2022-2023学年天津市西青区当城中学九年级（上）期中数学试卷（含答案解析)

2022-2023学年天津市西青区当城中学九年级（上）期中数学试卷

1.     下列事件中，是随机事件的为(    )

A. 一个三角形的外角和是
B. 掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D. 明天太阳从西方升起

2.     一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     下列图案中，可以看作中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有(    )

A. 4个 B. 6个 C. 34个 D. 36个

5.     下列各数是方程的根的是(    )

A. 2和5 B. 和3 C. 5和3 D. 和2

6.     点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8.     如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

9.     由二次函数，可知(    )

A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线
C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大

10. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

11. 据调查，某市2011年的房价为4000元，预计2013年将达到4840元，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

13. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是______精确到

14. 已知点与点关于原点对称，则______.
15. 若，是方程的两个根，则的值为______.
16. 已知二次函数有最大值，则m取值范围是______.
17. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______.

18. 如图，抛物线与x轴交于O、B两点，点A是该抛物线的顶点．
    一定是______三角形；填“等腰”或“直角”
    是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，请写出过O，C，D三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

19. 解下列方程．
    ；
     
20. 如图，在中，，，D为内一点，且
    将绕点C顺时针旋转，画出旋转后的；
    在图中连接DE，求的度数及DE的长．

21. 如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有，，3三个数字．小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数指针指在分界线时取指针右侧扇形的数
    小王转动一次转盘指针指向正数所在扇形的概率是______；
    请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是正数的概率．

22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点
    求这个二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；
    平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接说出平移的方向和距离．
23. 如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为x m，矩形场地的面积为
    与x的函数关系式为______，其中x的取值范围是______；
    若矩形场地的面积为，求矩形场地的长与宽；
    当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．

24. 在等腰直角三角形ABC中，，点D，E分别为AB，AC中点，F是线段DE上一动点不与点D，E重合，将线段AF绕点A逆时针方向旋转得到线段AG，连接GC，
    如图①，证明：≌
    如图②，连接GF，GE，GF交AE于点
    ①证明：在点F的运动过程中，总有
    ②若，当DF的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出DF的长度．
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点
    求b的值及B，C两点坐标；
    是第一象限内抛物线上的一点，过点M作轴于点N，交BC于点
    ①当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标；
    ②连接CM，当线段时，求点M坐标．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：A、一个三角形的外角和是，是必然事件，不符合题意；
B、掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，是随机事件，符合题意；
C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件，，不符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，，不符合题意；
故选：
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

2.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
用红球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】
解：袋子中一共有9个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有6个，
摸出的小球是红球的概率是，
故选：  

3.【答案】C 

【解析】

【分析】
此题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形的概念和各图特点即可解答．
【解答】

解：A、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；
D、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；．
故选：
 

4.【答案】B 

【解析】解：摸到红色球的频率稳定在左右，
口袋中红色球的频率为，故红球的个数为个
故选：
大量反复试验下频率稳定值即概率，由频数=数据总数频率计算即可．
本题考查利用频率估计概率.
 

5.【答案】D 

【解析】解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：或
故选：
利用因式分解法求出方程的解，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

6.【答案】C 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是
故选：
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

7.【答案】A 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：
故选：
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

8.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质，熟记性质并求出是解题的关键．根据旋转的性质，对应边OB、OD的夹角等于旋转角，然后根据计算即可.
【解答】
解：绕点O逆时针旋转得到，

，

故选

9.【答案】C 

【解析】解：由二次函数，可知：
A：，其图象的开口向上，故此选项错误；
B.其图象的对称轴为直线，故此选项错误；
C.其最小值为1，故此选项正确；
D.当时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：
根据二次函数的性质，由a的值得出开口方向，再得出最值、对称轴和增减性，分别分析即可．
此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质．
 

10.【答案】B 

【解析】解：，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：
计算出判别式的值即可得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的实数根；
②当时，方程有两个相等的实数根；
③当时，方程无实数根．
 

11.【答案】B 

【解析】解：设年平均增长率为x，
那么2012年的房价为：，
2013年的房价为：
故选：
根据下一年的房价等于上一年的房价乘以，可以列出2013年的房价，而预计2013年将达到4840元，故可得到一个一元二次方程．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
 

12.【答案】C 

【解析】解：图象开口向下，
，
抛物线与x轴的交点在y轴正半轴，
，
对称轴在轴右侧，
，
，
故选：
根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点判断a，b，c的符号即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：由合格品的频率都在上下波动
可得这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是
故答案为：
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
本题考查了利用频率估计概率的思想，解题关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
 

14.【答案】1 

【解析】解：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，
所以得到，，故
故答案为：
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，

故答案为：
利用根与系数关系求出两根之积即可．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：二次函数有最大值，
，即
故答案为：
直接利用二次函数有最大值，则，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可得：，
，
是等边三角形，
，
，，

故答案为：
由将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得，又由，可证得是等边三角形，继而可得，则可求得答案．
此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
 

18.【答案】等腰 

【解析】解：根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，
所以，
所以一定是等腰三角形．
故答案为：等腰；
存在．
如图，作与关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．

当时，平行四边形ABCD是矩形，
又，，
为等边三角形．
，
作，垂足为E，

，
，


，
，
设过点O、C、D的抛物线为，则，
解得
故所求抛物线的表达式为
根据抛物线的对称性可得一定是等腰三角形．
由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足，又，必须是等边三角形，首先用b表示出AE、OE的长，通过这个等边三角形来列等量关系求出的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质以及矩形的判定和性质．
 

19.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；

，
，
，
， 

【解析】先移项，使方程的右边化为零，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可；
利用公式法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了公式法解一元二次方程．
 

20.【答案】解：图形如图所示：

，，
，
，
 

【解析】根据要求作出图形即可；
利用等腰三角形的判定和性质解决问题．
本题考查作图-旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】 

【解析】解：转盘被平均分为3份，共有3种可能出现的结果，其中是正数的只有1种，
所以小王转动一次转盘指针指向正数所在扇形的概率是，
故答案为：；
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中两次之和为正数的有5种，
所以两数之和是正数的概率为
转盘被平均分为3份，共有3种可能出现的结果，其中是正数的只有1种，可求出答案；
用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，，
解得：，
所以，此二次函数的解析式为；
，
顶点为；
顶点为，
抛物线向右平移1个单位，向下平移6个单位，使其顶点恰好落在原点的位置上． 

【解析】把点A、B的坐标代入函数解析式计算求出b、c的值，即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
根据顶点坐标即可得出平移的方向和距离．
本题考查了了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，

又墙长10米，
，


故答案为：，；
当矩形场地的面积为时，，
解得：不合题意，舍去，，

答：矩形的长为7米，宽为6米；
，
当时，S最大是50，
此时，
答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是
由，可得出，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函数关系式；
根据矩形场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽．
本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：利用矩形的面积公式，找出s关于x的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

24.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌；
①证明：点D是AB的中点，点E是AC的中点，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同理得，
≌，
，
；
②解：由题意得：，
，
如图1，

当时，，
，，
，
，
，
如图2，

当时，
，，
∽，
，
，
当时，，
，
此时F点和E点重合，不符合题意，
综上所述：或4时，是等腰三角形． 

【解析】由：推出，进一步命题得证；
①证明≌，进一步可得结果；
②分为，此时，进而求得结果；当时，推出，从而求得结果；当时，点F的点E重合，不合题意．
本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，找出条件．
 

25.【答案】解：对称轴是直线，
故，
解得，
故抛物线的表达式为，
令，即，
解得或，
，
令，得，
；

①设直线BC的表达式为，则，解得，
故直线BC的表达式为，
设点M的坐标为，则点D的坐标为，
，
当线段MD的长取最大值时，，
；
②由①知，直线BC的表达式为，
设点M的坐标为，则点D的坐标为，
当线段时，则点C在MD的中垂线上，即，
即，
解得舍去或2，
故点M的坐标为 

【解析】根据题意列方程求得，于是得到抛物线的表达式为，解方程即可得到结论；
①设直线BC的表达式为，解方程组得到直线BC的表达式为，设点M的坐标为，则点D的坐标为，得到，根据二次函数的性质即可得到结论；
②由①知，直线BC的表达式为，设点M的坐标为，则点D的坐标为，根据题意列方程即可得到结论．
主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．