【备战2023高考】数学总复习——第01讲《函数的概念与性质》讲义（全国通用）

第1讲   二次函数与一元二次方程、不等式

本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，配合导数的几何意义对学生的逻辑思维能力要求很高。主要学习用集合语言和对应关系刻画函数概念。通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识。学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法。

考点一 函数的概念及其表示

1.函数的定义

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.

值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．

(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

(3)各段函数的定义域不可以相交.

4．常用结论

(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；

(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；

(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；

(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；

(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．

如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．

考点二 函数的基本性质

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

3.函数的奇偶性

4.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

注意：

（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

（4）函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).

②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

5.对称性的三个常用结论

①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.

高频考点一   函数的概念及其表示

例1、下列命题中，正确的有

A. 函数与函数表示同一函数
B. 已知函数，若，则
C. 若函数，则
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

【答案】BC

【解析】
解：的定义域是，
的定义域是，或，
两函数的定义域不同，故不是同一函数，A错误;
函数，若，则，故B正确；
若函数，则，故C正确；
若函数的定义域为，则函数中，，即函数的定义域为，故D错误.  

【变式训练】

1、若函数的定义域为，则（       ）

A．3 B．3 C．1 D．1

【答案】A

【解析】

由，得，

由题意可知上式的解集为，

所以为方程的一个根，

所以，得，

故选：A

高频考点二  函数的基本性质

例2：已知函数是奇函数，且在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上

A. 有最大值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值

【答案】B

【解析】

解：函数是奇函数，在上是减函数，
在上也是减函数，
在区间上的值域为，
最大值为，最小值为，
在区间上也是减函数，且最大值为，
最小值为，
故选：

【变式训练】

1．设函数，则满足的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1] B．（0，＋∞）

C．（－1，0） D．（－∞，0）

【答案】D

【解析】

解：函数，的图象如图：

满足，

可得：或，

解得．

故选：D.

高频考点三  中心对称性质：几个复杂的奇函数

例3、对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.

【答案】

【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.

解：因为，由于

.即，.所以是的一个对称中心.

故答案为：.

【变式训练】

1、设函数，若，满足不等式，则当时，

的最大值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此

,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.

【基本规律】

1、若满足，则关于中心对称

3.

高频考点四 轴对称

例4：已知函数有唯一零点，则负实数（   ）

A．    B．    C．    D．或

【答案】A

【解析】函数有有唯一零点，设
则函数有唯一零点，则 3e|t|-a（2t+2-t）=a2，
设∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，∴与有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），故选A．

【变式训练】

1.已知函数在区间的值域为，则（   ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【详解】解： 在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选.

【基本规律】

1.函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；

2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

3.与关于直线对称。

高频考点五 中心对称和轴对称构造出周期性

例5：已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当时，.若函数在区间上的所有零点之和为__________．

【答案】5

【详解】∵足，∴，又因函数为偶函数，∴，即，∴，令，，，即求与交点横坐标之和.，

作出图象：

由图象可知有10个交点，并且关于中心对称，∴其和为故答案为：5

【变式训练】

1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ）

A．30 B．14 C．12 D．6

【答案】A

【详解】

由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数，

∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，

由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

对于奇函数有，，故当时，，当时，，

当时，，当时，，方程在上有实数根，

则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，

则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，

则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，

当，方程的两实数根之和为，

当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A.

【基本规律】

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。