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高考数学一轮复习配套课件 第八章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
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这是一份高考数学一轮复习配套课件 第八章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系，共40页。PPT课件主要包含了必备知识基础落实，关键能力考点突破，过不在一条直线上，任何一个平面，相等或互补，锐角或直角，a∥α，a⊂α，α∥β，答案C等内容，欢迎下载使用。
·最新考纲·1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．掌握空间两条直线的位置关系(相交、平行、异面)．
·考向预测·考情分析：以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点．学科素养：通过空间位置关系的判定考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
一、必记3个知识点1．平面的基本性质
2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：
(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线_______．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________．(3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：________．
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
二、必明3个常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(二)教材改编2．[必修2·P43练习T1改编]下列说法正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则两个平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3
解析：②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面可能相交，①③正确．
3．[必修2·P45例2改编]已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形
解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
(三)易错易混4．(异面直线的概念不清)下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若α⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．
解析：①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确．
5．(忽视直线在平面内)已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则直线a与平面α的位置关系是____________．
解析：如图，直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则a与α的位置关系是a∥α或a⊂α.
反思感悟 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点线共面问题的两种方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线，确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明点共线问题的两种方法①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在一条特定直线上．(3)证明多线共点问题的步骤①先证其中两条直线交于一点；②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，依据是第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，即利用公理3证明．
【对点训练】 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
考点二 空间两直线的位置关系 [综合性][例2] (1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则( )A．a∥c B．a，c是异面直线C．a，c相交 D．a，c平行或相交或异面
解析：(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c可以平行，可以相交，可以异面．
(2)[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
解析：当A∈b时，a与b相交，当A∉b时，a与b异面．
2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有______．(填上所有正确答案的序号)
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以图②④中GH与MN异面．
(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．
反思感悟 用几何法求异面直线所成角的具体步骤：
【对点训练】1．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°
解析：如图，将三棱柱补成一个正方体，由正方体的性质可知，AC1∥BD1，所以直线BA1与AC1所成的角为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，所以∠A1BD＝60°，即BA1与AC1成60°的角．
·最新考纲·1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．掌握空间两条直线的位置关系(相交、平行、异面)．
·考向预测·考情分析：以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点．学科素养：通过空间位置关系的判定考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
一、必记3个知识点1．平面的基本性质
2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：
(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线_______．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________．(3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：________．
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
二、必明3个常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(二)教材改编2．[必修2·P43练习T1改编]下列说法正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则两个平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3
解析：②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面可能相交，①③正确．
3．[必修2·P45例2改编]已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形
解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
(三)易错易混4．(异面直线的概念不清)下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若α⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．
解析：①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确．
5．(忽视直线在平面内)已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则直线a与平面α的位置关系是____________．
解析：如图，直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则a与α的位置关系是a∥α或a⊂α.
反思感悟 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点线共面问题的两种方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线，确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明点共线问题的两种方法①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在一条特定直线上．(3)证明多线共点问题的步骤①先证其中两条直线交于一点；②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，依据是第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，即利用公理3证明．
【对点训练】 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
考点二 空间两直线的位置关系 [综合性][例2] (1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则( )A．a∥c B．a，c是异面直线C．a，c相交 D．a，c平行或相交或异面
解析：(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c可以平行，可以相交，可以异面．
(2)[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
解析：当A∈b时，a与b相交，当A∉b时，a与b异面．
2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有______．(填上所有正确答案的序号)
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以图②④中GH与MN异面．
(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．
反思感悟 用几何法求异面直线所成角的具体步骤：
【对点训练】1．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°
解析：如图，将三棱柱补成一个正方体，由正方体的性质可知，AC1∥BD1，所以直线BA1与AC1所成的角为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，所以∠A1BD＝60°，即BA1与AC1成60°的角．
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