点G与点H重合,此时AQ+5−14CQ的值最小,最小值为AH,进而根据sin∠QAC=sin∠HAC=CHAC求解即可．
(1)
∵△ABC中,AB=AC=1,∠BAC = 108°
∴∠B =∠C =12（180°-∠BAC）= 36°
∵DE垂直平分AB
∴AD = BD
∴∠B =∠BAD = 36°
∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B
∴△DBA∽△ABC
∴直线AD是△ABC的自相似分割线．
(2)
如图,连接PB,AD,


∵DE垂直平分AB,
∴PA=PB
∴PA+PC=PB+PC≥BC
当点P与D重合时,PA+PC=PB+PC=BC,此时PA+PC最小,
∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°,∠DAC=∠BAC−∠BAD=72°
∴∠ADC=∠DAC
∴CD=CA=1
设BD=x,则BC=x+1
∵△DBA∽△ABC
∴BDAB=ABBC
∴x1=1x+1
∴x2+x−1=0
解得：x=−1±52
∵x>0
∴x= −1+52
∴BC=x+1=5+12
∴PA+PC=5+12
∴当点P运动到D点时,PA+PC的值最小,此时PA+PC=5+12；
(3)
如图,过点A作AH⊥BC于点H,过点Q作QG⊥BC于点G,连接AG,设CF与AD交于点M,


∵AB=AC,
∴CH=12BC=5+14
由（2）知,DC=AC=1
∵CF平分∠ACB
∴CM⊥AD
DM=AM=12AD=5−14
∴sin∠MCD=GQCQ =DMCD=5−14
∴GQ=5−14CQ
∴AQ+5−14CQ=AQ+GQ≥AG
∵AG≥AH
∴Q点落在AG上时,点G与点H重合,
即此时AQ+5−14CQ的值最小,最小值为AH
∴∠QAC=∠HAC
∵AB=AC,AH⊥BC
∴CH=12BC=5+14
∴sin∠QAC=sin∠HAC=CHAC=5+14
∴∠QAC的正弦值为5+14
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,求角的正弦,垂直平分线的性质,两点之间线段最短,垂线段最短,胡不归问题,转化线段是解题的关键．
【例2】（2021·四川南充·一模）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4,0）、B（0,4）、C．其对称轴l交x轴于点D,交直线AB于点F,交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点,求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合）,在抛物线上是否存在一点M,使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由．
【答案】(1)y=−x2+3x+4
(2)17+42
(3)存在,（52,214）或（4+312,-7+2314）或（4−312,-7−2314）
【分析】（1）把点A（4,0）、B（0,4）代入抛物线y=-x2+bx+c中,求得b和c即可；
（2）作点B关于直线l的对称轴B′,连接B′C交l于一点P,点P即为使△PBC周长最小的点,由对称可知,PB′=PB,即△PBC周长的最小值为：BC+CB′；
（3）设M（m,-m2+3m+4）,①当EF为边时,则EF∥MN,则N（m,-m+4）,所以NM=EF=154,即|-m2+3m+4-（-m+4）|=154,求出m的值,代入即可；②当EF为对角线时,EF的中点为（32,358）,由中点坐标公式可求得点N的坐标,再由点N是直线AB上一点,可知-3+m+4=m2-3m+194,解得m的值即可．
(1)
解：把点A（4,0）、B（0,4）代入抛物线y=-x2+bx+c中,
得,−16+4b+c=0c=4,解得b=3c=4,
∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；
(2)
解：由抛物线解析式可知,对称轴直线l：x=32,
∵点A（4,0）,
∴点C（-1,0）,
如图,作点B关于直线l的对称轴B′,连接B′C交l于一点P,点P即为使△PBC周长最小的点,

此时B′（3,4）,
设直线B′C的解析式为y=kx+b1,
∴3k+b1=4−k+b1=0,
解得：k=1b1=1,
∴直线B′C的解析式为：y=x+1,
把x=32代入得：y=32+1=52,
∴P（32,52）,
∵B（0,4）,C（-1,0）,B′（3,4）,
∴BC=12+42=17,CB′=(3+1)2+42=42,
∴△PBC周长的最小值为：17+42；
(3)
解：存在,以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（52,214）或（4+312,-7+2314）或（4−312,-7−2314）．理由如下：
由抛物线解析式可知,E（32,254）,
∵A（4,0）、B（0,4）,
∴直线AB的解析式为：y=-x+4,
∴F（32,52）．
∴EF=154．
设M（m,-m2+3m+4）,
①当EF为边时,则EF∥MN,
∴N（m,-m+4）,
∴NM=EF=154,即|-m2+3m+4-（-m+4）|=154,
解得m=32（舍）或52或4+312或4−312,
∴M（52,214）或（4+312,-7+2314）或（4−312,-7−2314）．
②当EF为对角线时,EF的中点为（32,358）,
∴点N的坐标为（3-m,m2-3m+194）,
∴-3+m+4=m2-3m+194,解得m=32（舍）,m=52,
∴M（52,214）．
综上,满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（52,214）或（4+312,-7+2314）或（4−312,-7−2314）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式,平行四边形存在性问题,解题过程中注意需要分类讨论．
【例3】（2022·浙江衢州·模拟预测）如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,弦AD平分∠BAC,过点D作射线AC的垂线,垂足为M,点E为线段AB上的动点．

(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°,AB＝8,在点E运动过程中,EC+EM是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上,连接CE并延长,交⊙O于点F,交AD于点P,连接AF,CP＝3,EF＝4,求AF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在,EC+EM的最小值为219,理由见解析
(3)6
【分析】（1）连接OD,交BC于点N,通过证明四边形CNDM为矩形得出OD⊥MD,利用切线的判定定理即可得出结论．
（2）过点C作CF⊥AB,并延长交⊙O于点F,连接MF,交AB于点E,连接EC,利用将军饮马模型可知此时EC+EM的值最小,由题意可得FD为圆的直径,在RtΔFDM中,利用勾股定理即可求得结论．
（3）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定△FAP为等腰三角形,证明ΔFAE∼ΔFCA.,利用相似三角形的性质得出比例式,解关于AF的方程即可得出结论．
(1)
解：如图,连接OD,交BC于点N,
∵AB为直径
∴∠ACB=90°.
∴∠BCM=90°.
∵弦AD平分∠BAC,
∴CD=BD
∴ON⊥BC.
∵DM⊥AC,
∴四边形CNDM为矩形
∴OD⊥MD.
∵OD为圆的半径
∴ MD是⊙O的切线

(2)
解：在点E运动过程中,EC+EM存在最小值,理由如下：
过点C作CF⊥AB,并延长交⊙O于点F,连接MF,交AB于点E,连接EC,则此时EC+EM的值最小
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠CAB=60°.
∵弦AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠DAB=30°.
∴ CD与BD的度数为60°
∵AB是直径
∴AC=CD=BD
∵AB⊥CD,AB是直径
∴AC=AF.
∴AF+AC+CD=180°
∴FAD为半圆
∴FD为圆的直径
由（1）知：MD是⊙O的切线
∴FD⊥MD.
由题意得：AB垂直平分FC
∴EC=EF.
∴EC+EM=EF+EM=FM
∵∠CFD=∠DAB,∠DAB=30°
∴∠CFD=30°.
∵AB=8,
∴FD=8.
由（1）知：四边形CNDM为矩形
∴MD=NC.
∵ON⊥BC
∴CN=12BC.
在RtΔACB中
∵sin∠CAB=BCAB,
∴BC=AB⋅sin60°=8×32=43.
∴MD=CN=12BC=23.
在RtΔFDM中
MF=DF2+MD2=82+(23)2=219
∴ EC+EM的最小值为MF=219．

(3)
解：如图
∵FC平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ACF=∠BCF=45°
∴∠BAF=∠BCF=45°
∵ AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD
∵∠PAF=∠BAD+∠BAF,∠APF=∠ACF+∠CAD,
∴∠PAF=∠APF,
∴AF=FP.
∴FC=FP+CP=AF+3.
∵∠FAB=∠ACF=45°,∠F=∠F,
∴ΔFAE∼ΔFCA.
∴FAFC=FEFA.
∴FA2=FE⋅FC=4(AF+3).
∴AF2−4AF−12=0.
解得AF=6或AF=−2（不合题意,舍去）
∴AF=6.

【点睛】本题是一道圆的综合题,此题考查了圆的切线的判定与性质,圆周角定理及其推论,轴对称的性质,角平分线的定义,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,特殊角的三角函数值,连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键．
【例4】（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）在Rt△ABC中,AB＝BC,在Rt△CEH中,∠CEH＝45°,∠ECH＝90°,连接AE．

(1)如图1,若点E在CB延长线上,连接AH,且AH＝6,求AE的长；
(2)如图2,若点E在AC上,F为AE的中点,连接BF、BH,当BH＝2BF,∠EHB+12∠HBF＝45°时,求证：AE＝CE；
(3)如图3,若点E在线段AC上运动,取AE的中点F,作FH'∥BC交AB于H,连接BE并延长到D,使得BE＝DE,连接AD、CD；在线段BC上取一点G,使得CG＝AF,并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中,当ACD的周长取得最小值时,△AED的面积为25,请直接写出GE+BH′的值．
【答案】(1)AE＝6
(2)见解析
(3)GE+BH′＝15+5102
【分析】（1）在Rt△ABC中,由AB＝BC得∠BAC＝∠ACB＝45°,从而得∠ACE＝∠ACH,再找CE＝CH,进而证明△ACE≌△ACH,即可得AE＝AH＝6；
（2）连接BE,设BH与AC交于点G,可证得△ABF≌△CBG,从而得出BG=BF,BH＝2BG,,进而得出△EGH≌△CGB,进一步得出结果；
（3）作DN//AC作点A的对称点A′,连接AC交DN于D′,连接BD′,交AC与E′,则当点D在D′处,点E在点E′处时,△ACD的周长最小,进而求得△ACD为等腰直角三角形,进而求得AF, AH′和E′G,进一步得出结果．
（1）解：在Rt△ABC中,AB＝BC,∴∠BAC＝∠ACB＝45°,∵∠ECH＝90°,∴∠ACH＝45°,∴∠ACE＝∠ACH,在Rt△CEH中,∠CEH＝45°,∴∠CHE＝45°,∴CE＝CH,∵AC＝AC,∴△ACE≌△ACH（SAS）,∴AE＝AH＝6；
（2）证明：如图1,连接BE,设BH与AC交于点G,∵∠BCE=∠CEH=45°,∴EH//BC,∴∠EHB=∠CBG,∵∠ABC＝90°,∴12∠CBG+12∠HBF+12∠ABF=45°,∵∠EHB+12∠HBF＝45°,∴∠EHB=12∠CBG +12∠ABF,∴∠CBG =∠ABF,∵AB＝AC,∠A＝∠ACB＝45°,∴△ABF≌△CBG（ASA）,∴BG＝BF,∵BH＝2BF,∴BH＝2BG,∵∠HEG＝∠BCG＝45°,∠EGH＝∠CGB,∴△EGH≌△CGB（AAS）,∴EG＝CG,∴四边形EBCH是平行四边形,∴BE//CH,∴∠BEG＝∠ECH＝90°,∴AE＝CE；
（3）解：如图2,作DN∥AC,作点A关于直线DN′的对称点A′,连接A′C交DN于D′,连接BD′,交AC与E′,则当点D在D′处,点E在点E′处时,△ACD的周长最小,此时△ACD为等腰直角三角形,∵S△ADE＝12AE'2＝25,∴AE′＝52,∴AC＝2AE′＝102,∴AB＝BC＝22AC＝10,∵AF＝12AE＝522,∴H′F＝AH′＝22AF＝52 ,∴BH′＝10﹣52＝152,∵AF＝CG,∠BAF＝∠BCA＝45°,AB＝CE′,∴△ABF≌△CE′G（SAS）,∴BF＝E′G,∴E′G＝BF＝BH'2+FH'2＝(152)2+(52)2＝5210,∴GE+BH′＝15+5102．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质,全等三角形的判定和性质,轴对称性质以及勾股定理等知识,熟练掌握“将军饮马”等模型是解决问题的关键．
【例5】（2022·江苏·九年级课时练习）如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B＝90°,AB＝8,BC＝20,AD＝18,点Q为BC中点,动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动,设动点P的运动时间为t秒．

(1)当t为何值时,四边形PBQD是平行四边形,请说明理由?
(2)在AD边上是否存在一点R,使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出t的值：若不存在,请说明理由．
(3)在线段PD上有一点M,且PM＝10,当点P从点A向右运动_________秒时,四边形BCMP的周长最小,其最小值为_________．
【答案】(1)4
(2)存在,t=3
(3)52；289+30
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法,得到PD=BQ=10,列出一元一次方程求解即可；
（2）利用菱形的判定,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得到PB=PR=10,再利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）先确定四边形BCMP的周长等于30+QM+CM,再利用轴对称的知识和两点之间线段最短的知识确定QM+CM的最小值即可得到周长最小值,最后求出AP的长即可得到P点运动时间．
（1）解：连接BP、DQ,∵BC＝20,点Q为BC中点,∴BQ=CQ=10,要使四边形PBQD是平行四边形,则PD=BQ=10,∴18−2t=10,∴t=4,此时,PD=BQ且PD∥BQ,则四边形PBQD是平行四边形,∴当t为4时,四边形PBQD是平行四边形．
（2）存在,t=3；假设R点在图中所示位置,则连接BP、QR,要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形,则有PB=PR=10,在Rt△ABP中,82+2t2=102,∴t=3,t=−3（舍去）,此时AR=2×3+10=16,符合题意；∴在AD边上存在一点R,使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形,且t=3．
（3）52；289+30如图,连接BP、QM,因为PM=10,∴PM=BQ且PM∥BQ,∴四边形PBQM是平行四边形,∴PB=QM,∵四边形BCMP的周长=PM+PB+BC+CM =10+QM+20+CM =30+QM+CM,∴当QM+CM的值最小时,四边形BCMP的周长最小,作Q点关于AD的对称点G,连接CG,则QG=2QE=16,四边形ABQE是矩形,∴AE=BQ=10,AB=EQ=8,当C、M、G三点共线时（即M点位于图中的F点处）,QM+CM的值最小等于CG,∴Rt△GQC中,CG=QG2+QC2=162+102=289,此时,四边形BCMP的周长最小值为289+30,∵E点为QG中点,EF∥QC,∴EF=12QC=5,∴AF=15,∴AP=15-10=5,∴t=52．∴当点P从点A向右运动52秒时,四边形BCMP的周长最小,其最小值为289+30．故答案为：52；289+30．
【点睛】本题考查了动点问题,涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理解三角形、“将军饮马”问题、一元一次方程的应用、解一元二次方程等,解题关键是能正确建立方程,以及能确定最短路径．

培优训练



1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC底边BC上的中线,点P为线段AB上一点．
（1）在AD上找一点E,使得PE+EB的值最小；
（2）若点P为AB的中点,当∠BPE满足什么条件时,△ABC是等边三角形,并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）∠BPE=90°,理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC,再根据两点间线段最短的性质,连接CP交AD于点E,并连接BE,即可得解；
（2）因为P为AB的中点,要使△ABC是等边三角形,则需BC=AB,根据等腰三角形三线合一的性质,所以CP⊥AB,即∠BPE=90°．
【详解】解：（1）如图,连接CP交AB于点E,则点E为所求；

（2）∠BPE=90° ,理由如下：
∵∠BPE=90°
∴CP⊥AB,
∵点P为AB的中点,
∴CP垂直平分AB
∴CA=CB
∵AB=AC
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形
【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线定理,熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示,在平面直角坐标系中,已知一次函数y=12x+1的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求边AB的长；
（2）求点C,D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M,使△MDB的周长最小？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）AB=5；（2）C（﹣1,3）,D（﹣3,2）；（3）M（﹣1,0）．
【分析】（1）分别求出点A、B坐标,根据勾股定理即可求出AB；
（2）作CE⊥y轴,DF⊥x轴,垂足分别为E、F,证明△BCE≌△DAF≌ABO,得到BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=1,进而得到OE=3,OF= 3,即可求出点C、D坐标；
（3）连接BD,作点B关于x轴的对称点B′,连接B′D,与x轴交于点M,此时△BMD周长最小,求出直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1,令y=0,即可求出点M坐标．
【详解】解：（1）由一次函数y=12x+1得,令x=0,得到y=1；令y=0,得到x=﹣2,
∴A（﹣2,0）,B（0,1）,
在Rt△AOB中,OA=2,OB=1,
根据勾股定理得：AB=OA2+OB2=22+12=5；     
（2）如图,作CE⊥y轴,DF⊥x轴,垂足分别为E、F,
∴∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=AB=AD,∠DAB=∠ABC=90°,
∴∠DAF+∠BAO=90°,∠ABO+∠CBE=90°,
∴∠BAO=∠ADF=∠CBE,
∴△BCE≌△DAF≌ABO,
∴BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=1,
∴OE=OB+BE=2+1=3,OF=OA+AF=2+1=3,
∴C（﹣1,3）,D（﹣3,2）；

（3）如图,连接BD,∵BD为定值,
∴作点B关于x轴的对称点B′,连接B′D,与x轴交于点M,此时△BMD周长最小,
∵B坐标为（0,1）,
∴B′坐标为（0,﹣1）,
设直线B′D的解析式为y=kx+b,
把B′与D坐标代入得：{−3k+b=2b=−1,
解得：{k=−1b=−1,
即直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1,
令y=0,得到x=﹣1,
∴点M坐标为（﹣1,0）．

【点睛】本题考查了正方形的性质,勾股定理,待定系数法求函数解析式,将军饮马求最短距离问题,综合性较强,根据题意添加辅助线,求出点C、D坐标是解题关键．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠,且BC＝9,∠B＝30°．
（1）如图1、2,若点D是CB上一点,且CD＝3,点E是AB上的动点,将△DBE沿DE对折,点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧）,DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时,求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时,求∠DEB的度数．
（2）如图2,若点D是CB上一点,且CD＝3,M是线段AC上的动点,以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D,M,N三点顺时针方向排列）,在点M的运动过程中,直接写出CN+NB的最小值．

【答案】（1）①50°；②105°或127.5°；（2）313．
【分析】（1）①由题意利用翻折变换的性质求出∠DEB,可得结论；
②根据题意分三种情形,利用翻折变换的性质分别求出∠DEB即可；
（2）根据题意连接CN,BN,过点N作直线l⊥AC,BT⊥CB于点T,作点C关于直线l的对称点Q,连接BQ．证明△DCM≌△NTD（AAS）,推出CD＝NT＝3,推出点N在直线l上运动,由C,Q关于直线l对称,推出NC＝NQ,CQ＝2NT＝6,根据CN+BN＝NQ+BN≥BQ,求出BQ,可得结论．
【详解】解：（1）当∠B′EA＝20°时,
由翻折的性质可知,∠DEB＝∠DEB′＝12 [360°﹣（180°﹣20°）]＝100°,
∴∠EDB＝180°﹣∠DEB﹣∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°；
（2）当HB′＝HE时,∠B′＝∠B＝∠AEB′＝30°,
∴∠DEB＝∠DEB＝12 [360°﹣（180°﹣30°）]＝105°；
当B′H＝B′E时,∠AEB′＝∠B′HE＝12（180°﹣30°）＝75°,
∴∠DEB＝∠DEB′＝12 [360°﹣（180°﹣75°）]＝127.5°,
当EB′＝HE时,∠AEB′＝180°﹣30°﹣30°＝120°,
∴∠DEB＝∠DEB′＝12 [360°﹣（180°﹣120°）]＝150°（舍弃）,
综上所述,∠DEB为105°或127.5°；
（3）如图3中,连接CN,BN,过点N作直线l⊥AC,NT⊥CB于点T,作点C关于直线l的对称点Q,连接BQ．

∵∠DCM＝∠MDN＝∠DTN＝90°,
∴∠CDM+∠TDN＝90°,∠TDN+∠TND＝90°,
∴∠CDM＝∠DNT,
在△DCM和△NTD中,
∠DCM=∠NTD∠CDM=∠DNTDM=ND,
∴△DCM≌△NTD（AAS）,
∴CD＝NT＝3,
∴点N在直线l上运动,
∵C,Q关于直线l对称,
∴NC＝NQ,CQ＝2NT＝6,
∴CN+BN＝NQ+BN≥BQ,
∵BQ＝BC2+CQ2＝92+62＝313,
∴CN+BN≥313,
∴CN+BN的最小值为313．
【点睛】本题属于三角形综合题,考查翻折变换和三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质以及两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
4．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,AC＝2,以BC为边向左作等边△BCE,点D为AB中点,连接CD,点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得∠BAC=60°,AD=CD,再根据等边三角形的判定即可得证；
（2）连接PA,QB,先根据等边三角形的性质可得∠ACE=12∠ACD,再根据等腰三角形的三线合一可得CE垂直平分AD,然后根据线段垂直平分线的性质可得PA=PD,同样的方法可得QB=QE,从而可得PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1）∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,
∴∠BAC=60°,AB=2AC=4,
∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点,
∴AD=AC=2,
∴△ADC是等边三角形；
（2）如图,连接PA,QB,

∵△BCE和△ADC都是等边三角形,
∴∠BCE=60°,∠ACD=60°,
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=30°=12∠ACD,
∴CE垂直平分AD,
∴PA=PD,
同理可得：CD垂直平分BE,
∴QB=QE,
∴PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,
由两点之间线段最短可知,当点A,P,Q,B共线时,PA+PQ+QB取得最小值AB,
故PD+PQ+QE的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点,熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
5．（2022·江苏·八年级专题练习）如图,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE．

（1）若∠ABC=68°,求∠AED的度数；
（2）若点P为直线DE上一点,AB=8,BC=6,求△PBC周长的最小值．
【答案】（1）46°；（2）14
【分析】（1）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求得∠A的度数,继而求得∠AED；
（2）利用最短路线模型计算即可；
【详解】解：（1）∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=68°,
∴∠A=180°−68°−68°=44°,
∵DE垂直平分AB,
∴∠ADE=90°,
∴∠AED=90°−44°=46°；
（2）当点P与点E重合时,△PBC的周长最小,
理由：∵PB+PC=PA+PC≥AC,
∴当点P与点E重合时,PA+PC=AC,此时PB+PC最小值等于AC的长,
∴△PBC的周长最小值为=AC+BC=8+6=14．
【点睛】本题考查了最短路线问题问题以及等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,熟记性质是解题的关键．
6．（2021·江苏·星海实验中学八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,直线l平行于x轴,l上有两点A、B,且点A坐标为（－14,8）,点B位于A点右侧,两点相距8个单位,动点P、Q分别从A、B出发,沿直线l向右运动,点P速度为2个单位/秒,点Q速度为6个单位/秒,设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ）,Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中,取线段PQ的中点D,当△OBD为直角三角形时,求出t的值及相应的点D的坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点,若坐标系中存在另一点E（−133,－4）,请问x轴上是否存在一点F,使FD－FE的值最大,若存在,求出最大值；若不存在,说明理由．

【答案】（1）－14＋2t,8；－6＋6t,8；（2）当△OBD为直角三角形时,t=2.5,点D的坐标为（0,8）或者t=316,点D的坐标为（323,8）；（3）x轴上存在一点F,使FD－FE的值最大,最大值为241
【分析】（1）根据点A坐标为（ －14,8）,点B位于A点右侧,两点相距8个单位可得点B的坐标,进而可得点P、Q的坐标；
（2）先表示出中点D的坐标,再根据△OBD为直角三角形画出相应图形逐个求解即可；
（3）作点E关于x轴的对称点E1,连接DE1并延长,交x轴于点F,连接EF,先利用两点之间线段最短证明FD－FE＝取得最大值,最大值为线段DE1的长,再利用两点间的距离公式计算即可求得答案．
【详解】解：（1）∵点A坐标为（ －14,8）,点B位于A点右侧,两点相距8个单位,
∴点B的坐标为（－6,8）,
∵动点P、Q分别从A、B出发,沿直线l向右运动,点P速度为2个单位/秒,点Q速度为6个单位/秒,设运动时间为t秒,
∴点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t,8）,Q（－6＋6t,8）,
故答案为：－14＋2t,8；－6＋6t,8；
（2）由（1）可得：点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t,8）,Q（－6＋6t,8）,
∴线段PQ的中点D的坐标为（−14+2t−6+6t2,8）,
即D（−10+4t,8）,
∵点D在直线l上,
∴∠OBD不可能是直角
∴如图,当∠BDO＝90°时,点D位于点D1处,此时点D的坐标为（0,8）,
则−10+4t=0,
解得：t=2.5；
当∠BOD＝90°时,点D位于点D2处,
则OB2+OD2=BD2,
∵点O（0,0）,B（－6,8）,D（−10+4t,8）,
∴(62+82)+[(−10+4t)2+82]=(−10+4t+6)2+02,
解得：t=316,
∴−10+4t=−10+4×316=323,
此时点D的坐标为（323,8）,
综上所述：当△OBD为直角三角形时,t=2.5,点D的坐标为（0,8）或者t=316,点D的坐标为（323,8）；

（3）如图,作点E关于x轴的对称点E1,连接DE1并延长,交x轴于点F,连接EF,

∵点E与点E1关于x轴对称,点F在x轴上,
∴FE＝FE1,
∴当点F、D、E1在同一直线上时,则FD－FE＝FD－FE1＝DE1,
当点F、D、E1不在同一直线上时,则FD－FE＝FD－FE1＜DE1,
∴当点F、D、E1在同一直线上时,FD－FE＝取得最大值,最大值为线段DE1的长,
∵点E与点E1关于x轴对称,点E（−133,－4）,
∴点E1（−133,4）,
又∵点D的坐标为（323,8）,
∴DE1=[323−(−133)]2+(8−4)2
=152+42
=225+16
=241,
∴x轴上存在一点F,使FD－FE的值最大,最大值为241．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系与直角三角形以及轴对称的性质,理清题意并能熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝33x2﹣233x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E（4,n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE．当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM＋MN＋NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点,将抛物线y＝33x2﹣233x﹣3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰三角形？若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）y＝33x＋33；（2）3,（3）存在,点Q的坐标为（3,−43+2213）,Q′（3,−43−2213）或（3,23）或（3,﹣235）．
【详解】试题解析：（1）∵y＝x2﹣x﹣,
∴y＝（x＋1）（x﹣3）．
∴A（﹣1,0）,B（3,0）．
当x＝4时,y＝．
∴E（4,）．
设直线AE的解析式为y＝kx＋b,将点A和点E的坐标代入得：
,
解得：k＝,b＝．
∴直线AE的解析式为y＝x＋．
（2）设直线CE的解析式为y＝mx﹣,将点E的坐标代入得：4m﹣＝,解得：m＝．
∴直线CE的解析式为y＝x﹣．
过点P作PF∥y轴,交CE与点F．

设点P的坐标为（x,x2﹣x﹣）,则点F（x,x﹣）,
则FP＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝x2＋x．
∴△EPC的面积＝×（x2＋x）×4＝﹣x2＋x．
∴当x＝2时,△EPC的面积最大．
∴P（2,﹣）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H,连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点,
∴k（,﹣）．
∵点H与点K关于CP对称,
∴点H的坐标为（,﹣）．
∵点G与点K关于CD对称,
∴点G（0,0）．
∴KM＋MN＋NK＝MH＋MN＋GN．
当点O、N、M、H在条直线上时,KM＋MN＋NK有最小值,最小值＝GH．
∴GH＝＝3.
∴KM＋MN＋NK的最小值为3.
（3）如图3所示：

∵y′经过点D,y′的顶点为点F,
∴点F（3,﹣）．
∵点G为CE的中点,
∴G（2,）．
∴FG＝．
∴当FG＝FQ时,点Q（3,）,Q′（3,）．
当GF＝GQ时,点F与点Q″关于y＝对称,
∴点Q″（3,2）．
当QG＝QF时,设点Q1的坐标为（3,a）．
由两点间的距离公式可知：a＋＝,解得：a＝﹣．
∴点Q1的坐标为（3,﹣）．
综上所述,点Q的坐标为（3,）,Q′（3,）或（3,2）或（3,﹣）．
8．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC,其中∠A＝∠D＝90°,AB＝AC,AC、BD交于点P．
（1）如图1,BP平分∠ABC,求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2,过点A作AE⊥BP,分别交BP、BC于点E、点F,连接AD,过A作AG⊥AD,交BD于点G,连接CG,交AF于点H,
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3,点M为边AB的中点,点Q是边BC上一动点,连接MQ,将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK,连接PK、CK,当∠DBC＝15°,AP＝2时,请直接写出PK+CK的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）PK+CK的最小值为4．
【分析】（1）过点P作PT⊥BC于点T,根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得AP=PT=TC,证明Rt△ABP≌Rt△TBP（HL）,可得AB=TB,由BC=TB+TC,等量代换即可得出结论；
（2）①根据同角的余角相等得∠BAG=∠CAD,根据等角的余角相等得∠PBA=∠PCD,利用“ASA”即可得△ABG≌△ACD（ASA）；
②过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R,首先证明△ABE≌△CAR（AAS）,由全等三角形的性质得AE=CR,再由△ABG≌△ACD（ASA）,得AG=AD,根据等腰直角三角形的性质得AE=GE=DE,等量代换得CR=GE,然后证明△EHG≌△RHC（AAS）,即可得出结论；
（3）过点A作AO⊥BC于点O,连接OM,BK,先证△MBQ≌△MOK（SAS）,得∠MBQ=∠MOK=45°,可得点K在OA所在的直线上移动,则PK+CK=PK+BK≥BP,可得出当且仅当B,K,P三点共线时PK+CK取得最小值,然后根据含30°直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T,

∵∠A＝90°,AB＝AC,
∴∠ABC＝∠ACB＝45°,
∵PT⊥BC,
∴∠PTC＝90°,∠TPC＝∠TCP＝45°,
∴TP＝TC,
∵BP平分∠ABC,PA⊥AB,PT⊥BC,
∴PA＝PT,
∴TC＝PA,
在Rt△ABP和Rt△TBP中,
BP=BPPA=PT,
∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL）,
∴AB＝TB,
∵BC＝TB+TC,
∴BC＝AB+AP；
（2）①证明：∵AG⊥AD,
∴∠GAD＝90°,
∵∠BAC＝90°,
∴∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC,
∴∠BAG＝∠CAD,
∵∠BAC＝∠BDC＝90°,
∴∠PBA+∠APB＝∠PCD+∠DPC＝90°,
∵∠APB＝∠DPC,
∴∠ABG＝∠ACD,
在△ABG和△ACD中,
∠BAG=∠CADAB=AC∠ABG=∠ACD,
∴△ABG≌△ACD（ASA）；
②证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R,

∵AF⊥BP,CR⊥AF,
∴∠AEB＝∠CRA＝90°,
∴∠ABE+∠BAE＝90°,
∵∠BAE+∠CAR＝90°,
∴∠ABE＝∠CAR,
在△ABE和△CAR中,
∠ABE=∠CAR∠AEB=∠CRAAB=CA,
∴△ABE≌△CAR（AAS）,
∴AE＝CR,
∵△ABG≌△ACD（ASA）,
∴AG＝AD,
∵AE⊥DG,
∴AE＝GE＝DE,
∴CR＝GE,
在△EHG和△RHC中,
∠EHG=∠EHC∠GEH=∠CRHGE=CR,
∴△EHG≌△RHC（AAS）,
∴GH＝CH；
（3）解：过点A作AO⊥BC于点O,连接OM,BK,

∵AB＝AC,∠BAC＝90°,AO⊥BC,
∴AO＝BO＝CO,
∵点M是AB的中点,
∴OM＝BM＝AM,OM⊥AB,
∴∠OAM＝∠OBM＝45°,
∴∠OMB＝90°,
∵线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK,
∴MQ＝MK,∠QMK＝90°,
∴∠OMB＝∠QMK,
∴∠OMB﹣∠OMQ＝∠QMK﹣∠OMQ,
∴∠BMQ＝∠OMK,
在△MBQ和△MOK中,
MB=MO∠BMQ=∠OMKMQ=MK,
∴△MBQ≌△MOK（SAS）,
∴∠MBQ＝∠MOK＝45°,
∴点K在OA所在的直线上移动,
∵OA垂直平分BC,
∴CK＝BK,
∴PK+CK＝PK+BK≥BP,
∴当且仅当B,K,P三点共线时PK+CK取得最小值,
∵∠ABC＝45°,∠DBC＝15°,
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠DBC＝30°,
在Rt△BAP中,∠BAP＝90°,∠ABP＝30°,AP＝2,
∴BP＝2AP＝4,
∴PK+CK的最小值为4．
【点睛】本题是三角形综合题,考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,等腰直角三角形的性质,三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形和直角三角形解决问题,属于中考常考题型．
9．（2021·广东·岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣12x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点,点B（1,0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′,问在AB的垂直平分线上是否存在一点G,使得△GBC′的周长最小？若存在,求出点G的坐标和最小周长；若不存在,请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点,过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q,过点Q作QM⊥x轴于点M,再过点P作PN⊥x轴于点N,得到矩形PQMN,在点P的运动过程中,当矩形PQMN为正方形时,求该正方形的边长．

【答案】（1）y=2x−2；（2）存在,G(−32,54),C△GBC'=35；（3）107或103
【分析】（1）由y=−12x−2可求得,A(−4,0),C(0,−2),结合B(1,0),即可求得直线BC的解析式；
（2）由C△GBC'=GB+BC'+GC'可知当A、G、C'三点共线时,△GBC'的周长取得最小值,分别在Rt△AOC'和Rt△BOC'利用勾股定理计算相关线段即可得到周长最小值的数值,此时点G横坐标为xG=−4+12=−32,通过计算得到直线AC'表达式,代入求解即可．
（3）设正方形的变成为t,则用t表示出P、Q、M、N四点坐标,由MN=t,分两种情况,列式计算即可．
【详解】解：（1）∵y=−12x−2分别与x、y轴交于A、C两点,
∴令x=0,得y=−2 ,即C(0,−2),
令y=0,得x=−4,即A(−4,0),
设直线BC的解析式为：y=kx+b(k≠0）,
将B(1,0),C(0,−2),代入y=kx+b(k≠0）中,
得：{0=k+bb=−2,
解得：{k=2b=−2.
∴直线BC的解析式为：y=2x−2,
（2）存在,理由如下：
据题意,作图如下：

∵点C'与点C关于原点对称,且C(0,−2),
∴C'(0,2),
∵C△GBC'=GB+BC'+GC',BC' 为定长,
∴当GB+GC'取得最小值时,△GBC'的周长取得最小值,
即当A、G、C'三点共线时,GB+GC'取得最小值．作图如下：

设线段AC'所在的直线函数表达式为：y=mx+n(n≠0）,
将点A(−4,0),C'(0,2)代入,
得：{−4m+n=0n=2,
解得：{m=12n=2．
∴线段AC'所在的直线函数表达式为：y=12x+2,
∵点G为线段AB垂直平分线上的点,
∴点G的横坐标为：xG=−4+12=−32,
∴点G的纵坐标为：yG=12×(−32)+2=54,
∴G(−32,54)．
又∵点G为线段AB垂直平分线上,
∴GA=GB,
∴GB+GC'=GA+GC'=AC',
在Rt△AOC'中,AO=4,OC'=2,
AC'2=AO2+OC'2=16+4=20,
∵AC'>0,
∴AC'=25,
在Rt△BOC'中,OB=1,OC'=2,
BC'2=OB2+OC'2=1+4=5,
∵BC'>0,
∴BC'=5,
∴C△GBC'=AC'+BC'=25+5=35．
（3）①当点P在线段BC之间时,存在正方形PQMN,如下图：

设正方形的边长为t,
∵点P在直线BC上,点Q在直线AC上,
∴点P(2−t2,−t),点Q(2t−4,−t),
∴点N(2−t2,0),点M(2t−4,0),
∵MN=t,
即−2t+4+2−t2=t,
解得：t=107．
②当点P在直线BC的左下方时,存在正方形PQMN,如下图：

同理可得：N(2−t2,0),M(2t−4,0),
此时：2t−4−2−t2=t,
解得：t=103,
综上所述,正方形PQMN的边长为107或103．
【点睛】本题考查一次函数综合,一次函数解析式求法,勾股定理等,灵活应用知识点解题是关键．
10．（2021·陕西宝鸡·九年级期中）问题提出
（1）在图1中作出点B关于直线AC的对称点B'
问题探究
（2）如图2,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,D为AC的中点,P为线段BC上一点,求AP+DP的最小值.
问题解决
（3）如图3,四边形ABCD为小区绿化区,DA=DC,∠ADC=90°,AB=6+63,BC=12,∠B=30°,AC是以D为圆心,DA为半径的圆弧.现在规划在AC,边BC和边AC上分别取一点P,E,F,使得DP+PE+EF+PF为这一区域小路,求小路长度的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）33；（3）65+23
【分析】（1）根据对称性即可作图；
（2）作点A关于BC的对称点A',连接A'D交BC于点P,此时AP+DP值最小,连接A'C,根据图形的特点及等边三角形的性质即可求解；
（3）因为DP为定值,所以即求PE+EF+FP的最小值,连接DP,BP,分别以AB,BC所在的直线为对称轴作点p的对称点P1,P2,连接P1P2,此时PE+EF+FP的值最小,即为P1P2长,根据图形的特点、等边三角形的性质与勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如图1所示,点B'即为所求.

（2）如图2,作点A关于BC的对称点A',连接A'D交BC于点P,此时AP+DP值最小,连接A'C.
∵∠BAC=120°,
∴∠A'AC=60°.
∵AA'垂直平分BC,
∴△AA'C为等边三角形.
∵点D为中点,
∴A'D⊥AC,
∴AP+DP=A'D=33.

（3）要求DP+PE+EF+FP的最小值,因为DP为定值,
所以即求PE+EF+FP的最小值.
如图,连接DP,BP,分别以AB,BC所在的直线为对称轴作点p的对称点P1,P2,连接P1P2,此时PE+EF+FP的值最小,即为P1P2长.
∵∠ABC=30°,
∴∠P1BP2=60°,
∴△P1BP2为等边三角形,即P1P2=BP1.
∵BP1=BP=BP2,
∴P1P2=BP,
∴DP+PE+EF+FP的最小值为DP+BP.
当D,P,B三点共线时值最小,
由题知BC=12,AB=6+63,∠ABC=30°,
∴AD=DC=6,
∴DB=62+(6+63)2=65+23．

【点睛】此题主要考查轴对称的应用,解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用．
11．（2021·全国·九年级专题练习）已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠ABO=30°,OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,得到△ODC,点D在BO上,连接BC．
                  
（1）如图①,求线段BC的长；
（2）如图②,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度；
（3）如图③,点M是线段OC的中点,点N是线段OB上的动点（不与点O重合）,求△CMN周长的最小值．
【答案】（1）BC=4；（2）OP=2217；（3）△CMN周长的最小值为27+2．
【分析】（1）根据旋转的性质以及旋转角度,可以得出△BOC是等边三角形,所以BC=OB=OC=4．
（2）由三角函数以及勾股定理,可以得出OA、AB、BC以及AC的长度,算出S△AOC的面积,根据等面积法,求出OP的长度即可．
（3）连接BM,AM,连接AC交OB于点N,证明△BAO≌△BMO,所以得到AB=BM,OA=OM,BO垂直平分AM,即点M关于直线BO的对称点为点A,所以当CN+MN取最小值时,△CMN周长最小,即当点A、N、C三点共线时,△CMN的周长取得最小值,为AC+MC的值,求出结果即可．
【详解】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC,∠BOC=60°
∴△BOC是等边三角形
∴BC=OB=OC=4．
（2）∵OB=4,∠ABO=30°
∴OA=12OB=2,AB=3OA=23
∴S△AOC=12OA⋅AB=12×2×23=23
∵△BOC是等边三角形
∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°
∴AC=AB2+BC2=27
∵S△AOC=12AC⋅OP,∴OP=2S△AOCAC=4327=2217．
（3）如解图,连接BM,AM,连接AC交OB于点N．

∵△OBC为等边三角形,点M为OC的中点
∴BM⊥OC,即∠BMO=90°
在Rt△AOB中,∠BAO=90°,∠ABO=30°
∴∠BOA=60°
∵∠BOC=60°,∴∠BOA=∠BOM
在△BAO和△BMO中
{∠BAO=∠BMO=90°∠BOA=∠BOMBO=BO
∴△BAO≌△BMO(AAS)
∴AB=BM,OA=OM
∴BO垂直平分AM,即点M关于直线BO的对称点为点A
∵△CMN的周长为CM+MN+CN,CM为定值
当CN+MN取最小值时,△CMN周长最小
即当点A、N、C三点共线时,△CMN的周长取得最小值,为AC+MC
∵点M是OC的中点,∴MC=12OC=2
∴AC+MC=27+2
∴△CMN周长的最小值为27+2．
【点睛】本题主要考查了三角形旋转,勾股定理,以及最短路径的作图,能够熟悉旋转的性质、熟练等面积法的运用和最短路径的作图是解决本题的关键．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,A0,2、B−2,0、C2,2,点E、F分别是直线AB和x轴上的动点,求△CEF周长的最小值．

【答案】△CEF周长的最小值为210．
【分析】分别作点C关于x轴、直线AB的对称点C'、C″,连接C'C″,分别交x轴、直线AB于点F、E,由对称AC性质可得CF=C'F,CE=C″E,此时△CEF的周长为CF+EF+CE=C'F+EF+C″E=C'C″．
【详解】如图,分别作点C关于x轴、直线AB的对称点C'、C″,连接C'C″,分别交x轴、直线AB于点F、E,由对称AC性质可得CF=C'F,CE=C″E,此时△CEF的周长为CF+EF+CE=C'F+EF+C″E=C'C″．

∴此时△CEF的周长最小,最小值为C'C″的长．
∵A0,2、B−2,0,
∴OA=OB,∴∠BAO=45°．
∵C2,2,∴C'2,−2,C″0,4．
过点C'作C'H⊥y轴于点H,
∴C'H=2,,C″H=6．
∴C'C″=C'H2+C″H2=210．
∴△CEF周长的最小值为210．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是利用轴对称正确找到点C'的位置．
13．（2021·全国·九年级专题练习）如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0、B两点,与y轴交于点C0,−3．
          
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①,连接BC,点P是抛物线在第四象限上一点,连接PB,PC,求△BCP面积的最大值；
（3）如图②,点D为抛物线的顶点,点C关于抛物线对称轴的对称点为点E,连接DE．将抛物线沿x轴向右平移t个单位,点A,B的对应点分别为A'、B',连接A'D、B'E,当四边形A'DEB'的周长取最小值时,求t的值．
【答案】（1）y=x2−2x−3；（2）当m=32时,S△BCP取得最大值,最大值为278；（3）t=27．
【分析】（1）根据点A、C的坐标,利用待定系数法即可得；
（2）先利用抛物线的解析式求出点B的坐标,再利用待定系数法求出直线BC的解析式,设Pm,m2−2m−3,从而可得Qm,m−3,然后利用三角形的面积公式可得S△BCP的表达式,最后利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先求出顶点D的坐标,再根据点坐标、对称性分别求出点E的坐标、DE、AB的长,然后根据平行四边形的判定与性质、轴对称的性质得出A'D=B'D″=B'D',又根据两点之间线段最短得出当B'、E、D″三点共线时,B'D″+B'E取最小值D″E,从而得出此时四边形A'DEB'的周长最小,最后利用待定系数法求出直线D″E的解析式,从而得出点B'的坐标,据此即可得出答案．
【详解】（1）将A−1,0,C0,−3代入抛物线解析式,得1−b+c=0c=−3,
解得b=−2c=−3,
故抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
（2）如解图①,过点P作x轴的垂线,交BC于点Q,
∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3,
令y=0,则x2−2x−3=0,
解得x1=−1,x2=3,
∴B3,0,
设直线BC的解析式为y=kx+n,
将点B3,0,C0,−3代入y=kx+n得3k+n=0n=−3,解得k=1n=−3,
则直线BC的解析式为y=x−3,
设Pm,m2−2m−3,则Qm,m−3,PQ=3m−m2,且0 ∴S△BCP=12×3×3m−m2=−32m−322+278,
∴在0        
（3）抛物线的解析式为y=x2−2x−3=x−12−4,
∴D1,−4,
∵点C和点E关于抛物线的对称轴x=1对称,
∴E2,−3,
∴DE=(2−1)2+(−3+4)2=2,
∵A−1,0,B3,0,
∴AB=3−(−1)=4,
由平移的性质得：A'B'=AB=4,
如解图②,将点D向右平移4个单位得到点D',作点D'关于x轴的对称点D″,连接B'D″,B'D',
由轴对称的性质得：B'D″=B'D',
∵DD'=A'B',DD'//A'B',
∴四边形A'DD'B'为平行四边形,
∴A'D=B'D',
∴A'D+B'E=B'D'+B'E=B'D″+B'E,
∵四边形A'DEB'的周长为A'D+DE+A'B'+B'E,且DE+A'B'为定值,
∴当A'D+B'E的值最小,即B'D″+B'E的值最小时,四边形A'DEB'的周长最小,
由两点之间线段最短得：当B'、E、D″三点共线时,B'D″+B'E取最小值D″E,
∵D1,−4,
∴D'1+4,−4,即D'5,−4,
∴D″5,4,
设直线D″E的解析式为y=k'x+b',
将E2,−3,D″5,4代入得2k'+b'=−35k'+b'=4,解得k'=73b'=−233,
则直线D″E的解析式为y=73x−233,
当y=0时,73x−233=0,解得x=237,
则t=237−3=27．

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点,较难的是题（3）,利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定周长取得最小值时点B'的位置是解题关键．
14．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,CD上的点,连接AE,AF,EF．
（1）如图①,AB=AD,∠BAD=120°,∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；
              
（2）如图②,∠BAD=120°,当△AEF周长最小时,求∠AEF+∠AFE的度数；
（3）如图③,若四边形ABCD为正方形,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,若BE=3,DF=2,请求出线段EF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）∠AEF+∠AFE =120°；（3）EF=5．
【分析】（1）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,首先证明△ABE≌△ADG,则有AE=AG,∠BAE=∠DAG,然后利用角度之间的关系得出∠EAF=∠FAG=60°,进而可证明△EAF≌△GAF,则EF=FG=DG+DF,则结论可证；
（2）分别作点A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于点E,交CD于点F,根据轴对称的性质有A'E=AE,A″F=AF,当点A'、E、F、A″在同一条直线上时,A'A″即为△AEF周长的最小值,然后利用∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A″求解即可；
（3）旋转△ABE至△ADP的位置,首先证明△PAF≌△EAF,则有EF=FP,最后利用EF=PF=PD+DF=BE+DF求解即可．
【详解】（1）证明：如解图①,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,

在△ABE和△ADG中,
AB=AD,∠ABE=∠ADG,BE=DG,
∴△ABE≌△ADGSAS．
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=120°,∠EAF=60°,
∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=60°．
∴∠EAF=∠FAG=60°,
在△EAF和△GAF中,
AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△EAF≌△GAFSAS．
∴EF=FG=DG+DF,∴EF=BE+DF；
（2）解：如解图,分别作点A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于点E,交CD于点F．
由对称的性质可得A'E=AE,A″F=AF,
∴此时△AEF的周长为AE+EF+AF=A'E+EF+A'F=A'A″．
∴当点A'、E、F、A″在同一条直线上时,A'A″即为△AEF周长的最小值．

∵∠DAB=120°,
∴∠AA'E+∠A″=180°−120°=60°．
∵∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=∠AFE,
∴∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A″= 2∠AA'E+∠A″=2×60°=120°；
（3）解：如解图,旋转△ABE至△ADP的位置,

∴∠PAE=∠DAE+∠PAD=∠DAE+∠EAB=90°,
AP=AE,∠PAF=∠PAE−∠EAF =90°−45°=45°=∠EAF．
在△PAF和△EAF中,
AP=AE,∠PAF=∠EAF,AF=AF,
∴△PAF≌△EAFSAS．
∴EF=FP．
∴EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质,轴对称的性质,掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
15．（2021·全国·九年级专题练习）如图,等边△ABC的边长为6,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接BE．
（1）如图①,求点D到线段BE的最短距离；
                
（2）点P,N分别是BE,BC上的动点,连接PN、PD．
①如图②,当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度；
②如图③,点Q在BE上,若BQ=1,连接QN,求QN+NP+PD的最小值．
【答案】（1）DH=32；（2）①当PN+PD的长度取得最小值时,BP=3；②QN+NP+PD的最小值为10．
【分析】（1）本题过点D向BE作垂线,继而根据等边三角形性质以及中点性质求解BD,最后利用30°直角三角形边长比例关系求解DH．
（2）①本题通过作点D关于BE的对称点,从而确定点P、N的位置,继而根据对称性质以及等边三角形性质判定△BDD'为等边三角形,最后根据三线合一以及三角函数求解BP．
②本题分别作点D、Q关于BE、BC的对称点,从而将不同的三线段相加问题转化为同一条直线上线段相加问题,继而利用等边三角形以及对称性质求解BD',∠D'BQ'度数,最后利用勾股定理求解本题．
【详解】（1）过点D作DH⊥BE于点H,如下图图①所示,DH即为所求．

∵△ABC是等边三角形,点D,E分别是边BC,AC的中点,
∴BD=CD=3,∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°．
在Rt△BDH中,
∵BD=3,∠DBH=30°,
∴DH=12BD=32．
（2）①作点D关于BE的对称点D',过点D'作D'N⊥BC于点N,交BE于点P,如下图图②所示：

∵点D,D'关于BE对称,
∴PD=PD'．
∵D'N⊥BC,
∴PN+PD=D'N,此时PN+PD的值最小．
∵BE垂直平分DD',
∴BD=BD'．
∵∠ABC=60°,
∴△BDD'是等边三角形．
∴BN=12BD=32．
在Rt△PBN中,∠PBN=30°,
∴PB=BNcos30°=3．
当PN+PD的长度取得最小值时,BP=3．
②作Q关于BC的对称点Q',连接BQ',作D关于BE的对称点D',连接Q'D',分别交BE,BC于点P、N,如下图图③所示：

∵点D,D'关于BE对称,
∴PD=PD',BD=BD'=3．
∵点Q,Q'关于BC对称,
∴QN=Q'N,BQ=BQ'=1
∴此时QN+NP+PD=Q'N+NP+PD'．
∴当点Q'、N、P、D'四点共线时,QN+NP+PD取得最小值,最小值为Q'D'的长度．
∵等边△ABC,
∴根据轴对称的定义可知∠Q'BN=∠QBN=12∠ABC=30°,
∴∠D'BQ'=90°．
∴在Rt△D'BQ'中,D'Q'=D'B2+Q'B2=32+12=10．
∴QN+NP+PD的最小值为10．
【点睛】本题考查等边三角形与动点的综合问题,难度主要在于辅助线的构造,核心思想是将不在同一条直线上的各线段通过对称性,利用线段等量替换将问题转化到同一条直线,线段和最值另一典型题型为将军饮马,可对比练习．
16．（2021·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中,以点P23,−3为圆心的圆与x轴相交于A、B两点,与y轴相切于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C,顶点为D．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为y轴上一点,连接DM,MP,是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在,求出点M的坐标及△DMP的周长最小值；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）y=−13x2+433x−3；（2）存在．M0,−1；△DMP的周长最小值为12．
【分析】（1）如图①,连接PA,PB,PC,设抛物线对称轴交x轴于点G,先求出A(3,0),B(33,0),C(0,−3),把这三点代入y=ax2+bx+c求解即可；
（2）如图②,作点P关于y轴的对称点P',连接P'D与y轴交于点M,连接PM,此时△DMP的周长为PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP,即当点D,M,P'三点共线时,ΔDMP的周长取得最小值,最小值为P'D+DP的长,先求出△DMP的周长最小值,然后求出直线DP'的解析式,即可求出点M．
【详解】（1）如图①,连接PA,PB,PC,设抛物线对称轴交x轴于点G,

由题意得PA=PB=PC=23,PG=3．
∴AG=BG=(23)2−32=3．
∴A(3,0),B(33,0),C(0,−3)．
把点A(3,0),B(33,0),C(0,−3)代入y=ax2+bx+c中,
得{3a+3b+c=0,27a+33b+c=0,c=−3
解得{a=−13,b=433,c=−3.
∴抛物线的解析式为y=−13x2+433x−3；
（2）存在．如图②,作点P关于y轴的对称点P',连接P'D与y轴交于点M,连接PM,此时△DMP的周长为PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP,即当点D,M,P'三点共线时,ΔDMP的周长取得最小值,最小值为P'D+DP的长,

∵点P(23,−3)与点P'关于y轴对称,
∴点P'的坐标为(−23,−3),PP'=43,
易得D(23,1),
∴DP=4．
∴P'D=PP'2+DP2=8,
∴P'D+DP=12．
∴△DMP的周长最小值为12；
设直线DP'的解析式为y=kx+b1,
将P'(−23,−3)、D(23,1)代入,
得{−23k+b1=−3,23k+b1=1.
解得{k=33b1=−1,
∴直线DP'的解析式为y=33x−1,
令x=0,则y=−1,
∴M(0,−1)．
【点睛】本题属于二次函数的综合题,考查了用待定系数法求二次函数解析式,求一次函数解析式,勾股定理,圆的性质,掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,BC=4,⊙O是△ABC的外接圆,D是CB延长线上一点,且BD=2,连接DA,点P是射线DA上的动点
       
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时,∠BPC的度数最大,最大度数是多少？请说明理由；
（3）点P运动的过程中,PB+PC的值能否达到最小,若能,求出这个最小值；若不能,请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当DP=23时,∠BPC的度数达到最大为90°；理由见解析；（3）能； BP+PC的最小值为27．
【分析】（1）本题首先通过外角性质求解∠AOB度数,继而确定等边△AOB,随即利用边的长度证明BD=BA以求得∠D度数,最后求得∠DAO度数结合半径判定切线．
（2）本题根据点P分别在DA上,与A重合,在DA延长线上三种情况分类讨论,与A重合时利用三角函数知识求解AC,继而根据等腰性质求解DP；其他两种情况需要利用三角形外角性质并结合同弧所对的圆周角相等进行判断．
（3）本题作点C关于DA的对称点,进而确定点P位置,继而利用对称性质判定等边△DCC',继而求解BH、HC',最后利用勾股定理求解本题．
【详解】（1）连接AO,如下图所示：
∵∠C=30°,
∴∠AOB=2∠C=60°．
∵AO=BO,
∴△ABO是等边三角形．
∵BC=4,
∴AB=BO=2．
又∵BD=2,
∴AB=BD．
∴∠ADC=∠DAB=12∠ABO=30°．
∵∠AOD=60°,
∴∠DAO=90°,
∵OA为⊙O的半径,
∴DA是⊙O的切线．
       
（2）根据点P不同位置,本题分三种情况讨论,如下图所示：

①当点P运动到A处,即点P与点A重合时,
由第一问可知∠D=∠ACB=30°,故AD=AC=DP,且∠BAC=∠BPC=90°
∵BC=4,
∴DP=AC=BC•cos30°=4×32=23；
②当点P在DA的延长线上时,连接BP,交⊙O于点E,连接CE,
因为BC, 则∠BPC<∠BEC=∠BAC=90°；
③当点P在线段DA上时,同②方法得,∠BPC<90°．
综上,当DP=23时,∠BPC的度数最大,最大度数为90°；
（3）能．
作点C关于射线DA的对称点C',连接CC',C'B,C'B交DA于点P,如下图所示：
则BP+PC=BP+PC',
当点C'、P、B三点共线时,BP+PC'的值最小,最小值为BC'的长度,
过点C'作C'H⊥DC于点H,连接DC'．
由第一问可知∠PDC=30°,故结合对称性质有∠CDC'=60°,DC=DC'
∴△DCC'为等边三角形．
∴H为DC的中点．
∵DC=6,DH=12CD=3,
∴BH=DH−DB=3−2=1,C'H=3DH=33．
在Rt△BC'H中,根据勾股定理得：
BC'=BH2+C'H2=1+27=27．
∴BP+PC的最小值为27．

【点睛】本题考查圆与动点的综合问题,切线判定掌握两条原则,即是半径、是直角；涉及动点问题常需要分类讨论,解题时首先选取特殊情况求解,借此观察一般情况下动点运动规律；线段和最值问题通常利用对称性质做辅助线解答,可与将军饮马模型进行对比练习．
18．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC=90°,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下,点M在AC线段上移动,请直接回答,当点M移动到什么位置时,MB+MD有最小值．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ADCF是菱形,理由见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE,利用AAS定理证明△AEF≌△DEB；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=DC,得到四边形ADCF是平行四边形,根据直角三角形的性质得到AD=DC,证明四边形ADCF是菱形；
（3）根据菱形的性质得到点D与点F关于直线AC对称,根据轴对称的性质作图即可．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,
在△AEF和△DEB中,
∠AFE＝∠DBE∠AEF＝∠DEBAE＝DE,
∴△AEF≌△DEB；
（2）四边形ADCF是菱形,
理由如下：∵△AEF≌△DEB,
∴AF=BD,
∵BD=DC,
∴AF=DC,又AF∥BC,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,
∴AD=DC,
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接BF交AC于M,

则点M即为所求,
∵四边形ADCF是菱形,
∴点D与点F关于直线AC对称,
∴MD=MF,
∴MB+MD=MB+MF=BF,即MB+MD有最小值．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、菱形的判定以及轴对称-最短路径问题,掌握邻边相等的平行四边形是菱形、全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（2022·全国·八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内,过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2.

①如图1,若∠AOB=25∘,请直接写出∠P1OP2=______；
②如图2,连接P1P2分别交OA、OB于C、D,若∠CPD=98∘,求∠AOB的度数；
③在②的条件下,若∠CPD=α度（90<α<180）,请直接写出∠AOB=______度（用含α的代数式表示）.
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形”这个结论,解答问题：如图3,在ΔABC中,∠BAC=30∘,点P是ΔABC内部一定点,AP=8,点E、F分别在边AB、AC上,请你在图3中画出使ΔPEF周长最小的点E、F的位置（不写画法）,并直接写出ΔPEF周长的最小值.
【答案】（1）【问题解决】①50∘；②∠AOB=41∘；③∠AOB=90∘−12a；（2）【拓展延伸】如图,见解析；ΔPEF周长最小值为8．
【分析】（1）①连接OP,由点P关于直线OA的对称点P1,点P关于直线OB的对称点P2,可得∠POA= ∠P1OA,∠POB= ∠P2OB,再由∠P1OP2= ∠POA+ ∠P1OA+∠POB+ ∠P2OB=2（∠POA+∠POB）=2∠AOB,即可求得∠AOB的度数；②由∠CPD=98∘,根据三角形的内角和定理可得∠1+∠2=82∘；由轴对称的性质得,∠P1=∠3,∠P2=∠4,再由三角形外角的性质可得∠2=∠P1+∠3=2∠3,∠1=∠P2+∠4=2∠4,所以∠3+∠4=12∠1+∠2=41∘,即可求得∠MPN=139∘；由轴对称的性质可得∠PMO=∠PNO=90∘,由四边形的内角和为360°即可求得∠AOB=41∘； ③类比②的方法即可解答；（2）作点P关于边AB的对称点P1,再作点P关于边AC的对称点P2 ,连结P1 P2,分别交AB、AC于点E、F,此时ΔPEF的周长最小,最小为P1 P2的长,由①的方法求得∠P1AP2=60°,P1A=P2A,再由“有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形”即可判定△P1AP2是等边三角形,根据等边三角形的性质可得P1 P2=AP=8,由此即可得ΔPEF周长最小值为8．
【详解】（1）①连接OP,

∵点P关于直线OA的对称点P1,点P关于直线OB的对称点P2,
∴∠POA= ∠P1OA,∠POB= ∠P2OB,
∴∠P1OP2= ∠POA+ ∠P1OA+∠POB+ ∠P2OB=2（∠POA+∠POB）=2∠AOB=50∘,
故答案为50°；
②如图2,

∵∠CPD=98∘,
∴∠1+∠2=82∘,
由轴对称的性质得,∠P1=∠3,∠P2=∠4,
∵∠2=∠P1+∠3=2∠3,∠1=∠P2+∠4=2∠4,
∴∠3+∠4=12∠1+∠2=41∘,
∴∠MPN=∠3+∠CPD+∠4=98∘+41∘=139∘,
由轴对称的性质得,∠PMO=∠PNO=90∘,
∴∠AOB=360∘−∠PMO−∠PNO−∠MPN=41∘；
③∠AOB=90∘−12a.
如图2,
∵∠CPD=α,
∴∠1+∠2=180∘−α,
由轴对称的性质得,∠P1=∠3,∠P2=∠4,
∵∠2=∠P1+∠3=2∠3,∠1=∠P2+∠4=2∠4,
∴∠3+∠4=12∠1+∠2=12(180∘−α),
∴∠MPN=∠3+∠CPD+∠4=12(180∘−α)+α=90∘+12α,
由轴对称的性质得,∠PMO=∠PNO=90∘,
∴∠AOB=360∘−∠PMO−∠PNO−∠MPN=360∘−90∘−90∘−(90∘+12α)=90∘−12a；
故答案为∠AOB=90∘−12a；
（2）如图所示,ΔPEF的周长最小,周长最小值为8．

①画点P关于边AB的对称点P1,
②画点P关于边AC的对称点P2 ,
③连结P1 P2,分别交AB、AC于点E、F,
此时ΔPEF的周长最小,周长最小值为8．
【点睛】本题考查了轴对称作图及最短路径问题,熟练线段垂直平分线的性质是解决本题的关键,解题时注意数形结合思想的应用．
20．（2012·浙江金华·中考真题）在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．
（1）如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数；
（2）如图2,连接AA1,CC1．若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积；
（3）如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值．
【答案】（1）∠CC1A1=90°．
（2）S△CBC1=254．
（3）最小值为：EP1=522﹣2．
最大值为：EP1= 7．
【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形的性质,即可求得∠CC1A1的度数．
（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1,易证得△ABA1∽△CBC1,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△CBC1的面积．
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小；②当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．
【详解】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,
∴∠CC1B=∠C1CB=45°．
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．
（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1,
∴BA=BA1,BC=BC1,∠ABC=∠A1BC1．
∴BABC=BA1BC1,∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1
∴∠ABA1=∠CBC1．
∴△ABA1∽△CBC1
∴SΔABA1SΔCBC1=(ABCB)2=(45)2=1625．
∵S△ABA1=4,∴S△CBC1=254．
（3）过点B作BD⊥AC,D为垂足,

∵△ABC为锐角三角形,∴点D在线段AC上．
在Rt△BCD中,BD=BC×sin45°=522．
①如图1,当P在AC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小．最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=522﹣2．

②如图2,当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大．最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7．

21．（2021·全国·九年级专题练习）已知,如图,二次函数y=ax2+2ax−3aa≠0图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧),点H、B关于直线l：y=33x+3对称.

(1)求A、B两点的坐标,并证明点A在直线l上；
(2)求二次函数解析式；
(3)过点B作直线BK//AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连结HN、NM、MK,求HN+NM+MK的最小值.
【答案】【小题1】A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)    【小题2】y=−32x2−3x+332    【小题3】8
【分析】（1）根据一元二次方程求得A点坐标,代入直线求证,（2）通过点H、B关于直线L对称,求得H的坐标,从而解出二次函数的解析式,(3)先求出HN+MN的最小值是MB, 再求出BM+MK的最小值是BQ,即HN+NM+MK和的最小值
【详解】(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0),
两边都除以a得：
即x2+2x−3=0,
解得x1=−3,x2=1,
∵B点在A点右侧,
∴A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0),
答：A. B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).
证明：
∵直线l:y=33x+3,
当x=−3时,y=33×(−3)+3=0,
∴点A在直线l上．


(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=33x+3对称,
∴AH=AB=4,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
则AC=12AB=2,HC=23,
∴顶点H(−1,23),
代入二次函数解析式,解得a=−32,
∴二次函数解析式为y=−32x2−3x+332,
答：二次函数解析式为y=−32x2−3x+332.

(3)直线AH的解析式为y=3x+33,
直线BK的解析式为y=3x−3,
由y=33x+3y=3x−3
解得x=3y=23,
即K(3,23),
则BK=4,
∵点H、B关于直线AK对称,K(3,23),
∴HN+MN的最小值是MB,
过K作KD⊥x轴于D,作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,
则QM=MK,QE=EK=23,AE⊥QK,
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,
∵BK∥AH,
∴∠BKQ=∠HEQ=90∘,
由勾股定理得QB=BK2+QK2=42+(23+23)2=8
∴HN+NM+MK的最小值为8,
答：HN+NM+MK和的最小值是8.
【点睛】考核知识点：二次函数综合运用.
22．（2022·吉林松原·八年级期中）教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．




(1)问题解决：请结合图①,写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB＝4,∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②,连结OE,则OE的长为____．
(3)如图③,若点P是对角线BD上的一个动点,连结PC、PE,则PC＋PE的最小值为_____．
【答案】(1)见解析
(2)27
(3)43
【分析】（1）根据菱形的性质先得出∠B=60∘,进而证明△ABC是等边三角形．
（2）先证明四边形ACED是菱形,再求出∠ODE=90∘,用勾股定理即可求出OE的长．
（3）先找出点A的对称点,根据对称性得到PC＋PE的最小值为AE的长,利用勾股定理求出AE的长即可．
（1）
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD//BC,
∴∠BAD+∠B=180∘．
∵∠BAD=2∠B,
∴∠B=60∘．
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC．
∴△ABC是等边三角形．
（2）
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD//BC,
又∵DE//AC,
∴四边形ACED是平行四边形,
由（1）可得,AB=AC=AD
故四边形ACED是菱形；
则∠ADE=120∘,DE=AD=4,∠BDC=30°,OA=2,
∴OD=AD2−OA2=42−22=23
∠ODE=120∘−30∘=90∘
则OE=OD2+DE2=(23)2+42=27．
（3）
如图所示,过A作BE的垂线交BE于点F,连接AE,
A点关于BD的对称点为点C,
则PC＋PE的最小值为AE；
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAF=30∘,
∴AF=23,CF=2,EF=6
AE=AF2+EF2=(23)2+62=43
则PC＋PE的最小值为43．

【点睛】本题考查菱形的性质和判定、等边三角形的性质、最值问题的求解,解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质及最值问题的解决方法．
23．（2022·河北保定·一模）[问题提出]
初中数学的学习中,我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识……常可利用它们来解决“最值问题”．
[简单运用]


(1)如图1,在△ABC中,AB＝6,∠A＝60°,∠B＝45°,在BC上取一点D,则AD的长的最小值是______．
[综合运用]
(2)如图1,在△ABC中,AB＝6,∠A＝60°,∠B＝45°,在BC、AB、AC．上分别取点D、E、F,使得△DEF的周长最小．画出图形确定D、E、F的位置,并直接写出△DEF的周长的最小值．
[拓展延伸]
(3)图2是由线段AB、线段AC、BC组成的图形,其中∠A＝60°,AB＝6,AC＝3,BC为60°,分别在BC、线段AB和线段AC．上取点D、E、F,使得△DEF的周长最小,画出图形确定D、E、F的位置,并直接写出△DEF的周长的最小值．
【答案】(1)32
(2)36
(3)321−9.
【分析】（1）如图,过A作AD⊥BC于D,则此时AD最短,再利用锐角三角函数求解即可；
（2）如图,过A作AD⊥BC于D,再作D关于AB的对称点P1,作D关于AC的对称点P2, 连接P1P2, 交AB,AC于E,F,则C△DEF=DE+DF+EF=P1E+EF+P2F=P1P2, 此时三角形DEF的周长最短,再结合轴对称的性质与三角函数可得答案；
（3）如图,确定BC的圆心为O,作D关于AB的对称点M,作D关于AC的对称点N,连接MN交AB,AC于E,F,再连接AD,AO,同理：可得 MN=2×AD·cos30°=3AD, 所以当AD最短时,C△DEF=DE+DF+EF=MN=3AD最短,所以当A,D,O三点共线时,AD最短,从而可得三角形的周长最短,再利用锐角三角函数与勾股定理可得答案．
(1)
解：如图,过A作AD⊥BC于D,则此时AD最短,

∵AB=6,∠B=45°,
∴AD=AB·sin45°=22×6=32,
所以AD的最小值为：32.
故答案为：32
(2)
解：如图,过A作AD⊥BC于D,再作D关于AB的对称点P1,作D关于AC的对称点P2, 连接P1P2, 交AB,AC于E,F,

由（1）可得：AD=BD=32,
由对称的性质可得：AD=AP1=AP2=32, ∠EAD=∠EAP1,∠FAD=∠FAP2,
∵∠BAC=60°,
∴∠P1AP2=2∠BAC=120°,∠P1=∠P2=30°,
过A作AG⊥P1P2, 垂足为G,
∴P1G=P2G=AP1·cos30°=362,
∴P1P2=2P1G=36,
由C△DEF=DE+DF+EF=P1E+EF+P2F=P1P2,
∵AD最短,则AP1,AP2最短,此时P1P2最短,此时三角形DEF的周长最短,
所以△DEF的周长最小值为36.
(3)
解：如图,确定BC的圆心为O,作D关于AB的对称点M,作D关于AC的对称点N,连接MN交AB,AC于E,F,再连接AD,AO,

同理：AD=AM=AN,∠MAN=120°,∠AMN=∠ANM=30°,
MN=2×AD·cos30°=3AD,
所以当AD最短时,C△DEF=DE+DF+EF=MN=3AD最短,
所以当A,D,O三点共线时,AD最短,如图,

如图,取AB的中点Q,连接CQ,BC,
∴AQ=BQ=3, 而∠BAC=60°,AC=3,
∴△AQC为等边三角形,
∴CQ=3=BQ,∠AQC=60°,
∴∠QCB=∠ABC=30°,∠ACB=90°,

∴BC=AB·cos30°=33,
∵BC为60°,
∴∠BOC=60°, 而OB=OC,
∴△BOC为等边三角形,
∴BC=BO=33,∠OBC=60°,
∴∠ABC=90°,OA=62+(33)2=37,
∴AD=37−33,
∴C△DEF=3AD=3(37−33)=321−9,
即：△DEF的周长的最小值为321−9.
【点睛】本题考查的是垂线段的性质,轴对称的性质,勾股定理的应用,等边三角形的判定与性质,圆的基本性质,锐角三角函数的应用,综合程度较高,理解轴对称的性质与垂线段最短及一点与圆的最短距离是解本题的关键．
24．（2022·山东济宁·一模）如图,已知抛物线y=ax2+bx−6与x轴的交点A（-3,0）,B（1,0）,与y轴的交点是点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点,当PB＋PC的值最小时,求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M,N,使得∠CMN=90∘且以点C,M,N为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,求出点M和点N的坐标；若不存在,说明理由．
【答案】(1)y=2x2+4x−6
(2)P(-1,-4)
(3)M（-1,-8）,N（0,−172 ）或M(−74,−558),N（0,−838 ）．
【分析】（1）将A（-3,0）,B（1,0）代入y=ax2+bx−6,求出a和b即可；
（2）根据抛物线的性质可知PA=PB,即PB+PC=PA+PC≥AC,即AC与对称轴的交点即为点P,根据抛物线求出C点坐标,从而可求出AC的直线解析式,从而即可求出点P的坐标；
（3）设M点的坐标为（t,2t2+4t−6 ）,分t>0和t<0讨论,当t<0时,分△CMN∽△COA和△CMN∽△AOC进行讨论,当t>0时,不存在符合的点．
(1)
解：将A（-3,0）,B（1,0）代入y=ax2+bx−6,得：
{0=a×(−3)2+b×(−3)−60=a×12+b×1−6,
解得：{a=2b=4,
∴抛物线的解析式为y=2x2+4x−6；
(2)
解：∵点P是抛物线对称轴上一点,
∴PA=PB,
∴PB+PC=PA+PC≥AC,
∴连接AC,AC与对称轴的交点即为点P,如图．

∵对于y=2x2+4x−6,令x=0,则y=−6,
∴C(0,-6),
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴{0=−3k+b−6=b,
解得：{k=−2b=−6,
∴直线AC的解析式为y=−2x−6．
∵抛物线对称轴为x=−42×2=−1,
∴对于y=−2x−6,
令x=−1,则y=−2×(−1)−6=−4,
∴P(-1,-4)；
(3)
解：设M点的坐标为（t,2t2+4t−6 ）,
当点M在点C下方时,过M点作MD⊥y轴于点D,
当△CMN∽△COA时,∠MCD=∠OCA,
∵∠CMN=∠MDN=90°,
∴∠CMD+∠NMD=∠CMD+∠MCD=90°,
∴∠NMD=∠MCD,
∴△CMN∽△MDN,

tan∠MCD=tan∠OCA=tan∠DMN =AOOC=12,
即MDCD=DNMD=12,
∴CD=2|t|,DN=12|t|,
则OD=OC+CD=|2t2+4t−6|,
即6+2|t|=|2t2+4t−6| ,
即6−2t=−2t2−4t+6,
解得t=-1,
点M和点N的坐标分别为M（-1,-8）,N（0,−172 ）
当△CMN∽△AOC时,可得CD=−12t,
则−12t+6=−2t2−4t+6,
解得t=−74 ,
点M和点N的坐标分别为M(−74,−558),N（0,−838 ）

当t>0时,没有符合的点,
存在点M,N,使得∠CMN=90∘,点M和点N的坐标分别为M（-1,-8）,N（0,−172 ）或M(−74,−558),N（0,−838 ）．
【点睛】本题是二次函数综合题,涉及最短路径问题,相似三角形问题,整体难度较大．