【备战2023高考】物理专题讲与练——考向21《电磁感应能量问题》全能练（含解析）（全国通用）

考向21 电磁感应中的能量与动量问题

【重点知识点目录】

1.   电磁感应中的能量问题
2.   电磁感应中的动量问题
3.   电磁感应中的电路和图像问题

1．（2022•上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。求：

（1）匀强磁场的方向；

（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：

（3）金属杆运动时的速率；

（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。

【答案】（1）匀强磁场的方向垂直纸面向里

（2）定值电阻R0在Ⅰ中，定值电阻R0＝5Ω

（3）金属杆运动时的速率为5m/s

（4）滑动变阻器阻值为5Ω时变阻器的功率最大，最大功率为0.1125W

【解析】解：（1）a点电势比d点电势高，说明导体棒上端为电源正极，导体棒切割磁感线产生感应电流向上，根据右手定则判断得出匀强磁场的方向垂直纸面向里

（2）滑动变阻器从全部接入到一半接入电路，回路里电流变大，定值电阻R0上电压变大，图甲的Ucd小于图乙的Ucd，可以推理得定值电阻在Ⅰ内，滑动变阻器在Ⅱ

根据欧姆定律得：甲图中回路电流I甲＝＝，乙图中回路电流I乙＝＝＝0.1A

甲图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.2＝0.06R

乙图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.0＝0.1R

联立解得：R＝5Ω，φ0＝1.5V

（3）金属杆产生的感应电动势E＝BLv，E＝φ0

联立解得v＝＝＝5m/s

（4）根据甲乙两图可知导体棒电阻不计，由闭合电路欧姆定律得I＝

滑动变阻器上的功率p＝I2R＝＝，当R＝5Ω时，滑动变阻器有最大功率Pm＝0.1125W

2．（2022•浙江）舰载机电磁弹射是现代航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v﹣t图如图2所示，在t1至t3时间内F＝（800﹣10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度v1＝80m/s，t1＝1.5s，线圈匝数n＝100匝，每匝周长l＝1m，飞机的质量M＝10kg，动子和线圈的总质量m＝5kg，R0＝9.5Ω，B＝0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求

（1）恒流源的电流I；

（2）线圈电阻R；

（3）时刻t3。

【答案】（1）恒流源的电流为80A；

（2）线圈电阻为0.5Ω；

（3）时刻t3为。

【解析】解：（1）根据安培力公式可得：

F安＝nBIl

动子和线圈在0～t1时间内做匀加速直线运动，运动的加速度为

根据牛顿第二定律得：

F安＝（M+m）a

代入数据解得：I＝80A

（2）当S拨至2时，接通定值电阻R0，此时的感应电流为

此时的安培力为

F安1＝nBI1l

根据牛顿第二定律得：

由图可知在t1到t3的过程中，加速度恒定，则有

解得：R＝0.5Ω；

（3）根据图像可知，

则0～2s时间内，位移大小为

根据法拉第电磁感应定律得：

根据电流的定义式可得：Δq＝It

联立解得：

从t3时刻到最后返回初始位置停下的时间段内通过回路中的电荷量，根据动量定理得：

﹣nBlΔq＝0﹣ma1（t3﹣t2）

联立解得：t3＝

3．（2021•全国）如图，质量为m、电阻为R、边长为l的正方形导线框置于光滑水平面上，虚线右侧区域存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．线框在恒力F作用下从距磁场左边界一定距离处由静止开始运动。

（1）若线框前端进入磁场后即保持匀速直线运动，求线框开始运动时距磁场左边界的距离s；

（2）若其他条件不变，t＝0时线框从距磁场左边界处由静止开始运动，线框经过多少时间其前端刚进入磁场？此时的速度为多少？

（3）已知在（2）的情况下，线框始终做加速运动，定性画出线框运动的v﹣t图像。

【答案】（1）若线框前端进入磁场后即保持匀速直线运动，求线框开始运动时距磁场左边界的距离s为；

（2）若其他条件不变，t＝0时线框从距磁场左边界处由静止开始运动，线框经过时间其前端刚进入磁场。此时的速度为；

（3）已知在（2）的情况下，线框始终做加速运动，定性画出线框运动的v﹣t图像如解析所示。

【解析】解：（1）线框未进入磁场时，在水平方向上仅受外力作用，有：F＝ma

做匀加速运动，前端进入瞬间有：v2＝2as＝

进入磁场后还受安培力作用，有：Fm＝BIl＝＝

匀速运动时有：F＝Fm，即：F＝

解得：s＝

（2）由题意可知，线框受力仍为F，加速度a＝

由运动学公式有：v12＝2a×

而：v1＝at

联立可得：v1＝＝，t＝

（3）在上一问的情况下，由于进入磁场的速度v1＝，则进入磁场时，外力大于安培力，所以线框做加速度减小的加速运动，全部进入磁场后再做匀加速运动，于是画出其v﹣t图象如图所示；

4．（2022春•淄川区校级期中）如图所示，两条水平虚线之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，宽度为d。质量为m、电阻为R的单匝正方形线圈边长为L（L＜d），线圈下边沿到磁场上边界的距离为h。将线圈由静止释放，其下边沿刚进入磁场和刚要穿出磁场时的速度相同，重力加速度为g。则从线圈下边沿刚进入磁场到上边沿刚穿出磁场的过程中，求：

（1）线圈下边沿刚进入磁场时，线圈的加速度大小；

（2）线圈的最小速度；

（3）产生的焦耳热。

【答案】（1）线圈下边沿刚进入磁场时，线圈的加速度大小为﹣g；

（2）线圈的最小速度为；

（3）产生的焦耳热为2mgd。

【解析】解：（1）线框从开始下落到进入磁场前由速度—位移关系有：2gh＝

根据法拉第电磁感应定律有：E＝BLv0

根据闭合电路欧姆定律有：I＝

根据安培力计算公式有F＝BIL

根据牛顿第二定律有：F﹣mg＝ma

由以上各式解得a＝﹣g

（2）线框下边缘进入磁场和离开磁场时速度相同，但完全进入磁场后又经历了加速度运动，故线框进入磁场时必须做减速运动，在线框完全进入磁场前可能已经匀速也可能仍在减速，故无论如何，当线框完全进入磁场时速度一定是最小的，从此时到线框下边缘刚要离开磁场作为研究阶段，由匀变速运动规律得

2g （d﹣L）＝﹣

解得：v1＝

（3）因线框下边缘刚进入磁场和刚离开磁场时的运动情况完全相同，故线框完全进入磁场和离开磁场的过程中产生的焦耳热相同，故从线框下边缘刚进入磁场到刚离开磁场作为研究阶段，由功能关系得mgd﹣Q＝0

解得Q＝2mgd

1．电磁感应现象的实质是其它形式的能转化成电能．
2．感应电流在磁场中受安培力，外力克服安培力做功，将其它形式的能转化为电能，电流做功再将电能转化为其它形式的能．
3．电流做功产生的热量用焦耳定律计算，公式为Q=I2Rt．

易错题【01】

电磁感应现象中的电路、图象、及能量问题

易错题【03】

要注意实际情况中的能量转化问题易错题

5．（2022春•金东区校级期中）如图甲所示，绝缘水平面上固定着两根足够长的光滑金属导轨PQ、MN，相距为L＝0.5m，ef右侧导轨处于匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平向下，磁感应强度B的大小如图乙变，开始ab棒和cd棒锁定在导轨如图甲位置，ab棒和cd棒平行，ab棒离水平面高度为h＝0.2m，cd棒与ef时之间的距离也为L，ab棒的质量为m1＝0.2kg，有效电阻R1＝0.05Ω，cd棒的质量为m2＝0.1kg有效电阻为R2＝0.15Ω（设a、b棒在运动过程始终与导轨垂直，两棒与导轨接触良好，导轨电阻不计），在1s末解除对ab棒和cd棒的锁定。问：

（1）0～1s时间段通过cd捧的电流大小与方向；

（2）ab进入磁场后两棒的速度和加速度如何变化？

（3）求从解除锁定到最终稳定状态，ab棒产生的热量为多少？

（4）ab棒和cd棒速度相同时，它们之间的距离为多大？（保留两位有效数字）

6．（2022春•广州期末）如图甲所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈面积为S，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁感应强度变化率为常量k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，PQ的质量为m，金属导轨足够长，电阻忽略不计。

（1）闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大的水平恒力F，并指出其方向；

（2）断开S，使PQ在外力作用下做周期性运动，其瞬时速度满足乙图所示的正弦变化规律，图中v0、T为已知物理量，PQ棒运动过程中始终未越出磁场区域，求：0～时间内外力对PQ棒所做的功W。

7．（2022春•成都期中）如图，面积为S＝0.25m2、电阻为r＝1Ω、匝数为n＝10匝的圆形线圈mpn内有垂直于纸面向里、大小随时间均匀变化的匀强磁场B。线圈的两个端点m、n通过导线接有阻值为R1＝3Ω和R2＝6Ω的定值电阻，R2两端用导线连接一正对的水平金属板AC，板长为L＝1.0m，板间距离为d＝0.8m．一质量为m＝0.5kg、电量为q＝1C的可视为质点的带正电小球，从两板正中央以v0＝2.5m/s的水平初速度向右射入板间并沿直线穿过极板．导线电阻不计，重力加速度大小为g＝10m/s2．求：

（1）A、C两板间的电势差大小；

（2）若t＝0时刻匀强磁场的磁感应强度为B0＝2T，写出磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律；

（3）若要使带电小球不打在极板上，则磁场的磁感应强度变化率的范围应为多少？

8．（2022春•成都月考）如图，面积为S＝0.25m2、电阻为r＝1Ω、匝数为n＝10匝的矩形线圈MNPQ内有垂直于线圈平面的匀强磁场B。矩形线圈MNPQ的两个端点e、f通过导线连接有阻值为R1＝3Ω和R2＝6Ω的定值电阻，R2两端用导线连接一理想电压表。当线圈内磁场随时间均匀变化时，电压表的示数为4.0V。求：

（1）线圈内因磁场变化而产生的感应电动势的大小；

（2）线圈内磁场随时间变化的变化率。

9．（2021秋•皇姑区校级月考）两根平行金属导轨水平放置，间距d＝0.6m，右边接有定值电阻R，导轨间有一个宽为x1＝2.5m的磁场区MM'NN'和宽为x2＝7.5m的磁场区OO'PP'，磁场的磁感应强度大小均为B＝2T，方向垂直导轨平面向下。两个磁场之间有宽为L＝2m的无磁场区NN'OO'，NO、N'O粗糙。现有质量为m1＝0.6kg，m2＝1.8kg，有效长度均为d＝0.6m的两根金属杆ab、cd架在两平行导轨上，金属杆cd架在右边磁场边界OO'的左侧，金属杆ab以初速度v0＝8m/s从MM'处进入左边磁场，然后穿过左边磁场，滑过无场区，最终在OO'处与金属杆cd发生弹性碰撞。金属杆ab与粗糙导轨间的动摩擦因数为µ＝0.5，运动过程中，杆ab、cd与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab、cd和电阻R的阻值均为2Ω，忽略导轨电阻，不计导轨上其余部分的阻力，忽略磁场边界效应。求：

（1）ab杆进入磁场的瞬间a、b两点的电势差Uab以及流过ab杆的电流方向；

（2）ab杆与cd杆碰撞前瞬间ab杆的速度；

（3）最后ab杆与cd杆之间的距离以及ab杆上全过程产生的焦耳热？

10．（2021秋•河南月考）如图1所示为一个特制灯泡两端的电压与通过它的电流的关系曲线，二者不成线性关系，这是由于焦耳热使灯丝的温度发生了变化，假设最终通过灯泡的电流为0.52A。将该灯泡用导线接在光滑竖直平行导轨上端MN两点间，如图2所示。该导轨间距L＝1.0m，MN下方有一根质量m＝0.2kg、接入电阻R＝10.0Ω的导体棒AB水平跨接在导轨上，紧接AB正下方的导轨间交替分布着垂直导轨所在平面、磁感应强度B＝2.0T、宽度d＝0.20m的匀强磁场，除导体棒和灯泡以外，其余电阻不计，导轨足够长，重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计。

（1）开始时锁定导体棒AB，在AB与MN之间半径r＝0.1m圆形区域内施加一垂直导轨所在平面均匀增加的匀强磁场，当磁感应强度的变化率为＝×102T/s时，求灯泡的实际功率；（结果保留2位小数）

（2）撤去圆形区域里的磁场同时解除锁定，并将两个这样的灯泡并联接在MN两点间，求每个灯泡最终发光的功率和通过灯泡的交流电的频率；

（3）撤去圆形区域内磁场的同时解除锁定，在MN两点间只接入一只这样的灯泡，求导体棒最终的加速度大小。

11．（2021春•和平区期末）如图所示，倾角为θ的足够长平行光滑的两导轨，间距为L，导轨间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B；底端ab间连一阻值为R的电阻；顶端通过导线连接一横截面积为S、总电阻为、匝数为N的线圈（线圈中轴线沿竖直方向），线圈内有沿竖直向上、磁感应强度大小B'随时间均匀变化的另一磁场。一质量为m、电阻同为R、长度同为L的导体棒cd横放在导轨上，导体棒与导轨始终良好接触。不计导轨和导线的电阻，重力加速度为g，求：

（1）若断开开关K，静止释放导体棒，则导体棒能达到的最大速率是多少？并求出导体棒下滑距离为d时，流经电阻R的电量q；

（2）若闭合开关K，为使导体棒始终静止在导轨上，请直接判断线圈中所加磁场的变化（增强还是减弱）并计算其磁感应强度随时间的变化率.

12．（2021春•黄埔区校级期中）如图所示，固定金属圆环内存在匀强磁场，方向垂直圆环向下，在外力作用下金属棒ab可绕着圆心O匀速转动。从圆心和圆环边缘用细导线连接足够长的两平行金属导轨，导轨与水平面夹角为30°，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场。将金属棒cd垂直导轨轻轻放上，金属棒处于静止状态。已知圆环内和导轨平面的磁场大小均为B＝1T，圆环半径和金属棒ab长均为d＝1m，导轨宽度和金属棒cd长度均为L＝2m，金属棒cd质量为m＝1kg，与导轨之间的动摩擦因数为μ＝，ab棒电阻为r＝2Ω，cd棒电阻为R＝4Ω，其余电阻不计，sin30°＝，cos30°＝，重力加速度g取10m/s2。求：

（1）若ab棒以ω0＝12rad/s逆时针匀速转动，则流过ab棒的电流方向和ab棒两端的电压；

（2）要使金属棒与导轨保持相对静止，则ab棒转动的角速度应满足什么条件？

（3）若ab棒以ω3＝31rad/s顺时针匀速转动，当cd棒匀速时，cd棒的位移为x＝16m，求：

①cd棒匀速的速度大小及此时ab棒所受外力的功率；

②从静止到匀速，安培力对cd棒做的功。

13．（2021春•南开区校级期中）如图甲所示，长、宽分别为L1＝0.3m、L2＝0.1m的矩形金属线框位于竖直平面内，其匝数为n＝200，总电阻为r＝1Ω，可绕其竖直中心轴O1O2转动，线框的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D（集流环）焊接在一起，并通过电流和阻值为2Ω的定值电阻R相连，线框所在空间有水平向右均匀分布的磁场。磁感应强度B的大小随时间t的变化关系如图乙所示，0～s时间内，线框保持静止，且线框平面和磁场垂直，s时刻以后线框在外力的驱动下开始绕其竖直中心轴以角速度ω＝50πrad/s匀速转动，求：（运算结果中可保留π）

（1）0～s时间内通过电阻R的电流大小；

（2）线框匀速转动后，电路中产生的电动势的最大值；

（3）在转动一周的过程中电流通过电阻R产生的热量。

14．（2021•宣城模拟）如图所示，PQMN和P'Q'M'N'为在同一平面内足够长的光滑金属导轨，处在磁感应强度B＝2.0T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，MN和M'N'段平行，间距d＝1.0m，导轨的PQ段与P'Q'段相互平行，间距为2d；两根质量均为m＝2kg、电阻均为R＝1.0Ω的金属杆a、b垂直于导轨放置，杆的长度略大于导轨间距，且保持良好接触。a、b用一根不可伸长的绝缘轻绳栓接，轻绳处于拉直状态，a的中点通过另一根绝缘轻绳通过光滑定滑轮与c连接，c的质量m＝2kg，已知a、b始终在原来轨道上运动，c不会着地，不计导轨电阻及电磁辐射，重力加速度g＝10m/s2。

（1）求c由静止释放瞬间a、b之间轻绳的拉力F；

（2）c由静止释放，求c的最大速度vm及此时b的热功率P；

（3）c由静止释放，c达到最大速度后，某时刻同时烧断连接a与b、a与c间的轻绳，求稳定后b的速度vb。

15．（2021•丹阳市校级模拟）如图甲所示，一水平放置的线圈，匝数n＝100匝，横截面积S＝0.2

m2，电阻r＝1Ω，线圈处于水平向左的均匀变化的磁场中，磁感应强度B1随时间t变化关系如图乙所示。线圈与足够长的竖直光滑导轨MN、PO连接，导轨间距l＝20cm，导体棒ab与导轨始终接触良好，ab棒的电阻R＝4Ω，质量m＝5g，导轨的电阻不计，导轨处在与导轨平面垂直向里的匀强磁场中，磁感应强度B2＝0.5T．t＝0时，导体棒由静止释放，g取10m/s2，求：

（1）t＝0时，线圈内产生的感应电动势太小；

（2）t＝0时，导体棒ab两端的电压和导体棒的加速度大小；

（3）导体棒ab到稳定状态时，导体棒所受重力的瞬时功率。

16．（2021•湖北）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U﹣I图像如图（b）所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I0＝，Um＝。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。

（1）闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；

（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；

（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。

17．（2021•乙卷）如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6m。初始时CD与EF相距s0＝0.4m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1＝m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1T，重力加速度大小取g＝10m/s2，sinα＝0.6。求

（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；

（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；

（3）导体框匀速运动的距离。

18．（2020•浙江）如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在0≤x≤1.0m区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长L＝0.5m、电阻R＝0.25Ω的正方形线框abcd，当平行于磁场边界的cd边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以v＝1.0m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。若以cd边进入磁场时作为计时起点，在0≤t≤1.0s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，在0≤t≤1.3s内线框始终做匀速运动。

（1）求外力F的大小；

（2）在1.0s≤t≤1.3s内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B的大小与时间t的关系；

（3）求在0≤t≤1.3s内流过导线横截面的电荷量q。