高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质优秀第1课时学案设计

第二章　一元二次函数、方程和不等式

2.1 等式性质与不等式性质

第1课时 不等关系与不等式

【学习目标】

【自主学习】

一．基本事实：

两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.

注意：符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．

思考1：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？

思考2：若a>b，且ab>0，则与的大小关系如何？

二．重要不等式

∀a，b∈R，有a2＋b2    2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.(　　)

(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　)

(3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　)

2.某购买甲产品x件，乙产品y件，甲、乙两种产品总量至少需要120个，则x，y应满足的不等关系是(　　)

A．x＋y>120　　　 B．x＋y<120     C．x＋y≥120   D．x＋y≤120

【经典例题】

题型一   用不等式(组)表示不等关系

点拨：将不等关系表示成不等式(组)的思路

①读懂题意，找准不等式所联系的量.

②用适当的不等号连接.

③多个不等关系用不等式组表示.

例1 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？

点睛：根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．

【跟踪训练】1 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．

题型二  数(式)的大小比较

点拨：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法

1.作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．

2.变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．

例2 

例2 比较下列各组中两个代数式的大小：

(1)x2＋3与3x；

(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

【跟踪训练】2 已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小．

【当堂达标】

1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)

A．30x－60≥400     B．30x＋60≥400    C．30x－60≤400    D．30x＋40≤400

2.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”

B.小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”

C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”

D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”

3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)

A.M>N         B.M＝N       C.M<N       D.与x有关

4.武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________．

5.若实数a>b，则a2－ab____ba－b2.(填“>”或“<”)

6.设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．

【课堂小结】

1.知识点：

(1)用不等式(组)表示不等关系.

(2)作差法比较大小.

(3)重要不等式.

2.方法归纳：作差法.

3.常见误区：实际问题中变量的实际意义.

【参考答案】

【自主学习】

一． a－b>0   a－b＝0   a－b<0  差  0

思考1：作差 x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.

思考2：因为ab>0，所以a与b同号．而－＝，

又a>b，所以b－a<0. 所以－<0，即<.

二．≥

【小试牛刀】

1. (1)×　(2) √　(3) √　

2.C

【经典例题】

例1 解：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.

【跟踪训练】1  (a2＋b2)>ab

例2 解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝2＋≥>0，

∴x2＋3>3x.

(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2

＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．

∵a>0，b>0且a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0.

∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.

【跟踪训练】2解：∵m－n＝＋－＝－＝＝.

又x，y均为正数，

∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.

∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．

【当堂达标】

1. B 解析： x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.

2.CD 解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；

CD正确.

3.A 解析：M－N＝x2＋x＋1＝＋>0.   ∴M>N.

4.2v1＋100≤v2，v1>3v3

5. ＞ 解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.

6.解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)

＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2

＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]

＝(x－y)(－2xy)．

由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0，

所以(x－y)(－2xy)＞0，

即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．