人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀课时训练

5.7   三角函数的应用

基  础  练                                                                               

      巩固新知    夯实基础             

1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　)

A.                   B．50               C.                 D．100

2.最大值为，周期为，初相为的函数表达式可表示为(　　)

A．y＝sin      B．y＝sin     C．y＝sin    D．y＝sin

3.已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A．T＝6，φ＝         B．T＝6，φ＝       C．T＝6π，φ＝       D．T＝6π，φ＝

4.已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为(　　)

A．60                  B．70               C．80                D．90

5.已知某地一天的温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足，则该地这一天的最大温差为______．

6．如图某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.

7.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.

(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；

(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？

8.如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)

(2)估计当年3月1日动物种群数量．

能  力  练                                                                               

综合应用   核心素养

9.稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)

A．10000元              B．9500元           C．9000元           D．8500元

10.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)      B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)

C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)        D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)

11.如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为（       ）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

12.(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是 (　　)

A.该质点的运动周期为0.7 s                 B.该质点的振幅为5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零      D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零

13.一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．

14如图所示,弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处,然后小球向上运动,小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm,每经过π s小球往复振动一次,则小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设向上为正)与振动时间x(s)的关系式可以是　　　　　　.  

15.某港口的水深y(米)随着时间t(时)呈现周期性变化,经研究可用y=asin t+bcos t+c来描述,若潮差(最高水位与最低水位的差)为3米,则a+b的取值范围为　　　　. 

16.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.

(1)求h与θ之间的函数关系式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？

【参考答案】

1.A 解析： T＝＝.

2.C 解析：A＝，＝⇒ω＝6，φ＝，C项正确．

3.A 解析：由题意得1＝2sinφ，∴sinφ＝，又∵|φ|<，∴φ＝，∴T＝＝6.

4.C解析：由题意可得频率f＝＝＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.

5. 解析：因为，则，所以，，，所以最大温差为．故答案为：.

6.8 解析：由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.

7.解：(1)由题意知解得

易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，

易知8sin＋6＝－2，即sin＝－1，

故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，得φ＝－，

所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．

(2)当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin＋6<8sin＋6＝10.

所以届时学校后勤应该开空调．

8.(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则

解得A＝100，b＝800.

又周期T＝2×(6－0)＝12，

∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.

又当t＝6时，y＝900，

∴900＝100sin＋800，

∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，

∴取φ＝－，

∴y＝100sin＋800.

(2)当t＝2时，

y＝100sin＋800＝750，

即当年3月1日动物种群数量约是750.

9.C 解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9500，当x＝3时，y＝9000.

10.A 解析：令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.

∴f(x)＝2sin＋7.

∵当x＝3时，y＝9，

∴2sin＋7＝9，即sin＝1.

∵|φ|<，∴φ＝－.

∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．

11.B 解析：因函数最大值为110，最小值为10，因此有，解得，

而函数的周期为10，即，则，

又当时，，则，而，解得，

所以.故选：B

12.BC解析：由题图可知,运动周期为2×(0.7-0.3)=0.8 s,故A错误;该质点的振幅为5 cm,B正确;由简谐运动的特点知,质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大,在0.1 s和0.5 s时运动速度为零,故C正确,D错误.故选BC.

13.5解析：过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cos∠POQ＝，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×＝5秒．

14.y=4sin(答案不唯一) 解析：不妨设y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0).由题知A=4,T=π,所以ω==2.当x=0时,y=2,且小球开始向上运动,所以φ=2kπ+,k∈Z,不妨取φ=,故所求关系式可以为y=4sin.

15. 解析：由题意可知y=asin t+bcos t+c=sin+c(θ为辅助角),

由题意可得2=3,故a2+b2=,由≤=,解得-≤a+b≤故答案为.

16(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－.

故B点坐标为.

∴h＝5.6＋4.8sin，θ∈[0，＋∞)．

(2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，

∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．

到达最高点时，h＝10.4 m.由sin＝1.得t－＝，

∴t＝30.

∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．