高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习

4.5.3 函数模型的应用

一、几种常见的函数模型

1、一次函数模型：（，为常数，）

2、二次函数模型：（为常数，）

3、指数函数模型：（为常数，，且）

4、对数函数模型：（为常数，，且）

5、幂函数模型：（为常数，）

6、分段函数模型：

二、用函数模型解应用问题的四个步骤

1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；

3、求模：求解数学模型，得出数学模型；

4、还原：将数学结论还原为实际问题。

三、函数拟合与预测的一般步骤

1、通过原始数据、表格，绘出散点图；

2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；

3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；

4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；

5、利用选取的拟合函数进行预测；

6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。

题型一 根据实际问题的增长率选择合适的函数模型

【例1】在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培养时间 （单位：时）的关系如下表，为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-1】今有一组实验数据如下：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（    ）A．        B．        C．        D．

【变式1-2】有一组实验数据如下

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最佳的一个是（       ）A．        B．        C．        D．

【变式1-3】一组关于的观测数据通过的转换数据对应关系如表所示：

则y与t近似满足这些数据的函数是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-4】某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（    ）

A．y＝0.2x        B．y＝（x2＋2x）        C．y＝        D．y＝0.2＋log16x

题型二 指数函数的模型应用

【例2】牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间是200小时，而在1℃的温度下则是160小时，而在2℃的温度下则是128小时.

（1）写出保鲜时间关于储藏温度（℃）的函数解析式；

（2）利用（1）的结论，若设置储藏温度为3℃的情况下，某人储藏一瓶牛奶的时间为90至100小时之间，则这瓶牛奶能否正常饮用？（说明理由）

【变式2-1】银行储蓄存款是一种风险较小的投资方式，将一定数额的本金存入银行，约定存期，到期后就可以得到相应的利息，从而获得收益，设存入银行的本金为P（元），存期为m（年），年化利率为r，则到期后的利息（元）．以下为上海某银行的存款利率：

（1）洪老师将10万元在上海某银行一次性存满二年，求到期后的本息和（本金与利息的总和）；

（2）杜老师准备将10万元在上海某银行存三年，有以下三种方案：

方案①：一次性存满三年；

方案②：先存二年，再存一年；

方案③：先存一年，再续存一年，然后再续存一年；

通过计算三种方案的本息和（精确到小数点后2位）判断哪一种方案更合算，并基于该实际结果给予杜老师一般性的银行储蓄存款的建议．

【变式2-2】甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：

（1）写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

（2）计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；

（3）对两城市人口增长情况作出分析.

参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.

【变式2-3】为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题.

（1）求从药物释放开始，与的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.

题型三 对数函数的模型应用

【例3】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家们通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.若某次地震释放出的能量是另一次地震释放出的能量的3000倍，则两次地震的震级数大约相差（       ）（参考数据：

A．        B．        C．2.2        D．

【变式3-1】中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（    ）

A．10%        B．20%        C．30%        D．50%

【变式3-2】有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：，，）

（1）若=3，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？

（2）若=6，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？

（3）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？

【变式3-3】根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图像的一部分，其中顶点，且过点；当时，曲线是函数图像的一部分．专家认为，当指数大于或等于时定义为听课效果最佳．

（1）试求的函数关系式；

（2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？

题型四 建立拟合函数模型解决实际问题

【例4】某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家规定，一家商场进货的台数不高于的台数的倍，且进货至少台，而销售、的售价分别为元/台和元/台，若该家电商场每周可以用来进货、的总资金为万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售、电器的总利润（利润售价进价）的最大值为（    ）

A．万元        B．万元        C．万元        D．万元

【变式4-1】茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为，，给出三个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据）（    ）

A．2.72分钟        B．2.82分钟        C．2.92分钟        D．3.02分钟

【变式4-2】某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．

（1）写出n关于x的函数关系式；

（2）要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．

【变式4-3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

（1）求的值及表达式

（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．