2017年北京理数高考真题（含答案）

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数  学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=

（A）{x|–2x–1}                         （B）{x|–2x3}

（C）{x|–1x1}                          （D）{x|1x3}

（2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

（A）（–∞，1）                           （B）（–∞，–1）

（C）（1，+∞）                           （D）（–1，+∞）

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）2               （B）              （C）                （D）

（4）若x，y满足 则x + 2y的最大值为

（A）1                                     （B）3

（C）5                                     （D）9

（5）已知函数，则

 （A）是奇函数，且在R上是增函数         （B）是偶函数，且在R上是增函数

 （C）是奇函数，且在R上是减函数         （D）是偶函数，且在R上是减函数

（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

 （A）充分而不必要条件                 （B）必要而不充分条件

 （C）充分必要条件                     （D）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A）3          （B）2           （C）2               （D）2

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

（A）1033                               （B）1053 

（C）1073                               （D）1093

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_________.

（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.

（11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.

（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.

（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

在△ABC中， =60°，c=a.

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.

（16）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求证：M为PB的中点；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

（17）（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机学科网.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

（19）（本小题13分）

已知函数f（x）=excosx−x.

（Ⅰ）求曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值.

（20）（本小题13分）

设和是两个等差数列，记

，

其中表示这个数中最大的数．

（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；

（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数  学（理）（北京卷）答案

一、

（1）A   （2）B   （3）C   （4）D

（5）A   （6）A   （7）B   （8）D

二、

（9）2       （10）1

（11）1       （12）

（13）（答案不唯一） （14）Q1   p2

三、

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，

所以由正弦定理得.

（Ⅱ）因为，所以.

由余弦定理得，

解得或（舍）.

所以△ABC的面积.

（16）（共14分）

解：（I）设交点为，连接.

因为平面，平面平面，所以.

因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.

（II）取的中点，连接，.

因为，所以.

又因为平面平面，且平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为是正方形，所以.

如图建立空间直角坐标系，则，，，

，.

设平面的法向量为，则，即.

令，则，.于是.

平面的法向量为，所以.

由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

（III）由题意知，，.

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.

（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.

所以的所有可能取值为0,1,2.

.

所以的分布列为

故的期望.

（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.

所以抛物线C的方程为.

抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.

（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.

由，得.

则，.

因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.

直线ON的方程为，点B的坐标为.

因为

，

所以.

故A为线段BM的中点.

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，则.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）

，

.

当时，，

所以关于单调递减.

所以.

所以对任意，于是，

所以是等差数列.

（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则

.

所以

①当时，取正整数，则当时，，因此.

此时，是等差数列.

②当时，对任意，

此时，是等差数列.

③当时，

当时，有.

所以

对任意正数，取正整数，

故当时，.