人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质背景图课件ppt

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2.2.1　不等式及其性质
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一　用作差法证明不等式探究点二　用综合法证明不等式探究点三　用反证法证明不等式探究点四　用分析法证明不等式
第2课时　不等式的证明方法
1.能灵活选用综合法、分析法证明简单不等式问题.2.掌握反证法证明问题的一般步骤,能用反证法证明一些简单的命题.
知识点　证明不等式的方法
1.作差法通过比较两式之差的符号来判断两式的大小,这种方法通常称为作差法.2.综合法从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法,在数学中通常称为综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
3.反证法首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.4.分析法从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的条件,进而转化为判定那个条件是否成立.分析法又叫逆推证法或执果索因法.
探究点一　用作差法证明不等式
变式 已知a>0,b>0,若ab=2,求证:(a+b)2≥4(a-b+1).
证明:因为(a+b)2-4(a-b+1)=(a-b)2+4ab-4(a-b)-4=(a-b)2-4(a-b)+4=(a-b-2)2≥0,所以(a+b)2≥4(a-b+1).
[素养小结]作差法证明不等式的步骤:①作差:对要证明的两个代数式作差;②变形:对差进行因式分解、配方、通分等变形为一个常数、几个平方和或者几个因式的积(或商);③判号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号;④得结论:注意等号是否能取到.
例2 已知x,y是实数,求证:x2+y2≥2x+2y-2.
探究点二　用综合法证明不等式
证明:由x2-2x+1=(x-1)2≥0,可得x2≥2x-1.由y2-2y+1=(y-1)2≥0,可得y2≥2y-1,所以x2+y2≥2x+2y-2.
[素养小结]综合法证明不等式,重点是揭示出条件和结论之间的因果联系,因此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式是证明的关键.
例3 若a3+b3=2,求证:a+b≤2.
探究点三　用反证法证明不等式
变式 用反证法证明:若a,b,c∈R,且x=a2-2b+1,y=b2-2c+1,z=c2-2a+1,则x,y,z中至少有一个不小于0.
证明:假设x,y,z均小于0,即x=a2-2b+1<0①,y=b2-2c+1<0②,z=c2-2a+1<0③,由①+②+③得x+y+z=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2<0,这与(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0矛盾,则假设不成立,故x,y,z中至少有一个不小于0.
[素养小结]用反证法证明不等式,其实质是从否定结论出发,通过逻辑推理,导出与已知条件或公理相矛盾的结论,从而肯定原命题成立.
探究点四　用分析法证明不等式
[素养小结](1)分析法的思路是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止.(2)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.
2. 用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至多有一个实根”时,要作出的假设是(　 )A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
[解析] 用反证法证明,应先假设要证命题的否定成立,而要证命题的否定为:设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0恰好有两个实根.故选D.
4. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设△ABC的内角∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确的顺序为　　 　　. 
[解析] 由反证法证明的步骤知,先反设,即③,再推出矛盾,即①,最后进行判断,肯定结论,即②,故正确的顺序为③①②.
1.作差法当要证明的不等式两端是两个代数式时,一般使用作差法.依据:要证明a>b,只需证明a-b>0.比较两个数(式)的大小可以归纳为“三步一结论”,即作差→变形→定号→结论.其中变形为关键,定号为目的.在变形中,因式分解、配方、通分、有理化等是经常使用的变形手段,最后变形为一个常数,一个或几个平方的和或若干个因式的积等.在定号中,若为几个因式的积,需对每个因式均先定号,若符号不确定,需进行讨论.
例1 已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,试比较a,b,c的大小.
2.用综合法证明不等式的逻辑关系A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B.
3.用分析法证明不等式的逻辑关系A⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐B.