2018-2022年北京中考数学5年真题1年模拟汇编 专题15 多边形与平行四边形（学生卷+教师卷）

专题15  多边形与平行四边形

一、单选题

1．（2021·北京·中考真题）下列多边形中，内角和最大的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；

B、是一个四边形，其内角和为360°；

C、是一个五边形，其内角和为540°；

D、是一个六边形，其内角和为720°；

∴内角和最大的是六边形；

故选D．

2．（2020·北京·中考真题）五边形的外角和等于（）

A．180° B．360° C．540° D．720°

【答案】B

【解析】解：五边形的外角和是360°．

故选B．

3．（2019·北京·中考真题）正十边形的外角和为（     ）

A．180° B．360° C．720° D．1440°

【答案】B

【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，

所以正十边形的外角和等于360°，．

故选B．

4．（2018·北京·中考真题）若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，正多边形的边数为，

其内角和为．

故选C.

二、填空题

5．（2020·北京·中考真题）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）

【答案】=

【解析】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，

由网格图可得个平方单位，

，

故有=．

故答案为：“＝”

三、解答题

6．（2022·北京·中考真题）如图，在中，交于点，点在上，．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若求证：四边形是菱形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，，

∵，

∴，

即，

∴四边形是平行四边形．

(2)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∴，

∵

∴，

∴，

∴四边形ABCD为菱形，

∴，

即，

∵四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形．

7．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析．

【解析】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点

∴DE为的中位线，且

∴，

∵

∴

∵

∴

∴四边形DECF为矩形

∴

∴

则在中，；

（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG

∵

∴，

∵D是AB的中点

∴

在和中，

∴

∴，

又∵

∴DF是线段EG的垂直平分线

∴

∵，

∴

在中，由勾股定理得：

∴．

8．（2018·北京·中考真题）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点．

求作：，使得．

作法：如图，

①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；

②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；

③作直线．

所以直线就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵_______，_______，

∴（____________）（填推理的依据）．

【答案】(1)作图见解析（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．

【解析】详解：（1）尺规作图如下图所示：

（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．

一、单选题

1．（2022·北京昌平·模拟预测）一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是（       ）

A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形

【答案】C

【解析】解：设多边形的边数为n，

由题意得（n﹣2）•180°＝360°，

解得n＝10，

∴这个多边形为十边形，

故选：C．

2．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，已知，那么∠4的度数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：∵，

∴∠4=120°

故选B．

3．（2022·北京四中模拟预测）一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角等于（       ）

A．60° B．45° C．72° D．40°

【答案】D

【解析】解：设正多边形的边数为n，

∵正多边形的内角和为1260°，

∴（n-2）×180°=1260°，

解得：n=9，

∵360°÷9=40°，

∴正九边形的每个外角40°，

故选：D．

4．（2022·北京市第七中学一模）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）

A．100米 B．80米 C．60米 D．40米

【答案】B

【解析】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，

∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，

∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．

故选：B．

5．（2022·北京市三帆中学模拟预测）若某个正多边形的内角和是外角和的2倍，则该正多边形的边数是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】解：设这个正多边形的边数是n，根据題意得，

解得：

故选：D

6．（2022·北京顺义·一模）如图，小明从A点出发，沿直线前进20米后左转30°，再沿直线前进20米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（       ）

A．120米 B．200米 C．160米 D．240米

【答案】D

【解析】已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为30°，可得多边形的边数为360°÷30°=12，所以小明一共走了：12×20=240米．

故答案选：D．

7．（2022·北京门头沟·一模）正五边形的内角和为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：180°×（5-2）

=180°×3

=540°．

故选：D．

8．（2022·北京平谷·一模）2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（　　）

A．它是轴对称图形 B．它是中心对称图形

C．它的外角和是360° D．它的每个内角都是140°

【答案】B

【解析】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形

∴A正确，B错误；

由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360°

∴C正确；

由正n边形的内角为，可得

∴D正确；

故选B．

9．（2022·北京东城·一模）五边形的内角和是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：由题意知，五边形的内角和为，

故选：B．

10．（2022·北京房山·一模）下列多边形中，内角和为720°的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵n边形内角和公式为(n-2)×180°，

∴(n-2)×180°=720°，

解得n=6，

故选D．

二、填空题

11．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可）

【答案】或

【解析】解：分别是的中点，

，

当时，四边形DFGE是平行四边形，

，

四边形DFGE是矩形；

当时，四边形DFGE是平行四边形，

，

四边形DFGE是矩形；

故答案为：或．

12．（2022·北京·北理工附中模拟预测）若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________．

【答案】八（或8）

【解析】解：根据正多边形的每一个内角为

正多边形的每一个外角为：

多边形的边数为：

故答案为八．

13．（2022·北京·模拟预测）若一个正多边形的每个内角度数都为108°，则这个正多边形的边数是______．

【答案】5

【解析】解：∵一个正多边形的每个内角为108°，

∴它的外角为，

∴，

∴这个正多边形的边数是5．

故答案为：5．

14．（2022·北京通州·一模）如图所示，某种“视觉减速带”是由三个形状完全相同，颜色不同的菱形拼成，可以让平面图形产生立体图形般的视觉效果．则的度数为______．

【答案】

【解析】解：∵如图是由三个菱形拼成的一个平面图形；

∴以点A为顶点的三个角之和为，

又∵这三个菱形的形状完全相同；

∴以点A为顶点的三个角相等，

∴

∴．

故答案为：

15．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，▱ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：

①BO＝DO；

②EO＝FO；

③AE＝CF，以其中一个作为题设，余下的两个作为结论组成命题，其中真命题的个数为_____．

【答案】3

【解析】解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．

理由：在△DOE和△BOF中

，

∴△DOE≌△BOF（SAS），

∴DE＝BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，

∴AE＝FC，

同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；

已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，

故答案为：3．

16．（2022·北京四中模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是________（写出一个即可）．

【答案】AC=FE或AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴AD//BC（平行四边形的对边平行），

∴∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF（两直线平行，内错角相等），

由已知可得OA=OC，

∴在△AOF和△COE中，

∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF ，OA=OC，

∴△AOF≌△COE(AAS)；

∴OF=OE（全等三角形的对应边相等），又OA=OC，

∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）；

（1）若添加AC=FE，由对角线相等的平行四边形为矩形可得四边形AFCE为矩形；

（2）若添加AE⊥BC，可得∠AEC=90°，由有一个角为直角的平行四边形为矩形可得四边形AFCE为矩形，

故答案为：AC=FE或AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）．

17．（2022·北京一七一中一模）正多边形的每个内角等于，则这个正多边形的边数为______________条．

【答案】12

【解析】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12.

三、解答题

18．（2022·北京·一模）如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．

（1）求证：四边形是平行四边形．

（2）当，，时，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形．

（2）解：∵，

∴BE=DF，

∵四边形是平行四边形，

∴，

在中，，

∴AE=3，BE=4．

∵BE=DF，AE=CF，

∴BE=DF=4，AE=CF=3，

，，

∴，

∴tan∠CBF=，tan∠ECF=，

∴，得到EF=，或EF=（舍去），

∴BD=4+4+=，

即BD=．

19．（2022·北京通州·一模）如图．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作交CB的延长线于点F．

(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；

(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】(1)证明：∵在△ABC中，AB＝BC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴，

又∵BD为∠ABC的角平分线，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴D为中点，

又∵点E为AB的中点，

∴为中位线，

∴，

即，

又∵，

∴四边形DEFB是平行四边形．

(2)解：∵由（1）得，

∴，

又∵点E为AB的中点，

∴为的中线，

∴，

∵在中，AD＝4，BD＝3，

∴，

∴，

又∵四边形DEFB是平行四边形，

∴，

又∵，

∴．

20．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：中，，于点D，过点A作，且，连结DE．

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)作于点G，，，求FG和FD的长．

【答案】(1)见解析

(2)FG=3，FD=5

【解析】(1)证明：，

又

又

四边形ABDE是平行四边形；

(2)解：，，

，得，解得AF=5

，

又

，

在与中

又四边形ABDE是平行四边形

21．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】(1)证明：∵四边形是菱形

∴，．

∵

∴

∴

∴

∴四边形是平行四边形．

(2)解：∵四边形是平行四边形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵，，

∴

∴

∴

22．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，．

(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；

(2)若，，，求BD的长．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【解析】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB‖CD且AB=CD，

∵CF=BE，

∴AB-BE=CD-CF，即AE=DF

∴四边形AEFD是平行四边形；

(2)解：如图，过点D作DG⊥AB于点G．

∴∠AGD=90°，

∵∠A=60°，∴∠ADG=30°，

∵AD=2，∴AG=1，

∴DG=，BG=AB−AG=3，

∴在Rt△DGB中，

BD==．

23．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，．

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)若，，，，求BE的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)3

【解析】(1)证明：∵，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∴四边形AECD是平行四边形．

(2)解：∵，，

∴，

∵四边形AECD是平行四边形，

∴，，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴，

∴，即，

解得，

∴，

∴的长为3．

24．（2022·北京昌平·模拟预测）（1）如图①，在中，分别以，为边向外作等边和等边，与交于点，求的度数；

（2）如图②，在中，分别以，为边向外作正边形和正边形，与交于点，直接写出的度数：______．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵等边和等边

∴，，

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

∴；

（2）根据（1）的结论：等边三角形内角，得正多边形内角

∵正多边形内角和

∴正多边形内角

∴

∴

故答案为：．