《高考总复习》数学 第五章 第1讲 数列的概念与简单表示法[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第五章 第1讲 数列的概念与简单表示法[配套课件]，共48页。PPT课件主要包含了数列的定义，数列的分类，数列的表示法，数列的通项公式，an－1，an＋1，题组一，走出误区，题组二，走进教材等内容，欢迎下载使用。

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列可以看作是定义域为 N*的非空子集的函数，其图象是一群孤立的点.
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公
如果数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式 an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
5.Sn 与 an 的关系
1.(多选题)下列命题正确的是(
A.所有数列的第 n 项都可以用公式表示出来B.依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个C.若 an＋1－an>0(n≥2)，则数列{an}是递增数列D.如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对于任意 n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
解析：因为数列是按一定顺序排列的一列数，如某班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以 A 错误；比如数列 1，0，1，0，…的通项公式为
正确；因为 n＝1 时，不确定 a2 与 a1 大小关系，所以 C 错误；由数列前 n 项和的定义可知，当 n∈N*，都有an＋1＝ Sn＋1－Sn，所以 D 正确.故选 BD.答案：BD
，所以 a1＝1，a2＝3，a3＝6.
即 S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10.答案：10
由数列的前几项写数列的
通项公式 自主练习根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.①3，5，9，17，33，…；
解：①观察各项的特点：每一项都比 2 的 n 次幂多 1，所
②数列的符号规律为(－1)n，由第二、三、四项特点，可将
这样，先不考虑符号，则分母为 3，5，7，9，…，可归纳为 2n＋1，分子为 3，8，15，24，…，将其每一项加 1 后变成4，9，16，25，…，可归纳为(n＋1)2，
是项数的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2，5，10，17，…，联想到数列 1，4，9，16，…，即数列
的一个通项公式为 an＝
{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，所以可得给出的数列
4 项的分子分别比分母小 3.
因此把第 1 项变为－
⑤各项的分母分别为 21，22，23，24，…，易看出第 2，3，
⑥分子是连续的偶数，且第 1 个数是 2，所以用 2n 表示；
【题后反思】由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，
或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k(k∈Z)或(－1)k＋1
⑦并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其
通项公式也不一定唯一.
由数列的前 n 项和求数列的通项公式 师生互动
Sn 与 n 的关系问题
[例 1](1)数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2－2n，则它的通项公式是________.解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝3－2＝1.当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.则当 n＝1 时，6×1－5＝1＝a1，∴an＝6n－5.答案：an＝6n－5
(2)已知{an}的前 n 项和为 Sn，满足 lg2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝__________.解析：由已知条件可得 Sn＋1＝2n＋1，当 n＝1 时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.
∴Sn＝2n＋1－1.
【规律方法】由 Sn 求 an 的步骤(1)先利用 a1＝S1 求出 a1.
(2) 用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an ＝
Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2时 an的表达式.
(3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2时an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写[如第(1)题]；如果不符合，则应写成分段函数的形式[如第(2)题].
1.已知数列{an}满足 2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，则
{an}的通项公式是________.
解析：因为数列{an}满足 2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－
Sn 与 an 的关系问题
[例 2](1)(2015 年全国Ⅱ)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝________.解析：由已知，得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1·Sn，两边同时除以
【题后反思】Sn 与 an 关系问题的求解思路：根据所求结果
的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1的关系式，
再求解[如第(1)题].
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1的关系式，
再求解[如第(2)题].
【考法全练】2.(2011 年四川)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1
＝3Sn(n ≥1)，则a6＝(　　)
A.3×44 B.3×44＋1 C.44 D.45
解析：由 an＋1＝3Sn，得 an＝3Sn－1(n≥2)，相减得 an＋1－ an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，则an＋1＝4an(n≥2)，a1＝1，a2＝3，则a6＝a2·44＝3×44，故选A. 答案：A
数列的函数属性 多维探究
[例 3](1)若 an＝2n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________.解析：(1)方法一，若数列{an}为单调递增数列，则 an＋1＞an， 即2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞2n2＋λn＋3， 整理得λ＞－(4n＋2)，∵n≥1，∴－(4n＋2)≤－6， 即λ＞－6.
方法二，根据抛物线的单调性的性质，要使数列{an}为单
调递增数列，则 an＋1＞an，
最大项是第________项.
当 n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当 n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当 n>9时，an＋1－an<0，即an＋1又 n∈N*，∴n＝9 或 n＝10，∴该数列中有最大项，为第 9，10 项.答案：9，10
1.已知数列{an}的通项公式为 an＝
减数列，则实数 k 的取值范围为(A.(3，＋∞)C.(1，＋∞)
)B.(2，＋∞)D.(0，＋∞)
由数列{an}为递减数列知，对任意 n∈N*，an＋1－an＝
<0，所以 k>3－3n 对任意 n∈N*恒成立，所以 k∈(0，
＋∞).故选 D.答案：D
[例 4]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，
a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前 n 项和，则 S2022＝(　　)
解析：∵ an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2， ∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…， 故数列{an}是周期为 6 的周期数列，且每连续 6 项的和为 0.故 S2022＝337×0＝0.答案：D
【题后反思】(1)解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(2)判断数列单调性的方法：①作差(或商)法；②目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去.(3)求数列中最大(小)项的方法：①根据数列的单调性判断；
而求得 an 的最值.
，n＝1，2，3，…，若
2.已知正项数列{xn}满足 xn＋2＝x1＝1，x2＝2，则 x2019＝________.
⊙由数列的递推关系求数列的通项公式
形如 an＋1＝an＋f(n)，求 an
形如 an＋1＝anf(n)，求 an
[例 6]若 a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则 an＝________.
【高分训练】 1.在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列an＝ ________.
答案：2n(n＋1)(n∈N*)
形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求 an
[例 7]数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为 an＝________.解析：方法一(累乘法)，an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，
即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.方法二(迭代法)，an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝ 3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，
＝f(n)型，则采用累乘法.
所以 an＝2×3n－1－1(n≥2)，又 a1＝1 也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为 an＝2×3n－1－1.【策略指导】(1)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式，通常转化为 an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.(2)递推公式化简整理后，若为 an＋1－an＝f(n)型，则采用累
答案：2×3n－1－1
【高分训练】2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式
A.2n－1 B.2n－1＋1 C.2n－1 D.2(n－1)
解析：方法一， ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1，故选A.方法二， ∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝3，a3＝7，a4＝15.由 a1＝1，排除 D；由 a3＝7，排除 B；由 a4＝15，排除 C.故选A.答案：A
一 个 关 系 ： 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 则 an ＝
注意：①Sn 与 an 之间关系的两种转化途径；
②n＝1 与 n≥2 时的结论是否统一.一个联系：数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其有限子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.