【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第3课时-角平分线的性质-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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第三课时——角平分线的性质（答案卷）

知识点一：角平分线的定义及其画法：
1. 角平分线的定义：
把一个角分成两个 相等 的角的射线叫做角的平分线。
2. 做已知角的平分线：
作法：如下图
步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。
步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。
步骤三：连接OP即为角平分线

证明OP是∠AOB的平分线：
如图：



连接MP，NP
由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。
在△OMP与△ONP中

∴△OMP≌△ONP
∴∠MOP＝ ∠NOP
∴OP是∠AOB的角平分线。

【类型一：角平分线的作图依据】
1．数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，∠AOB是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于MN的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是∠AOB的角平分线．小敏作图的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：在△OMC与△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠COM＝∠CON，
∴射线OC是∠AOB的角平分线．
故选：D．
【类型一：利用角平分线的作图求值或证明】
2．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABN，则可计算出∠PBN＝70°，再利用OG平分∠MON得到∠BOP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠OPB的度数．
【解答】解：由作法得BP平分∠ABN，
∴∠PBN＝∠ABN＝×140°＝70°，
∵OG平分∠MON，
∴∠BOP＝∠MON＝×50°＝25°，
∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，
∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°
【分析】由题意可得BP为∠ABC的角平分线，则∠ABD＝∠CBD，由AD＝BD，可得∠A＝∠ABD，即可得∠ABC＝2∠A，由AB＝AC，可得∠ABC＝∠C，再结合三角形内角和定理可列出关于∠A的方程，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得BP为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABC＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∴∠A+∠ABC+∠C＝∠A+2∠A+2∠A＝180°，
解得∠A＝36°．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（　　）

A．100° B．135° C．145° D．125°
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，再利用基本作图得到∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，然后根据三角形内角和得到∠AOB＝90°+∠ACB．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
由作法得OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA
＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）
＝180°﹣（180°﹣∠ACB）
＝90°+∠ACB
＝90°+×90°
＝135°．
故选：B．
5．如图，已知a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，在直线l，b上分别截取BM，BN，使BM＝BN，分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠ABN内交于点P，作射线BP，交直线a于点C，若∠NBC＝55°，则∠CAB的度数是（　　）

A．55° B．60° C．70° D．75°
【分析】由作图知，BC平分∠NBM，得到∠NBA＝2∠NBC＝110°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知，BC平分∠NBM，
∴∠NBA＝2∠NBC＝110°，
∵a∥b，
∴∠CAB+∠NBA＝180°，
∴∠CAB＝70°，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，以B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、BC于D、E，再分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，连接BF并延长交AC于G，若AB上点H满足HB＝HG．
小锋同学研究GH和BC的位置关系如下（请你填空）：
连接DF、EF，
因为BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF（已知）
所以△BDF　 　△BEF（ 　 　）
所以∠HBG＝∠CBG，
因为HB＝HG（已知）
所以∠HBG＝∠HGB（ 　 　）
所以∠CBG＝∠HGB
所以GH∥BC（ 　 　）
【分析】连接DF、EF，先根据“SSS”判断△BDF≌△BEF得到∠HBG＝∠CBG，再利用等腰三角形的性质由HB＝HG得到∠HBG＝∠HGB，则∠CBG＝∠HGB，然后根据平行线的判定方法得到GH∥BC；
【解答】解：锋同学研究GH和BC的位置关系如下：
连接DF、EF，
因为BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF（已知），
所以△BDF≌△BEF（SSS），
所以∠HBG＝∠CBG，
因为HB＝HG（已知），
所以∠HBG＝∠HGB（等边对等角），
所以∠CBG＝∠HGB，
所以GH∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：≌，SSS；等边对等角；内错角相等，两直线平行；

知识点一：角平分线的性质
1. 角平分线的性质：
（1） 平分角：
即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。
（2） 角平分线上的点到角两边的距离相等。
即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则
有 PD＝PE 。
证明：∵OP是∠AOB的平分线
∴ ∠AOC＝∠BOC
∵ PD⊥OB，PE⊥OA
∴ ∠PEO＝∠PDO ＝90°
在△OPE与△OPD中

∴ PE＝PD

【类型一：利用角平分线的性质求线段长度】
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线若．BD＝4，则点D到AC的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的性质即可得答案．
【解答】解：∵∠B＝90°，BD＝4，
∴D到AB的距离等于4，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴D到AB、AC的距离相等，
∴D到AC的距离等于4，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD：DB＝3：5，BC＝16cm，则点D到AB的距离为　 　cm．

【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，利用角平分线的性质，即可求得DE＝DC，又由CD：DB＝3：5，BC＝16cm，求得CD的长，继而求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
即AC⊥CD，
∴DE＝DC，
∵CD：DB＝3：5，BC＝16cm，
∴CD＝×16＝6（cm），
∴DE＝6cm，
即点D到AB的距离为6cm．
故答案为：6．

9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：B．

10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】利用角平分线的性质可得DE＝EC，然后再利用线段的和差关系可得答案．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，
∴DE＝EC，
∵AE+DE＝3（cm），
∴AE+EC＝3（cm），
即：AC＝3cm，
故选：B．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在△ABC内交于点P；③作射线AP交边BC于点Q．若△ABQ的面积为50，AB＝20，则CQ的长为（　　）

A． B．5 C．7 D．10
【分析】作QH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AQ平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到QH＝QC＝5，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作QH⊥AB于H，如图，
由作法得AQ平分∠BAC，
而QC⊥AC，QH⊥AB，
∴QH＝QC
∴△ABQ的面积＝×20×QH＝50，
∴QH＝CQ＝5．
故选：B．

12．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于　 　．

【分析】由角平分线的性质易得OE＝OF＝OD，AE＝AF，CE＝CD，BD＝BF，设OE＝OF＝OD＝x，则CE＝CD＝x，BD＝BF＝8﹣x，AF＝AE＝6﹣x，所以6﹣x+8﹣x＝10，解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE＝OF＝OD，
又∵OB是公共边，
∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），
∴BD＝BF，
同理，AE＝AF，CE＝CD，
∵∠C＝90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE，
∴OECD是正方形，
设OE＝OF＝OD＝x，则CE＝CD＝x，BD＝BF＝8﹣x，AF＝AE＝6﹣x，
∴BF+FA＝AB＝10，即6﹣x+8﹣x＝10，
解得x＝2．
则OE＝OF＝OD＝2．
即点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于2，2，2．
故答案为：2cm，2cm，2cm．
【类型二：利用角平分线的性质求面积】
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　 　．

【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH＝1，
∴S△ACD＝×2×1＝1．
故答案为：1．

14．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，对角线BD＝5，BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据勾股定理求出AD，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，BD＝5，
则AD＝＝4，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝4，
∴S△DBC＝×4×4＝8，
故选：B．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）

A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
【分析】作DH⊥BC于点H，利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可求出对应三角形的高，即可求解．
【解答】解：作DH⊥BC于点H，如图：

∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
16．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）

A．20 B．30 C．50 D．100
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，

∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
17．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 　 　．

【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OF＝OH＝OE＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∴OF＝OH＝OE＝3，
∴△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×3＝27，
故答案为：27．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（　　）

A．48 B．24 C．12 D．6
【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面积公式求解．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DH＝×8×3＝12．
故选：C．

【类型三：角平分线性质的应用】
19．三角形中，到三边距离相等的点是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．
【解答】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
20．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．

21．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？

【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．
【解答】解：（1）如图，加油站的位置在直线MN或直线EF上．

（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．


知识点一：三角形的角平分线的性质：
1. 三角形的角平分线的性质：
三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于
这个角的两边的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比。
即如图：AD是△ABC的平分线。
则＝ ＝ 。
特别提示：分别以AB和AC、BD和CD表示出两个三角形的面积，然后比即可得出。

【类型一：利用三角形的角平分线求值】
22．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．15
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝DF，根据△ABD的面积可得DE的长，进一步可得DF的长，求出△BDC的面积，进一步可得△ABC的面积．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：

∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵AB＝4，△ABD的面积为6，
∴，
解得DE＝3，
∴DF＝3，
∵BC＝6，
∴△BDC的面积为＝9，
∴△ABC的面积为6+9＝15，
故选：D．
23．如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB＝4，AC＝3，那么△ABD与△ADC的面积比是（　　）

A．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定
【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据平分线的性质得到DE＝DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．
【解答】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是它的角平分线，
∴DE＝DF，
而S△ABD：S△ADC＝AB•DE：AC•DF
＝AB：AC
＝4：3．
故选：C．

24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，BC＝4，则△ABD与△ACD的面积比是（　　）

A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：3
【分析】先根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4．
故选：A．
25．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（　　）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
【解答】解：∵P为三条角平分线的交点，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，
∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比＝6：4：4＝3：2：2．
故选：D．

知识点一：角平分线的判定：
1. 内容：
角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。
2. 数学语言：
点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。
即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD
∴∠AOC＝∠BOC

【类型一：角平分线的证明】
26．如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．

【分析】先证Rt△BDE≌Rt△CDF，所以根据全等三角形的对应边相等推知DE＝DF．再结合已知条件“DF⊥AC，DE⊥AB”可以证得结论．
【解答】证明：如图，∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
又∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴在Rt△BDE与Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
∴AD平分∠BAC．


27．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．

【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分线．
28．如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．

【分析】此题容易根据条件证明△BED≌△CFD，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证明结论．
【解答】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．


29．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．

【分析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF•DM＝DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
【解答】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：BF•DM，
△DCE的面积为：DN•CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴BF•DM＝DN•CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
30．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
















一． 选择题（共10小题）
1．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D，E，若PD＝2，则PE的长是（　　）

A．2 B．3 C． D．4
【分析】根据角平分线的性质定理可得答案．
【解答】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2．
故选：A．
2．如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”这样说的依据是（　　）

A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．以上均不正确
【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E和F，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：C．

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝5，CP＝2，则P到AB的距离是（　　）

A．5 B．2 C．3 D．4
【分析】过P作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PD＝PC，即可求出点P到边AB的距离．
【解答】解：过P作PD⊥AB于D，

∵∠C＝90°，
∴PC⊥AC，
∴AP平分∠CAB，
∴PD＝PC，
∵PC＝2，
∴PD＝2，
∴点P到边AB的距离是2，
故选：B．
4．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】过P点作PH⊥OC于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝2，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：过P点作PH⊥OC于H，如图，
∵点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，PH⊥OC，
∴PH＝PD＝2，
∵点M是射线OC上一动点，
∴PM的最小值为2．
故选：C．

5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（　　）

A．14 B．8 C．16 D．6
【分析】根据角平分线的性质得到AE＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A＝90°，
∴AE＝DE，
∵△CDE的周长为12，CD＝4，
∴DE+EC＝8，
∴AC＝AE+EC＝8，
故选：B．
6．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先设点O到BC的距离为x，由O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为24，周长为24，可得×24x＝24，继而求得答案．
【解答】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为24，周长为24，
∴×24x＝24，
解得：x＝2．
∴点O到BC的距离为2．
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　）

A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0
【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案．
【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a﹣b＝0．
故选：C．
8．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（　　）

A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定
【分析】根据角平分线的性质和三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，
∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，
∴S1+S2＝，S3＝，
由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC，
∴S1+S2＞S3，
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若CD＝2，AB＝12，则△ABD的面积为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】利用基本作图得BD平分ABC，根据角平分线的性质得点D到AB的距离为2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：由作法得BD平分ABC，
∵DC⊥BC，
∴点D到AB和BC的距离相等，
即点D到AB的距离为2，
∴△ABD的面积＝×2×12＝12．
故选：B．
10．如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　　）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对
【分析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1＝∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS＝AR，由已知可得∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，得QP∥AR，答案可得．
【解答】解：连接AP，∵PR＝PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
二． 填空题（共6小题）
11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　 　．

【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×4×（AB+AC+BC）
＝×4×21＝42，
故答案为：42．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝2，DE＝　 　．

【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
故答案为：2．
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．CD是角平分线，则S△ACD：S△BCD＝　 　．
【分析】过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F，由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F，

∵CD平分∠ACB，
∴DE＝DF，
∵AC＝3，BC＝4，
∴S△ACD：S△BCD＝AC•DE：BC•DF＝AC：BC＝3：4．
故答案为：3：4．
14．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM＝6，则PN的最小值为 　 　．

【分析】过P点作PH⊥OA，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PM＝6，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：过P点作PH⊥OA，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，PH⊥OA，
∴PH＝PM＝6，
∵点N是射线OA上的一个动点，
∴PN的最小值为6．
故答案为6．
15．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若DE＝2，BC＝7，S△ABC＝12，则AB的长为　 　．

【分析】过D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，根据角平分线的性质求出DE＝DF＝2，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：
过D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
∵BC＝7，S△ABC＝S△ABD+S△BDC＝12，
∴+＝12，
∴＝12，
解得：AB＝5，
故答案为：5．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　．

【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．

三． 解答题（共4小题）
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作DH⊥AB于H．只要证明CD＝DH，根据三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：（1）∠ABC的平分线如图所示．

（2）作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABD＝BC•CD+AB•DH＝×3BC+3AB＝（BC+AB）＝3×16＝24．


18．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是∠ABC的角平分线．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到AB＝AC＝6，求得AD＝BD，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°；
（2）∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC＝6，
∵∠ABD＝∠A＝36°，
∴AD＝BD，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝AC＝3．
19．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．

【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．

20．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 　 　．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．

【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB＝50°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数；
（2）过点P分别作△ABC的垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质即可得到结论；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，根据角平分线的定义得到∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，推出△PGC为等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°；
（2）答：点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：
过点p分别作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，

∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，
∴PD＝PE PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴点P在∠BAC的角平分线上；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，

∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，
∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，
∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，
∴△PGC为等边三角形，
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，
在△ABC和△CGA中，
，
∴△ABC≌△CGA（AAS），
∴AB＝CG，
又∵PC＝CG，
故AB＝PC．