四川省成都市第七中学2022-2023学年高三数学（理）上学期期中考试试题（Word版附答案）
展开成都七中2022～2023学年度(上)高三年级半期考试
数学试卷(理科)
(试卷总分:150分,考试时间:120分钟)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线上的一点到其焦点的距离等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在的展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
7．在平行四边形ABCD中，，，，E是BC的中点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．“为第二象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．直线与圆相切，则的最大值（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
10．关于函数的叙述中，正确的有（ ）
①的最小正周期为；
②在区间内单调递增；
③是偶函数；
④的图象关于点对称.
A．① ③ B．① ④ C．② ③ D．② ④
11．攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上檐边长为，宝顶到上檐平面的距离为，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为（ ）
A． B． C． D．
12．如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题“，”的否定是________．
14．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．
15．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为________．
16．已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_________；（2分）
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为________．（3分）
（参考公式：若，则）
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个题目考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17．（12分）已知，数列的首项，且满足下列条件之一：①；②．（只能从①②中选择一个作为已知）
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和，求正整数的最小值．
18．（12分）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)已知，，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为 .现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记.
产品件数 | 一等品 | 二等品 | 总计 |
甲生产线 |
|
| |
乙生产线 |
|
| |
总计 |
|
|
(1)请将列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?
(2)为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：.
20．（12分）已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．
(1)求椭圆的方程
(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程．
21．（12分）已知函数 在区间内存在极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小．
(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，伯努利双纽线（如图）的普通方程为，直线的参数方程为（其中，为参数）.
(1)以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求和的极坐标方程；
(2)设，是与轴的交点，，是与的交点（四点均不同于），当变化时，求四边形的最大面积.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设为不等式的解集.
(1)求；
(2)若，，求的最大值.
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