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专题13 指数函数恒成立与求参-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）
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这是一份专题13 指数函数恒成立与求参-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册），文件包含专题13指数函数恒成立与求参-巅峰课堂2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练人教A版2019必修第一册解析版docx、专题13指数函数恒成立与求参-巅峰课堂2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练人教A版2019必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
专题13 指数函数恒成立与求参
目录
【题型一】利用奇偶性单调性求参 1
【题型二】求参：指数换元一元二次型 4
【题型三】求参：指数换元对钩函数 5
【题型四】求参：指数换元双刀函数 7
【题型五】求参：指数型分段函数含参 8
【题型六】求参：指数函数求值域 10
【题型七】指数型超越函数解不等式 12
【题型八】指数型“倍增函数” 13
【题型九】指数型“放大镜函数” 15
【题型十】指数型“高斯函数” 18
【题型十一】指数型“复合二次型”求参 19
培优第一阶——基础过关练 21
培优第二阶——能力提升练 24
培优第三阶——培优拔尖练 28
【题型一】利用奇偶性单调性求参
【典例分析】
．已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式可得单调性和奇偶性，再利用性质可得答案.
【详解】当时，则，，
当时，则，，，所以为奇函数，
因为时为增函数，又为奇函数，
为上单调递增函数，的图象如下，
由得，
所以，即在都成立，即，解得.故选：D.
【变式训练】
1.定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得为偶函数，且在上单调递减，根据奇偶性及单调性可得对任意的恒成立，两边平方即可得到，再对分类讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解；
【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，，则当时函数在定义域上单调递减，，当时，函数在上单调递减，且当时，所以函数在上单调递减，当时函数图象如下所示：
因为对任意的，不等式恒成立，即恒成立，即，平方可得；
①当，即时，即，对任意的，所以，即，所以；
②当，即时，显然符号题意；
③当，即时，即，对任意的，所以，即，与矛盾；
综上所述，，即实数的最大值为；故选：B
2.已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】首先根据是定义在上的奇函数，可得，即可求出的值，再利用的单调性脱掉可得可得在上恒成立，分离可得
，求得最大值即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以对于恒成立，
即，整理可得：，因为，所以，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以不等式即不等式，
可得在上恒成立，所以，令，则
令，，
因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即得，所以整数m的最大值为，故选：B
3.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，5] B． C．[2，3] D．
【答案】A
【解析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可.
【详解】当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，记，
，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即当时，，记，
对于任意，存在，使得等价于，
所以，解得.故选：A
【题型二】求参：指数换元一元二次型
【典例分析】
已知函数，在的图像恒在轴上方，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意令，由则，则函数，则问题转化成在上恒成立，化简不等式恒成立，根据基本不等式可求的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.
【详解】令，则，函数化成。则函数，在图象恒在轴上方，可转化成在恒成立，故在恒成立，
则有。且。则，又在恒成立，
则故的范围故选：
【变式训练】
1.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将不等式整理为，令，根据二次函数性质可求得的最小值为，由此可得，解不等式可求得结果.
【详解】由得：，
令，则当时，，，
，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.
2.．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将时，不等式恒成立，转化为对一切恒成立，再，求得其最小值即可.
【详解】因为时，不等式恒成立，
所以对一切恒成立，令，
所以，解得.
3.已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．2－2
【答案】C
【分析】令t＝3x(t>1)，则不等式恒成立等价于函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，根据二次函数的图像与性质列出不等式进行求解.
【详解】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，
则对于方程f(t)＝0，有或,
解得或，所以m<2＋2.故选：C
【题型三】求参：指数换元对钩函数
【典例分析】
已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】由题意，，即为奇函数，同时也为增函数，
∵，即，∴，即恒成立，，若不等式恒成立，只需，
令，∴，∴．故选：C
【变式训练】
1.已知函数，若对任意的，，，不等式恒成立，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的解析式可化为，令，，则，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于的不等式，求出各种情况下实数的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数的取值范围．
【详解】函数令，则
若，即，函数在，上为增函数此时的函数的值域为，.
若不等式恒成立则，就可以满足条件。解得若，即，
，不等式显然成立。若，即
函数在，上为减函数。此时的函数的值域为，
若不等式恒成立。则，解得
综上所述：。故选：
2.已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用奇偶性求出，，讨论和的单调性求最值可得恒成立，则不等式恒成立等价于.
【详解】，，是偶函数，分是奇函数，，
可得，，则不等式为，
令，令，由对勾函数的性质可得在单调递增，
则在单调递增，则，
对于，因为单调递增，单调递增，在单调递增，，恒成立，
则不等式，解得，，即.故选：B.
3.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】参变分离，变形后用对勾函数知识进行求解.
【详解】当时，，所以，令，由对勾函数知：在单调递增，，此时取得最小值为，故。故答案为：
【题型四】求参：指数换元双刀函数
【典例分析】
已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性转化不等式为，再利用单调性得到，解不等式即可.
【详解】易见函数，是R上的递增函数，故是R上增函数.
又，满足，即是奇函数，故即，
故，即，所以实数a的取值范围是.故选：B.
【变式训练】
1.已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.
【详解】∵，令，则，，
，
∴是奇函数，又在上为增函数，
由得，即，即对恒成立.当时显然成立；
当3.时，需，得，综上可得.故选：D.
2.已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性转化不等式为，再利用单调性得到，解不等式即可.
【详解】易见函数，是R上的递增函数，故是R上增函数.
又，满足，即是奇函数，故即，
故，即，所以实数a的取值范围是.故选：B.
3..已知函数.若函数在上单调递增，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由的单调性结合二次函数性质求出的范围，判断的单调性，然后可求的范围．
【详解】∵函数在上单调递增，∴，，
又在上是增函数，所以，
∴的取值范围是．故选：A.
【题型五】求参：指数型分段函数含参
【典例分析】
已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据在处取得最小值，得，且，再由当时，结合得，解得，最后结合得，即可得到结果．
【详解】由函数在处取得最小值得，则且
当时，又，所以，得．又，所以，即，整理得，，解得．综上，.故选：C．
【变式训练】
1.已知．若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】解：由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.故选：A.
2.已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得：函数在上为增函数，则有，解不等式即可得出答案.
【详解】对任意两个不相等的实数，，恒成立，
所以函数在上为增函数，则有解得：.故选：D.
3.已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，，
又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.故选：A.
【题型六】求参：指数函数求值域
【典例分析】
已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出的值域A，的值域B，把题意转化为，建立不等式组，求出m的范围.
【详解】定义，，值域为A；
令，，则可化为在上单增，所以，，即集合.
定义，，值域为B；
因为对称轴，所以在上单调递减，所以，即集合
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以.只需解得：，即.故选：D
【变式训练】
1.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．
【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.
当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，当时，
①当时，，此时，，解得，
②当时，，此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，，解得，综合得.故答案为：
2.已知函数对任意的，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先确定函数上单调性与值域，然后求出函数在上的单调性及值域，由值域的关系得出结论．注意分类讨论．
【详解】因为时，是增函数，，所以时有以下三种情况：
①当时，，不符合题意；
当时，在单调递减，且，符合题意；
当时，在单调递增，且，此时，解得．
综上所述：的取值范围是或，
故选：D．
3.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】，所以，，整理得，
解得.。故选：C.
【题型七】指数型超越函数解不等式
【典例分析】
已知且，，当时，均有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，在上恒成立，令，，结合图象，分和两种情况讨论，列出不等式求解即可得答案．
【详解】解：若当时，均有，即在上恒成立，
令，，由图象可知：
当时，，即，所以；
当时，，即，所以；
综上，或，即实数的取值范围是.故选：C．
【变式训练】
1.已知函数的定义域为，值域为，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出集合、，根据得出实数满足的不等式即可求解.
【详解】由可得，所以，因为为单调递增函数，为单调递增函数，
所以在单调递增，所以，所以，
因为，所以，即，作出和的图象如图所示：
由图知当时，所以当时，所以实数的取值范围为，故选：B.
2.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定函数的定义域，再确定函数的奇偶性与单调性，最后根据函数的单调性与奇偶性建立绝对值不等式并求解即可.
【详解】解：因为函数，所以函数的定义域：，
因为，所以函数是偶函数，
因为函数在上单调递减，所以在上单调递增，
又因为所以所以，解得.故选：D
3.设函数，则使得成立的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由易得函数在上为偶函数，故，又当时，函数单调递增，且，，所以要使，即，只需，解得，故选C．
【题型八】指数型“倍增函数”
【典例分析】
定义在上的偶函数满足，当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由函数为偶函数且关于对称即可求出函数的周期为，然后画出函数图象利用数形结合的方法即可求解.
【详解】∵为为偶函数，∴，又∵，
∴，∴，即的周期为，画出函数的图象，如图所示，令，
∵不等式的整数解有且仅有9个，∴，解得 ，
∴的取值范围为，故答案为：.
【变式训练】
1.定义在上的偶函数满足，且时，，则__________.
【答案】2019
【分析】先判断函数的周期性，再利用周期性改变自变量的大小，将自变量转化到已知对应关系的区间上，代相应的解析式即可
【详解】根据题意，函数满足。则,
则函数是周期为的周期函数，
又由时, ，则 则，故答案为 :
2.已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】先由函数的奇偶性和对称性，求出是周期函数，周期，再结合时， ，求出，即一个周期的和，再计算所求的式子的项的个数，结合一个周期的和，得到答案.
【详解】因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则 ，
所以，则 ，得，
即，所以是周期函数，且周期 ，由时，，则 ，
， ，则，
则故选：D
3.已知定义在R上的奇函数 满足，当时,,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得且函数表示以为周期的周期函数，由此结合当时,分别推得的值，可得答案.
【详解】由于是定义在R上的奇函数，故 ， 由题意得，因为，则，
所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，
所以，，
，所以，故选：B.
【题型九】指数型“放大镜函数”
【典例分析】
已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题可画函数图象，结合图象可解.
【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：
∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确,
故选：C
【变式训练】
1、定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，.
因为，所以，即.
在直角坐标系内，画出时，的图象（如图所示）.
由于时，的最小值为，所以时，当时，的最小值为，
因此，为使时，恒成立，
需，即，解得或，故选C
2.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，.
因为，所以，即.
在直角坐标系内，画出时，的图象（如图所示）.
由于时，的最小值为，所以时，当时，的最小值为，
因此，为使时，恒成立，
需，即，解得或，故选C
3.定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出时，的解析式，把恒成立转化为，求出，解不等式即可.
【详解】若，则
∵，∴
即∵时，恒成立，∴只需.
当时，最小值为（当时）；当时，最小值为（当时），∴。所以只需，解得：或
∴实数的取值范围是。故选：D
【题型十】指数型“高斯函数”
【典例分析】
设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可．
【详解】因为，所以，则是奇函数，
，
因为，所以，则，则，即的值域为，
①若，由，则，
所以
②若，由，则，
所以
③若，则，所以.
综上所述，函数的值域为.故选：B.
【变式训练】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ）
A． B．{－1，0，1}
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案.
【详解】,令，令，
二次函数开口向上，对称轴为，，
所以，也即.所以.故选：B
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）
A． B．， C．，， D．，0，
【答案】B
【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域.
【详解】，，，，
，或0，的值域为，.故选：B.
3..设R，用表示不超过x的最大整数，例如：已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由指数函数的性质先求出的值域，然后结合已知函数定义即可求解．
【详解】∵，∵，
∴，∴，故的值域是．故选：B．
【题型十一】指数型“复合二次型”求参
【典例分析】
已知函数，函数对于任意恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，所以函数对于任意恒成立，转化为，然后求出的最小值即可
【详解】解：当时，为增函数，则，即，
当时，，则，
综上，
因为函数对于任意恒成立，
所以恒成立，
因为，所以，当且仅当即时取等号，
所以的最小值为4，所以故选：A
【变式训练】
1.定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为
A．2 B．4
C．2或4 D．2或4或6
【答案】B
【解析】由函数关于点对称，得是奇函数，由此可作出函数的图象，利用图象可分析方程的根的个数，再用换元法（设）把原方程转化为一元二次方程，通过这个二次方程根的研究得出原方程解的个数．
【详解】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增，
作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3.
或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解，
方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设，
若，则，，和都有两个根，原方程有4个根；
若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根；
若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根．
综上原方程有4个根．
故选：B.
2.已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】函数的图象如图：
关于的方程有个不等的实数根， 必须有两个不相等的实数根，由函数图象可知令,方程化为,开口向下，对称轴为可知， 的最大值为, 的最小值为故答案选
3.已知fx是R上的偶函数且fx=2x,0≤x≤112x+1,x>1，若关于x的方程f2x−afx=0有三个不相等的实数根，则a的取值范围是_____．
【答案】(0,1]∪[32,2]作出函数fx的图象如下图所示．
由f2x−afx=0可得fx=0或fx=a．由图象可得fx=0有唯一解．∵关于x的方程f2x−afx=0有三个不相等的实数根，∴方程fx=a有两个不相等的实数根，即函数y=fx的图象与函数y=a的图象有两个不同的交点，
结合图象可得0≤a<1或32≤a≤2．∴实数a的取值范围是(0,1]∪[32,2]．故答案为(0,1]∪[32,2]．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质即可求解.
【详解】解：根据指数函数性质知，解得．
故选：C．
2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求解函数的值域，在根据高斯函数的定义确定的值域.
【详解】解：因为，所以，则，所以函数的值域为，故的值域为-1或0.
故选：B
3．已知实数，满足，，则下列正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性判断，的关系，利用对数函数性质判断，的关系，从而得到结果.
【详解】，
，
故.
故选：B.
4．已知函数，则的（ ）
A．图象关于原点对称，且在上是增函数
B．图象关于轴对称，且在上是增函数
C．图象关于原点对称，且在上是减函数
D．图象关于轴对称，且在上是减函数
【答案】A
【分析】由奇偶性定义可知为奇函数，结合指数函数单调性可确定的单调性，由此可得结果.
【详解】定义域为，，
为奇函数，图象关于原点对称；
当时，为增函数，为减函数，为增函数.
故选：A.
5．己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件直接计算，进而即得．
【详解】因为，
所以，故A正确，C错误；
，不是常数，故BD错误.
故选：A．
6．已知函数满足若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断出函数为奇函数，变形为，画出函数图象，求出不等式的解集.
【详解】当时，，
，因为函数定义域为，
所以函数为奇函数，
作出函数的图像，如图所示，
且在，上都为增函数，
由，得到，即，
由图像可得.
故选：B.
7．已知，若，则n的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】根据指数函数的性质，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为当时，，
所以
，
又，所以，
所以，，，
所以若，则n的最大值为10，
故选：B.
8．函数，则方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，则，当时，，转化为图象的交点问题；当时，成立，进一步求出的范围，即可求出答案.
【详解】由函数，令，则，
当时，，
令，其图象如图所示
．时，无解，当时，成立，
由，得当时，有，解得；当时，有，解得，
综上，的取值范围是．故选：B.
9．已知函数，其中a为常数，若存在，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由题可得
【详解】因为，
所以关于直线对称，又，所以.故选：C．
10．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的性质，以及函数在上单调递减，结合指数函数的性质，可知，求解不等式，即可得到结果.
【详解】∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.
故选：A.
培优第二阶——能力提升练
1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则函数，令=，
再令,则，则有 ，由对勾函数的性质及反比例函数的性质求出的值域即可.
【详解】解：因为，所以，设，因为，令==，令,则，
所以 ，因为，由对勾函数的性质可得，
所以，所以所以以，即函数的值域为.
故选：A.
2．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得是常数，则，可求出，得到解析式，再根据函数单调性的性质，进行求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有，
所以为常数，不妨设，则有，
在中，令，则有，
即，显然函数是单调递增的，而，
显然有，
因此，设，，
因为是上的增函数，且在上单调递增，
显然在单调递增，且，所以由，可得，
所以满足不等式的x的取值范围为.故选：C．
3．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出、的解析式，则问题转化为恒成立，参变分离恒成立，利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围；
【详解】解：由，有，
解得，，则，可化为，
有，有恒成立，
可得恒成立，又由，当且仅当，即时取等号，
又函数在上单调递减，所以，
所以，即.故选：C．
4．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】由奇偶性定义可知为奇函数，根据单调性的性质可知为减函数，化简已知不等式为，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.
【详解】定义域为，，为上奇函数；
为上的减函数，为上的增函数，为上的减函数；
由得：，
，解得：.故选：A.
5．偶函数的值域为______．
【答案】
【分析】由偶函数求得，再由对勾函数及指数函数的性质求的值域即可.
【详解】由题设，，故，
所以，当且仅当时等号成立，又，
所以的值域为.故答案为：.
6．已知且， 函数满足对任意实数， 都有成立， 则的取值范围是_______.
【答案】
【分析】由函数单调性的定义可判断函数的单调性，然后根据函数单调性及分段函数的定义列不等式组，求解即可得答案.
【详解】解：因为函数满足对任意实数， 都有成立，所以函数在上为增函数，因为且， 函数，所以，解得，
所以的取值范围是，故答案为：.
7．已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意得：有解
令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
8．已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】将“对，使得，”转化为，再根据二次函数的性质和指数函数的单调性求得最值代入即可解得结果.
【详解】当时，，∴当时，，
当时，为增函数，所以时，取得最大值，
∵对，使得，∴，
∴，解得.故答案为：.
9．已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围_____.
【答案】
【分析】根据给定条件确定函数的单调性，再对不等式作等价变形并脱去法则“f”，借助二次函数最值求解作答.
【详解因当时，，则，显然，而为上的单调函数，
于是得在上单调递减，又是上的奇函数，
则不等式化为，
即有，依题意，对任意的，成立，
而，当且仅当时取“=”，即有最小值，则，
所以实数的取值范围是.故答案为：
10．已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】令＝t＞0，则g(t)＝>0对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可.
【详解】，R，令＝t＞0，则f(x)＝g(t)＝，
由题可知g(t)在t＞0时与横轴无公共点，则对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，
∵，当且仅当，即时，等号成立，∴，
∴.故答案为：.
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知函数，则不等式的解集是__________
【答案】
【分析】令得，令并判断其奇偶性、单调性，由题设不等式等价于，结合的性质求解集.
【详解】令，则，故，
令，则，故为奇函数，且在定义域上单调递增，由等价于，所以，故，可得，故不等式解集为.故答案为：
2．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】判断函数的单调性，利用其解析式推出，则可将不等式对恒成立，转化为，即对恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意知单调递增，故在R上单调递增，又，故不等式对恒成立，
即对恒成立，所以，即对恒成立，
当时，，故，即实数a的取值范围是，故答案为：
3．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
【答案】
【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，若区间为函数的“稳定区间”，则函数与函数在区间上同增或者同减，①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即，所以；
②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即，不等式无解；综上所述：，故答案为：.
4．设函数f（x），已知对任意的a∈[1，3]，若（k∈R且k＞0），恒有f（x1）≥f（x2），则k的最小值是_____．
【答案】24．
【分析】由已知可得是偶函数，且在为增函数，要使恒成立，只需，，而，只需，结合范围，即可求解.
【详解】当x＞0，可得﹣x＜0，f（﹣x）＝2x+x2＝f（x），同样可得x＜0时，f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝1，可得f（x）为偶函数，画出f（x）的图象，可得f（x）在[0，+∞）递增，
由f（x1）≥f（x2），可得f（|x1|）≥f（|x2|），即有|x1|≥|x2|，即x12﹣x22≥0，即（x1﹣x2）（x1+x2）≥0，
由（k∈R且k＞0，a＞0），
可得x1＜x2，即x1﹣x2＜0，可得x1+x2≤0恒成立，可得aa0，即有k，
由任意的a∈[1，3]，可得k24，则k的最小值为24．故答案为:24.
5．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据函数关系，原不等式等价于，转化为通过单调性解题.
【详解】由题设知，，则，因此，原不等式等价于，
根据指数函数性质在上均为是增函数，且，，
在上是增函数，∴，即，
又，∴当时，取得最小值，
因此，解得，又，∴，
故.故答案为：
6．定义：如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点，已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】函数在区间上存在均值点，关于x的方程在内有实数根。求出函数的值域，包含元素1即可。
【详解】∵函数在区间上存在均值点，
∴关于x的方程在内有实数根。
由，，
可得.
要使方程在内有实数根，则，
即。故答案为：。
7．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______________.
【答案】
【分析】由题意可得在的范围包含在的范围内，先运用基本不等式求得在的范围，再讨论，结合函数的单调性可得的范围，解的不等式可得所求范围.
【详解】当时，，当时，
若时，在上是单调递增函数，所以，满足则，所以，，
又，所以.若时，则，
在上是单调递增函数，此时，在上是单调递减函数，此时
满足 则 又，所以，
综上，，故答案为.
8．设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值______.
【答案】
【分析】化简，结合单调性及题意计算出，的表达式，由的最小值为1计算出结果
【详解】因为，所以
在上单调递增，又关于的不等式在上恒成立，
所以，，因为的最小为1，所以，即，所以，当且仅当，即时取“”，即的最小值为.
9．已知函数，若，则当时，的最小值为________．
【答案】
【分析】探讨给定函数的奇偶性和单调性，求出a，b的关系，再借助“1”的妙用求解作答.
【详解】函数定义域为R，，
即函数是奇函数，又函数，，，都是R上的增函数，因此在R上单调递增，
由，即得：，即，有，
，当且仅当，即时取等号，
由知，，满足题意，所以当时，取最小值.
故答案为：
10．记min{a，b，c}为实数a，b，c中最小的一个，已知函数f（x）=﹣x+1图象上的点（x1，x2+x3）满足：对一切实数t，不等式﹣t2﹣t﹣2+4≤0均成立，如果min{﹣x1，﹣x2，﹣x3}=﹣x1，那么x1的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数f（x）=﹣x+1图象上的点（x1，x2+x3），∴x2+x3=﹣x1+1．
∵min{﹣x1，﹣x2，﹣x3}=﹣x1，∴﹣x2＞﹣x1，﹣x3≥﹣x1，∴x2≤x1，x3≤x1，∴﹣x1+1≤2x1，解得x1．
对一切实数t，不等式﹣t2﹣t﹣+≤0均成立，
∴△≤0，
化为：≤0，
∴≤﹣，或≥﹣，
∵x2+x3=﹣x1+1，
∴2（）≥=，
∴≤﹣≤3﹣，及x1，解得≤x1≤．
或≥﹣，则++﹣3≥+﹣3≥0，及x1，解得．
综上可得：x1的取值范围是．
故答案为．
专题13 指数函数恒成立与求参
目录
【题型一】利用奇偶性单调性求参 1
【题型二】求参：指数换元一元二次型 4
【题型三】求参：指数换元对钩函数 5
【题型四】求参：指数换元双刀函数 7
【题型五】求参：指数型分段函数含参 8
【题型六】求参：指数函数求值域 10
【题型七】指数型超越函数解不等式 12
【题型八】指数型“倍增函数” 13
【题型九】指数型“放大镜函数” 15
【题型十】指数型“高斯函数” 18
【题型十一】指数型“复合二次型”求参 19
培优第一阶——基础过关练 21
培优第二阶——能力提升练 24
培优第三阶——培优拔尖练 28
【题型一】利用奇偶性单调性求参
【典例分析】
．已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式可得单调性和奇偶性，再利用性质可得答案.
【详解】当时，则，，
当时，则，，，所以为奇函数，
因为时为增函数，又为奇函数，
为上单调递增函数，的图象如下，
由得，
所以，即在都成立，即，解得.故选：D.
【变式训练】
1.定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得为偶函数，且在上单调递减，根据奇偶性及单调性可得对任意的恒成立，两边平方即可得到，再对分类讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解；
【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，，则当时函数在定义域上单调递减，，当时，函数在上单调递减，且当时，所以函数在上单调递减，当时函数图象如下所示：
因为对任意的，不等式恒成立，即恒成立，即，平方可得；
①当，即时，即，对任意的，所以，即，所以；
②当，即时，显然符号题意；
③当，即时，即，对任意的，所以，即，与矛盾；
综上所述，，即实数的最大值为；故选：B
2.已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】首先根据是定义在上的奇函数，可得，即可求出的值，再利用的单调性脱掉可得可得在上恒成立，分离可得
，求得最大值即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以对于恒成立，
即，整理可得：，因为，所以，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以不等式即不等式，
可得在上恒成立，所以，令，则
令，，
因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即得，所以整数m的最大值为，故选：B
3.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，5] B． C．[2，3] D．
【答案】A
【解析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可.
【详解】当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，记，
，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即当时，，记，
对于任意，存在，使得等价于，
所以，解得.故选：A
【题型二】求参：指数换元一元二次型
【典例分析】
已知函数，在的图像恒在轴上方，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意令，由则，则函数，则问题转化成在上恒成立，化简不等式恒成立，根据基本不等式可求的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.
【详解】令，则，函数化成。则函数，在图象恒在轴上方，可转化成在恒成立，故在恒成立，
则有。且。则，又在恒成立，
则故的范围故选：
【变式训练】
1.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将不等式整理为，令，根据二次函数性质可求得的最小值为，由此可得，解不等式可求得结果.
【详解】由得：，
令，则当时，，，
，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.
2.．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将时，不等式恒成立，转化为对一切恒成立，再，求得其最小值即可.
【详解】因为时，不等式恒成立，
所以对一切恒成立，令，
所以，解得.
3.已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．2－2
【答案】C
【分析】令t＝3x(t>1)，则不等式恒成立等价于函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，根据二次函数的图像与性质列出不等式进行求解.
【详解】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，
则对于方程f(t)＝0，有或,
解得或，所以m<2＋2.故选：C
【题型三】求参：指数换元对钩函数
【典例分析】
已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】由题意，，即为奇函数，同时也为增函数，
∵，即，∴，即恒成立，，若不等式恒成立，只需，
令，∴，∴．故选：C
【变式训练】
1.已知函数，若对任意的，，，不等式恒成立，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的解析式可化为，令，，则，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于的不等式，求出各种情况下实数的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数的取值范围．
【详解】函数令，则
若，即，函数在，上为增函数此时的函数的值域为，.
若不等式恒成立则，就可以满足条件。解得若，即，
，不等式显然成立。若，即
函数在，上为减函数。此时的函数的值域为，
若不等式恒成立。则，解得
综上所述：。故选：
2.已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用奇偶性求出，，讨论和的单调性求最值可得恒成立，则不等式恒成立等价于.
【详解】，，是偶函数，分是奇函数，，
可得，，则不等式为，
令，令，由对勾函数的性质可得在单调递增，
则在单调递增，则，
对于，因为单调递增，单调递增，在单调递增，，恒成立，
则不等式，解得，，即.故选：B.
3.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】参变分离，变形后用对勾函数知识进行求解.
【详解】当时，，所以，令，由对勾函数知：在单调递增，，此时取得最小值为，故。故答案为：
【题型四】求参：指数换元双刀函数
【典例分析】
已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性转化不等式为，再利用单调性得到，解不等式即可.
【详解】易见函数，是R上的递增函数，故是R上增函数.
又，满足，即是奇函数，故即，
故，即，所以实数a的取值范围是.故选：B.
【变式训练】
1.已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.
【详解】∵，令，则，，
，
∴是奇函数，又在上为增函数，
由得，即，即对恒成立.当时显然成立；
当3.时，需，得，综上可得.故选：D.
2.已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性转化不等式为，再利用单调性得到，解不等式即可.
【详解】易见函数，是R上的递增函数，故是R上增函数.
又，满足，即是奇函数，故即，
故，即，所以实数a的取值范围是.故选：B.
3..已知函数.若函数在上单调递增，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由的单调性结合二次函数性质求出的范围，判断的单调性，然后可求的范围．
【详解】∵函数在上单调递增，∴，，
又在上是增函数，所以，
∴的取值范围是．故选：A.
【题型五】求参：指数型分段函数含参
【典例分析】
已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据在处取得最小值，得，且，再由当时，结合得，解得，最后结合得，即可得到结果．
【详解】由函数在处取得最小值得，则且
当时，又，所以，得．又，所以，即，整理得，，解得．综上，.故选：C．
【变式训练】
1.已知．若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】解：由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.故选：A.
2.已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得：函数在上为增函数，则有，解不等式即可得出答案.
【详解】对任意两个不相等的实数，，恒成立，
所以函数在上为增函数，则有解得：.故选：D.
3.已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，，
又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.故选：A.
【题型六】求参：指数函数求值域
【典例分析】
已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出的值域A，的值域B，把题意转化为，建立不等式组，求出m的范围.
【详解】定义，，值域为A；
令，，则可化为在上单增，所以，，即集合.
定义，，值域为B；
因为对称轴，所以在上单调递减，所以，即集合
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以.只需解得：，即.故选：D
【变式训练】
1.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．
【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.
当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，当时，
①当时，，此时，，解得，
②当时，，此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，，解得，综合得.故答案为：
2.已知函数对任意的，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先确定函数上单调性与值域，然后求出函数在上的单调性及值域，由值域的关系得出结论．注意分类讨论．
【详解】因为时，是增函数，，所以时有以下三种情况：
①当时，，不符合题意；
当时，在单调递减，且，符合题意；
当时，在单调递增，且，此时，解得．
综上所述：的取值范围是或，
故选：D．
3.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】，所以，，整理得，
解得.。故选：C.
【题型七】指数型超越函数解不等式
【典例分析】
已知且，，当时，均有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，在上恒成立，令，，结合图象，分和两种情况讨论，列出不等式求解即可得答案．
【详解】解：若当时，均有，即在上恒成立，
令，，由图象可知：
当时，，即，所以；
当时，，即，所以；
综上，或，即实数的取值范围是.故选：C．
【变式训练】
1.已知函数的定义域为，值域为，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出集合、，根据得出实数满足的不等式即可求解.
【详解】由可得，所以，因为为单调递增函数，为单调递增函数，
所以在单调递增，所以，所以，
因为，所以，即，作出和的图象如图所示：
由图知当时，所以当时，所以实数的取值范围为，故选：B.
2.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定函数的定义域，再确定函数的奇偶性与单调性，最后根据函数的单调性与奇偶性建立绝对值不等式并求解即可.
【详解】解：因为函数，所以函数的定义域：，
因为，所以函数是偶函数，
因为函数在上单调递减，所以在上单调递增，
又因为所以所以，解得.故选：D
3.设函数，则使得成立的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由易得函数在上为偶函数，故，又当时，函数单调递增，且，，所以要使，即，只需，解得，故选C．
【题型八】指数型“倍增函数”
【典例分析】
定义在上的偶函数满足，当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由函数为偶函数且关于对称即可求出函数的周期为，然后画出函数图象利用数形结合的方法即可求解.
【详解】∵为为偶函数，∴，又∵，
∴，∴，即的周期为，画出函数的图象，如图所示，令，
∵不等式的整数解有且仅有9个，∴，解得 ，
∴的取值范围为，故答案为：.
【变式训练】
1.定义在上的偶函数满足，且时，，则__________.
【答案】2019
【分析】先判断函数的周期性，再利用周期性改变自变量的大小，将自变量转化到已知对应关系的区间上，代相应的解析式即可
【详解】根据题意，函数满足。则,
则函数是周期为的周期函数，
又由时, ，则 则，故答案为 :
2.已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】先由函数的奇偶性和对称性，求出是周期函数，周期，再结合时， ，求出，即一个周期的和，再计算所求的式子的项的个数，结合一个周期的和，得到答案.
【详解】因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则 ，
所以，则 ，得，
即，所以是周期函数，且周期 ，由时，，则 ，
， ，则，
则故选：D
3.已知定义在R上的奇函数 满足，当时,,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得且函数表示以为周期的周期函数，由此结合当时,分别推得的值，可得答案.
【详解】由于是定义在R上的奇函数，故 ， 由题意得，因为，则，
所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，
所以，，
，所以，故选：B.
【题型九】指数型“放大镜函数”
【典例分析】
已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题可画函数图象，结合图象可解.
【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：
∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确,
故选：C
【变式训练】
1、定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，.
因为，所以，即.
在直角坐标系内，画出时，的图象（如图所示）.
由于时，的最小值为，所以时，当时，的最小值为，
因此，为使时，恒成立，
需，即，解得或，故选C
2.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，.
因为，所以，即.
在直角坐标系内，画出时，的图象（如图所示）.
由于时，的最小值为，所以时，当时，的最小值为，
因此，为使时，恒成立，
需，即，解得或，故选C
3.定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出时，的解析式，把恒成立转化为，求出，解不等式即可.
【详解】若，则
∵，∴
即∵时，恒成立，∴只需.
当时，最小值为（当时）；当时，最小值为（当时），∴。所以只需，解得：或
∴实数的取值范围是。故选：D
【题型十】指数型“高斯函数”
【典例分析】
设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可．
【详解】因为，所以，则是奇函数，
，
因为，所以，则，则，即的值域为，
①若，由，则，
所以
②若，由，则，
所以
③若，则，所以.
综上所述，函数的值域为.故选：B.
【变式训练】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ）
A． B．{－1，0，1}
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案.
【详解】,令，令，
二次函数开口向上，对称轴为，，
所以，也即.所以.故选：B
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）
A． B．， C．，， D．，0，
【答案】B
【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域.
【详解】，，，，
，或0，的值域为，.故选：B.
3..设R，用表示不超过x的最大整数，例如：已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由指数函数的性质先求出的值域，然后结合已知函数定义即可求解．
【详解】∵，∵，
∴，∴，故的值域是．故选：B．
【题型十一】指数型“复合二次型”求参
【典例分析】
已知函数，函数对于任意恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，所以函数对于任意恒成立，转化为，然后求出的最小值即可
【详解】解：当时，为增函数，则，即，
当时，，则，
综上，
因为函数对于任意恒成立，
所以恒成立，
因为，所以，当且仅当即时取等号，
所以的最小值为4，所以故选：A
【变式训练】
1.定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为
A．2 B．4
C．2或4 D．2或4或6
【答案】B
【解析】由函数关于点对称，得是奇函数，由此可作出函数的图象，利用图象可分析方程的根的个数，再用换元法（设）把原方程转化为一元二次方程，通过这个二次方程根的研究得出原方程解的个数．
【详解】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增，
作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3.
或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解，
方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设，
若，则，，和都有两个根，原方程有4个根；
若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根；
若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根．
综上原方程有4个根．
故选：B.
2.已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】函数的图象如图：
关于的方程有个不等的实数根， 必须有两个不相等的实数根，由函数图象可知令,方程化为,开口向下，对称轴为可知， 的最大值为, 的最小值为故答案选
3.已知fx是R上的偶函数且fx=2x,0≤x≤112x+1,x>1，若关于x的方程f2x−afx=0有三个不相等的实数根，则a的取值范围是_____．
【答案】(0,1]∪[32,2]作出函数fx的图象如下图所示．
由f2x−afx=0可得fx=0或fx=a．由图象可得fx=0有唯一解．∵关于x的方程f2x−afx=0有三个不相等的实数根，∴方程fx=a有两个不相等的实数根，即函数y=fx的图象与函数y=a的图象有两个不同的交点，
结合图象可得0≤a<1或32≤a≤2．∴实数a的取值范围是(0,1]∪[32,2]．故答案为(0,1]∪[32,2]．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质即可求解.
【详解】解：根据指数函数性质知，解得．
故选：C．
2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求解函数的值域，在根据高斯函数的定义确定的值域.
【详解】解：因为，所以，则，所以函数的值域为，故的值域为-1或0.
故选：B
3．已知实数，满足，，则下列正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性判断，的关系，利用对数函数性质判断，的关系，从而得到结果.
【详解】，
，
故.
故选：B.
4．已知函数，则的（ ）
A．图象关于原点对称，且在上是增函数
B．图象关于轴对称，且在上是增函数
C．图象关于原点对称，且在上是减函数
D．图象关于轴对称，且在上是减函数
【答案】A
【分析】由奇偶性定义可知为奇函数，结合指数函数单调性可确定的单调性，由此可得结果.
【详解】定义域为，，
为奇函数，图象关于原点对称；
当时，为增函数，为减函数，为增函数.
故选：A.
5．己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件直接计算，进而即得．
【详解】因为，
所以，故A正确，C错误；
，不是常数，故BD错误.
故选：A．
6．已知函数满足若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断出函数为奇函数，变形为，画出函数图象，求出不等式的解集.
【详解】当时，，
，因为函数定义域为，
所以函数为奇函数，
作出函数的图像，如图所示，
且在，上都为增函数，
由，得到，即，
由图像可得.
故选：B.
7．已知，若，则n的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】根据指数函数的性质，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为当时，，
所以
，
又，所以，
所以，，，
所以若，则n的最大值为10，
故选：B.
8．函数，则方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，则，当时，，转化为图象的交点问题；当时，成立，进一步求出的范围，即可求出答案.
【详解】由函数，令，则，
当时，，
令，其图象如图所示
．时，无解，当时，成立，
由，得当时，有，解得；当时，有，解得，
综上，的取值范围是．故选：B.
9．已知函数，其中a为常数，若存在，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由题可得
【详解】因为，
所以关于直线对称，又，所以.故选：C．
10．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的性质，以及函数在上单调递减，结合指数函数的性质，可知，求解不等式，即可得到结果.
【详解】∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.
故选：A.
培优第二阶——能力提升练
1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则函数，令=，
再令,则，则有 ，由对勾函数的性质及反比例函数的性质求出的值域即可.
【详解】解：因为，所以，设，因为，令==，令,则，
所以 ，因为，由对勾函数的性质可得，
所以，所以所以以，即函数的值域为.
故选：A.
2．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得是常数，则，可求出，得到解析式，再根据函数单调性的性质，进行求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有，
所以为常数，不妨设，则有，
在中，令，则有，
即，显然函数是单调递增的，而，
显然有，
因此，设，，
因为是上的增函数，且在上单调递增，
显然在单调递增，且，所以由，可得，
所以满足不等式的x的取值范围为.故选：C．
3．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出、的解析式，则问题转化为恒成立，参变分离恒成立，利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围；
【详解】解：由，有，
解得，，则，可化为，
有，有恒成立，
可得恒成立，又由，当且仅当，即时取等号，
又函数在上单调递减，所以，
所以，即.故选：C．
4．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】由奇偶性定义可知为奇函数，根据单调性的性质可知为减函数，化简已知不等式为，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.
【详解】定义域为，，为上奇函数；
为上的减函数，为上的增函数，为上的减函数；
由得：，
，解得：.故选：A.
5．偶函数的值域为______．
【答案】
【分析】由偶函数求得，再由对勾函数及指数函数的性质求的值域即可.
【详解】由题设，，故，
所以，当且仅当时等号成立，又，
所以的值域为.故答案为：.
6．已知且， 函数满足对任意实数， 都有成立， 则的取值范围是_______.
【答案】
【分析】由函数单调性的定义可判断函数的单调性，然后根据函数单调性及分段函数的定义列不等式组，求解即可得答案.
【详解】解：因为函数满足对任意实数， 都有成立，所以函数在上为增函数，因为且， 函数，所以，解得，
所以的取值范围是，故答案为：.
7．已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意得：有解
令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
8．已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】将“对，使得，”转化为，再根据二次函数的性质和指数函数的单调性求得最值代入即可解得结果.
【详解】当时，，∴当时，，
当时，为增函数，所以时，取得最大值，
∵对，使得，∴，
∴，解得.故答案为：.
9．已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围_____.
【答案】
【分析】根据给定条件确定函数的单调性，再对不等式作等价变形并脱去法则“f”，借助二次函数最值求解作答.
【详解因当时，，则，显然，而为上的单调函数，
于是得在上单调递减，又是上的奇函数，
则不等式化为，
即有，依题意，对任意的，成立，
而，当且仅当时取“=”，即有最小值，则，
所以实数的取值范围是.故答案为：
10．已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】令＝t＞0，则g(t)＝>0对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可.
【详解】，R，令＝t＞0，则f(x)＝g(t)＝，
由题可知g(t)在t＞0时与横轴无公共点，则对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，
∵，当且仅当，即时，等号成立，∴，
∴.故答案为：.
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知函数，则不等式的解集是__________
【答案】
【分析】令得，令并判断其奇偶性、单调性，由题设不等式等价于，结合的性质求解集.
【详解】令，则，故，
令，则，故为奇函数，且在定义域上单调递增，由等价于，所以，故，可得，故不等式解集为.故答案为：
2．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】判断函数的单调性，利用其解析式推出，则可将不等式对恒成立，转化为，即对恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意知单调递增，故在R上单调递增，又，故不等式对恒成立，
即对恒成立，所以，即对恒成立，
当时，，故，即实数a的取值范围是，故答案为：
3．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
【答案】
【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，若区间为函数的“稳定区间”，则函数与函数在区间上同增或者同减，①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即，所以；
②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即，不等式无解；综上所述：，故答案为：.
4．设函数f（x），已知对任意的a∈[1，3]，若（k∈R且k＞0），恒有f（x1）≥f（x2），则k的最小值是_____．
【答案】24．
【分析】由已知可得是偶函数，且在为增函数，要使恒成立，只需，，而，只需，结合范围，即可求解.
【详解】当x＞0，可得﹣x＜0，f（﹣x）＝2x+x2＝f（x），同样可得x＜0时，f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝1，可得f（x）为偶函数，画出f（x）的图象，可得f（x）在[0，+∞）递增，
由f（x1）≥f（x2），可得f（|x1|）≥f（|x2|），即有|x1|≥|x2|，即x12﹣x22≥0，即（x1﹣x2）（x1+x2）≥0，
由（k∈R且k＞0，a＞0），
可得x1＜x2，即x1﹣x2＜0，可得x1+x2≤0恒成立，可得aa0，即有k，
由任意的a∈[1，3]，可得k24，则k的最小值为24．故答案为:24.
5．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据函数关系，原不等式等价于，转化为通过单调性解题.
【详解】由题设知，，则，因此，原不等式等价于，
根据指数函数性质在上均为是增函数，且，，
在上是增函数，∴，即，
又，∴当时，取得最小值，
因此，解得，又，∴，
故.故答案为：
6．定义：如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点，已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】函数在区间上存在均值点，关于x的方程在内有实数根。求出函数的值域，包含元素1即可。
【详解】∵函数在区间上存在均值点，
∴关于x的方程在内有实数根。
由，，
可得.
要使方程在内有实数根，则，
即。故答案为：。
7．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______________.
【答案】
【分析】由题意可得在的范围包含在的范围内，先运用基本不等式求得在的范围，再讨论，结合函数的单调性可得的范围，解的不等式可得所求范围.
【详解】当时，，当时，
若时，在上是单调递增函数，所以，满足则，所以，，
又，所以.若时，则，
在上是单调递增函数，此时，在上是单调递减函数，此时
满足 则 又，所以，
综上，，故答案为.
8．设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值______.
【答案】
【分析】化简，结合单调性及题意计算出，的表达式，由的最小值为1计算出结果
【详解】因为，所以
在上单调递增，又关于的不等式在上恒成立，
所以，，因为的最小为1，所以，即，所以，当且仅当，即时取“”，即的最小值为.
9．已知函数，若，则当时，的最小值为________．
【答案】
【分析】探讨给定函数的奇偶性和单调性，求出a，b的关系，再借助“1”的妙用求解作答.
【详解】函数定义域为R，，
即函数是奇函数，又函数，，，都是R上的增函数，因此在R上单调递增，
由，即得：，即，有，
，当且仅当，即时取等号，
由知，，满足题意，所以当时，取最小值.
故答案为：
10．记min{a，b，c}为实数a，b，c中最小的一个，已知函数f（x）=﹣x+1图象上的点（x1，x2+x3）满足：对一切实数t，不等式﹣t2﹣t﹣2+4≤0均成立，如果min{﹣x1，﹣x2，﹣x3}=﹣x1，那么x1的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数f（x）=﹣x+1图象上的点（x1，x2+x3），∴x2+x3=﹣x1+1．
∵min{﹣x1，﹣x2，﹣x3}=﹣x1，∴﹣x2＞﹣x1，﹣x3≥﹣x1，∴x2≤x1，x3≤x1，∴﹣x1+1≤2x1，解得x1．
对一切实数t，不等式﹣t2﹣t﹣+≤0均成立，
∴△≤0，
化为：≤0，
∴≤﹣，或≥﹣，
∵x2+x3=﹣x1+1，
∴2（）≥=，
∴≤﹣≤3﹣，及x1，解得≤x1≤．
或≥﹣，则++﹣3≥+﹣3≥0，及x1，解得．
综上可得：x1的取值范围是．
故答案为．
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