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高考数学一轮复习配套课件 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性
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这是一份高考数学一轮复习配套课件 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性，共59页。PPT课件主要包含了必备知识基础落实，关键能力考点突破，微专题，任意一个，f－x＝fx，存在一个最小，最小正数，答案D，答案B，答案A等内容，欢迎下载使用。
最新考纲·1．了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
·考向预测·考情分析：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍是高考考查的热点．题型以选择、填空题为主，中等偏上难度．学科素养：通过函数奇偶性和周期性的概念考查数学抽象的核心素养；通过函数性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
一、必记2个知识点1．函数的奇偶性
f(－x)＝－f(x)
2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中______________的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
二、必明3个常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数对称性常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．( )(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．( )(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )(6)若T为y＝f(x)的一周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( )
(二)教材改编2．[必修1·P36练习T1改编]下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
解析：D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其余A，B，C选项均不满足f(－x)＝f(x)．
解析： (4)当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
反思感悟 判定函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法
(2)图象法 [注意] 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
考点二 函数奇偶性的应用 [综合性、应用性][例2] (1)[2019·全国Ⅱ卷]已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_____________．
反思感悟 函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．[注意] 对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________．
解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
3．[2022·贵阳市第一学期监测考试]函数f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)等于( )A．－2 B．0C．1 D．2
解析：由已知得f(x)＝(x－1)2＝x2－2x＋1＝h(x)＋g(x)，∵h(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴g(x)＝x2＋1，h(x)＝－2x，∴g(1)＝12＋1＝2.
(2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A．－50 B．0 C．2 D．50
解析：(2)方法一 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(3)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为_____．
解析：因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．
反思感悟 求函数周期的方法
解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以，f(1－x)＝－f(x＋1)，所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．
考点四 函数性质的综合运用 [综合性]角度1 函数的单调性与奇偶性[例4] (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a
反思感悟1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2．对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
反思感悟周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
角度3 函数的奇偶性与对称性相结合[例6] 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－5)＝2，则f(2 021)＝________．
解析：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 021)＝f(5＋252×8)＝f(5)＝f(－5)＝2.
反思感悟 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．
2．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论不正确的是( )A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(4)＝0C．f(x＋8)＝f(x)D．若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝－1
解析：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又由函数f(x＋2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则有f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝f(－5＋2 024)＝f(－5)＝－1，D正确．
微专题❻函数性质中“三个二级”结论的应用
函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[例1] 定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函数；③f(1＋x)＝f(3－x)，则下列结论正确的是( )A．f(7)
最新考纲·1．了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
·考向预测·考情分析：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍是高考考查的热点．题型以选择、填空题为主，中等偏上难度．学科素养：通过函数奇偶性和周期性的概念考查数学抽象的核心素养；通过函数性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
一、必记2个知识点1．函数的奇偶性
f(－x)＝－f(x)
2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中______________的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
二、必明3个常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数对称性常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．( )(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．( )(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )(6)若T为y＝f(x)的一周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( )
(二)教材改编2．[必修1·P36练习T1改编]下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
解析：D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其余A，B，C选项均不满足f(－x)＝f(x)．
解析： (4)当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
反思感悟 判定函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法
(2)图象法 [注意] 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
考点二 函数奇偶性的应用 [综合性、应用性][例2] (1)[2019·全国Ⅱ卷]已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_____________．
反思感悟 函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．[注意] 对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________．
解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
3．[2022·贵阳市第一学期监测考试]函数f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)等于( )A．－2 B．0C．1 D．2
解析：由已知得f(x)＝(x－1)2＝x2－2x＋1＝h(x)＋g(x)，∵h(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴g(x)＝x2＋1，h(x)＝－2x，∴g(1)＝12＋1＝2.
(2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A．－50 B．0 C．2 D．50
解析：(2)方法一 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(3)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为_____．
解析：因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．
反思感悟 求函数周期的方法
解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以，f(1－x)＝－f(x＋1)，所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．
考点四 函数性质的综合运用 [综合性]角度1 函数的单调性与奇偶性[例4] (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a
反思感悟1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2．对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1
反思感悟周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
角度3 函数的奇偶性与对称性相结合[例6] 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－5)＝2，则f(2 021)＝________．
解析：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 021)＝f(5＋252×8)＝f(5)＝f(－5)＝2.
反思感悟 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．
2．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论不正确的是( )A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(4)＝0C．f(x＋8)＝f(x)D．若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝－1
解析：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又由函数f(x＋2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则有f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝f(－5＋2 024)＝f(－5)＝－1，D正确．
微专题❻函数性质中“三个二级”结论的应用
函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[例1] 定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函数；③f(1＋x)＝f(3－x)，则下列结论正确的是( )A．f(7)
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