2023届贵州省毕节市金沙县高三上学期期中教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2023届贵州省毕节市金沙县高三上学期期中教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】因为，所以.

故选：D

2．下列三个数依次成等比数列的是（    ）

A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8

【答案】C

【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.

【详解】，A选项错误；，B选项错误.

因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确.

，D选项错误.

故选：C

3．设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由对数运算法则进行计算.

【详解】．

故选：A

4．已知向量，若，则（    ）

A． B． C． D．20

【答案】B

【分析】根据向量垂直的坐标表示得，再求向量的模；

【详解】解：由，得，则，即

所以.

故选：B

5．现有下列四个命题：

①函数无零点；

②命题“”的否定为“”；

③若，则；

④不等式的解集为.

其中所有真命题的序号为（    ）

A．②④ B．①③ C．③④ D．②③④

【答案】D

【分析】对①，函数的零点相当于直线与函数的图象交点；

对②，命题“”的否定为“”；

对③，由元素与集合的关系及集合的唯一性即可列式求解；

对④，先化成再求解.

【详解】对①，因为直线与函数的图象有交点，所以①是假命题；

对②，命题“”的否定为“”，所以②是真命题；

对③，若，则或，又，则，所以③是真命题；

对④，由，得，解得，所以④为真命题.

故选：D

6．已知四边形为梯形，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】分别判断命题的充分性和必要性，即可得到答案

【详解】充分性：假设在梯形，和为两腰，且，所以，则充分性不成立；

必要性：若，则一定不是梯形的底边，而是梯形的两腰，

则是梯形的底边，所以，则必要性成立，

故选：C．

7．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先用诱导公式化简，然后利用两角和的正切公式计算即可

【详解】因为，

所以，又

故.

故选：A.

8．已知，若不等式组表示的平面区域的面积为1，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出线性区域，分析得出结论即可

【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示，

由图可知，可行域的形状为三角形，

它的三个顶点为，

则的面积，

因为，所以.

故选：B.

9．已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由最小值可求得，由的图象关于点对称，可得，进而由题意可求出的最小值，即可求解

【详解】因为函数的最小值为2，

所以，解得，

又的图象关于点对称，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以的最小值为，

所以的最小值为，

故选：C

10．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性与单调性，依次讨论，，，时的符号即可得答案.

【详解】解：因为定义在R上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

因为定义在R上的偶函数在上单调递增，且，

所以在上是单调递减，且．

所以，当时，，，；

当时，，，；

当时，，，；

当时，，，；

故满足的的取值范围是

故选：B

11．现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2cm，高为8cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V（单位：ml）关于时间（单位：s）的函数解析式为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ）

A．4 cm/s B．5 cm/s

C．6 cm/s D．7cm/s

【答案】C

【分析】由题设可得溶液上升高度，求导并代入求值即可.

【详解】由题设，杯子底面积为，则溶液上升高度，

所以，则cm/s.

故选：C

12．设数列满足，，则数列的前19项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数列的递推式采用累加法求得，可得的通项公式，采用裂项求和法，即可求得答案.

【详解】因为，所以，

所以，

又，所以，

则

，

故数列数列的前19项和为：，

故选：D

二、填空题

13．命题“若，则”的否命题为___________.

【答案】若，则

【分析】根据否命题的知识求得正确答案.

【详解】否命题，条件和结论都要否定，所以：

命题“若，则”的否命题为“若，则”.

故答案为：若，则

14．已知，若的最小值大于7，写出满足条件的一个a的值：__________．

【答案】4（答案不唯一，只要即可）.

【分析】根据基本不等式求出的最小值，得到不等式，得到，写出一个符合要求的a的值即可.

【详解】因为，

所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，由，得．

故答案为：4（答案不唯一，只要即可）.

15．已知数列是公差为1的等差数列，且，则___________.

【答案】####

【分析】利用等差数列通项公式的性质即

即可得

【详解】由数列是公差为1的等差数列，且可得，

所以.

故答案为：.

16．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______

.

【答案】##

【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算用所求式子将表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.

【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，

所以

因为，所以，的最小值为.

故答案为：

三、解答题

17．在等比数列{}中，．

(1)求{}的通项公式；

(2)求数列{}的前n项和Sn．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式；

（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求Sn．

【详解】（1）由题设，，则的公比，

所以.

（2）由（1）知：，

所以.

18．设a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，向量，且.

(1)求B；

(2)若，求b.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）利用向量平行列方程，结合正弦定理求得.

（2）对进行分类讨论，结合余弦定理求得.

【详解】（1）因为，且，

所以，

由正弦定理知，

因为，所以，

因为，所以或.

（2）当时，由余弦定理得，

则；

当时，由余弦定理得，

则.

19．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的值；

(2)试问正弦曲线经过怎样的变换可以得到曲线？

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）根据图象，先求得，然后求得.

（2）化简，结合三角函数图象变换的知识求得正确答案.

【详解】（1）依题意可得，

，即，

则，即，，

因为，所以.

（2）由（1）知，

.

正弦曲线的横坐标不变，将纵坐标变为原来的倍，得到曲线.

（方法一）得到的曲线的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线，

再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线.

（方法二）将得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，

所得曲线各点的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线.

20．已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程．

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）由导数求出斜率、切点坐标可得答案；

（2）求出，分，，讨论可得答案.

【详解】（1）当时，，则，

∴，

∴，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）函数的定义域为，

,

当时，由得或，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，由恒成立，

所以在上单调递增；

当时，由得或，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

21．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）

(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）

(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

【答案】(1)13分钟

(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

【分析】（1）由题意列方程求解

（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值

【详解】（1）由题意可得，解得.

设经过分钟，这杯茶水降温至，则，

解得（分钟）.

故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.

（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，

当时，，

当时，取得最大值3400万元；

当时，，

因为，当且仅当时，等号成立，

则当时，取得最大值3380万元.

因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

22．已知函数.

(1)当时，求的最小值；

(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.

【答案】(1)；

(2)1

【分析】（1）由导数法求最小值；

（2）法一：参编分离得，利用导数法研究得最小值；

法二：由恒成立可得当时求得可能的a的范围，由导数法从小到大逐个讨论整数a是否符合恒成立即可.

【详解】（1）当时，，则，

令得.

若，则；若，则.

所以；

（2）（法一）由，可得在上恒成立.

令，则，

令，则，因此在上为减函数.

而，可知在区间上必存在，使得满足，且在上单调递增，在上单调递减.

由于，而，故，

由，可知，

所以，因此整数a的最小值为1.

（法二）由，可得，当时，，则，即.

当时，令，则，

则在上单调递增，所以，所以成立.

因此整数a的最小值为1.