【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 4.2《指数函数》培优分阶练（含解析）
展开4.2 指数函数
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1.函数是指数函数，则( )
A．或 B． C． D．且
答案
解析 由指数函数定义知，所以解得．故选.
2.函数的图象的大致形状是( )
A． B． C． D．
答案
解析 是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，
，
时，图象与在第一象限的图象一样，
时，图象与的图象关于x轴对称，
故选：．
3. 函数的单调递增区间是( )
． ． C．
答案
解析 要求的单调递增区间
在上单调递增
只要求的单调递增区间
而由二次函数的性质可知的单调递增区间为
故选：．
4.已知，则( )
答案
解析 是增函数，故，
而，故，故选：．
5.二次函数与指数函数的交点个数有( )
个 个 个 个
答案
解析 因为二次函数，
且时，，，
则在坐标系中画出与的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是个，故选．
二、多选题
6. 下列结论中，正确的是( )
A．函数是指数函数
B．函数的值域是
C．若，则
D．函数的图象必过定点
答案
解析 对于，根据指数函数的定义是，(其中且，是自变量，
判断函数不是指数函数，选项错误；
对于，二次函数，时，二次函数的图象是抛物线，且开口向上，所以函数的值域是，选项正确；
对于，时，指数函数单调递减，由得，所以选项错误；
对于，函数中，令，，，的图象必过定点，选项正确．
故选：．
三、填空题
7.方程有唯一实数解，则的取值范围是________．
答案 或
解析 作出的图象，要使直线与图象的交点只有一个，或.
8.函数且的值域是，则实数 .
答案 或
解析 当时，函数且是增函数，
值域是， ；
当时，函数且是减函数，
值域是， ．
综上所述，可得实数或.
9. 已知函数，其中，且，若在上单调，则的取值范围是
答案
解析 函数，其中，且，
在上单调，观察选项，可知是减函数，则．
也是减函数，则，即．
且满足，可得，解得．
综上可得：的取值范围是．
四、解答题
10.已知函数．
(1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性．
答案 (1) (2)
解析 (1)由，得，即，
因此函数的定义域为．
(2)由(1)知，函数的定义域为，关于坐标原点对称，
又，
所以为奇函数．
11.已知函数(其中为常量，且)的图象经过点，．
(1)求；
(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
答案 (1) (2)
解析 (1)把，代入，得
结合且，解得：，
．
(2)要使在上恒成立，
只需保证函数在上的最小值不小于即可．
函数在上为减函数，
当时，有最小值．
只需即可．
12.已知函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设函数，求函数的值域．
答案 (1) (2)
解析 (1)点，代入函数的解析式中，
得，两式相比得，
，
.
(2)由(1)可知，
，
设，则
，，则，
在为减函数，
，
函数的值域为．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1.若，则有( )
答案
解析 构造函数，易得函数单调递增，
由，可得
，
故选：．
2.已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②；
③；④；⑤．其中可能成立的关系式有( )
．①②③ ．①②⑤ ．①③⑤ ．③④⑤
答案
解析 令和，即，如图所示
由图象可知①②⑤正确，故选B．
3. 若方程有正数解，则实数的取值范围是( )
答案
解析 设，则有：．
原方程有正数解，则，
即关于的方程在上有实根．
又因为，
所以当时有，
即，即，
即，即得：，
故选：．
4.设函数，，且，则与的大小关系是( )
答案
解析 ，
作出的图象如图所示，
由图可知，要使且成立，则有且，
故必有且，
又，即为，．
故选：．
5.设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是( )
答案
解析 由，得，
即，
，，
则，
，则．
故选：
二、多选题
6. 已知函数，，若，则( )
A． B．
C． D．
答案
解析 因为函数是单调增函数，
所以为单调增函数，
所以，选项正确；
又，选项错误；
因为
，，
所以时，，，
所以，选项正确；
因为函数为上的单调增函数，且图象关于原点对称，
以为例，画出函数的图象，如图所示：
所以不满足，选项错误．
故选：．
三、填空题
7.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
答案
解析 不等式等价为，
即恒成立，恒成立，
即，即，
解得，
故答案为：．
8. 对于给定的函数，有下列四个结论：
①的图象关于原点对称； ②在上是增函数；
③的图象关于y轴对称； ④的最小值为；
其中正确的是 (填写正确的序号)．
答案 ①②③④
解析 函数，
，
为奇函数，故①正确，
在上是增函数，
在上是减函数，
函数在上是增函数，故②正确；
为偶函数，故③正确；
当时，，在上是增函数
在上递增，在递减，
的最小值为，故④正确；
故答案为：①②③④
9.设，函数满足，若，则最小值是 ．
答案
解析 由，可得=，
由，可得，
即为，
由，即有，
解得，即，当且仅当，取得等号，
则．即有最小值为．
四、解答题
10.已知函数．
(1)求证：函数是上的奇函数；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
答案 (1)奇函数 (2)
解析 (1)的定义域是，=．
．
．
是上的奇函数．
(2)在上是增函数，在上是减函数．
，．
，即．
令，则的最小值为．
．的取值范围是．
11.已知定义在上的奇函数．在时，．
试求的表达式；
若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案 (1)(2)
解析 是定义在上的奇函数，，
设，则，
则，
故
由题意，可化为
化简可得，
(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)
令， (分离常数法)
易得在上递减，
，
故．(可取到).
12.已知，
(1)若的最小值记为，求的解析式．
(2)是否存在实数同时满足以下条件：①；②当的定义域为时，值域为；若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案 (1) (2) 不存在
解析 (1)令，∵
，对称轴.
①当时，
②当时，
③当时，
(2)因为在上为减函数，而，
在上的值域为
在上的值域为，
即：，两式相减得：，
又，而，有矛盾．
故满足条件的实数不存在．
培优第三阶——高考沙场点兵
1.(2016•全国)若函数的最大值与最小值之和为，则 ( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 函数在上单调，
当时，；当时，．则，
两边同时平方得：，．
故选：．
2.(2021•四川模拟)设，，，，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
答案
解析 ，，，，
函数是上的减函数，；是上的减函数，
而是上的增函数，；是上的增函数，．
再根据，，．
综上可得，
故选：．
3. (2022•西安模拟)已知函数，若，且，则( )
A． B．
C． D．
答案
解析 作出的图象如图：该函数在区间上单调递减，在上单调递增，
且关于直线对称，
因为，且，所以，
而，故，
所以．
故选：．
4.(2022•西安模拟)已知，若，则( )
A． B． C． D．
答案
解析 由，；
所以，
所以是定义域上的奇函数，且是增函数；
又，所以，
所以，所以．
故选：．
5.(2022•大庆模拟)已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
答案
解析 ，的图象关于直线对称，
令，则的图象关于直线对称，
作出函数与的图象在区间上的图象，
由图可知，与的图象在区间上共有个交点，且两函数关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为．
故选：．
6.(2022•宁波模拟)已知函数，对任意的实数，关于的方程的解集不可能是( )
A． B． C． D．
答案
解析 令，则方程化为，
设它有解为，
则求方程化为求方程及．
由，
又因为，
，
所以关于对称，且．
若方程及有解，
则当时，根为，
当时，有两个根关于对称．
所以选项不满足．
故选：．
7.(2021•呼兰区校级四模)若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 ．
答案 .
解析 ①当时，作出函数图象：
若直线与函数的图象有两个公共点
由图象可知，
．
②：当时，作出函数图象：
若直线与函数的图象有两个公共点
由图象可知，此时无解．
综上：的取值范围是．
8.(2022•阿勒泰地区模拟)函数图象过定点，点在直线上，则最小值为 ．
答案
解析 由，令，求得，可得它的图象过定点，
点在直线上，，即．
则．
当且仅当，即时等号成立．
