福建省泉州市2021-2022学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

2021-2022学年度上学期泉州市高中教学质量监测

高一数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 如图所示，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据文氏图表示的集合求得正确答案.

【详解】文氏图表示集合为，

所以.

故选：A

2. 函数的零点所在的区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.

【详解】函数的定义域为，且在上单调递增，

而，，

所以函数的零点所在的区间为.

故选：C

3. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性排除AC选项，特殊值检验排除排除B选项，进而可求出结果.

【详解】由于函数的定义域为,且,

所以为偶函数，故排除AC选项；

，，

由于，因此在上不是单调递增，故排除B选项,

故选：D.

4. 将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域．黄金分制的比值为无理数，该值恰好等于，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦二倍角公式即可计算求值.

【详解】∵＝，∴，

∴.

故选：C.

5. 下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】

利用不等式性质逐一判断即可.

【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；

选项B中，取 ，满足，但，故错误；

选项C中，若，则两边平方即得，故正确；

选项D中，取，满足，但，故错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.

6. 若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件利用对数型复合函数单调性列式求解作答.

【详解】函数中，令，函数在上单调递增，

而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，

因此，，解得，

所以实数a的取值范围为.

故选：D

7. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，现需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语：乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是（    ）

A. 德语 B. 法语 C. 日语 D. 英语

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分“甲说对，乙、丙说错”、“乙说对，甲、丙说错”、“丙说对，甲、乙说错”三种情况进行分析，即可得到结果.

【详解】若甲说对，乙、丙说错：甲说对，小明不会法语也不会日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；丙说错，则小明不会德语，由此可知，小明四门外语都不会，不符合题意；

若乙说对，甲、丙说错：乙说对，则小明会英活或法语；甲说错，则小明会法语或日语；丙说错，小明不会德语；则小明会法语；

若丙说对，甲、乙说错：丙说对，则小明会德语；甲说错，到小明会法语或日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；则小明会德语或日语，不符合题意；综上，小明会法语.

故选：B.

8. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用作为分段点进行比较，从而确定正确答案.

【详解】，

所以.

故选：A

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意，

所以，

所以，A选项错误.

，B选项正确.

，C选项正确.

，D选项正确.

故选：BCD

10. 若正实数a，b满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】结合基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，正实数满足，

所以，当且仅当时等号成立，所以A选项错误.

，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.

，当且仅当时等号成立，所以C选项错误.

，

当且仅当时等号成立，所以D选项正确.

故选：BD

11. 若定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（    ）

A. 在上单调递增 B. 为偶函数

C. 的最小正周期 D. 所有零点的集合为

【答案】BCD

【解析】

【分析】题目考察函数奇偶性，周期性和对称性的综合应用，结合函数的三个性质，根据时，可以得到函数在上的函数性质，从而判断各选项的正确性

【详解】由题得：，令，则

，所以，所以的最小正周期，故C正确；

当时，，因为为定义在R上的奇函数，所以当时，，所以在上单调递减，因为的最小正周期，所以在上单调递减，故A错误；

当时，，结合周期性可得：，故D正确；

由得：图像关于对称，是将图像向左平移一个单位得到的，所以图像关于轴对称，所以是偶函数，故B选项正确；

故选：BCD

12. 已知圆O的半径为1米，A为圆O上一定点，动点M，N均以每秒1米的速度同时从A出发，M沿着方向向右运动，N沿着圆周按逆时针运动，当N运动回到A时，M停止运动，连接，记运动时间为t秒，三角形的面积为，扇形（阴影部分）的面积为，则（    ）

A. 当时，为钝角 B. 当时，M，N之间距离最大

C 与圆O相切 D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据余弦定理计算判断选项A；根据扇形面积公式和举例说明判断选项B、D；

根据方程有解判断选项C.

【详解】A：当时，弧，故的弧度为1，

由余弦定理，，

所以，所以，

即为钝角，故A正确；

B：当时，NM的距离为，

当时，NM的距离为，所以，故B错误；

C：当NM与圆O相切时，，由，得，

结合三角函数的周期性，可得此方程有解，故C正确；

D：取时，，，

所以，故D错误.

故选：AC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．

13. 若，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】先求得，然后求得.

【详解】，

.

故答案为：

14. 若角的终边经过点，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据定义求得，再由诱导公式可求解.

【详解】角的终边经过点,

则，

所以.

故答案为：.

15. 若则函数的最小值为________．

【答案】1

【解析】

【分析】结合图象可得答案.

【详解】

如图，函数在同一坐标系中，

且，所以在时有最小值，即.

故答案为：1.

16. 写出一个满足，且的函数的解析式__________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据题意可知函数关于对称，写出一个关于对称函数，再检验满足即可.

【详解】由，可知函数关于对称，

所以，

又，满足.

所以函数的解析式为（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知集合．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）或.

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式化简集合B，把代入，利用补集、交集的定义直接计算作答.

(2)由给定条件可得，再借助集合的包含关系列式计算作答.

【小问1详解】

当时，，解不等式得：或，

则或，有，

所以.

【小问2详解】

由(1)知，或，因“”是“”的充分条件，则，

显然，，因此，或，解得或，

所以实数a取值范围是或.

18. 已知函数在上最大值为3，最小值为．

（1）求的解析式；

（2）若，使得，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据的最值列方程组，解方程组求得，进而求得.

（2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围.

【小问1详解】

的开口向上，对称轴为，

所以在区间上有：，

即，

所以.

【小问2详解】

依题意，使得，

即，

由于，，

当且仅当时等号成立.

所以.

19. 已知．

（1）求；

（2）若，且，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据已知条件求出tanα，将要求的式子构造成关于正余弦的齐次式，将弦化为切即可求值；

(2)根据角的范围和的正负确定的范围，求出sin()，根据即可求解.

【小问1详解】

，

；

【小问2详解】

，，

，

又，

.

20. 已知函数为定义在R上的奇函数．

（1）求实数m，n的值；

（2）解关于x的不等式．

【答案】（1）   

（2）答案详见解析

【解析】

【分析】（1）利用以及求得的值.

（2）利用函数的奇偶性、单调性化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【小问1详解】

由于是定义在R上的奇函数，

所以，

所以，

由于是奇函数，所以，

所以，

即，

所以.

【小问2详解】

由（1）得，

任取，，

由于，所以，，

所以在上递增.

不等式，

即，，

，，

，，①.

当时，①即，不等式①的解集为空集.

当时，不等式①的解集为.

当时，不等式①的解集为.

21. 函数在一个周期内的图象如图所示，O为坐标原点，M，N为图象上相邻的最高点与最低点，也在该图象上，且．

（1）求的解析式；

（2）的图象向左平移1个单位后得到的图象，试求函数在上的最大值和最小值．

【答案】（1）   

（2）最大值和最小值分别为和

【解析】

【分析】（1）连接交轴于点，过点作于点，设，通过勾股定理计算出和，再结合也在该图象上可求解；

（2）根据平移得到，再化简得，从而可求最值.

【小问1详解】

连接交轴于点，过点作于点.

设，则有，即，

所以，，因此，

所以有，解得，所以，又因为其过，

则，又，从而得，

所以.

【小问2详解】

由向左平移1个单位后，得，

所以

.

因为，则，

所以当时有最小值，；

当时有最大值，.

22. 我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（）．但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量．为了描述声强级D（）与声强I（）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据：

现有以下三种函数模型供选择：．

（1）试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；

（2）根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值；

（3）已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由．

【答案】（1），理由见解析   

（2），   

（3），理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；

（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①处的值；由已知可得时，可得，进而可求出当时的值，进而求出②处的值；

（3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得，代入关系式，即可判断与的大小关系.

【小问1详解】

解：选择.

由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是

同一个常数，所以不应该选择一次函数；

同时当自变量增加量为时，函数值的增加量从变为，后又缩小为，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；

故应选择.

由已知可得：，即，解之得

所以解析式为.

【小问2详解】

解：由（1）知，

令，可得，，故①处应填；

由已知可得时，，

所以，

又当时，，

故②处应填.

【小问3详解】

解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，

由已知，

故有，

所以，

因此，即，所以.