【培优分级练】人教版数学八年级上册 11.1.1《三角形及三角形的边》培优三阶练（含解析）

11.1.1 三角形及三角形的边

知识点01  三角形及相关概念

1、三角形的定义：

由不在         上的三条线段            相接所组成的图形叫做三角形.

如图，①②③不是三角形，④是三角形。

【注意】

①由三条线段组成;

②三条线段不在同一条直线上;

③三条线段首尾顺次相接.

【巧记诀】

三条线段不共线，首尾相接是关键，线段即为三条边，公共端点为顶点.

2、三角形的三要素：

3、三角形的表示：

三角形用符号“  ”表示，如上图的三角形，记作“      ”，读作“           ”.

【注意】

表示三角形时，字母       .即：可以记作△ABC，也可记作△ABC.

4、三角形的顶点

如图，△ABC的三个顶点分别是：A，B，C.

5、三角形的边、内角

如图，△ABC的三条边分别是：AB，BC，CA.

它的三个内角（简称三角形的角）分别是： A，B， C.

【注意】

①.三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制.

②.三角形的三边，有时也用一个      来表示.

6、一般情况下，我们把边BC叫做A的      ，AC，AB叫A的      ；

边AC叫B的  ，AB，BC叫B的      ；

知识点02  三角形的分类

7、三角形的分类

【注意】

(1)等边三角形的三条边相等，是特殊的等腰三角形,等腰三角形包含等边三角形.

(2)对三角形分类时一定要统一标准,做到不重、不漏.

三角形按边分类后等腰三角形包括      .等腰三角形相等的两边叫做      ，两腰的夹角叫做       ，其余两角是      .

【总结】

三角形分类的“独立”与“交叉”

(1)独立性:三角形的两种分类方法是相互独立的,同一标准下不能有两类不同的三角形,如锐角三角形和等腰三角形就是不同的两类.

(2)交叉性:同一个三角形可以同属于两个不同的类别,如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形,而按角分类则属于直角三角形.

知识点03  三角形三边关系

8、三角形的三边关系

三条线段要组成一个三角形必须满足                .

三角形两边的差                第三边．

【注意】

1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三角形的任何两边之和  第三边，任何两边之差  第三边.

2.在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小于第三边.

【分门别类判断三条线段能否组成三角形】

(1)当三条线段互不相等时,只需要验证      的两条线段之和是否大于      的线段,若大于,则能组成三角形,否则不能组成三角形﹔

(2)当有两条线段相等时,只需要验证      的两条线段之和是否大于第三条线段;

(3)三条  的线段一定可以组成一个三角形.

培优第一阶——基础过关练

1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（       ）

A．4，2，4 B．1，6，8 C．10，6，3 D．3，3，6

2．下列三条线段，首尾顺次相连不能围成三角形的是（       ）

A．2、4、5 B．10、10、10 C．3、3、6 D．7、24、25

3．已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则该三角形第三边的长不可能是（       ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

4．如图，以AB为边的三角形的个数是（       ）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

5．若长度分别为3，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的最大值为________．

6．已知三角形三边长分别为2，9，，若为偶数，则这样的三角形有___________个．

7．若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则第三边的长为______．

8．三角形的三边分别为 5， ，9，则的取值范围为________.

9．现有四条线段，长度依次是2，3，4，5，从中任选三条，能组成不同三角的个数为______．

10．已知a，b，c是的三边长，则______．

培优第二阶——拓展培优练

11．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（       ）

A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．13cm

12．若等腰三角形的腰长为20，底边为x，则底边x的取值范围为_________．

13．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，则 BD 的长度的取值范围是（       ）

A．大于 4cm B．小于 6cm

C．大于 4cm 或小于 6cm D．大于 4cm 且小于 6cm

14．一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

15．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_______个．

16．如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米．

17．如图中的三角形的个数是 ________个

18．在等腰中，，一腰上中线BD将三角形周长分为12和21两部分，则这个三角形的腰长为__________．

19．若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的正整数n的值有 ___个．

20．如图，点P是△ABC内任意一点，求证：．

培优第三阶——中考沙场点兵

1．有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为           ．

2．三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______

3．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．

4．已知的三边长分别为、、，化简__________．

5．若a，b，c是的三边的长，则化简________．

6．已知a，b，c分别为的三边，且满足，．

(1)求c的取值范围；

(2)若的周长为12，求c的值．

7．实际问题：

各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？

问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型。

在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有多少种不同的取法？

为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．

探究一：

在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？

第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．

第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此有2种不同的取法．

综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有种不同的取法．

探究二：

在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？

第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4；而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．

第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5因此有3种不同的取法．

综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有种不同的取法．

探究三：

在1～6这6个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）

探究四：

在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有      种不同的取法．

探究五：

在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      种不同的取法．

探究六：

在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      种不同的取法．

问题解决：

①各边长都是整数，最大边长为20的三角形有       个；

②各边长都是整数，最大边长为31的三角形有______个．

8．阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？

（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……

（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表

(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即

（4）结论：

试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？

（1）分析：

当仅有3个点时，可作出      个三角形；

当仅有4个点时，可作出      个三角形；

当仅有5个点时，可作出      个三角形；

……

（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）

 (3)推理：                                                （4）结论：