【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-第03讲《旋转》期末专题复习

这是一份【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-第03讲《旋转》期末专题复习，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第03讲：旋转专题-九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习
考点一：旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
考点二：旋转的性质
（1） 对应点到旋转中心的距离相等；
（2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
考点三：利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：
（1） 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
考点四：中心对称与性质
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的是两个图形的位置关系；
只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
性质：
①对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分
②中心对称的图形是全等图形
考点五：关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。









旋转专题《考点·题型·难点》强化训练
一、单选题
1．（2021·北京市三帆中学九年级期中）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2021·山东郯城·九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，将点P（﹣1，2）绕点原点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（1，﹣2）
3．（2021·四川江油·九年级期中）把抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，再绕原点旋转180°所得的抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021·湖北·洪湖实验初中九年级期中）如图△ABC绕A点逆时针旋转到△AB’C’，若∠BAC=50°，∠C’=30°，则∠B’的度数为（ ）

A．80° B．90° C．100° D．120°
5．（2021·湖北·洪湖实验初中九年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转到Rt△A’B’C．当A’、B’、A三点共线时，AA’=（ ）

A． B． C． D．
6．（2021·天津滨海新·九年级期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
7．（2021·河南·息县教育体育局基础教育教学研究室九年级阶段练习）在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
8．（2021·山东·禹城市教育和体育局九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将绕点A顺时针旋转90°得到．若，则BE的长为（ ）

A．2 B． C．1 D．





9．（2021·四川旌阳·九年级期末）如图，在中，，，，的中点为．将绕点顺时针旋转任意一个角度得到，的中点为，连接．在旋转过程中，的最大值是（ ）

A． B．2 C． D．3
10．（2021·河南·漯河市实验中学九年级期中）如图，在中，顶点，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，是的中线，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．




11．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．3-3 D．3
12．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）如图，在中，，D，E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
13．（2021·四川旌阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点顺时针旋转后得点，则点的坐标为_______．
14．（2021·全国·九年级期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则________．



15．（2021·广东澄海·九年级期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝4，BC＝9，以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，若DE=DB，则△ADE的面积等于_________．

16．（2021·湖南龙山·九年级期末）如图，所示的美丽图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有_____个．

17．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期末）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，将绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是____________．






18．（2021·天津和平·九年级期末）已知正方形的边长为6，是边的中点．

（Ⅰ）如图①，连接，则的长为______．
（Ⅱ）如图②，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得．则线段长的最小值为______．
19．（2021·辽宁鞍山·九年级期末）如图，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(1，2)，将OAB绕点A第一次顺时针旋转90°得到O1AB1，将O1AB1绕点B1第二次顺时针旋转90°得到O2A1B1，将O2A1B1绕点B1第三次顺时针旋转90°得到O3A2B1，…，如此进行下去，则点O2021的坐标为__．











三、解答题
20．（2021·河南开封·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
（1）与关于原点成中心对称，写出点、、的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转得到，画出；
（3）求的面积．

21．（2021·湖北十堰·九年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E
（1）如图1，当点E恰好在AB上时，求∠CBD的大小；
（2）如图2，若α=60°，点F是AB的中点，判断四边形CEDF的形状，并证明你的结论

22．（2021·重庆酉阳·九年级期末）在中，，点D是BC上一点，连接AD．
（1）如图1，若，求AD的长；
（2）如图2，延长AC到点E，使，连接BE，将线段BE绕点E顺时针方向旋转一定角度得线段EF，连接FD并延长交AC于点G，且点G是线段AE的中点．求证：．

23．（2020·江西赣县·九年级期末）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．



24．（2021·天津红桥·九年级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．

（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；
（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．
25．（2021·辽宁兴城·九年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，，连接CD，以CA，CD为邻边作，连接CE，BF．

（1）如图1，当D在BC边上时，请直接写出CE与BF的关系；
（2）如图2，将图1中的绕点B顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；
（3）若，，将图1中的绕点B顺时针旋转一周，当BD与直线BC夹角为30°时，请直接写出CE的值．

参考答案
1．A
【详解】
A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】
根据题意可知点P旋转以后横纵坐标都互为相反数，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵点P（﹣1，2）绕点原点O旋转180°，
∴对应点坐标为（1，﹣2），
故选D．
3．B
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的坐标为（-2，1），
∴经过平移后的抛物线解析式为，开口向上，
∴再绕原点旋转180°所得的抛物线开口向下，顶点坐标为（2，-1）
∴旋转后的解析式为．
故选B．
4．C
【详解】
解：∵△ABC绕A点逆时针旋转到△AB’C’，若∠BAC=50°，
∴ ，
∵∠C’=30°，
∴ ，
故选：C．
5．D
【分析】
根据直角三角形的性质，可得BC的长，根据旋转的性质，可得A′B′的长，B′C的长，∠A′、∠A′B′C，根据邻补角的定义，可得∠AB′C的度数，根据等腰三角形的判定，可得AB′，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，得
∠BAC=30°，BC=3．
由旋转的性质，得
A′B′=AB=6，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．
由等腰三角形的性质，得
∠CAB′=∠A′=30°．
由邻补角的定义，得
∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．
由三角形的内角和定理，得
∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．
∴∠B′AC=∠B′CA=30°，
AB′=B′C=BC=3．
A′A=A′B′+AB′=6+3=9，
故选：D．
6．D
【分析】
由旋转得∠D＝∠C，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，
∴∠D＝∠C，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴BC⊥DF，
故选：D．

7．B
【分析】
先求出点P关于原点成中心对称的点的坐标，再根据第四象限点的特点列不等式即可解题．
【详解】
点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）
∵对称点在第四象限
∴
解得．
故选：B．
8．A
解：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF=BG，∠DAF=∠BAG，
∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠BAG+∠EAB=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF(SAS)，
∴GE=FE，
设BE=x，则GE=BG+BE=3+x，CE=6−x，
∴EF=3+x，
∵CD=6，DF=3，
∴CF=3，
∵∠C=90°，
∴(6−x)2+32=(3+x)2，
解得，x=2，
即BE=2.
故选A..
9．D
【详解】
解：



的中点为，

连接

绕点顺时针旋转任意一个角度得到的中点为，

由三角形的三边关系得，
三点共线时有最大值.
此时
故选D
10．C
【详解】
解：∵AC=CB，C（2，3），
∴A（0，6），B（4，0），
∴OA=6，
第1次点A的坐标为（-3，3），
第2次点A的坐标为（-6，0），
第3次点A的坐标为（-3，-3），
第4次点A的坐标为（0，-6），
第5次点A的坐标为（3，-3），
第6次点A的坐标为（6，0），
第7次点A的坐标为（3，3），
第8次点A的坐标为（0，6），
8次应该循环，
∵2021÷8=252•••5，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为（3，-3），
故选：C．
11．D
【详解】
把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’
则AP’=PC，BP=BP’，∠PBP’=90°，∠AP’B=∠CPB
故△PP’B是等腰直角三角形
∴∠PP’B=45°
∵∠BAP=∠CBP
∴∠BAP=∠ABP’
∴BP’AP
∴∠APB=90°
当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短
∴∠AP’B=90°+45°=135°
∴∠PAP’=180°-∠AP’B=45°
∴△APP’是等腰直角三角形
∴AP=AP’=6
∴PC=AP’=3
故选D．

12．B
解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴AF=AD，∠CAD=∠BAF，
∵在直角三角形ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，即∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠BAD=90°，即∠FAD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE=45°，

在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确，
∵AE与AD不一定相等，
∴不一定与相等
∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；
∵△AED≌△AEF，
∴DE=EF，
由旋转可知：△ADC≌△AFB，
∴BF=CD，
∵BE+BF＞EF=DE，
∴BE+DC＞DE，③错误；
∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
由旋转可知：∠ABF=∠C=45°，
∴∠EBF=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
∴BE2+DC2=DE2，④正确；
故选B．
13．
【分析】
根据关于原点对称的点坐标的性质解答．
【详解】
解：将点绕坐标原点顺时针旋转后得点，得到点A与点B关于原点对称，
∴点的坐标为，
故答案为：．
14．8
【详解】
解：∵点A（a，3）与点B（-5，b）关于原点对称，
∴a=5，b=-3，
∴a-b=-5-（-3）=8，
故答案为：8．
15．10
【详解】
解：如图，连接BE，延长DA，

∵以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，
∴AE=AB，∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵DE=DB，AE=AB，
∴AD垂直平分BE，
∴AM⊥BE，BM=ME=AM，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠ADC=90°，BC⊥BE，
∴四边形DCBM是矩形，
∴BC=MD=9，BM=CD=4，
∴AM=BM=4=EM，
∴AD=MD-AM=5，
∴△ADE的面积=×AD×EM=×5×4=10，
故答案为：10．
16．3．
【详解】
解：（1），（3），（4）是轴对称图形，也是中心对称图形．
（2）是轴对称图形，不是中心对称图形．
故答案为：3．
17．
解：中，令x=0得，y=4；令y=0得，，解得x=-3，
∴A（-3，0），B（0，4）．
由旋转可得△AOB≌△AO′B′，∠=90°，
∴∠=90°，，
∴∥x轴，
∴点的横坐标等于OA与OB的长度之和，而纵坐标等于OA的长
故点的坐标是（-7，3），
故答案为：（-7，3）．

18．； ；
【详解】
（Ⅰ）∵正方形的边长为6，是边的中点，
∴OB=OC=3，
AO=，
故答案为：；
（Ⅱ）连接DO，将△DOE绕点D逆时针旋转90°得△DGF，过点G作DC的垂线，垂足为M，过点O作BC的垂线，交直线GM于点N，连接OG，
由旋转可知，GF=OE=2，DO=DG，∠OEG=90°，
∴∠GDM+∠ODC=90°，
∵∠DOC+∠ODC=90°，
∴∠DOC=∠GDM，
∵∠C=∠GMD，
∴△DOC≌△GDM，
∴DM=OC=3，GM=DC=6,
由辅助线作法可知，四边形CMNO是矩形，
∵CM=OC=3，
∴矩形CMNO是正方形，
ON=MN=3，
OG=，
∵OF≥OG-GF，
∴OF的最小值为OG-GF =；
故答案为：．

19．(2021，1)
解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，2），△AOB是直角三角形，
∴OA＝1，AB＝2，
将△OAB绕点A第一次顺时针旋转90°得到△O1AB1，此时O1为（1，1），
将△O1AB1绕点B1第二次顺时针旋转90°得到△O2A1B1，得到O2为（1+2+1，2），
再将△O2A1B1绕点B1第三次顺时针旋转90°得到△O3A2B1，得到O3（1+2+2，﹣1），…，依此规律，
∴每4次循环一周，O1（1，1），O2（4，2），O3（5，﹣1），O4（4，0），
∵2021÷4＝505…1，
∴点O2021（505×4+1，1），即（2021，1）．
故答案为（2021，1）．


20．
【详解】
解：（1）如图，即为所求作，点，，；
（2）如图，即为所求作；
（3）的面积．

21．
解：（1）如图1，△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点E恰好在AB上，
∴AB=AD，∠EAD=∠CAB=30°，∠ABC=60°，∠DEA=∠BCA=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-30°）=75°，
∴∠CBD=60°+75°=135°；
（2）平行四边形，理由是：
证明：∵点F是边AB中点，
∴CF=BA，
∵∠BAC=30°，
∴BC=BA，
∴CF=BC，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△ADE，
∴∠CAE=∠BAD=60°，AC=AE，DE=BC，
∴DE=CF，△BAD和△CAE为等边三角形，
∴CE=CA，
∵点F为△BA的边AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴△AFD≌△BCA（AAS），
∴DF=CA，
∴DF=CE，
而CF=DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
22．
(1)解⊥，　．∴是直角三角形，
，
在中，由勾股定理得：
；
（2）证明：⊥，，

≌

是由绕点旋转得到的，

延长到，使，连接,
∵点是的中点，
，
≌,

，
．


23．
（1）BG＝AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD＝DA，
又∵正方形DEFG中：GD＝DE，∠GDB＝∠EDA；
∴△BDG≌△ADE；
∴BG＝AE；
（2）成立：
证明：连接AD，

∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE，
在△BDG和△ADE中，

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE；
（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；

当三点共线时，取得最大值，此时旋转角度为270°时，
BG＝AE最大值为1+2＝3，
此时如图：

AF＝．



24．（1）点O′的坐标为（，2﹣）；（2）AA′＝2，点A′的坐标为（1+，1+）
解：（1）如图①，
∵点A(2，0)，点B(0，2)，
∴OA＝OB＝2，△ABO是等腰直角三角形，
∴AB＝2，
当点O′落在边AB上时，α＝45°，
∴点O′的横坐标为O′B＝，纵坐标为2﹣，
∴点O′的坐标为(，2﹣)；
（2）如图②，当α＝60°时，
∴∠ABA′＝60°，AB＝A′B，
∴△ABA′为等边三角形，
∴AA′＝A′B＝AB＝2，
连接OA′，

在△OBA′和△OAA′中，
，
∴△OBA′≌△OAA′（SSS），
∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，
∴直线OA′的函数解析式为y＝x，
∴OA′⊥AB，
∴OA′＝+，
∴点A′的坐标为(1+ ，1+)．
25．
【详解】
（1），；
如图，设CE与BF相交于点M，

∵△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠DBE=90°，
∴AC=BC，DE=DB，
∵四边形CAFD是平行四边形，
∴CA=DF=BC，CA∥DF，∠ACB=∠FDB，
∴∠CBE=∠FDB=90°，
∴△BEC≌△DBF（SAS），
∴CE=BF，∠BCE=∠DFB，
∵∠DFB+∠DBF=90°，
∴∠BCE+∠DBF==90°，
∴∠CMB=90°，
∴．
（2）成立
证明：如图，延长FD交BC于点G．
四边形ACDF是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
．

（3）如（2）题图，由（2）知∠DGB=90°，BF=CE，
∵∠DBC=30°，BD=2，
∴DG=1，BG= ，
∵AC=3，AC=DF，
∴FG=DF+DG=3+1=4，
∴ ，
∴CE= ，
如图所示，延长CB交DF于点M，

∵AC∥DF，AC⊥BC，
∴BM⊥DF，
∴∠BMF=∠BMD=90°，
∵∠MBD=30°，BD=2，
∴DM=1，BM= ，
∵AC=DF=3，
∴FM=DF-DM=3-1=2，
∴ ，
∴CE= ，
∴CE的长为或．