【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题2.01：绝对值 技巧提升

专题2.01  绝对值技巧提升（原卷版）

学习目标                                                                       

清楚绝对值中的中上等难度题型，并清楚其处理方法，做到见题知类，解题方法手到拈来。

考点整合                                                                        

【考点1】  绝对值的代数意义               【考点 4】   绝对值定义

【考点2】  化简绝对值                     【考点 5】  绝对值中的大小比较

【考点3】  绝对值的非负性                 【考点6】 绝对值中|a| /a 类问题

触类旁通                                                                         

【考点1】 绝对值的代数意义      

自我解读：①只需将所有情况罗列出，然后一一选择即可做到不遗漏。

【例1】（2022·福建·晋江市拔萃双语学校七年级阶段练习）若，则a=______________．

【自我解读】利用整体思想将a-2看成一个整体，得到其结果为正负1，然后进行计算即可。

【解题过程】∣a－2∣=1

易知a－2=1或a－2=－1

求得a=1或a=3.

【变式1-1】（2022·全国·七年级课时练习）若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．

【变式1-2】（2022·江苏·无锡市仓下中学七年级阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．

（1）________， _______，________．

（2）求的值．

【变式1-3】（2022·全国·七年级专题练习）计算：已知，．若，求的值．

【考点2】  化简绝对值

自我解读：①去绝对值重点关注是否为负，只有负的需要去掉时需要加负号。

②去完绝对值必须加括号，如当a-b大于0时，1-|a-b|=1-（a-b）。

【例2】（2022·全国·七年级专题练习）已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且

（1）求和 的值

（2）化简：

【解题过程】（1）∵且a、b位于原点两侧

∴a、b互为相反数

∴，

（2）如图可得：c＜b＜0＜a且

∴a＞0，a=-b即a+b=0，c-a＜0，c-b＜0，-2b＞0

因此

=

=

=

【变式2-1】（2022·全国·七年级）若，则a与b的关系是（   ）

A．a＝b B．a＝-b C．a＝b＝0 D．a＝b或a＝-b

【变式2-2】（2022·全国·七年级课时练习）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定

【变式2-3】（2020·江苏苏州·七年级期末）满足的整数对共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【考点3 】 绝对值的非负性

【例3】（2021·福建·泉州五中七年级期中）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝______．

【自我解读】因为、、都为整数，而且，所以与只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出．

【解题过程】解：、、为整数，且，

有，或，，

①若，，

则，，

，

，

②，，

则，，

，

，

故答案为：2．

【变式3-1】（2022·浙江·七年级专题练习）若|a+3|+（b﹣6）2=0，则a+b=_____．

【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题：

(1)直接写出a，b，的值，a＝______，b＝______，______．

(2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则x＝______．

(3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为－1，动点P表示的数为x．

①若点P在点M、N之间，则______；

②若，则x＝______；

③若点P表示的数是－5，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？

【变式3-3】已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．

【考点4】   绝对值定义

自我解读：①绝对值定义描述的是一个点到原点的距离，可延伸为俩个点之间的距离为俩点对应的数作差后加个绝对值即为俩点间距离。如A与B的距离就是|a-b|。

          ②|a+2|是点A到-2的距离，绝不是A到2的距离。（谁减谁即为谁到谁的距离）

【例4】（2022·江苏·徐州经济技术开发区实验学校七年级阶段练习）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：

(1)求　　；

(2)若，则　　；

(3)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是　　；

(4)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．

【自我解读】

（1）4与两数在数轴上所对的两点之间的距离为；

（2）在数轴上，某点到3所对应的点的距离为4，据此求解即可；

（3）利用数轴解决：把理解为：在数轴上，某点到所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为6，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；

（4）把理解为：在数轴上表示x到2和8的距离之和，求出表示2和8的两点之间的距离即可．

补充：偶数个点在中间段取最值，奇数个点在中间点取最值。

【解题过程】

（1）

解：；

故答案是：7；

（2）

解：可理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离为4，则或；

故答案是：7或；

（3）

解：式子可理解为：在数轴上，某点到2所对应的点的距离和到所对应的点的距离之和为6，

所以满足条件的整数x可为，，0，1，2，3，4，

故答案为：，，0，1，2，3，4；

（4）

解：有最小值．最小值为6，

理由是：∵理解为：在数轴上表示x到2和8的距离之和，

∴当x在2与8之间的线段上（即）时：

即的值有最小值，最小值为．

【变式4-1】（2019·江西宜春·七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点

（1）用“＜”将a，b，c连接起来．

（2）b﹣a　   　1（填“＜”“＞”，“＝”）

（3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|

（4）用含a，b的式子表示下列的最小值：

①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为　   　；

②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为　   　；

③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为　   　．

【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，．

(1)a=______；c=______；

(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；

(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______．

【变式4-3】（2022·广东广州·七年级期末）解关于x的方程：||x＋3|－k|＝2．

【考点 5】  绝对值中的大小比较

自我解读：①常借助数轴，将点标注在数轴上，左边小，右边大。

【例5】（2021·辽宁·抚顺市实验中学七年级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：

(1)比较a、、c的大小（用“＜”连接）；

(2)若m=，求1-2019(m+c)2005的值．

【自我解读】第一问中的|b|等于-b，然后a，|b|，c看谁在左谁在右即可。

            第二问看到绝对值进行去绝对值即可。

【解题过程】（1）

解：∵

∴

∵，，

∴

（2）

解：∵

∴，，，

∴

=

=

∴

=

=1+2019

=2020

【变式5-1】（2022·浙江·浦江县实验中学七年级阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【变式5-2】（2022·全国·七年级）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，b，-a，-b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）

A．a<-a<0<b<-b B．-b<a<0<b<-a C．-a<a<0<-b<b D．-b<a<0<-a<b

【变式5-3】（2022·福建泉州·七年级期末）已知，均是不为0的有理数，，且．请用不等号将，，，四个数由小到大排列_________．

【考点6】 绝对值中|a| /a 类问题

自我解读：①此类式子的值要么为1要么为-1，所以只需要考虑a的正负情况即可。（分母不为0）

【例6】（2022·全国·七年级专题练习）若a≠0，则的值为（　　）

A．2 B．0 C．±1 D．0或2

【解题过程】解：当时，；

当时，；

故选：D．

【变式6-1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列说法中，正确的个数是（　　）

①若，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；

③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；

④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；

⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式6-2】（2022·福建·莆田八中七年级阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题：

(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则＝______；当b＜0时，则＝______．

(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．

(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值．

【变式6-3】（2022·江苏·南京秦淮外国语学校七年级阶段练习）符合要求的不同的值共有（　　）个

A．10 B．7 C．4 D．3

综合巩固                                                                       

1．（2022·河南·东方二中七年级阶段练习）若，则的值为（    ）．

A．9 B．5 C． D．

2．（2022·江苏·常州市金坛第二初级中学七年级阶段练习）如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点可能是（　　）

A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R

3．（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）若，则的大小关系是 （   ）

A．  B． C． D．

4．（2022·湖南·衡阳市珠晖区英发学校七年级阶段练习）（1）已知，化简．

（2）若，，且，求的值．

5.（2022·浙江台州·七年级期末）对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则______．（用含的式子表示）

6．（2022·全国·七年级课时练习）当x=_____时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为_____．

7.（2021·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）如图，请回答问题：

(1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　．

(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合．

(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．

①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　．

②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　．

③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．

④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？

8．（2022·全国·七年级单元测试）如图，数轴上有点a，b，c三点．

（1）用“<”将a，b，c连接起来．

（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；

（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；

（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．

①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；

②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．

9．（2022·山西临汾·七年级阶段练习）阅读与思考

请阅读小彬的日记，并完成相应的任务：

任务：

(1)上述方法是先通过找中间量__________来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，__________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法．

(2)利用上述方法比较与的大小．

10．（2022·全国·七年级）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______．

（2）数轴上表示和－2的两点之间的距离表示为______；

（3）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：

①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在-2与3之间移动时，的值总是一个固定的值为：______．

②请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由．