浙江省宁波市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试 数学试题（含答案）

宁波市2022学年第一学期高考模拟考试高三数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（        ）

A．   B．   C．   D．

2．已知数列与均为等差数列，且，，则（        ）

A．5     B．6     C．7     D．8

3．若（a∈R，i为虚数单位），则（        ）

A．    B．     C．     D．

4．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（，结果精确到0.1）（        ）

A．2.7     B．2.9     C．3.1     D．3.3

5．已知两个非零向量，的夹角为60°，且，则（        ）

A．     B．     C．     D．3

6．已知，，动点C在曲线T：上，若△ABC面积的最小值为1，则t不可能为（        ）

A．－4     B．－3     C．－2     D．－1

7．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（        ）

A．    B．    C．    D．

8．在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（        ）

A．    B．     C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．若函数的图象关于直线对称，则（        ）

A．         B．的图象关于点中心对称

C．在区间上单调递增     D．在区间上有2个极值点

10．已知直线l：与圆O：相交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，记△AOB的面积为，△COD的面积为，则（        ）

A．    B．存在m，使  C．   D．存在m，使

11．已知正实数a，b满足，则（        ）

A．a＋b的最大值为2        B．a＋b的最小值为

C．的最小值为2       D．的最大值为3

12．如果定义在R上的函数满足：对任意，有，则称其为“好函数”，所有“好函数”形成集合．下列结论正确的有（        ）

A．任意，均有

B．存在及，使

C．存在实数M，对于任意，均有

D．存在，对于任意，均有

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，则          ．

14．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨阵将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个……第n层放个物体堆成的堆垛，则          ．

15．在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动点，过点A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为          ．

16．已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则          ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列的前n项和满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前n项和．

18．（12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求．

19．（12分）

已知函数，a∈R．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围．

20．（12分）

如图，直三棱柱中，，E，F分别是AB，的中点．

（Ⅰ）证明：EF⊥BC；

（Ⅱ）若，直线EF与平面ABC所成的角为，求平面与平面FEC夹角的余弦值．

21．（12分）

已知点，在双曲线E：上．

（Ⅰ）求双曲线E的方程；

（Ⅱ）直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当时，证明：直线l过定点．

22．（12分）

已知函数，且，．

（Ⅰ）若，函数在区间上单调递增，求实数b的取值范围；

（Ⅱ）证明：对于任意实数，．

参考数据：．

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．A 8．D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．ABD  10．ABC 11．AC  12．AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．  14．  15． 16．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．

（Ⅰ）当，，故，

因为，当时，

两式相减行，即，

故数列为等比数列，所以．

（Ⅱ），故，

故，

令①，

②，

故①-②得

，

即，

故．

18．

（Ⅰ）由余弦定理，得

即，

所以．

（Ⅱ）由，

即，

即，又，

所以，，

所以．

19．

（Ⅰ）时，，，，

所以，

故所求切线方程为：．

（Ⅱ）法1：

在上恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上单调递减，

因为，，

由零点存在定理知，存在唯一，使，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

从而．

（Ⅱ）法2：

在上恒成立，

在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示：

从而，．

20．

（Ⅰ）证明：证法1：

取BC中点H，分别连结EH，FH，因为F为的中点，所以，因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，所以FH⊥平面ABC，所以FH⊥BC，

又E为AB的中点，则，且，所以，因为EH，平面EFH，，

所以BC⊥平面EFH，因为平面EFH，所以．

证法2：

设，，，则，

由题知，，，

所以，，

从而，即．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠FEH为EF与平面ABC所成的角，所以，由，得．如图，以CA，CB，分别为x轴，y轴，z轴正向，建立平面直角坐标系．

则，，，，，，，，

，，，

设平面CEF的法向量为，

由得，取，

平面的法向量为，

由得，取，

设平面CEF与平面的夹角为，则．

21．

（Ⅰ）由题知，，得，

所以双曲线E的方程为．

（Ⅱ）由题意知，当l⊥x轴时，不符合题意，

故l的斜率存在，设l的方程为，

联立，消去y得，则

，即，且，

设，，，，

AB方程为，令，得，

AN方程为，令得，

由，得，即，

即，

即，

即，

所以，

得或，

当，此时由，得，符合题意；

当，此时直线l经过点A，与题意不符，

舍去所以l的方程为，即，

所以l过定点．

22．

（Ⅰ）时，，

由题知对任意恒成立，

因为在单调递增，

则，得．

又，，得，

综上．

（Ⅱ）法1：

由题，，则，

而，显然在R上单调递增，

，

，

由零点存在定理知存在唯一使，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，

，

，

所以

记，单调递减，

又，

故，又，故，

则，

命题得证．

（Ⅱ）法2：

由题，，

则，

而，显然在R上单调递增，

，

，

由零点存在定理知存在唯一，

使，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，

记，

则对称轴，

所以

命题得证．