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高考数学解题破题36计（230页干货）
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高考数学解题破题36计
第1计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
●典例示范
［例题］将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
，其中 .
令，则 .
［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意.
［解Ⅰ］ 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有
对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1
对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.
［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.
第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项.
［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项，并将和数列 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.
因此得到 这就是本题第2空的答案.
［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案.
事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是
［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.
［法1］ 由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项.
［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即
根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而
［法3］ （2）将代入条件式，并变形得
取令得
，
… … …
以上诸式两边分别相加，得
［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.
●对应训练
1．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.
2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .
●参考解答
1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.
连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10
如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70
由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.
2．找“点”——动点P、Q的极限点.
如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合.
则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .
显然V棱柱.
∴∶=
于是奇兵天降——答案为.
［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.
第2计 西瓜开门 滚到成功
●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.
●典例示范
［题1］
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f ¢（x）³0，则必有
A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.
其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.
［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.
（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；f＇(x)≤0时x ≤1. 即f（x）在上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.
综合（i），（ii），本题的正确答案为C.
［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.
［再析］ 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）. 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.
［解二］ （i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件.
（ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2 又 f＇(x)=2（x-1）.
满足 (x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0
选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.
［插语］ 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.
［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f ¢（x）= 0找最值点x =0，由f ¢（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.
由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.
［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线）
（ii）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f ¢（x）≥0
若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f ¢（x）≥0.
［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f ¢（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函
数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.
［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ¢（x）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1)
［解析］ 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义；
对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；
答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.
且f ¢（x）=(x-1) 使得 (x-1) f＇(x) =(x-1)(x-1) ≥0.
［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f¢（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且n≥m.
［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.
［题2］ 已知实数x，y满足等式 ，试求分式的最值。
［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.
［解一］ （函数方程思想运用）
令 y = k (x-5) 与方程联立
消y，得：
根据x的范围应用根的分布得不等式组：
解得 即 ≤≤ 即所求的最小值为，最大值为.
［插语］ 解出≤≤，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.
［解二］ （数形结合思想运用）
由得椭圆方程 ，
0
看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直
线斜率（图右）.
联立 得
令得，故 的最小值为，最大值为.
［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.
［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.
解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.
●对应训练
1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的 ( )
2.函数y=1- (-1≤x<0)的反函数是 ( )
A.y=-(0
3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )
A.b2≤ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0
●参考答案
1.【思考】 利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选项D中无x>0的图像，均应否定；当x=y∈R+时，lg无意义，否定A,选C．
【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).
2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.
原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.
∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．
3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.
取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.
解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式.
令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,
f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.
【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:
4b<4a+c, ①
2b<-a-c, ②
①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.
用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.
第3计 诸葛开门 扇到成功
●计名释义
诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.
数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.
●典例示范
［题1］ 已知f (x)= 试求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值.
［分析］ 若分别求f (x)在x= -5，-4，…，0，…，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x)+f (1-x)的结果.
［解析］ 因为 f (x)+ f (1-x) =
=
=
所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )
=［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+…+（f (6 )+ f (-5 )）］
=［f (1-x )+ f (x )］×6 =
［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.
●对应训练
1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于 .
2.求已知离心率e=,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(-),长轴平行于y轴的椭圆方程.
3.若椭圆 (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.
●参考答案
1. 命sin2α=sin2β=sin2γ=,则cos2α=cos2β=cos2γ=.α、β、γ为锐角时，cosα=cosβ=cosγ=.
∴cosαcosβcosγ=.
(注：根据解题常识，最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得).
2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.
若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.
已知e=,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为
(x+，把点P(-看做当k→0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:
(x+
又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得λ=-.
因此所求椭圆方程为x2+=1.
点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.
3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:
①A,B两点都在椭圆外;
②A,B两点都在椭圆内.
若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.
设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围.
易得线段AB的方程为y=x+1,x∈［1,3］,
由方程组,x∈［1,3］,
a2的值在［1,3］内递增,且x=1和x=3时分别得a2=或a2=,故≤a2≤.
∵a>0,∴≤a≤.
故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为0.
第4计 关羽开门 刀举成功
●计名释义
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.
数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！
●典例示范
［例1］
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.
（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.
［分析］ 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.
［解Ⅰ］ 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.
易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）.
［插语］ 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.
【例2】 设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.
（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；
（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
【分析】 （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=|AB|.
(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2
（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.
显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.
【解答】 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.显然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),
x=,代入：y=tanα·-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.
此方程有不同二实根y1y2,
∴y1+y2=,y1y2=-4p2.
∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.
∴,故点O仍在以AB为直径的圆上.
【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:
(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.
(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.
这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.
【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.
当α≠90°时，不妨设α∈［0,)，则
综上，|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p.
别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.
∴||2=|
=
≥2x1x2+2p(x1+x2)
≥2x1x2+4p.
∵y1y2=-4p2,∴x1x2=
于是||2≥16p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2.
【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.
●对应训练
1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.
(1)求数列{an}的通项公式，并求之值.
(2)证明0
(1)求证:PD⊥PC;
(2)求二面角P—DB—C的大小.
●参考答案
1.分析： (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).
(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这
种数列的求和方法是“错项相减”.
(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.
解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,
即Sn=n2,
∴an=Sn-Sn-1=2n-1,
=；
(2)由(1)知an=2n-1.
∴f=1× ①
②
①-②:
f =
=
=
=1-
设g(x)=,∵g′(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=.
∴g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，［g(n)］max=g(1)=,
又当n→∞时,g(n)→0,∴∈,从而f∈.
2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.
(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC.
(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,只须作OM⊥BD即可.
解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.
(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,
∵PB=6,
PD=2,∴BD=4,PM==3,
已证PD⊥PC,∴PC=,
PO=.
sin∠PMO=,∠PMO=arcsin,
即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin.
第5计 才子开门 风情万种
●计名释义
所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.
●典例示范
［引例］ 试比较以下三数的大小：，，
［解一］ 建构函数法
设f (x) = f＇(x)=ln≤0 f (x)为减函数 >>
［旁白］ 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.
［评语］ 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.
［解二］ 作差比较法
-=<0
-=>0
［旁白］ 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.
［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.
［旁白］ 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.
［奇解］ ×=<1 ×=>1 >>
［旁白］ 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.
［自评］ 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.
［旁白］ 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？
才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解
［正解］ f (x) = f＇(x)=ln<0 (x≥3)
>> >>
［旁白］ 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.
［评语］ 因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.
【例1】 已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b= ( )
A．(，) B．(,) C.() D．（1，0）
【特解】 由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.
【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A()是平行向量，一般考生不能做到.
【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项. 又a·b=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.
【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！
【另解】 设b=(cosα,sinα),则a·b=(,1)·(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60°+α)=在区间（0，π）上解α得：α=60°.
故b=().
【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.
【错解】 选A者,误在(a，
选C者,误在|（）·a|=1.
选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.
【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.
●对应训练
1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)<0}等于 （ ）
A.{x|x>3或-3
●参考答案
1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.
解析一 由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图（1）),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x·f(x)<0的解集为{x|0
(1) (2)
解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图（2）),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x·f(x)为偶函数,∴不等式x·f(x)<0的解集关于原点对称,故先解借助图象得0
【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二.
奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶.
数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.
2.【分析】 排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.
【通解】 考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进行排列共有A种排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A种，故满足条件的排法种数共有=20.
【正解】 5个元素设作A,B,（C,D）,x,y.将排列种数分两类:
第一类,x,y相连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C=8种方法.
第二类,x,y不连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C=12种方法.
【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.
【另解】 5个元素设作A，B，（C，D），x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f.
第1步考虑元素x到位，有5种可能；
第2步考虑元素y到位，有4种可能；
第3步，A，B，（C，D）按顺序到位，只1种可能.
由乘法原理，方法总数为5×4=20种.
【评说】 “另解”比“正解”简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，（C，D）按序到位情况只1种.——这点，一般学生不易想通.
【别解】 设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，则有xP3=P5x==5×4=20.
【评说】 别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.
第6计 勇士开门 手脚咚咚
●计名释义
一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.”
勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”
考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.
●典例示范
【例1】 已知x,y∈, a∈R，且,则cos (x+2y)的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【思考】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？
解：由条件得：
∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.
【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?
设f (t)=t3+sint-2a. 当t∈时，均为增函数，而-2a为常数.∴上的单调增函数.
∵f (x)= f (-2y)=0.
∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.
【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.
【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(,-1) ， 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( )
A.4,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0
【解答】 如图，点A(cosθ,sinθ)在圆上运动时，延OA到C，使==2a, 求的最值，
显然.当与
反向时有最大值4,与同向时有
最小值0. ∴选D.
【点评】 本例
解题思想很简单，谁不知道“三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢， 例2题解图
为求极值，我们的勇士勇敢地到极地——当
△BOC不复存在时，才有可能取得.
【例3】 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0，且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解答】 设F(x)= f (x)g(x), 当x<0时，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.
∴F(x)在R上为增函数.
∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)·g (x).=-F(x).
故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
∴F(x)在R上亦为增函数.
已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.
构造如图的F（x）的图象，可知 例3题解图
F(x)<0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3).
【点评】 本例选自04·湖南卷12题,
是小题中的压轴题，显然，不懂得
导数基本知识对待本例是无能为力的，高中
代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.
●对应训练
1.下列命题正确的是 ( )
A.若{an}和{bn}的极限都不存在，则{an+bn}的极值一定不存在
B.若{an}和{bn}的极限都存在，则{an+bn}的极限一定存在
C.若{an+bn}的极限不存在，则{an}和{bn}的极限都一定不存在
D.若{an+bn}的极限存在，则{an}和{bn}的极限要么都存在，要么都不存在
2.过定点M (-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 （ ）
A.0
A.2 B.1 C. D.
●参考答案
1.D (正反推证）若{an+bn}:1,1,1,1,…的极限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1…,{bn}:1,0,1,0,1,0…,极限都不存在，但若{an}:1,1,1,1…,{bn}:0,0,0,0…,极限又都存在，故D正确，同理可排除A、B、C.
2.A （数形并用）如图，以C (-2,0)为圆心，
r=3为半径的⊙C交x、y正半轴于A（1,0）,
B (0,), 而M (-1, 0)在⊙C内部，
当N∈时，显然，kMN>kMA=0;
kMN
3.A T3=C(-2x)2=36 (2x)2=288， ∴2 2x=8， x=, =∈(0,1).
∴数列{}是首项与公比均为的无穷递缩等比数列.原式==2. 选A.
第7计 模特开门 见一知众
●计名释义
一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.
模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！
数学的特殊性（特值）解题，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），这样，才能做到“一点动众”. 特值一旦确定，要研究的是特值的共性.
选择题中的“特值否定”，填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，都是“一点动众”的例子.
●典例示范
【例1】 如果0(1-a) B.log(1-a)(1+a)>0
C.(1-a)3>(1+a)2 D.(1-a)1+a>1
【思考】 本题关键点在a,我们一个特殊数值，作为本题的模特.
令a=,各选项依次化为： （ ）
A． B.
C． D.
显然，有且仅有A是正确的，选A.
【点评】 本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众.
你还需要讲“道理”吗？为减函数，log0,B不对；也是减函数，,D不对；直接计算，C也不对；只有A是对的.
【例2】 已知定义在实数集R上的函数y=f (x)恒不为零，同时满足:f (x+y)=f (x)·f (y),且当x>0时，f (x)>1,那么当x<0时，一定有 （ ）
A．f (x)<-1 B.-11 D.0
设f (x)=2x, 显然满足f (x+y)=f (x)·f (y) (即2x+y =2x·2y), 且满足x>0时，f (x)>1,根据指数函数的性质，当x<0时，0<2x<1.即0< f (x)<1. 选D.
【点评】 题干中的函数抽象，先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底，选定最简单且又符合题意的函数y=2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金，你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗？
【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = ［f (0)2 ( f (x)≠0), 则f (0)=1,
f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即, 当x<0时，-x>0.
由条件：f (-x)>1, 故x<0时, 0< f (x)<1.
【例3】 若A, B, C是△ABC的三个内角，且A
【点评】 此题用常法论证也不难，但是谁能断言：本解比之常法不具有更大的优越性呢？
●对应训练
1.设f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 则f (x)的反函数的解析式是 （ ）
A． B.
C． D.
2.下列命题中，命题M是命题N的充要条件的一组是 （ ）
A．
B.
C.
D.
3.已知两函数y= f (x)与y=g(x)的图像如图（1）所示，则y= f (x)·g(x)的大致图像为（ ）
第3题图（1） 第3题图（2）
●参考答案
1.B 取特殊的对称点. ∵f (0)=1, ∴(0,1)在f (x)的图像上，（1，0）在f (x)的图像上，将（1，0）代入各选项，仅B适合， ∴选B.
点评 题干和选项都那么复杂，解法却如此简明.你能发现（0，1）.就能找出（1，0），解题就需要这种悟性，说到底，还是能力.
2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，条件不必要.
3.B 取特殊的区间. 由图像知f (x)为偶函数（图（1）中图像关于y轴对称），g(x)为奇函数（图（2）中图像关于原点对称）. ∴y= f (x)·g(x)为奇函数，其图像应关于原点对称，排除A、C，取x∈(-2,-1), 由图(1)知f (x)>0,由图（2）知g(x)<0,故当x∈(-2, -1)时，应有y= f (x)·g(x)<0. 选B.
点评 无须弄清图（1）、图（2）到底表示什么函数，不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f (x)·g(x)的图像.只须鉴别四类图像哪一个符合题意，选定特殊区间（-2，-1）一次检验即解决问题.
第8计 小姐开门 何等轻松
●计名释义
有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.
后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！”
大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？”
小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”
数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.
●典例示范
【例1】 求证：抛物线没有渐近线.
【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.
抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？
【证明】 不妨设抛物线方程为y2=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, ∵x=, 代入直线方程，化简得：ky2-2py+2pb=0. ①
可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根y0, 那么，y0→∞,或, 方程①化为：2pby′2-2py′+k=0. ②
方程②应有唯一的零根, y′=0代入②得：k=0.
于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线有唯一公共点(), 因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.
【例2】 设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC不是正三角形.
【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！
【解答】 假定△ABC为正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点，不妨设x2≠x1, ∵kAB=, ∴直线AB的方程为：
即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 点C (x3, y3)到AB的距离.
但是|AB|=
∴S△ABC == (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).
即S△ABC为有理数.另一方面，
S△ABC = ①
∵|AB|≠0, ∴S△ABC为无理数. ②
①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.
【例3】 设f (x)=x2+a1x+a2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于
【分析】 三数中至少有一个不小于的情况有七种，而三数中“都小于”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路.
【解答】 假定同时有：| f (1)|<、| f (2)|<、| f (3)|<, 那么：
①+③: -11<4a1+2a2<-9 ④
②×2: -9<4a1+2a2<-7 ⑤
④与⑤矛盾，从而结论成立.
【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手.
遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路.
一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.
●对应训练
1.k为何值时，直线y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线y2=x的某弦.
2.已知α、β∈(0, ), 且sin(α+β)=2sinα.求证：α<β.
3.设a>b>c>0, 且a、b、c成等差数列，试证明：不能组成等差数列.
4.求证：抛物线y=上不存在关于直线y=x对称的两点.
●参考答案
1．正难反收，先解决k为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补
集，设弦两端点为A(x1, y1), B(x2, y2), 那么:
设直线l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB, 则kAB=, 设AB之中点为M(x0, y0), ∴y1+y2=2y0, y0=, 又由y0-1= k(x0-1),得x0=, 而M在抛物线内部.
∴y
（1）α=β, 此时有sin2α=2sinα.
α、β∈(0, )时，sinα≠0, 必有cosα=1, 这与α∈(0, )矛盾;
(2)α>β,在(0, )内y=sinx为增函数，必sinα>sinβ>0, 由条件：
sinα(cosβ-2) +cosαsinβ=0.
∴ ∴cosα+cosβ>2，这是不可能的.
故α≥β不能成立，必有α<β.
3.假定成等差数列, 必, 即
已知a，b，c成等差数列，∴b=.
故有： ∴a=c, 从而a=b=c, 这与已知a>b>c>0矛盾.
∴不能组成等差数列.
4.假定抛物线y=上存在关于直线y=x对称的两点A(a , b)与B (b, a).
∵kAB= -1, 知a≠b. 有：
①-②：b-a =(a+b) (a-b). ∵a≠b, ∴a+b=-2 ③
③代入①：-2-a=. 即 a2+2a+3=0.
此方程无实根，故所设符合题设条件的点A（a, b），B (b, a)不存在.
也就是抛物线y=x2-1上不存在关于直线y=x对称的两点.
第9计 瞎子开门 伸手摸缝
计名释义
命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸.在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了.
●典例示范
［例题］
已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，
（Ⅰ）证明：，；
（Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有
［分析］ 此题有3扇门，即题问（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）.用手去摸，发现（Ⅱ）是个门缝，因为（Ⅱ）最轻便：一是“猜”，二是“写出”（不要求说道理）.
于是，可以把手伸到（Ⅰ）的后面，把（Ⅱ）当作门闩抽掉.
［解Ⅱ］ 因为0 < an < 而后者的极限是0，所以an的极限是0.
［插语］ 解（Ⅱ）之时，承认并利用了（Ⅰ）的结果.
［评说］ 这么难的压轴题，竟这么容易地拿下了它的三分之一.即使最后不能攻下（Ⅰ），而（Ⅱ）的分数却已经拿到手了.
拿下（Ⅱ）之后，可以直抓后面的（Ⅲ）.既然an→0，那么要它an<，那就解不等式求N罢了.这时，仍然可以把（Ⅰ）的结果当作已知.
［解Ⅲ］ （放大为了化简）
令，
故取N=1024，可使当n>N时，都有
［插语］ （Ⅱ），（Ⅲ）已破，题门大开，回师攻（Ⅰ）形势更好.
［解Ⅰ］ 问题简化为
已知：① ②
求证：③
［插语］ 先抓住求证式③，其右边的分母中有变量，顺藤摸瓜，找到已知式①中的，不过它却在“分子”上.至此，快摸到问题（Ⅰ）的“门闩”.
［续解］ 式③变为
得式④ .
［插语］ 式④即为题（Ⅰ）的门闩.
以下用式④与式②连接，从式②中变出.
［续解］ 由式②得
得式⑤
依次令n=2,3,4,…… 得
…
两边相加得 ⑤
代式① 于⑤
得.这就是要证的式④.
从而证得式③：，即问题（Ⅰ）得证.
［插语］ 变③为④，用的是分析法.变①、②为⑤，用的是综合法.
条件（①，②）不等式（③）的证明，经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻.
［评论］ 本题是一道难度很高的压轴大题，“伸手摸缝”的策略，改变了命题人原来设定的解题顺序，即从（Ⅰ）到（Ⅱ）、再到（Ⅲ）的一般顺序.从而使得易解的（Ⅱ）成为该大题的“题缝”.
对于最难的题（Ⅰ），仍然采用了中间突破的办法，成功的关键也是从中找到了题（Ⅰ）的题缝：，实际上，不等式的证明中，分析法与综合法的接头处，正是问题的题缝.
●对应训练
对以上例题第（Ⅰ）问改为如下的问题：
已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，
（Ⅰ）设f(n)= ,用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）求证：，；
●参考答案
［分析］ 本题的（Ⅰ）、（Ⅱ）问，显然第（Ⅱ）问比第（Ⅰ）问容易.因此我们可以先解第（Ⅱ）问，这时必需把第（Ⅰ）问的结果当作已知——题门从后面拨开.
解（Ⅱ）： 由已知不等式
得≤
解（Ⅰ）： 设，利用数学归纳法证不等式
（ⅰ）当n=3时，由，
知不等式成立
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即，则
即当n=k+1时，不等式也成立
由（ⅰ）（ⅱ）知，
［插语］ 数学归纳法证题，在k到k+1之间，存在着一个“题缝”.从k正推，属综合法；由k+1反推，属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲，若在“接头处”遇上困难，可用“因为——所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”，以便逃脱阅卷人的苛求.
［说明］ 这里的解答，把（Ⅱ）放在（Ⅰ）的前面，只是“草纸”上的思考顺序.真正在试卷上答题时，仍应把第（Ⅰ）问的解答放在前面，除非对（Ⅰ）没有解出.
第10计 聋子开门 慧眼识钟
●计名释义
一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.
上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？
其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.
为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.
●典例示范
【例1】 若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+ax2008(x∈R), 则
(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)
【思考】 显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.
【点评】 本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.
【例2】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f (x)是偶函数；④函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .
【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.
【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.
【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).
【解答】 由y(2x)2-y·2x-1=0.
关于2x的方程中，恒有Δ=y2+4>0. ∴y∈R ①真.
∵y1=2x, y2=都是R上的增函数，∴y=y1+y2=2x-2也是R上的增函数，②真.
∵f (-x)=2-2x = -(2x-2)=-f (x),
∴当x∈R时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数) ③真.
【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.
正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.
本例是“全选”（即“都是”）的题型.
●对应训练
1.设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,…),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,…,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .
●参考答案
1.椭圆中：a=, b=, c=1.
∴e =,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|=(7-xi), 其中右准线x=7.
∵|FPn|=|FP1|+(n-1)d. ∴d=
∵|x1-xn|≤2, ∴|d|≤. 已知n≥21, ∴|d|≤, 但d≠0.
∴d∈［-，0)∪(0，］.
点评：本题有两处陷沟，一是d≠0, 二是可以d<0, 解题时考生切勿疏忽.
第11计 耗子开门 就地打洞
●计名释义
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.
庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.
●典例示范
【例1】 已知f (x)=，判定其单调区间.
【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.
【解答】 设x1
【续解】 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]
=
易知=△>0.
故有原式=<0.
故f (x)= 的增区间为（-∞,+∞).
【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.
【例2】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.
【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=;P(ξ=1)=；P (ξ=2)=，故ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
P
（Ⅱ）ξ的数学期望是：
Eξ=0×+1×+2×=1.
(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=.
【例3】 （04·上海，20文）如图，
直线y=x与抛物线y=x2 - 4交于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与直线y= -5交于点Q.
(1)求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于AB下方
（含点A、B）的动点时，
求△OPQ的面积的最大值.
【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图
思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.
【解答】 （1）由
设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=x0=1.
故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).
(2)由（1）知|OQ|=5为定值.
设P(x，x2-2)为抛物线上上一点，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：
x+y=0，点P到直线OQ的距离：
d=，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠4-4，为使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =6.
∴(S△POQ)max =·|OQ|·dmax=·5·6=30.
【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA·tanC的值.
【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.
不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A,
∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，
则有：sinα+sinγ=sinβ，
即sin2A+sin2C=2sin2B.
2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图
∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).
∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.
3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.
【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.
●对应训练
1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在
棱CC1上，且CC1= 4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所
成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的
射影是H，求证：D1H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图
2.证明不等式： (n∈N+).
3.设x∈，f (x)=，求f (x)的最大值与最小值.
4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u=的最小值.
●参考答案
1.建立如图的空间直角坐标系，有：
A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1.
∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵=
∴tan∠APB=.
∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan.
(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.
∵=（4,4,0)，=（-4,4,1）,
∴·=-16+16+0=0.
即⊥，也就是⊥. 第1题解图
已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)
（Ⅲ）在DD1上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，
∵S△ADQ =||·||=]||·||.
即：4·||= 4×3，∴||=.
已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为.
点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.
2.只须证
右式=
=
=.
∴成立，从而1+
3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin+.
当x∈时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,
［f(x)］min =，当x=时,［f (x)］max =-.
4.注意到，同理：，，
∴u≥=8.
第12计 小刀开门 切口启封
●计名释义
西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.
一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.
数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.
●典例示范
【例1】 已知5sinβ=sin(2α+β)，求证：
【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了这个数，试一试，就打的主意！
【解答】 化条件为考察结论的右式与的数量关系知，那么由合分比定理能使问题获得解决，即
而左端分子、分母分别进行和差化积即为于是等式成立.
【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.
【例2】 设m为正整数, 方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x为未知量)至少有一个整数根, 求m的值.
【分析】 若根据求根公式得到x=, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m(m是一个待求的常量)与变量x相互转化,则解决此问题就简单了.
【解答】 原方程可化为(x2+4x+4)m=2x+7,
即m=,
【插语】 m是本题的破题小刀，因为所给方程中m的最高次数是1，使得问题简化了.
【续解】 由于x为整数且m为正整数, 则x≠-2且≥1,得-3≤x≤1,于是x=-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m值为1或5,即m=1或m=5时,原方程至少有一个整数根.
【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.
【例3】 设函数f (x)=x2+x+a(a∈R*)满足f (n)<0, 试判断f (n+1)的符号.
【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.
【解答】 因为f (n)<0，所以函数
f (x)=x2+x+a的图像与与x轴有2个
相异交点，如图所示，设横坐标为
x1、x2且x1
则
所以-10, 例3题图
于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0).
【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.
【例4】 过抛物线y2=2px的顶点O作2条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点.
【解答】 因为OA⊥OB，所以OA与OB的斜率成负倒数关系.
设OA的斜率为k，将OA的方程：y=kx代入抛物线y2=2px中，求得A点坐标为,将OB方程代入抛物线方程求B点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以置换A点坐标中的k, 即得B点坐标为(2pk2, -2pk).
因而lAB：y=
故直线AB过定点(2p, 0).容易验证，斜率k=±1时，结论也成立.
【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.
【例5】 已知x、y、z∈R, x+y+z=1，求证:x2+y2+z2≥
【解答】 运用均值代换法.令x=, 则α+β+γ=0, 所以
x2+y2+z2=
(当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z=时“=”成立).
【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.
●对应训练
1.已知M是椭圆上的动点，椭圆内有一定点A(-2,), F是椭圆的右焦点，试求|MA|+2|MF|的最小值，并求这时点M的坐标.
2.已知函数f (x)=-ax, 其中a>0. 求a的取值范围，使函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调函数.
3.如图所示，已知梯形
ABCD中|AB|=2|CD|,
点E分有向线段
所成的比为λ，双曲线过
C,D,E三点，且以A，B为
焦点.当时，求双曲线离心率e的取值范围. 第3题图
4.已知a、b>0,并且a+b=1,求证：
5．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到此面的距离为a，求这个三棱柱的体积.
第5题图
●参考答案
1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可
为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率
与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系，
作MB垂直于右准线l，垂足为B，
如图所示.则
即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第1题解图
易知点M在线段AB上时，|MA|+2|MF|取最小值8，这时点M的坐标为（2）.
2.解析 探究a的值，应倒过来思考.
设x1
得. 注意到x1-x2<0, 所以只要a≥1，就有f (x1)-f (x2)>0. 即a≥1时，函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0
3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了.
事实上，由图形的对称性，可设直线AB为x轴，AB得中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
注意到|AB|=2|CD|，设OC=依题意记A(-c,0)，C, E(x0, y0).
由定比分点坐标公式得
设双曲线方程为将点C，E坐标代入方程，得 ①
②
将①代入②且用e代入，得e2=
又由题设可知e2∈［7, 10］， 所以离心率e的范围是
点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感.
4.解析 容易估计a=b=时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法.
构造
同理
两式相乘
注意到ab≤所以≥4, 故(a+)(b+)≥(当且仅当a=b=时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.
点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.
5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于aS.很明显三棱柱ABC—A1B1C1与三棱柱ACD—A1C1D1体积相等.所以三棱柱ABC—A1B1C1的体积等于
用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.
点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.
第13计 钥匙开门 各归各用
●计名释义
开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑.
所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.
数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.
定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.
●典例示范
【例1】 F1、F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|=2c, 椭圆上的点P（x, y)到F1（-c, 0), F2 (c, 0)的距离之和为2a. 求证：|PF1|=|PF2|=
【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程却有b无c，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.
【解答】 对|PF1| 和 |PF2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF1|= r1, |PF2|= r2的方程组
②-③消y2, x2和c2得 rr ④
①，④联立，解得 故|PF1|= |PF2|=
【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.
【例2】 设数列{an}的前n项和Sn=1+anlgb, 求使成立的b的取值范围.
【思考】 应首先分清{an}是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题.
【解答】 a1=1+a1lgb, 若lgb=0, 即b =1时， a1=S1=1与矛盾.
∴b≠1,于是a1= 而an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).
∴an(1-lgb)=-an-1lgb, =为常数，{an}是首项为公比q=的无穷递缩等比数列(已知存在)，∴q=∈(-1,0)∪(0,1).
由>-1, 即>0, 得lgb<或lgb>1,
又<00
综合①、②，取并集，所求b的取值范围为b∈(0，1)∪(1,).
【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).
(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；
(2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60
,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.
【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有
关计算公式也无法准确解题，例如：
(1)随机事件A发生的概率0≤P(A)≤1, 其计算方法为P (A)=, 其中m ，n分别表示
事件A发生的次数和基本事件总数；
(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与必有一个发生，故A与既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P(A)+P（）=1；
(3)离散型随机变量的期望，Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;
(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.
【解答】 (1)基本事件总数n=C=35, 设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件 ={任取3球，全是白球}.
∵A与为对立事件，而Card=1(任取3球全是白球仅一种可能).
∴P()=,于是P (A)=1-P ()=
即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为
(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),∴P (ξ=50)=
ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)=
ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)=
ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)=
于是ξ的分布列为：
ξ
50
60
70
80
P
∴Dξ=50×+60×+70×+80×=(元).
即该顾客获奖的期望是≈63(元).
●对应训练
1M为双曲线上任意一点， F1为左焦点， 求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.
2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相
切.
3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质:
(1)E(aξ+b)=aEξ+b; (2)Dξ=Eξ2 - E 2ξ.
4M为抛物线y2=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.
●参考答案
1如图所示，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连接PO、MF2,∵|PO|=|MF2|(中位线性质）
∴|PF1| - |PO|=(|MF1| - |MF2|)=·2a= a,
即|PO|= r-a, 故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.
2如图所示，设M为椭圆上任一点，MF1为焦半径，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连OP、MF2.
则|OP|=|MF2|=(2a-|MF1|)= a-r
∴以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
第1题解图 第2题解图
3．（1）∵Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn,
∴E (aξ+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+…+xn pn)+b(p1+p2+…+pn)
= aEξ+b (∵p1+p2+…+pn=1).
（2）Dξ=(x1 - Eξ)2·p1+(x2 - Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…
=（xp1+xp2+…+xpn+…）-2Eξ(x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…)+E2ξ(p1+p2+…+pn+…)
=Eξ2-2Eξ·Eξ+E2ξ·1=Eξ2 - E2ξ.
4如图所示，抛物线焦点F，
准线l:x=,作MH⊥l于H，FM中点
为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQ⊥y
轴于Q，则PQ为梯形MNOF的中位线.
∴|PQ|=
∴以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图
第14计 鲜花开门 情有独钟
●计名释义
冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？
数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？
●典例示范
【例1】 P点在平面内作匀速直线运动，
速度向量v=(4,-3).(P点沿v方向运动，每秒
移动的距离是|v|）.开始时P（-10，10），
求5秒后P点的位置.
【分析】 本质是对P点运动的速度向量
v=（4，3）的理解：因为P点按匀速直线
运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图
每秒P向右移4，向下移3.
【解答】 5秒P向右移20，下移15，设P点5秒后到P′（x, y).
x=-10+20=10, y=10-15=-5. 所以P′（10，-5）.
【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.
【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找=5v=(20,-15), 再求=+
当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数.
【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y=+1(x≥1)的反函数是 ( )
A．y=x2-2x+2 (x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1)
C．y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x≥1)
【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x≥1时，y≥1.∴反函数的定义域为x≥1，排除A、C.∵点（5，3）在f (x)的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x)的图象上，而点（3，5）适合B，不适合D,∴选B.
【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称”等特点，前呼后拥.
【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( )
A． B. C. D.
【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件：（1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值.
∵
故故否定A；当a,b异号时，否定C；当sinx<0时，亦有<0,否定D； ∴选B.
【点评】 可用直接法证明，∵存在且在分母中出现，∴ab>0.又a+b+2=(a+1)+(b+1)≥2，∴≥2. 当且仅当a=b=1时
【例4】 已知四边形ABCD
为矩形且AB≠BC, PA⊥平面ABCD, 连接
AC,BD,PB,PC,PD, 则以下各组向量中,数量
积不为零的是 ( )
A． B.
C. D. 例4题图
【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.
同理,C. ∵PA⊥平面ABCD, ∴，排除D，选A.
【点评】 可用反证法证明不垂直, 假定.∵PA⊥平面ABCD, ∴, 四边形ABCD是正方形, 这与题设AB≠BC矛盾.
●对应训练
1.若f (x)sinx是周期为π的偶函数，则f (x)可以是①sinx, ②cosx， ③cotx， ④tan中的( )
A.①② B.①④ C.③④ D.①
2.下列五个命题：①|a|=a2; ②; ③(a·b)2=a2·b2; ④(a- b)2=a2-2ab+b2; ⑤若a·b=0,则a=0或b=0.其中正确命题的序号是 （ ）
A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤
3.已知等比数列{an}的公比为q,下列命题正确的是 （ ）
A.若q>1, 则{an}为递增数列 B.若0
●参考答案
1.D【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①.
设F(x)= f (x)sinx， 如果f (x)=sinx，则F(x)=sin2x=(1-cos2x).
∵cos2x(从而F(x))是周期为π的偶函数，∴f (x)可以是①，否定C(无须检验③)，如果f (x)= cosx，则F(x)=sinxcosx=sin2x是周期为π的奇函数，与要求不符，否定A；如果f (x)=tan=，则F(x)=1-cosx是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x)仅可以是①, 选D．
【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.
2.B利用向量运算的性质. ∵a与b共线，其夹角为0.∴a2=a·a=|a||a|cos0=|a|2.①正确排除D；设a, b夹角为θ. 则而向量运算中不含除法运算，，②不能成立，排除A；若a⊥b，且a≠ b，则(a·b)2=0而a2·b2≠0, ∴③不能成立，排除C.
3.D选用特殊值取. q=2>1时，a1=-1<0, 则{an}为递减数列，排除A；当0
●计名释义
一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.
等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.
数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？
●典例示范
图中，BC1和DB1分别
是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1
的一条面对角线和体对角线. 例题图
试求它们的距离.
【解答】 连A1C1、C1B和BA1.
得边长为的正三角形A1C1B.
易知，体对角线DB1过△A1C1B
的中心G. 易得GB=GC1.
再作BC1的中点H. 猜想
GH是DB1和BC1的公垂线，
为此只须证明HG⊥DB1.
易知GB1=，HB1=
GH=·· 例题解图
因为 所以GH⊥GB1 即GH⊥DB1.
【说明】 此处证GH⊥DB1就是我们的“望蜀”，其实DB1⊥面A1BC1，而GH是面A1BC1中的线段，当然GH⊥DB1，由此我们“得陇”.
【续解】 故HG是BG与DB1的公垂线.且长度为它们的距离.
【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.
●对应训练
1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,其中a，b，c是非零平面向量，且a与b不共线，则该方（ ）A可能有无数多个实数解 B至多有两个实数解
C至少有一个实数解 D至多有一个实数解
2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A、B、C、D，使得AB=CD=8cm，AC=BD=10cm，AD=BC=13cm.
●参考答案
1.D 由于a与b不共线，所以可设c=ma+nb (其中m，n∈R)，代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx+(ma+nb)=0，即（x2+m) a+(x+n) b=0,又a与b不共线，故有
即 显然，当m>0时，原方程无实数解；当n2=-m≥0时，有一个实数解.故应选D.
【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误.对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.
2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论.
在空间中，分别以8、10、13为边长，
作如图所示平面四边形，它由△ABC和△BCD
组成，公共边为BC=13cm，AC=BD=10cm，
AB=CD=8cm，固定△ABC所在的平面，
令△BCD绕着边BC旋转.显然当D位于 第2题解图
△ABC所在的平面时，AD最大.由BC=13cm，AC=10cm，AB=8cm，可得cos∠BAC=-,即可知∠BAC是钝角，故对于平行四边形（即D在平面ABC内时）ABDC，对角线AD的长小于对角线BC的长，即AD
第16计 摆渡开门 萍水相逢
●计名释义
有道数学题，求证π>. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.
因为π>3，又3>，所以π>.
这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等.
●典例示范
【例1】 已知曲线C ：，求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C1的方程.
【分析】 一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P（x, y)是C1上的动点；（2）求出P（x, y)关于直线x-y+1=0的对称点Q（x′, y′)， (3)将Q点坐标代入C的方程；（4）用x，y表示x′，y′，即得C1的方程.
此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.
【解答】 由x-y+1=0得 代入C的方程得
即得C1的方程得
【点评】 对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线，现在拿来充当替代式，成了名符其实第三者“摆渡”.
【例2】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.
【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：
设AB中点为M(x,y)，那么:，
有:
∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =（1+4x2）（x1-x2）2 =（1+4x2）［（x1+x2)2-4x1x2］
=（1+4x2）［4x2-4（2x2-y）］
已知|AB|=2. ∴（1+4x2)（y-x2)=1所求点M的轨迹方程为：y=x2+
【点评】 本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.
【例3】 椭圆(a>b>0)的右准线是x=1，倾斜角为α=的直线l交椭圆于A、B两点，已知AB的中点为M.
（1）求椭圆的方程；
（2）若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2=的两点，求证：|kOP·kOQ|为定值.
【分析】 按常规，应设直线的斜截式方程，并代入椭圆方程，用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求，可这种方法计算量仍然太大.
请欣赏如下解法：
【解】 （1）椭圆的右准线为x=1，即∴a2=c，b2= a2-c2 = c-c2.
所求椭圆应为： 也就是 (1-c)x2+y2= c（1-c） ①
设弦AB的两端分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:
∵kAB=，又AB中点为M，∴x1+x2=-1，y1+y2=
以上全代入②：1=, ∴1-c=，c=，代入①：x2+y2=
所求椭圆方程为：2x2+4y2=1.
（2）由（1）知椭圆方程：2x2+4y2=1. 设P、Q的坐标依次为（x1，y1），(x2，y2).
有：③
∴|OP|2+|OQ|2=, ∴(x+y)+(x+y)= ④
③代入④：x+x+-（x+x）=,
∴x+x=.
∵
故|kOP·kOQ|=为定值.
【点评】 本解的优点是：
1.为确定椭圆方程，须求两个参数a与b，这里先由准线的条件归为只须求一个参数c；
2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值，都需要利用弦AB或PQ的端点，这里只是抽象的设定而并不真的去求它，在解题过程中都自然地逐一消失，使“设而不求”的技术达到最佳效果.
【例4】 设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程;
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
【分析】 （1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”；（2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.
【解答】 （1）∵点N（1，3）在椭圆3x2+y2=λ内，
∴3·12+32<λ，即λ>12，∴λ∈（12，+∞）.
设AB两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：
（1）-（2）：3（x1-x2）（x1+x2）
+（y1-y2）（y1+y2）=0 （3）
∵N(1，3)是线段AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6. 代入（3）： 例4题解图
6（x1-x2）+6（y1-y2）=0，于是kAB=，故直线AB的方程为：y-3= -（x-1），即x+y-4=0.
（2）解法1：CD为AB的垂直平分线，且kAB=-1，∴kCD=1，直线CD：y-3=1·（x-1），即x-y+2=0.直线AB的参数方程方程是：
∴代入椭圆方程得：，即2t2+12-λ=0.（由（1）知λ>12），设此方程之二根为tA，tB，则tA·tB =
直线CD的参数方程方程是：
代入椭圆方程得：，即2t2-6t+12-λ=0.
设此方程之二根为tC ，tD ，则tC·tD=
由（4），（5）知|tA·tB|=|tC·tD|，也就是│AN│·│BN│=│CN│·│DN│，这就是说，存在λ>12，使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.
【小结】 按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要“求”出最后的结果的.这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”.
从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少.因此需要做到:（1）凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;（2）“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.（3）“设而不求”的思想还可以应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.
●对应训练
1.长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.
2.求过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点，且和直线x+3y-4=0相切的圆的方程.
3.已知直线y=-x+1与椭圆(a>b>0)交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.（1）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程.
4.已知，(a>0，a≠1，x>0)，判断f (x)的单调性，并证明你的结论.
5.如图,已知直线l：x-ny=0（n∈N)，
圆M：(x+1)2+(y+1)2 =1,
抛物线φ：y=(x-1)2，
l交M于A、B，
交φ于C、D，
求 第5题图
●参考答案
1.无须设直线的点斜式解方程组.设A(x1，y1)，B (x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：
设AB中点为M(x，y)，那么:
有:
∴|AB| 2=（x1-x2）2+（y1-y2）2 =（1+4x2 )（x1-x2)2
=（1+4x2)［（x1+x2)2-4x1x2］
=（1+4x2)［4x2-4（2x2-y)］
已知|AB|=2. ∴（1+4x2）（y-x2）=1 所求点M的轨迹方程为：y=
2.无须求直线与圆的交点.设所求圆的方程为：x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0.
即x2+y2+（λ-2）x+2λy-3λ=0 ①
此圆的圆心为D
半径R=
∵直线x+3y-4=0与圆相切.
∴
化简得：λ2-4λ+4=0,∴λ=2.
代入①：x2+y2+4y-6=0 ②
②即为所求圆的方程.
3.无须先求直线与椭圆交点的坐标.
由
得AB中点为M,
∵点M在直线x-2y=0上，∴a2=2b2. 即 a2=2(a2-c2)，∴a2=2c2, e=
容易求得F(c,0)关于直线l：x-2y=0的对称点为F′.
代入x2+y2=4，得 c2 = 4，从而a2=2c2=8，b2=c2=4.
则所求椭圆方程为
4.无须先求函数的解析式.
设logax=t，则x= at，（t∈R).原函数式变形为:f (t)=或(x∈R).
∵
这里a≠0，无论a>1或00，故f (x)，从而原函数在其定义域内是增函数.5.无须分别求直线与曲线
的交点再求弦长，
如图，圆心M(-1，-1)到直线
x-ny=0的距离为：
∴|AB| 2=（22= 第5题解图
由
设此方程之二根为xC ，xD，则
|CD|2=（xC - xD)2+(yC - yD)2=
于是：
第17计 化归开门 江山一统
●计名释义
整数乘法有口诀：2×3=6，5×7=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀，那么分数在怎样作乘法呢？，原来是在进行“转化”，变成了分子分母上的整数乘法.
化归思想，连小学生都在用，有一老师问学生：前100个偶数的和为多少？一学生回答：10100.
老师问怎么来的？学生回答：由前100个自然数的和来的：
2+4+…+200=2×（1+2+…+100）=2×5050=10100.
这就是数学解题中的“化归法”，复杂向简单化归，陌生向熟悉化归，未知向已知化归.
●典例示范
【例1】 已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1.求数列的通项公式及前n项和Sn.
【分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换.
【解答】 在递推式an+1=2an+1两边加1，化为(an+1+1)=2(an+1)，数列{an+1}为等比数列，公比q=2. 所以an+1=2n-1(a1+1)，即an=2n-1，且Sn=2n-n-1.
【插语】 本数列的一般形式为：an+1=kan+b(k≠0、1，b≠0)，有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例，分别是k=1，或b=0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得：
设an+1+c=k(an+c)=kan+kcan+1=kan+kc-ckc-c=b，c=
对于上题，b=1，k=2，因此解得c=1.
【点评】 化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是an+1+c=bn+1=kbn.
说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路呢？
【例2】 已知三条抛物线y=x2+4ax-4a+3，y=x2+(a-1)x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一条抛物线与x轴有交点，求实数a的取值范围.
【解答】 解答本题如果从正面入手，将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x轴有交点的三类七种情况加以讨论，过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考，即考虑三条抛物线都不与x轴相交，则只要解下列不等式组：
所以使得原命题成立的实数a的取值范围是a≤
【点评】 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.
已知a，b，c均为正整数，且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c，求的值.
【解答】 因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价，这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0,故
【点评】 将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.
●对应训练
1.空间两条异面直线a，b所成的角为，过不在a,b上的任意一点P作一条直线c，使直线c与直线a,b成相等的角θ，则θ的取值范围为 ( )
A.θ∈Φ B.θ∈{}
C.θ∈［，] D.θ∈［，］
2.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则等于 （ ）
A.2a B. C.4a D.
3.函数f (x)满足:对任意实数x,y都有f (x)+f (y)=，且当x<0时，都有f (x)>0.
求证：
●参考答案
1.解析 若在三维空间考虑该问题，
就显得千头万绪.如右图所示，
过直线b上任意一点A作直线
a′∥a，a′与b确定平面a，
把点P移动到A点，问题便转化 第1题解图
为过A点作一条直线c′与直线a′，b
所成的角均为θ，求θ的取值范围.
易知当直线c′在平面a内时，
直线c′与a′，b所成的角最小为，当c′⊥a时，直线c′与a′，b所成的角最大为，故选D.
2.解析 一般解法是先求出焦点F坐标为（0，)，然后由直线PQ的方程与抛物线的方程联立，求出p，q的值,运算过程繁杂，容易出错.
若把一般性的PQ的直线方程转化为特殊性的方程，即取PQ与x轴平行的方程y=，很快就能选出正确答案C.应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果.
3.证明 易证f (x)为奇函数,且当x>0时都有f (x)<0.先从入手，向题设条件转化:
由于
故有=
再整体处理不等式左端数列的和有
依题意，恒有，则
故原不等式成立.
点评 本题融函数、数列、不等式为一体，正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化.
第18计 转换开门 亦必亦充
●计名释义
转换是化归的实施.化归重在理念，转换重在操作.
转换是寻找“替身”，由彼及此，“彼”得对“此”全盘负责.因此，转换前面经常冠以“等价”二字，即“等价转换”.
从“条件”的角度看问题，转换是在寻找解决问题的充要条件，而化归有时在寻找解决问题的充分条件，甚至是探究中的必要条件.
●典例示范
【例1】 设01.【分析】 n=1时，结果显然.在由k到k+1时，关键在如何利用递推式.
【解答】 （i)n=1时，a1=1+a>1，命题真;
(ii)假设n=k时，命题真，即ak>1. 对n=k+1，欲使ak+1>1，只须ak+1=
【插语】 因为ak>1，所以<1，由递推式ak+1=+a推不出ak+1>1来，因此，问题向何处转化，得另寻对象.
递推式中，ak出现在分母上，要得到ak+1成立必须找ak的取值范围.
【续解】 欲使ak+1=+a>1,必须且只须对一切n∈N+, 都有ak<
【插语】 以下问题转化为用数学归纳法证明1
因为1-a2<1(1+a)(1-a)<11+a< 所以+a<1+a<，即ak+1<
由（i)(ii)可知，对一切n∈N+，都有1
【例2】 在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A.第一 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】 =.这里都是负数，故复数对应的点位于第三象限，选C.
【点评】 本解实施由复数向实数的转换.
【例3】 设f (x)=log3(x+6)的反函数为f -1(x)，若［f -1(m)+6］［f -1(n)+6］=27， 则f(m+n)= .【解答】 由f (x)=log3(x+6)f -1(x)=3x-6.∴［f -1(m)+6］［f -1(n)+6］=273m·3n=33m+n=3.∴f(m+n)=log3(3+6)=2.
【点评】 本解实施函数与其反函数之间的互相转换.
【例4】 定义在R上的函数f (x)的图象关于点（，0）对称，且满足f (x)= -f (x+)，f (1)=1，f (0)=-2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2006)的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】 由f (x)= -f (x+)f (x+3)= f［(x+）+］=-f (x+)=f (x)知f (x)是最小正周期T=3的周期函数；由f (x)的图象关于点（，0）对称，知（x,y）的对称点是（--x，-y）.也就是若y=f (x)，则必-y=f (--x)，或y=-f (--x). 而已知f (x)=-f (x+)，故f (--x)= f (x+),今以x代x+，得f (-x)= f (x)，故知f (x)又是R上的偶函数.于是有：f (1)=f (-1)=1；f (2)= f (2-3)=f (-1)=1；f (3)= f (0+3)= f (0)=-2;
∴f (1)+f (2)+f (3)=0，以下，这个数列每3项之和为0. 而2006=3×668+2，于是f (2006)=0×668+f (1)+f (2)=2，故选A.
【点评】 本解实施的是由繁向简的转换.
【例5】 对于函数f (x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：①f (x1+x2)= f (x1)·f (x2)；②f (x1· x2) =f (x1)+f (x2)；③>0；④<，当f (x)=lgx时，以上结论中正确结论的序号是 .
【解答】 取x1=10，x2=100， 那么lg(10+100)=lg110，而lg10×lg100=2，知①不成立；lg(10×100)=lg1000=3，而lg10+lg100=1+2=3，知②成立；>0显然成立，③正确；lg=lg55=lg，，则④不成立.
综上，只有②③成立.
【点评】 本解实施的是虚实转换.使用特殊值使这种转换更为简洁直观.
●对应训练
1.函数y=(x≠kπ；k∈Z)的值域是 ( )
A.［2，+∞） B.（1，2］ C.（0，4］ D. ［4，＋∞）
2.若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ( )
A.4005 B.4006 C.4007 D.4008
3.设复数z满足=i，则|1+z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
4.在棱长为１的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去８个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D.
5.若双曲线2x2-y2=k(k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= ( )
A.1 B.4 C.6 D.8
●参考答案
1.D 令u=sin2x，则0
∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数（第一个负数），且|a2003|>|a2004|,
∵在等差数列{an}中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=>0.
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4006.
3.C 利用合分比性质，由，解得z=-i， ∴|1+z|=|1-i|=.
4.B 设每个三棱锥的体积为V′，则剩下的凸多面体的体积是
V=1-8，V′= ∴V=1-8V′=1-×8=
5.C 双曲线为，a2=，b2=k，∴c2=a2+b2=，由条件：c-=2，即=2. ∴b2=2c，得：k=2· ∴k2=6k，k>0，∴k=6.
第19计 模式开门 请君入瓮
●计名释义
数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.
如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.
数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.
第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.
典例示范
【例1】 实数x，y满足x2+(y-1)2=1，则使不等式x+y+c≥0恒成立的实数c的取值范围是 （ ）
A.［-1，-1］ B.［-1，+∞)
C.( +1，-1) D.(-∞，-1)
【分析】 容易看出：x2+(y-1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c≥0表示直线y=-x-c即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x，y）既在直线y=-x-c上方，又在圆x2+(y-1)2=1上运动时，实数c应满足什么条件？
【解答】 如图，斜率为-1的直线
y=-x-c切圆x2+(y-1)2=1于A，B，
交y轴于M，N.连AB，
则AB过圆心C（1，0）.
等腰直角三角形MCB中，∣CB∣=1，
∴∣CM∣=，设M（0，-c），
必-c=1-，得M（0，1-）.
当且仅当-c≤1-时，圆x2+(y-1)2=1 例1题解图
上的点在直线y=-x-c上或其上方.于是c≥-1，选B.
【例2】 正数x，y，z满足方程组，则xy+2yz+3xz的值是 .
【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.
【解答】 将原方程组改写如下：，
构造如图的直角三角形ABC，使AB=5，
AC=4，BC=3.又在△ABC内取一点P，
使∠APB=150°，∠APC=120°，
∠BPC=90°.显然符合题设条件.
∵S△APB+S△BPC+S△CPA=S△ABC，
而S△APB=x·y·sin150=xy，
S△APC=xz·sin120°=xz， 例2题解图
S△BPC =z·y=yz，S△ABC=6.∴xy+xz+yz=6，
∴xy+2yz+3xz=24.
【例3】 某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=.
(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的
25％，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p的取值范围.
(Ⅲ)当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p最高时，问原有道路标段为多少个？
【解答】 （Ⅰ）新建x个标段，则应建n=ax+b个道口，建x个标段需kx万元，建（ax+b）个道口需
y=kβ(ax+b)(万元).
(Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］,
∴0.05≤≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,
又p==.
∵p>0,β>0，∴>0，当β∈［4,9］时，∈［，］，所求p的范围是：
.
(Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大，
故β=9，又b=4.
∴p=，当且仅当a=. a>0，即a=4时，造价比p=为最高.∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.
【点评】 本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.
【例4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小?
【思考】 此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来.
【解答】 设扇形OAB的半径为R，中心角为2α.
(1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，
则S□CDEF ＝DE·EF=Rsinθ··［cos2(α-θ)-cos2α］
当2(α-θ)=0，即θ=α时，S□CDEF有最大值tanα.
（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF＝OE＝Rcosθ，
则S□CDEO=DE· EF=Rsinθ·Rcosθ=sin2θ，当2θ=即θ==α，S□CDEO有最大值.
(3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF为扇形的内接矩形，取的中点M，连结OM，则∠BOM=α,∠DEO=π-α，令∠DOM=θ，则矩形面积S=CD·DE=2R·sinθ［cos (2θ-α)-cosα］，当cos(2θ-α)=1.
即θ=时，Smax=.
此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF，再沿其周界切开即可.
例4题解图
●对应训练
1.已知a
3.设n是大于1的自然数，求证：
4.若a，b≠0，且a2+b2=1，求证：
5.α,β,γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，求证：tanαtanβtanγ≤
6.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（百台）.
(1)把利润l表示为产量x的函数L (x);
(2)年产量为多少时，企业所得利润得大？
（3）年产量为多少时，企业才不会亏本？
7.在边长为5cm，6cm，7cm的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论
●参考答案
1．原题即证：a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2<0或a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)<0.
设f (a)=a2(b-c)+a (c2-b2)+bc (b-c) (a
∴f (a)的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x=，而>b>a，函数在上递增，∴f (a)
设有A(a,b)，B(c,d)两点，
连接AO，OB，显然
|OA|+|OB|≥|AB|(当A、O、B
共线时等式成立).
∴ 第2题解图
若将点B的坐标改为 (-c,-d)，则有：
.
3设,
即, 则.
两式相乘：A2>2n+1，∴A=2.
即 .
4.在坐标平面内设有两点A(a，b),B，
则|AB|=
设过A的直线l：ax+by-1=0.
∵a·a+b·b-1=a2+b2-1=0,
∴点A(a，b)符合条件a2+b2=1.
作BC⊥l于C，则|AB|≥|BC|
（当直线l⊥AB时等式成立）.
∵|BC|= 第4题解图
∴≥3. 即≥9.
5如图所示，设长方体的长、宽、高
分别为a，b，c，连接BD1，设∠BD1B1=α,
∠BD1A=β，∠BD1C=γ.
∵BD1=，B1D1=,
AD1=,
CD1=，∴满足
cos2α+cos2β+cos2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图
于是tanα·tanβ·tanγ=
≤
故tanα·tanβ·tanγ≤
6.（1）年产量在500台以内（即0≤x≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x>5）.只能售出500台，x(百台)的生产成本为C(x)=0.25x+0.5(万元).
故利润函数L(x)=R(x)-C(x).
当0≤x≤5时，L(x)=(5x-x2)-(0.25x+0.5)= -x2+4.75x-0.5.
当x>5时，由于只能售出500台，∴L(x)=(5×5-×52)-(0.5+0.25x)=12-0.25x.
于是.
(2)为使利润最大，须求L(x)的最大值，显然x>5时不可取（会造成积压）.
当0≤x≤5时，∵L′(x)=-x+4.75，命L′(x)=0，得x=4.75，L(x)的图像为开口向下的抛物线，∴当x=4.75时，［L(x)］max==10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大.
(3)为使企业不亏本，必须L(x)≥0.显然，0≤x≤5时，应使-x2+4.75x-0.5≥0.
即2x2-19x+2≤0，解得0.11≤x≤14，综合得：0.11≤x≤5.
x>5时，应使12-0.25x≥0，得5
7.可以办到.如图所示，证明如下：
设△ABC内切圆半径为r，则
S△ABC=(5+6+7)r=9r ①
∵cosB= 第7题解图
∴sinB=
∴S△ABC=·5·6·=6（cm2） ②
比较①，②：9r=6得r=（cm），于是S⊙O==8（cm）2.
第20计 讨论开门 防漏防重
●计名释义
为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”.分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.
分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使:
①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.
分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.
●典例示范
【例1】 已知a∈R，函数f (x)=x2|x-a|.
(1)当a=2时，求使f (x)=x成立的x的集合；（2）求函数y=f (x)在区间［1，2］上的最小值.
【分析】 (1)只需分两种情况讨论；（2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.
【解答】 (1)当a=2时，f (x)=x2|x-2|=
当f (x)=x时，即x2(x-2)=x (x≥2)或x2(2-x)=x (x<2)x3-2x2-x=0，x(x2-2x-1)=0,
x1=0(舍去），x2=1-(舍去），x3=1+.
当x2(2-x)=x时，∴x3-2x2+x=0，x(x2-2x+1)=0，x=0或x=1.
综上所述：a=2时，f (x)=x成立的x的集合为{0，1，1+}.
(2)f (x)= 若a≤1时，即a<1≤x≤2，f (x)=x3-ax2.
∴f ′(x)=3x2-2ax=0，∴x1=0，x2=a ∵1≤x≤2，∴a
f ′(x)>0，即f (x)在［1，2］内为增函数. ∴f (1)=1-a，f (2)=8-4a. ∴f (x)min=1-a.
若a∈(1，2)，即f (x)=
当1≤x≤a时，f (x)=-3x2+2ax=0，x1=0，x2=a.
若a<时，1≤x
当a≤x≤2时，f ′(x)=3x2-2ax=0，x1=0，x2=a. 当x∈［a，2］，f ′(x)>0.
∴f (x)在［a，2］上为增函数. ∴f (x)min=0.
当a>2时，x∈［1，2］. f (x)=x2(a-x)= ax2-x3.
∴f ′(x)=2ax-3x2=0. ∴x1=0，x2=a
若
∴f (x)min为a-1，4a-8中的较小数. 即2
综上所述，a≤1时，f (x)min=1-a,
a∈(1，2)时，f(x)min=0, a∈(2，)时，f (x)min= 4a-8;
a∈［，3］时，f (x)min=a-1; a∈(3，+∞)时，f （x）min=a-1.
【点评】 本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x的取值进行讨论，第（2）问中对a的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在.
【例2】 设f (x)=g(x)-h(x)，其中g(x)=2x3++5，h(x)=(3a+3)x2-12a(1-a)x+.
(1)若x>0，试运用导数的定义求g′(x);
(2)若a>0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x)的单调递增区间与单调递减区间.
【解答】 （1）g′(x)= =
=.
(2)由f (x)=g(x)-h (x)=2x3-(3a+3)x2+12a(1-a)x+5得f′(x)=6x2-(6a+6)x+12a(1-a)=6(x-2a)(x-1+a),令f′(x)=0得x=2a或x=1-a.
①当0
③当1≤a<3时，1-a≤0<2a<6，于是函数f (x)在［0，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增；
④当a≥3时，1-a<0<6≤2a，于是函数f (x)在［0，6］上单调递减.
【点评】 本题中对a的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.
●对应训练
1.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定:当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是
A27 B26 C9 D8
2.若数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则等于 （ ）
A B C D
3. 如图，已知一条线段AB，
它的两个端点分别在直
二面角α-l-β的两个面内转动，
若AB和平面α、β所成的角分别
为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围.
第3题图
●参考答案
1.A 由于A={a1，a2，a3}=A1∪A2，以A1为标准分类.
A1是，则A2={a1，a2，a3}，这种分拆仅一种，即C·C=1;
如A1为单元素集，有C种可能,对其中每一种，例如A1={a1}，由于必有a1，a3∈A2，且a1∈A2或a1A2都符合条件. 这种分拆有C·C=6种.
如A1为双元素集，有C种可能,对其中每一种，不妨设A1={a1，a2}，则必a3∈A2，此外对a1，a2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有C·4=12种.
若A1为三元素集，则A2可以是{a1，a2，a3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.
2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n分奇数、偶数两种情况进行讨论.
解析：根据题意，得an=
∴{a2n-1}是首项为，公比为的等比数列，{a2n}是首项为，公比为的等比数列.
∴
= 故选C.
点悟：解分类讨论问题的一般步骤为：
（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；
（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
（4）归纳总结：将各类情况总结归纳.
3.分析：由于AB于l的位置关系不定，故需分类讨论.
解：（1）当AB⊥l时，显然θ1+θ2=90°.
（2）当AB与l不垂直时，在平面α内作AC⊥l，垂足为C，连结BC.
∵平面α⊥平面β，∴AC⊥平面β. ∴∠ABC是AB与平面β成的角，即∠ABC=θ2.
在平面β内作BD⊥l，垂足为D，连结AD. 同理可得∠BAD=θ1.
在Rt△BDA和Rt△ACB中，∵BD
（3）若线段AB在直线l上，则θ1+θ2=0°. 综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°.
点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.
第21计 图表开门 信息传送
●计名释义
图表也是一种数学语言.这种语言以图形和表格的形式传送信息，它有立意新颖，设计灵活，构思精巧，内涵丰富，解法多样等特点，因而备受当今命题人的青睐，许多创新题型每每在图表上打主意.
解图表型题目应在读图表，识图表和用图表上找窍点，通过观察找到其中的关键点，有效地实现图表语言到文字语言的转化，从而在思考上引起质的飞跃，从而达到破题的目的.
●典例示范
【例1】 如图，甲、乙两人分别
位于方格中A、B两处，从某一时刻开始
，两人同时以每分钟一格的速度向东或
西或南或北方向行走，已知甲向东、
西行走的概率均为，向南、北行走的
概率分别为和p；
乙向东、西、南、北行走的概率均为q. 例1题图
(1)求p和q的值；
（2）试判断最少几分钟，甲、乙两人可以相遇，并求出最短时间内可以相遇的概率.
【分析】 同时进行两个相互独立事件，因为概率的总和为1，因此有以下解答.
【解答】 （1）甲向四个方向行走是一个必然事件，
∴+++p=1, ∴p=. 同理4q=1，∴q=.
【分析】 甲、乙二人到底在哪儿相遇没有定数，但我们可以看到，甲、乙二人在一个正方形的两个对角顶点上.他们要在最短时间内相遇，他们必须沿着这个正方形的边行走.
【解答】 (2)如解图，
设甲、乙两人在C、D、E处
相遇的概率分别为pC、pD、pE.
【插语】 从图形中来，
回到图形中去，在图上标明
这三点，让我们的思路一目了然，
才会有下面的解答.
【继解】 甲、乙两人最少需要2分钟可以相遇.
【插语】 每人朝对方走2步，
因为他们的速度相同（每分钟都是一格）. 例1题解图
【继解】 则pC=， pD=2，
pE=×=
∴pC+pD+pE= 即所求的概率为.
【评说】 这是一个几何图形信息题，具有多样性、直观性的特征，充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数是解决信息题的关键.
函数f (x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
-80
-24
0
4
0
0
16
60
144
280
则函数y=lg f (x)的定义域为 .
【分析】 所求函数为复合函数，只需f (x)>0即可，但f (x)中含有四个系数a，b，c，d，所以先确定它们的值.
【解答】 设f (x)=a(x+1)(x-1)(x-2)，而f (0)=4，∴a=2.
【插语】 为什么这样设?这来源于表格中y有三个0值点，关键点的选取，使我们的系数一下减少了3个. 此设是本题的一个突破口.
【续解】 ∴f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2).
要使y=lg f (x)有意义，则有f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0,
由数轴标根法解得-12.
∴函数y=lg f (x)的定义域为(-1，1)∪(2，+∞).
【评说】 本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，属开放问题，这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口，这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.
●对应训练
1.甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示.
(1)根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图，推断乙击中8环的概率P（ξ乙＝8），并求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；
（2）根据这次训练比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.
第1题图
2.如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin= .
第2题图
●参考答案
1.（1）由图乙可知P（ξ乙＝7）＝0.2,P(ξ乙＝9）=0.2，P(ξ乙＝10）＝0.35,
∴P(ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.35=0.25.
由图甲可知P（ξ甲＝7）＝0.2，P(ξ甲＝8）=0.15，P(ξ甲＝9）＝0.3,
∴P(ξ甲＝10）＝1－0.2-0.15-0.3=0.35.
∵P(ξ甲≥9)=0.3+0.35=0.65，P(ξ乙≥9)=0.2+0.35=0.55.∴甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率为：
P＝P（ξ甲≥9)×P(ξ乙≥9）=0.65×0.55=0.3575.
(2)∵Eξ甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,
Eξ乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7, ∴Eξ甲>Eξ乙，所以估计甲的水平更高.
【评说】 条形统计图能直观反映各种数据，具有可比性、规律性.理解图形内容,找出变化趋势和规律,是解答条形图信息的关键.
2.从第一图的开始位置变化到第二图时，向量绕点O旋转了(注意绕点O是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量绕点O旋转了，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量绕点O旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量绕点O共旋转了-6π，即θ= -6π，因而sin.
【评说】 本题要仔细阅读题意，分析图形，把握图形与题意的联系，可从简单情形，特殊位置入手，找到变化规律来解决问题.
第22计 数形开门 体美神丰
●计名释义
“有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义.
“凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征.
“遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动.
“图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补.
“观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏.
函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等.
然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在.
这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？
●典例示范
【例1】 若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a>0，a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是 .
【解答】 函数y=|ax-1|=，其图象由y=|ax|（a>0，a≠1）的图象下移一个单位得到.如图，当a>1时，直线y=2a与y=|ax-1|(a>0，a≠1)的图象仅一个交点； 当00，a≠1)的图象有两个公共点，解得a∈(0，).
例1题解图
【评注】 本题也是有数无形，解法是“图形开门，体美神丰”.
当曲线y=1+与y=k(x-2)+4有两个相异交点时，
实数k的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【解答】 方程即y=1+即x2+(y-1)2= 4 (y≥1)，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆；方程y=k(x-2)+4表示过（2，4）且斜率为k的直线.原题的含义是：当直线与半圆有两个相异交点时，该直线的斜率应在什么范围？
如图，直线MB、MC与半圆切于B、C，
半圆的两端依次为A（-2，1）（2，1）.
显然，线段AB内任意一点与M的连线
与半圆都只一个公共点，
∴kmax=kMA=，设直线
MC交直线y=1于N，令
∠DMC=∠DMB=α，∠DNM=β，
例2题解图
显然tanα=，∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α=，
于是斜率k∈，选B.
【反思】 只有准确理解“数”的意义，才能恰当的“图形开门，体美神丰”.
【例3】 设实数(x，y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，则的最小值是 .
【解答】 圆(x-1)2+(y-1)2=1
的圆心C (1,1)，半径r=1. 如图所示，
此圆在第一象限且与两轴相切，
为求的最小值. 先求的最大值.
表示圆上的点（x,y）与定点P（-1，0）连线的斜率. 例3题解图
∴kPA≤≤kPB（其中PA、PB为过P所引圆的切线）. 设∠APC=∠CPB=θ，则tanθ=,
∴tan∠BPA=tan2θ=. ∴ 从而
【例4】 已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当x∈(0，3)时，f (x)的图像如图所示，那么不等式f (x)·cosx<0的解集是 .
【思考】 将f (x)在（-3，3）内的图像补充完整如图所示.
可知：当x∈(-1，0)∪(1，3)时，f(x)>0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx<0，得x∈;
当x∈(-3，-1)∪(0，1)时f (x)<0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx>0，得x∈∪(0,1)
∴f (x)·cosx<0的解集为∪(0,1)∪.
例4题图 例4题解图
【点评】 仅凭图像，无法断定f (x)的解析式，就本题而言，也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x)的正、负区间即足够解题需要，这即是图形的功能.
●对应训练
1.若不等式x2-log ax<0在(0，0.5)内恒成立，则a的取值范围是 （ ）
A.≤a<1 B.01
2.P是抛物线y=x2上任意一点，则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时，P与该抛物线的准线距离是（ ）A. B. C.1 D.2
3.方程的实根共有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若方程=2有实数解，则a的取值范围是 （ ）
A.(-2，0)∪(0，) B.［-2，0)∪(0，］
C.(-2，) D.［-2，］
5.若关于x的方程2log2(x+a)=1+log2x有且仅有一个实数解，试求实数a的取值范围.
●参考答案
1.A 在同一坐标平面内作y1=x2，y2=log ax的图像，如图，
由题意可知必有0y1在（0，0.5）内恒成立，必须且只需P点在A的右边，而P点与A点重合时，a=,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得≤a<1.
第1题解图 第2题解图
2.B 作出y=x2及x+y+2=0的图像如图所示，设与x+y+2=0平行的抛物线切线为L，由图可知，切点P0到x+y+2=0的距离最小，设P0（x0，y0）,则L方程为y=-x+b与抛物线y＝x2联立得：x0=，则y0=x=. 所以P0到抛物线准线y=-的距离为.
3.A 设y1=，
变形得(x-2)2+y=8，∴y1的图像是以（2，0）为圆心，2为半径的上半圆， 设y2=，变形得：(x-1)·(y2+1)=1，y2的图像是以直线x=1，y=-1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根.
第3题解图 第4题解图
4.A 原方程可变形为lg=lg(x-a)，设y=，它表示以原点为圆心，为半径的半圆，如图，设y=x-a(y>0)，它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a的几何意义是射线在x轴上的端点，如图所示，当-2≤a<时，两曲线有交点，又因为x-a≠1，令x=1+a代入方程2-x2-(x-a)2=0，解得a=0或a=-2，所以a≠0且a≠-2，故a∈(-2，0)∪(0，).
5.解析 ∵原方程
∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a=在x>0时有且仅有一个实数解.
问题转化为直线y=x+a与曲线y=(x>0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点，由图像易得a=或a≤0.
点评 本题若用代数方法求解比较繁琐，由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.
第23计 探索开门 智勇双锋
●计名释义
所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.
过河人还需要两大素质：大智大勇！
面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证.
●典例示范
【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足
条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考】 显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.
【解答】 连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1
例1题图 例1题解图
证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1.
【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2
【解答】 由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.
故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.
∵1-2x2≤1<2，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2 ∴1-2x2∈(-∞,2］，1+2x-x2∈(-∞,2］
当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时， 1-2x2<1+2x-x2
即x2+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2
【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为q.
∵a3a4=a1a6, ∴由
即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为an=·2n-1或an=·n-1.
（1）如an=·2n-1，设存在题设要求的m∈N，则2×=
化简得：22m-7·2m-8=02m=8，∴m=3.
（2）如an=·n-1，设存在m∈N,使2·
化简得：4(26-m)2－11·26-m-8=0，这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在. 综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3，数列的通项公式为：
an=·2n-1.
【例4】 将二次函数f (x)=ax2+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b.
(1)求f (x)=x2+2x+1对应的一次函数g (x). （2）观察后请写出这个对应法则.
（3）可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质：当g(x)>0时，对应的f (x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？
（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式.
【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b，知f′(x)=g(x)，可见，只有当
g(x)= f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质.
【解答】 (1)∵a=1，b=2，∴g (x)=2x+2.
（2）①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积；
②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数.
(3)g(x)>0，即2ax+b>0，当a>0时，x>，而x=是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单调增函数；a<0时，x<，f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为.后者单调区间为).
(4)当g(x)<0时，f (x)是单调减函数(请仿照（3）证明之).
(5)g(x)=x时，2ax+b=x，知a=，b=0. 只须在f (x)=ax2+bx+c中，命a=，b=0，c取任意值即可，如f (x)=x2+1，f (x)=x2+，f (x)=x2+5.
【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.
●对应训练
1.已知圆O′过定点A（0，P）(P>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上截得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ.
(1)当O′运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；
（2）求的最大值,并求取得最大值的θ的值.
2.如图所示，已知在矩形ABCD中，
AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面AC，
且PA=1.
(1)问BC边上是否存在Q，
便得PQ⊥QD，并说明理由；
（2）若BC边上有且只有一点Q，
使得PQ⊥QD，求这时二面角
Q—PD—A的大小. 第2题图
3.已知椭圆(a>b>0)的离心率e=，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点距离为.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由.
4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件：
①原点O与直线x=1是它的焦点和准线；
②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.
●参考答案
1.(1)如图所示，设抛物线上一点O′(x0，)，
连结O′A，O′M. 作O′C⊥MN于C，
则|MN|=2|MC|，
∵|O′M|=|O′A|=
∴|MC|= 第1题解图
∴|MN|=2p为定值.
即当O′运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p.
(2)如图所示，有M（x0-p，0），N(x0+p，0)
∴d1= d2=
∴d+d=4p2+2x，d1d2=
∴=
=4
当且仅当x=2p2，即x0=±p，y0=p时等式成立，此时|O′M′|=|O′N′|=p.
∴∠MO′N=90°， ∴△MO′N为等腰直角三角形. ∴θ= 45°.
2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD，∵PA⊥面ABCD，只需满足AQ⊥QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件，从而使问题得到解决.
【解答】 （1）连结AQ，∵PA⊥面ABCD.
∴要使PQ⊥QD，只要AQ⊥QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点.
这就是说，当AD≥2AB，即a≥2，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD.
(2)∵当a>2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点.
当a=2时，只有BC的中点满足条件.
∴AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM.
∵面PAD⊥面ABCD，QM⊥AD，∴QM⊥面PAD.过M作MN⊥PD于N，连结NQ.
根据三垂线定理有，QN⊥PD. ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角.
在Rt△QMN中，QM=1，MN=MD·sin∠MDN=1×. ∴tan∠MNQ=.
∴二面角Q—PD—A为arctan.
3.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a、b的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k值则存在，反之，则不存在.
【解答】 （Ⅰ）e=，∴，∴a2=3b2，即a=b.
过A（0,-b），B (a,0)的直线为.
把a=b代入，即x-y-b=0,
又由已知，解得b=1，∴a=.
(Ⅱ)设C(x1，y1)，D（x2，y2）.
由消去y， 得(1+3k2)x2+12kx+9=0.
必须 1+3k2≠0且Δ=（12k）2-36(1+3k2)>0 ∴k<-1或k>1 ①
要存在k满足①且使, 即x1x2+x1+x2+1+y1y2=0. ②
∵y1=kx1+2，y2=kx2+2
∴②式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 ③
∵x1+x2=，代入③得9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0.
∴k=满足①式.∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是.
4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得：.
化简为：(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0
将弦所在直线y=x+b代入得：(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0
设弦AB的两端点A(x1，y1)B (x2，y2)，AB中点M（x0，y0）则
x1+x2=，x1x2=，x0=
即y0=x0+b=+b，代入x+y=0，得b=-2.
从而x1+x2=2，x1·x2=弦长|AB|=
解得e=2符合题意,
所以存在双曲线方程：3x2-y2-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线.
第24计 杠杆开门 以轻拨重
●计名释义
派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找.
其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力.
支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，……，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！
●典例示范
【例1】 正四面体的高线长为4，求其外接球的体积.
【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆，要“扛”的东西就来了.线段AB的重心在其中点M点.如果A，B处各放1个质点，则其点M会聚了2个质点.正三角形ABC的重心在它的中线CM上，C点放1个质点，中点M处有2个质点，故重心G会聚了3个质点，按杠杆原理，CG=2GM.
至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？
【解答】 设正四面体的顶点为V，底面中心为G，四面体中心为O. 由杠杆原理，O在GV的第1个四等分点上，即VO=3OG.
因此，正四面体的外半径R=h=3.
故正四面体体积为πR3=36π.
【点评】 如果派大力士去解此题，他将是：①先解2个直角三角形求得“斜高”；②用列方程求外半径.精力过剩者，这当然是一种乐趣.
直线l左移3个单位，再上移1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的斜率是（ ）
A. B.-3 C. D.3
【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O（0，0）左移3个单位，上移1个单位得M（-3，1）.
于是k+l=kOM=.选A.
【点评】 两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨重之目的,即是最实惠的选择.
【例3】 若函数f (x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f (x)= ( )
A.10-x-1 B.10x-1 C.1-10-x D.1-10x
【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y=lg(x+1)的图象上取一点A（9，1），将OA绕原点逆时针旋转90°得B（-1，9），代入各选项，仅A适合，∴选A.
【点评】 函数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到A（9，1），（经过旋转则得B（-1，9））这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确的答案，这难道不痛快淋漓的吗？
【例4】 如图（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是 （ ）
例4题图
A. B.5 C.6 D.
【思考】 用特殊图形.如图（2）所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2.连AF、DF.则EF⊥面ADE.
∵VF—ADE=·EF·S△ADE=×3×2=.
VF—ABCD=·DE·S□ABCD=·2·32=6.∴V多面体=+6=.选D.
【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不算经典道理吗？
●对应训练
1.动点A在双曲线=1上，B、C为双曲线的左、右焦点，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边a,b,c满足a=10，c-b=6，则tancot的值是 （ ）
A. B. C. D.1
2.已知02
3.设{an}是公比为a,首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的n∈N+，点（Sn，
Sn+1） ( )
A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上
C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上
4.函数y=x+sin |x|,x∈［-π,π］的大致图像是 （ ）
第4题图
●参考答案
1.A 取特殊图形.BC=10双曲线
焦点为B（-5,0）,C(5,0)
c-b=62m=6,
∴m=3,n=4，双曲线方程为：=1,
离心率e=.
取特殊位置AC⊥BC，则有A,
∴AC=,从而AB=,
cos B=,sin B=，而C＝90°. 第1题解图
∴tan cot =·cot 45°=.
2.D 取特殊值.x=,y=,a=,满足0
3.D 取特殊值.取a=2,b=1,则Sn==2n-1.各选项依次为：
A.y=2x-1 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=2x+1
取点（S2，S3）=(3，7)，代入各选项，仅D适合.
4.C 取图形上的特殊点.令x=-，则y=-+1，点应位于直线y=x上方，排除A、B、D.
第25计 函数开门 以静显动
●计名释义
函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量（动数）的个数较多时，我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止（常数或参数），例如，考虑二次函数y=ax2+bx+c时，是把x,y看作一对互动的变数，而把a,b,c看作“静数”.其实，a,b,c也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数.
●典例示范
【例1】 设双曲线与直线x+y=1相交于两个不同的点A和B，求双曲线离心率的取值范围.
【分析】 求取值范围就是求离心率e的值域.为此，我们要寻求e的函数式.
【解答】 按双曲线离心率的关系式，有
【插语】 公式e=本来是“静式”，现在让其运动起来，成了函数式f (a).启发我们求函数e=f (a)的定义域，即a的取值范围.
【续解】 由双曲线与直线相交于两点，得方程组
【插语】 我们并非要从这个方程中解得x和y的值，而是要由“方程组有2个解”的条件求出a2的取值范围.
【续解】 消y后整理得
函数e=f (a)=在（0，1）和（1，）上都是减函数，故有f (a)>且f (a)≠.即所求范围是.
【点评】 函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动.
【附录】 以下我们用函数性质讨论a2的取值范围.
由方程组解得：a2=h(x)=.由于≠0,所以a2≠1.因为，所以a2≤2.
由于相交的两点A、B对应着不同的x值，因此a2到x的对应是1对2，因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2.
故有a2<2.
【例2】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.
【解答】 将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).
由方程的特点，我们构造函数f x)=x2003+x，知f (x)是x∈R上的单调递增函数，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3.
【点评】 此题从方程的特点入手，利用函数思想，构造了函数f (x)=x2003+x，把解方程的问题变为讨论函数的性质的问题，巧妙地求出了方程的解.
【例3】 在xOy平面上给定一曲线y2-2x=0.
(Ⅰ)设点A的坐标为(,0)，曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(Ⅱ)设点A的坐标为(a,0)，a∈R，曲线上点到点A的距离的最小值.
【解答】 (Ⅰ)设P(x,y)为曲线上任意一点，y2=2x(x≥0),
|PA|2=，
∴当x=0时，|PA|取得最小值.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线上任意一点,同理有 |PA|2=(x-a)2+y2=［x-(a-1)］2+(2a-1)(x≥0),
①当a≥1时，在x=a-1≥0处，|PA|取得最小值.
②当a<0时，在x=0处，|PA|取得最小值
【点评】 解题方向是建立目标函数，然后转化为以a为自变量的二次函数在闭区间上的最值问题.
【例4】 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用是元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元.经过讨论有两种方案：
（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房一面的边长；
（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）、（2）两种方案哪个更好？
【分析】 通过分析已知条件比较容易想到用函数模型来解此题.以建墙费用为目标函数，再通过讨论函数的最小值来解决问题.
【解答】 设利用旧墙的一面边长为x米，则矩形的另一面边长为米.
（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为元，其余建新墙的费用为:元，
故总费用为:
y=
得: 所以，
当且仅当 即x=12∈(0，14)米时，ymin=35a
(2)若利用旧墙一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，故总费用为：
即
∵但由于x=时，x=<14，x［14,+∞)，因此均值不等式此处失灵.
以下用求导法解决问题：
∵y′=2a（1-）. ∴x>时，y′>0，而14>.
故x∈［14,+∞）时函数y单调增.
∴x=14时，ymin=
综上所述，采用方案（1），利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙的总费用最省，费用为35a元.
【点评】 函数应用题真正的难点在于处理其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段很多，有利用均值不等式；利用函数的单调性；利用导函数；利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有通用、快捷的特点，应是掌握的重点.
●对应训练
1.设a、b、c∈R，且它们的绝对值都不大于1，求证ab+bc+ca+1≥0.
2.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1在左支交于A，B两点,直线l过P(-2,0)和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.
3.某工厂2005年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c（其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
●参考答案
1.分析 构造函数f (a)=ab+bc+ca+1，f (a)是关于a的一次函数，由于a∈［-1,1］，只要证明f (1)≥0且f (-1)≥0，即可证明f (a)≥0.
证明 设f (a)=(b+c)a+bc+1，f (a)是关于a的一次函数.
∵a、b、c∈［-1,1］, ∴f (1)=b+c+bc+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)≥0
f (-1)=-(b+c)+bc+1=b(c-1)+(1-c)=(1-b)(1-c)≥0.
∴f (a)在［-1,1］上恒为非负，即f (a)≥0. ∴ab+bc+ca+1≥0.
点评 本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子结构特征构造出一次函数f (a)，从而由一次函数的图象及性质，使问题得以解决.
2.解析 由消去y得(k2-1)x2+2kx+2=0,
由题意得解得1
由P(-2,0)，M，Q(0,b)三点共线可求得b=.
设f (k)=-2k2+k+2，则f (k)在(1,)上为减函数.
∴，且f(k)≠0.
∴ ∴b<-(2+)或b>2.
点评 通过建立b与k的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定.
3.思考 根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种.其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式.
设y1=f (x)=px2+qx+r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2=g(x)=abx+c.
据已知，得
解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7;
a=-0.8，b=0.5，c=1.4 ∴f (x)=-0.05x2+0.35x+0.7;
g(x)=-0.8×0.5x+1.4. ∴f (4)=1.3，g(4)=1.35,
显然g(4)更接近于1.37，故选用y=0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.
点评 用待定系数法确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键.
第26计 数列开门 前后跟踪
●计名释义
数列是特殊的函数，告诉了自变量是正自然数的函数，因此只要我们应知道这个特殊函数有两种关系式，除通项公式外，还有前后跟踪关系的递推式.高考30年来，数列的难题几乎都出现在递推式中.
●典例示范
【例1】 若数列{an}满足：a1=1，an=+n+an-1， n∈N*，n≥2，求证：an=，n∈N*.
【证明】 在递推式中，分别令n=2，3，4,…，直到n，得到(n-1)个等式：
a2=+2+a1 a3=+3+a2
a4=+4+a3…… an=
将这(n-1)个等式整体相加得
an=++…++2+3+…+n+a1
=.
当n=1时，a1=1,也适合上式，
∴an=，n∈N*
【点评】 这里an与an-1的系数相等（都是1），并且在等号的两旁，因此由递推式得到的（n-1）个等式相加后，很多项可以消去，进而顺利求出an.
由于数列可以看作是正整数n的函数，因此对于以递推关系式出现的问题，常常可以从递推关系式中的n=1，2，3，……入手，得到一系列的等式，通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算，使问题获得解决.递推意识是解数列问题的一种最基本、最重要的意识.
【例2】 设数列{an}的前n项的和Sn=an-×2n+1+,n=1，2，3,……（Ⅰ）求首项a1与通项an；
（Ⅱ）设Tn=，n=1，2，3,……求证：
【解答】 （Ⅰ）a1=S1=a1-，解得a=2.
an+1=Sn+1-Sn=an+1-an-(2n+2-2n+1),∴an+1=4an+2n+1.
这里an的系数是4，无法仿照例1直接用递推法求解.先将已知递推式的两边同除以2n+1得到
若令bn=，则有bn+1=2bn+1 (*)
(*)式就是我们熟知的线性递推式，它可以运用待定系数法求解.
设bn+1+k=2(bn+k)，即bn+1=2bn+k. ∴k=1，故=2(n∈N*)，
即{bn+1}是以b1+1为首项，2为公比的等比数列.
∴bn+1=(b1+1)·2n-1bn=2n-1an=4n-2n.(n∈N*)
（Ⅱ）Sn=an-×2n+1 +=(4n-2n)- ×2n+1 +=(2n+1-1)(2n-1).
Tn=,
∴
【点评】 这里的递推式an+1=4an+2n+1化成bn+1=2bn+1后，形如an+1=Aan+B.
对于an+1=Aan+B：当A=1时，an+1=an+B， 即an+1-an=B，故通项an=a1+(n-1)B；
当A≠1时，an+1+k=Aan+B+k=A,
令k=，则(A-1)k=B，即k=,
∴{an+k}是以a1+k=a1+为首项，公比为A的等比数列.
于是an+k=·An-1，∴an=·An-1 -.
【例3】 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=，Sn=n2an-n(n-1)，n=1,2,……写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2)，并求Sn关于n的表达式.
【解答】 当n≥2时，an=Sn-Sn-1,代入Sn=n2an-n(n-1)中，
得Sn=n2(Sn-Sn-1)-n (n-1), 即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1) (*)
这就是Sn与Sn-1的递推关系式.
将(*)式两边同除以n(n-1)得Sn-Sn-1=1(n≥2).
构造新数列，它是以2S1=2a1=1为首项，1为公差的等差数列.
于是=1+(n-1)×1=n，即Sn=(n≥2).
显然，上式当n=1时也成立.∴Sn=，n∈N*.
【点评】 这里构造新数列，关键在于能将（*）式变形为Sn-Sn-1=1,由此发现递推关系.
高考中许多数列问题，往往是以等比、等差这两类基本数列为背景设计而成的.解决这类问题，常常可以通过构造新数列来实现问题的转化.强化构造意识，有助于创新能力的提高
●对应训练
1.假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并此后每一个月生一对小兔，如果不发生死亡，问一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？
2.对任意函数f (x)，x∈D,可按图所示构造
一个数列发生器，其工作原理如下：
输入数据x0∈D，经数列发生器
输出x1=f (x0);
②若x1D，则数列发生器结束工作；
若x1∈D，则将x1反馈回输入端，
再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去，
现定义f (x)=
若输入x0=则由数列发生器产生数列{xn}, 第2题图
请写出数列{xn}的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列，试求输入的初始数据x0的值；
(3)若输入x0时，产生无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xn
职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3,并用k、n和b表示ak;(不必证明)
(2)证明ak>ak+1(k=1,2,…,n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义.
(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b)，对常数b，当n变化时，求.
●参考答案
1.把第n个月的兔子总数记为f (n)，则f (1)=1，f (2)=1，f (3)=2，f (4)=3，f (5)=5，f (6)=8，f (7)=13,…….考查数列{f (n)}的规律，不难发现，从第三项开始，第一项都是前两项之和：f (3)= f (1)+f (2)；f (4)= f (2)+f (3)；f (5)=f (3)+f (4)；f (6)= f (4)+f (5)；f (7)=f (5)+f (6);…，
f (13)= f (11)+f(12)=89+144=233,所以，一对兔子一年可繁殖成233对.
2.(1)∵ f (x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)
∴ 数列{xn}只有三项：x1=，x2=，x3=-1.
(2)∵ f (x)==x即x2-3x+2=0, ∴ x=1或x=2.
即当x0=1或2时，xn+1==xn
故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2(n∈N)
解不等式x<,
∴ <0，得x<-1或1
综上所述，x1∈(1,2)时，由x1= f (x0),得x0∈(1,2).
点评 本题主要考查函数的基本知识，数列的基本知识，解不等式的基本方法，以及综合运用知识的能力和判断推理能力.本题利用框图形式把函数、数列、不等式等知识点冶为一炉，形式新颖，结构巧妙，富于思考.今后仍有可能出现这种富有创新意识的试题.
3.(1)第1位职工的奖金a1=；第2位职工的奖金a2=；
第3位职工的奖金a3=；……第k位职工的奖金ak=.
(2)ak - ak+1=>0.
此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则.
（3）设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余款，则
f1(b)=，f2(b)=，…，fk(b)=.
得 Pn(b)= fn(b)=， 故 .
点评：本题主要考查数列、不等式、极限的综合运用以及结合职
工福利的实际应用，这正是近年高考命题的热点和重点.
第27计 方程开门 欲擒故纵
●计名释义
数学，顾名思义，是关于数的科学.于是，数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容——函数、方程和不等式都是关于数的内容.
方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题，函数研究的是“从数到象”，而方程相反，研究的是“从象到数（原象）”.
方程解题步骤：（1）设x. 对数（原象x）先作假设；（2）放x. 把这个“假”x放到函数（笼子）中去.(3)关x. 按函数解析式的运算，列出一个等式——方程（笼子关闭）.(4)擒x，解这个方程，把x抓出来.
●典例示范
【例1】 求二项式展开式中的常数项.
【分析】 这是数学运算中的“求值”问题，解决问题的工具是函数和方程式，为了设方程，先得找函数.
【解答】 由二项展开式的通项公式Tr+1=C
【插语】 在n为常数的条件下，这是一个关于r的函数式T（r)=f(r)
【续解】 由此得Tr+1=Cr=…=（-1）rCx
欲Tr+1为常数，只须=0.
【插语】 按“函数值”满足的条件，转入方程.
【续解】 解方程，得r=4.故所求的常数项为T5=(-1)4C=210.
【点评】 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程；“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”.
【例2】 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.
【解答】 令x=sin20°cos70°+sin10°sin50°，构造与之对应的对偶式y=cos20°sin70°+cos10°cos50°,
则x+y=（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)
=sin90°+cos40°=1+cos40° ①
x-y=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+(sin10°sin50°-cos10°cos50°)
=sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°-] ②
①+②得x=，故sin20°cos70°+sin10°sin50°=.
【点评】 构造方程组，利用对偶方程组解决问题，是充分借助方程思想解题的方法之一.
【例3】 已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y=-x相交于P点，一条以A为焦点，M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点P. 设PM的斜率为k，且≤k≤，求实数a的取值范围.
【解答】 由双曲线方程知A(0,1),则抛物线方程为 x2=-4(m-1)(y-m),
由双曲线与直线相交解得点P的坐标为(-a,a)，又因为点P在抛物线上,
∴a2=-4(m-1)(a-m) ①
而MP的斜率为k=，故m=ak+a.
将m=ak+a代入①得a2=-4(ak+a-1) (-ak),
即4ak2+4(a-1)k-a=0 ②
根据题意,方程②在区间[，]上有实根.
令f (k)=4ak2+4(a-1)k-a，则其对称轴方程为 k=<0
∴≤a≤4. ∴实数a的取值范围为［,4］.
【点评】 根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解.
【例4】 （Ⅰ）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p的值；（Ⅱ）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，求证：数列{cn}不是等比数列.
【解答】 （Ⅰ）由题意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列，
∴(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，展开整理得 (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0.
将c1=5，c2=13，c3=35，c4=97代入上式得p2=-5p+6=0，解得p=2或p=3.
而当p=2时,=3; 当p=3时，=2.均适合.
故满足条件的p的值为2或3.
（Ⅱ）假设数列{cn}是等比数列，则c22=c1c3，即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3)，
故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2)，其中q，r分别是{an}，{bn}的公比.
化简整理，得a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0，即(q-r)2=0，解得q=r.
这与题设中两数列公比不相等矛盾，因此数列{cn}不是等比数列.
【点评】 这里选取等比数列的前三项，根据等比中项的意义列方程求出p的值，再验证一般情况.第(Ⅱ)问的反证法中，也是通过构建方程获证.
●对应训练
1.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= .
2.已知椭圆=1(a>b>0)，A,B的椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0,0)，求证：.
3.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
●参考答案
1.分析 本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数性质求解，但可用赋值法构造方程求解.
解：由于f (x)=(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
令x=1得：f (1)=(2-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 ①
令x=-1得f (-1)=［2-(-1)］5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35 ②
两式相加再除以2得：a1+a3+a5=-121.
2.证明 若AB的中点为M,
AB的垂直平分线为l：y=k(x-x0) ①
由于l与x轴相交,因此k≠0，故kAB=.
又kOM·（）=，故kOM =,
∴OM所在直线方程为y=x,代入①得x=k(x-x0).
因此所证的结论变为方程的解在椭圆内的取值范围问题.
故由上述方程解得x=x0. (x为点M的横坐标)
但点M在椭圆=1内部，即-a
3.设等差数列{an}的前n项和Sn=an2+bn.
由S7=7，S15=75，得即解得a=，b=
∴Sn=n2n. ∴.
∴数列是首项为-2，公差为的等差数列.
故Tn=n2 n.
点评 因为等差数列（公差不为0）的前n项和公式是关于n的二次函数，因此可将等差数列的前n项和直接设为Sn=an2+bn的形式，往往能达到化繁为简的目的.
数学破题36计
第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：
1.公式多，变换多，技巧多；
2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；
3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.
●典例示范
【例1】 设a,b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是 （ ）
A.-2 B. C.-3 D.
【解答】 a2+2b2=6=1. 设(θ∈［0，2π］)，则
a+b=cosθ+sinθ=3cos(θ-φ)，其中cosφ=，sinφ=，∴a+b≥-3，选C.
【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.
【例2】 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是 .
【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见；
由条件y2=3x-x2.
∴x2+y2=x2+x2+3x=(x-3)2+.
∴当且仅当x=3时，（x2+y2）max =.你能发现这种解法有什么毛病吗？
先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：
3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.
显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是:
∵y2=3x-x2≥0，∴x2-2x≤0. 得x∈［0,2］，而x2+y2=(x-3)2+.
令z=(x-3)2+，则当x≤3时，z为增函数，已求x∈［0,2］，故当x=2时，
zmax =(2-3)2+= 4，即(x2+y2)max= 4.
【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：
(x-1)2+y2=1.
设，则
x2+y2=(1+cosθ)2+sin2θ=cos2θ+2cosθ+(cosθ-2)2+.
由于cosθ∈［-1,1］,故当cosθ=1时，(x2+y2)max =+=4.
此时，x=2，y=0.
【例3】 设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A
、B两点，求AB中点的轨迹方程.
【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),
设过M的直线参数方程为：(t为参数)代入y2=4px：
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)
方程(1)有相异二实根的条件是：
1,
设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2=
设AB之中点为Q(x,y)， ∵t=.
∴，消去θ得：y2=2p(x+p),
∵|cotθ|>1，∴|y|>2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p)(|y|>2p).
【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.
但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：
其中P(x0，y0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0，y0)所连有向线段的数量，若M在P上方则t>0，反之t<0.
【例4】 两圆O1与O2外离，其半径分别为r1，r2，直线AB分别交两圆于
A、C、D、B,且AC=DB，过A，B
的切线交于E，求证：.
【思考】 本例是平面几何题吗?
不是，谁要试图仅用平几知识证明，
肯定难以成功，但若引入三角，则不然.
【解答】 作两圆直径AF，BG，连
CF，DG，命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,
那么AC=2r1sinα，BD=2r2sinβ,
已知AC=BD，∴2r1sinα=2r2sinβ， 例4题图
,
△EAB中，由正弦定理：∴.
【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m千米，B距铁路n千米. 在铁路上要建造两个火车站C与D，并修两条公路AC与BD. A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C，然后用火车运至D，再用汽车运到冶炼厂B（如图所示）A、B在铁路MN上的投影A′、B′距离为l千米.若汽车每小时行u公里，火车每小时行v公里（v>u）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？
【分析】 求的是C、D建的地方，
为了将问题简化，暂不考虑车站D，
设法求出从A经过C到B′所需最短时间.
【解答】 ∵AC=A′C=mtanA,
∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA
∴从A经过C到B′所需时间为 例5题图
t=
由于，，为常数，问题转化为求y=的最小值.
∵y′=，令y′=0,得时，sinA<1.
sinA<时，y′<0,sinA>时，y′>0.
故函数y，从而函数t当sinA=时，取得极小值：
∵sinA=，∴A′C=mtanA=，即车站C距A′为千米，它与l的长短无关.
同理，站D距B′为千米.
【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.
●对应训练
1已知方程x2+xsin2θ- sinθcotθ=0(π<θ<π)之二根为α,β，求使等比数列1,，…前100项之和为零的θ值.
2设实数对(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求的最小值.
3已知圆的方程是x2+y2=1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长.
4△ABC中，已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.
(Ⅰ)证明任意交换A、B、C位置y的值不变；
（Ⅱ）求y的最大值.
5.一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B. 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?
●参考答案
1由条件：,
∴，即等比数列的公比q=2sinθ，∴S100=.
已知S100=0，∴(2sinθ)100=1且2sinθ≠1,于是2sinθ= -1,sinθ=,
∵θ∈(π，π), ∴θ=π.
2圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值，先求的最大值.
如图，表示圆上的点(x,y)与
定点P(-1,0)连线的斜率,PA，PB为
圆C的切线，则，连PC,
设∠BPC=∠APC=θ，则tanθ=, 第2题解图
tan∠BPA=tan2θ=, 即，从而.
3如图所示，有A(1,0),B(-1,0),
⊙方程为x2+y2=1，∴设P(cosθ，sinθ)为
圆上一点，不妨设P在第一象限，
则有Q(-cosθ,sinθ).
∴|PQ|=2cosθ,Rt△PAB中∠PBA=,
∴|BQ|=|PA|=|AB| sin=2sin，
l=2+2cosθ+4sin=2+2(1-2sin2)+4sin=5-4(sin)2, 第3题解图
当且仅当sin=，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，lmax=5，此时
点P的坐标为.
4(Ⅰ)y=2+cos C［cos (A-B) - cosC］
=2+cos C［cos (A-B)+cos (A+B)］=2+2cos Acos Bcos C
此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.
(Ⅱ)y=2-［cos Ccos (A-B)］2 +cos2(A-B),为求y的最大值必须［cosCcos (A-B)］2取得最小而cos2(A-B)取得最大.
∵［cosCcos (A-B) 2≥0，且cos+(A-B)≤当且仅当时以上两条同时成立.
∴ymax =，此时故△ABC为正三角形.
5.解法一:如图所示，设OM=x km，则AM=-x，BM=. 总修建费
S=2（-x）+4
=2++x+3(-x)
=2+（+x）+≥2+2
由+x=,得当x=时，
S取最小值2+2，此时，
AM≈3.3，BM≈1.2.
故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆，
再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时， 第5题解图
总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.
解法二：如图所示，设∠OBM=α(0<α
设t=，则sinα+tcosα=2 ∴ sin(α+φ)=
由及t>0，得t≥， ∴ S≥2+2
将t=代入sinα+tcosα=2，解得α=
∵ 0<
数学破题36计
第29计 向量开门 数形与共
●计名释义
非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.
向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.
●典例示范
【例1】 α,β为锐角，且sinα-sinβ=,cosα-cosβ=，求tan(α-β)之值.
【解答】 如图，设A(cosα,sinα),
B(cosβ,sinβ)为单位圆上两点，
由条件知：0<α<β<.
那么：
=（cosα- cosβ,sinα- sinβ）
=.
∴||=，||=||=1. 例1题解图
△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =.
∴sin(α-β)=,tan(α-β)=.
【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量
模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.
【例2】 设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤
【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|·|n|=
∵m·n=|m|·ncos（m,n）≤|m|·|n|. ∴ac+bd≤.
【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几
何中又能起作用吗?
【例3】 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC1之长为 .
【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事?
向量的数量积公式可以保驾护航.
对！走向量法解题的道路.
【解答】 如图所示，
∴
=
=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6
∴||=. 例2题解图
【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是||2=的运用奇妙.注意：与所成角等于与所成角，是60°而不是120°.
●对应训练
1如图,在棱长为a的正方体
ABCD—A′B′C′D′中，E、F
分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，
求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图
2已知a,b∈R+，且a≠b，求证：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4).
3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上.
●参考答案
1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设=x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a).
∵·=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，
∴⊥.
(2)VB′—BEF=S△EEF·||=·(a-x)·x·a
=a(a-x)·x≤a·，
当且仅当a-x=a，即x=时,
(VB′—BEF)max =，
此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD.
设垂足为M，连B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1题图
由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角,
设为θ,∵||= ∴tanθ=.
即θ=arctan2，则二面角B′—EF—B的大小为arctan2.
2设m=(a,b)，n=(a2,b2), ∵m·n≤|m|·|n|.
∴a3+b3≤，即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4).
3如图,设A(x1,)，B(x2,),
C(x3，)，△ABC的垂心为H(x0，y0),
则,
, 第3题解图
∵,∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0-·.
∵x1≠x2，∴x0-x3.
∴x0+ (1)
同理：x0+.
∴x2-x1=y0.
∵x1≠x2，∴y0=-x1x2x3，代入 (1)：x0-=x3=0,
∴x0y0=1，即H(x0，y0)在双曲线xy=1上.
数学破题36计
第30计 统计开门 存异求同
●计名释义
甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统.
甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.
甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.
甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!
●典例示范
【例1】 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求：
（1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【分析】 本题告诉了y与x间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.
注：设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数．
相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.
解：（1）列表如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3．8
5．5
6．5
7．0
xiyi
4．4
11．4
22．0
32．5
42．0
x
4
9
16
25
36
于是b=，
a=0.08. ∴线性回归方程为：=bx+a=1.23x+0.08.
（2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38（万元）
即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
【点评】 本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.
【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求：
（1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率；
（2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.
【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次（事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.
【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A，则P（A）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.
∴P3(2) =C(0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.
(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P3（2）+P3(3)=0.441+C0.73=0.784.
【点评】 用独立重复试验的概率公式Pn(k)=C·Pk·(1-p)n-k来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A发生的概率P；③利用公式计算在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.
【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.
【解答】 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
3
P
甲答对试题数ξ的数学期望.
Eξ=0×+1×+2×+3×=
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)= P(B)=
因为事件A、B相互独立,
方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P=1-P（）=1-
方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=P(A·)+P（·B）+P(A·B)=P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=
【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.
●对应训练
1.在袋里装30个小球，其彩球中有n(n≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.
2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)
3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），问车门应设计多高？
4.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：
广告费用（千元）
1．0
4．0
6．0
10．0
14．0
销售额 （千元）
19．0
44．0
40．0
52．0
53．0
现要使销售额达到6万元，则需广告费用为 （保留两位有效数字）.●参考答案
1.取3个小球的方法数为C=4060.
设“3个小球全是红球”为事件A，“3个小球全是蓝球”为事件B，“3个小球全是黄球”为事件C，则P(B)=，P(C)=.
∵A、B、C为互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
即=P(A)++P(A)=0.∴红球的个数≤2，又∵n≥2，故n=2.
记“3个小球至少有一个是红球”为事件D，则为“3个小球没有一个红球”.
P(D)=1-P()=1.
2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元);
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400×0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）.
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）
④若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元)综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.
3.设公共汽车门的设计高度为x cm，由题意，需使P（ξ≥x）＜1%.
∵ξ～N（173，72），∴P（ξ≤x）=Φ（）＞0.99.
查表得＞2.33，∴x＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.
4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程=bx+a，令=6，得x=1.5万元.
答案：1.5万元
点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.
数学破题36计
第31计 解几开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.
●典例示范
【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.
【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为P（1-2a,2）.椭圆中心为(1-a,2)，左准线为y轴.∴-a=0，而e=. ∴=2，有-3a+1=0，a=. 得点P1(,2)；如M（1，2）为左顶点，有P2（1，2），∴P1P2中点为（，2）.
由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′(,2)的椭圆.
【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x0，y0）=F(x+a-c，y)，
∵e=，且左准线为y轴, ∴=0,
得a=x，c==，有：F，由椭圆第二定义：= e=.
∴ ，化简得： ①
(2)椭圆①的长半轴a′=，∴-≤x-≤，得x∈.
原椭圆长半轴为a=x，∴2a=2x∈.故原椭圆长轴最大值为2，最小值为.
【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，其中F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A（-1，2），B（3，2）在双曲线上，（1）求点F2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由.
【思考】 F1（1，0）为定点，∴|AF1|=2=|BF1|为定值，设F2(x，y)，则|F2A|-2=±(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.
【解答】 （1）点F2的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆.(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).
（2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x=1的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由
∴3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.
此方程应有相等二实根，
∴Δ=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.
化简得：m2-2m-11=0,∴m=1±2.
【小结】 探求轨迹，一要注意
其完备性也就是充分性：只要符合
条件的点都适合轨迹方程；二要
注意其纯粹性也就是必要性：只要
适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图
以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.
●对应训练
1.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6,0），另一个焦点F2为动点.
(1)求双曲线中心的轨迹方程;
(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点P的轨迹方程.
3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6，0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
4.已知抛物线C：y2=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一个定点，Q是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值.
●参考答案
1.设F2(x0，y0), ∵O(0,0)在双曲线上,
∴|OF2| - |OF1| =±2，|OF1|=6,
∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ①如|OF2|=4，则x20+y20=16 ②
当O、F1、F2共线时，F1、F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）设双曲线中心为M（x，y）,则
③
③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x≠7)
③代入②：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(x≠5)
(2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF1|=,
如M的轨迹为(x-3)2+y2=16， 则c=
∵-4≤x-3<4，∴-1≤x<7
当x=-1时，cmax=7.
如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5，当x=1时，cmax=5,
于是取c=7，a=1，∴b2=48，又当x=-1时，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F1(6,0),故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2-=1.
2.如图作OA⊥l于A，以直线OA为x轴，
过O且垂直于OA的直线为y轴建立
如图的直角坐标系，设A（a,0），则有
直线l：x=a，设|OQ|=|OP|=d
∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+
设P(x,y)，∵d=，
∴x= d cos (θ+)=(cosθ-sinθ) 第2题解图
=(1-tanθ),
y=dsin(θ+)=(sinθ+cosθ)= (tanθ+).
于是得点P的参数方程：（θ为参数） 消去参数得：x+y=2a.
3.(1)设F2(x0，y0)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF2| - |OF1|=±2，|OF1|=6，∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ①；如|OF2|=4，则x20+y20=16 ②，当O，F1，F2共线时，F1，F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.
设双曲线中心为O′(x，y)，则 ③
③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64, 即 (x-3)2+y2=16 (x≠7).
③代入②：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x≠5).
(2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF1|=,
如M的轨迹为（x-3）2+y2=16,
则c=.
∵-4≤x-3<4, ∴ -1≤x<7,
当x= -1时，cmax =7.
如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则c=.
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5当x=1时，cmax =5.
于是取c=7，a=1. ∴b2=48，又当x= -1时，由(x-3)2+y2=16，得y=0，即双曲线中心为（-1，0），一个焦点为F1（6，0），故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2=1.
4.（1）如图设椭圆中心为O′(x0,0)，
由于左焦点F（1，0），左准线x= -1，
∴x0=c+1，且x0+1=.
∴a2=c(x0-1)=x20-1，
b2=a2-c2=(x20-1) - (x0-1)2=2x0-2，
得椭圆短轴端点B（x0，）. 第4（1）题解图
设FB的中点为P(x，y)，则：
消去x0：y2=x-1(x≥1).
(2)曲线y2=x-1(x≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F（1，0）.
显然当m≤1时，|MQ| min=1-m，即点M（m,0）到抛物线顶点F最近，当m>1时，以M（m,0）为圆心，R为半径的圆的方程为：(x-m)2+y2=R2.(*)
由x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.
命Δ≥0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0, ∴R2≤. (1)
当m≥时，R min=， 即|MQ|的最小值为.
当1
当≤1，即m≤时，|MQ|无最小值；当>1，即m>时，|MQ| min=.笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.
数学破题36计
第32计 立几开门 平面来风
●计名释义
空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.
●典例示范
【例1】 “神舟六号”飞船上
使用一种非常精密的滚球轴承，
如图所示，该滚球轴承的内
外圆的半径分别为1mm、3mm，
则这个轴承里最多可放
滚珠 个. 例1题图
【解答】 6如图，设两滚球P，Q相切
于点T，轴承中心为O，连接OT，
设滚球半径为d，内、外圆半径
分别为r、R，则R=3，d=r=1.
在Rt△OTP中，∠POT=，OP=2，PT=1,
则有sin=，
得α=2×=，即在圆心角为的轨道内， 例1题解图
可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）
时可放的滚珠为=6个.
【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.
【例2】 在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面四边形ABCD边长为3，高为4，在棱C1B1，C1D，CC上分别取一点M、N、L使C1M＝C1N＝1，C1L＝.
(1)求证：对角线AC1⊥面MNL； （2）求四面体D—MNL的体积；
（3）求AM和平面MNL所成夹角的正弦值.
【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC1与LM、LN之一垂直即可;
(2)四面体D—MNL的体积不好求，可退而求四面体C1—MNL的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C1—MNL的体积适当扩大即可；
（3）AM与面MAC1夹角的正弦不好求，可退而求AM、AC1夹角的余弦.
【解答】 （1）如图所示，以D1为原点，直线D1A1，D1C1，D1D分别为x,y，z轴建立空间坐标系，
则有：A（3，0，4），C1（0，3，0）
∴=(-3,3,-4)；L，N(0,2,0),
∴=∵·=0+3-3=0,
∴⊥,根据图形对称性，
同理有⊥，故AC1⊥平面MNL. 例2题解图
(2)四面体D—MNL与C1—MNL同底不等高，设其高分别为h1，h2，连C1D交NL于E.
∵D(0,0,4),
∴=(0,-3,4),且·=(0,-3,4)·=0.
∴⊥，知L、E、D、C在同一个圆上，||·||=||·||,
即·4=||·5.
∴||=，从而||=5-=.
h1∶h2=.
易求VC1－MNL＝·C1M·C1N·C1L=×1×1×，∴VD-MNL==(立方单位).
(3)设AM与平面AC1成θ角，已证AC1⊥平面MNL，∴∠MAC1=90°-θ.
∵M(1,3,0),∴=(-2,3,-4), ·=(-2,3,-4)·(-3,3,-4)=6+9+16=31.
又｜｜=,
｜｜= .
∴cos (90°-θ)=.从而sinθ=，即AM与平面MNL所成角的正弦值为.
【评注】 本题第（2)问另一解法：∵VD-MNL=VM-DNL，而S△DNL易求，且MC1⊥面DNL，从而VD-MNL =·S△DNL·MC1也不失为另一有效解法.
【例3】 如图，
四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
AB=8，AD=4，侧面PAD为等边
三角形，并且与底面所成二面角为60°.
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：PA⊥BD.
【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥，
不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题，
否则是“瞎子点灯”——白费蜡，
因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图
2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略.
【解答】 （Ⅰ）设O为P在底面的射影，作OE⊥AD于E，连PE，则∠PEO是二面角P—AD—O的平面角，有∠PEO=60°.已知△PAD为正三角形，且边长为4.
∴|PE|=4sin60°=6，PO=6sin60°=3.
∴VP—ABCD=·S□ABCD·PO=·8·4·3]=96(立方单位).
(Ⅱ)以O为原点，平行于AD的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，垂线OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系.
则有P(0,0,3)，A(2,-3,0)，B(2,5,0),D(-2,-3,0),
∴=(2,-3,-3),=(-4,-8,0),
∵·=-24+24+0=0. ∴⊥.
●对应训练
1.如图所示，ABCD是边长
为2a的正方形，
PB⊥平面ABCD，
MA∥PB，且PB=2MA=2a，
E是PD的中点
(1)求证：ME∥平面ABCD;
(2)求点B到平面PMD的距离;
(3)求平面PMD与平面
ABCD所成二面角的余弦值 第1题图
2.在正三棱锥S—ABC中，底面是边长为a的正三角形，点O为△ABC的中心，点M为边BC的中点，AM=2SO，点N在棱SA上，且SA=25SN.
(Ⅰ)求面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：SA⊥平面NBC.
3.如图,边长为2的正方形ADEF所在的
平面垂直于平面ABCD，AB=AD，
AB⊥AD，AC=3，AC⊥BD，
垂足为M，N为BF的中点.
(1)求证：MN∥平面ADEF；
（2）求异面直线BD与CF所成角的大小；
（3）求二面角A-CF-D的大小. 第3题图
●参考答案
1.(1)延长PM、BA交于F，连接FD，FD、BC延长交于G，连接PG，
∵MAPB=a，
∴M为PF中点，又E为PD中点，
∴ME为△PFD中位线，ME∥FD，
而FD平面ABCD,
∴ME∥平面ABCD.
(2)MAPB时，A为FB的中点.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，DC∥AB，
∴D、C分别为FG、BG的中点. 第1题解图
∵AB=BC=2a. ∴BF=BG=4a. ∴BD⊥FG，∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥FG，故FG⊥平面PBD. 作BH⊥PD于H，必FG⊥BH，
故BH⊥平面PFG，BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离.
Rt△PBD中，PB=2a，BD=2a.
∴PD==2a，BH=a，即所求距离为a.
(3)由(2)知FG⊥DB，FG⊥DP. ∴∠PDB是二面角P-FG-B的平面角，且
cos∠PDB=，即所求二面角的余弦值为.
点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.
(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：
①若用S，S1，S2，S3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S2=S 21+S 22+S 23
②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a，b，c，则其底面积：S=
③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a，b，c，且直角顶点到底面的距离为h，那么
h=.
根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B—PFG为直角四面体，且BP=2a，BF=BG=4a
∴BH=
2.(1)如图，正△ABC边长为a时，
AM=a，OM=AM=a.
SO=AM=a.
∠SMA是二面角S—BC—A的平面角，
设为α，则tanα=.
∴面SBC与面ABC成arctan的角. 第2题解图
(2)以O为原点，直线AM、OS分别为x,z轴，过O且平行于BC的直线为y轴建立如图的空间直角坐标系，则有B(a,,0)，M(a，0,0)，C (a,,0)，S (0,0, a).
∵a，有A(-a，0，0).
∵=(-a，0，-a)，=（0，a，0）， ∴·=0,⊥.
又=，故有N(a，0，a). =a，0，-a).
故·=（- a,0,- a）·（a,0,-a）= -a2 +0+a2 =0.
∴⊥，从而SA⊥平面NBC.
3.方法一：（1）∵AB=AD，AC⊥BD，垂足为M，∴M为BD的中点，∵N为BF中点，∴MN∥DF
∵MN面ADEF，DF面ADEF，∴MN∥平面ADEF.
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，
∵AC是FC在平面ABCD内的射影，BD⊥AC，∴BD⊥CF，
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.
（3）在平面ACF内过M作MH⊥CF于H，连DH，
∵BD⊥AC，BD⊥CF，AC∩CF=C，
∴BD⊥面ACF，斜线DH在平面ACF内的射影是MH，
又CF⊥MH，∴CF⊥DH，∴∠MHD是二面角A-CF-D的平面角.
在等腰Rt△ABD中，DM=，AM=，∵AC=3，∴CM=2，CF=,
∵△CMH∽△CFA,∴，∴MH=,tanMHD =,
∴二面角A-CF-D的大小为arctan.
方法二：（1）同法一；
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，
∴平面FAC⊥平面ABCD，在平面FAC内作MG⊥AC交FC于点G，
∴MG⊥平面ABCD.
如图，建立空间直角坐标系M-xyz,
则C（2，0，0），B（0，-，0），D（0，，0），F（-，0，2），
∴=（0,2,0），=（3,0,-2），∴·=0，∴⊥.
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.
第3题解图（1） 第3题解图（2） 第3题解图（3）
(3)设n=（x,y,z）是平面CFD的法向量，
∵=（3，0，-2）,=（，，-2）,
由，∴，令z=3，则x=，y=2，
∴n=（，2，3），∵MD⊥AC，∴MD⊥平面ACF
∴平面ACF的法向量=（0，，0），则cos=.
∴二面角A-CF-D的大小为arccos.
数学破题36计
第33计 导数开门 腾龙起凤
●计名释义
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.
近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.
●典例示范
【例1】 过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .
【分析】 本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试.
【解答】 对于未给定切点的要先求导数，即y′=（ex）′.
设切点为(x0，e)，y′=ex，yx= x=e. 则切线方程为y-e=e(x-x0),
∵切线过（0，0）点，0－e=e(0-x0)，∴x0=1，∴e=e,∴切点坐标为（1，e),切线斜率为e.
【点评】 求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.
【例2】 若函数f (x)=loga（x3-ax) （a>0,a≠1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解答】 B 设u=x3-ax，则u′=3x2-a.
当a>1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x2-a>0，即a<3x2在上恒成立.又0<3x2<，∴a≤0，这与a>1矛盾.
当03x2在上恒成立，
∴a≥且（-）3 -a (-)>0，即a>,故有≤a<1,故正确答案为B.
【点评】 此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决.
【例3】 已知a∈R，讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.
【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］.
令f′（x)＝0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.
(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.
即a<0或a>4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1，x2，不妨设x1
从而有下表：
x
（-∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
fˊ(x)
+
0
-
0
+
f (x)
↗
f (x1)为极大值
↘
f (x2)为极小值
↗
即此时f (x)有两个极值点.
(2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是
f′(x)=ex(x-x1)2.
故当x0；当x>x2时，f′(x)>0.因此f (x)无极值.
(3)当Δ<0，即00，f′(x)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］>0，故f (x)为增函数，此时f (x)无极值.因此 当a>4或a<0时，f (x)有2个极值点，当0≤a≤4时，f (x)无极值点.
【点评】 此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数.
●对应训练
1.已知函数f (x)=的图象在点M（-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f (x)的解析式； （2）求函数y=f (x)的单调区间.
2.已知函数f (x)=，x∈［0，1］.
(Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≥1，函数g (x)=x3-3a2x-2a，x∈［0，1］.若对于任意x1∈［0,1］，总存在x0∈［0,1］,使得g (x)=f (x1)成立，求a的取值范围.
3.已知a≥0，函数f (x)=(x2-2ax)ex.
(Ⅰ)当x为何值时，f x)取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设f (x)在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围.
●参考答案
1.分析：由已知导出f (-1)=-2，结合f′(-1)= -，易求出a、b的值.
解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f′(-1)= -.
∵f′(x)=，∴
即
解得a=2，b=3(∵b+1≠0，b= -1舍去）.所以所求的函数解析式是f (x)=.
(2)f′(x)=.令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-2，x2=3+2，当x<3-2，或x>3+2时，f′(x)<0;
当3-20. 所以f (x)= 在(-∞，3-2内是减函数；
在（3-2，3+2)内是增函数； 在（3＋2，+∞)内是减函数.
点评：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识分析、解决问题的能力.
2.解析：(Ⅰ)对函数f (x)求导,得f′(x)=，
令f′(x)=0解得x=或x=.
当x变化时，f′(x)、f (x)的变化情况如下表：
x
0
（0，）
（，1）
1
fˊ(x)
+
-
0
+
-
f(x)
↘
-4
↗
-3
所以，当x∈(0，)时，f (x)是减函数；
当x∈(，1)时，f (x)是增函数；
当x∈［0,1］时，f (x)的值域为［－4，－3］.
(Ⅱ)对函数g (x)求导，得g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<3(1-a2)≤0.
因此当x∈(0,1)时，g (x)为减函数，从而当x∈［0,1］时有g(x)∈［g(1)，g(0)］.
又g (1)=1-2a-3a2，g(0)= -2a，即当x∈［0,1］时有g (x)∈［1-2a-3a2，-2a］.
任给x1∈［0，1］，f (x1)∈［-4,-3］,存在x0∈［0，1］使得g(x0)= f (x1)，则
［1-2a-3a2，-2a］［-4,-3］.
即
解①式得a≥1或a≤-； 解②式得a≤.
又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.
点评：本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础知识，以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.
3.分析：（Ⅰ)利用导数的性质解决问题.
(Ⅱ)利用函数f (x)在［－1，1］上是单调函数的充要条件是x2≥1.(x=x2时f (x)取到极小值）
解：(Ⅰ)对函数f (x)，求导数，得：f′(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=［x2+2x(1-a)x-2a］ex，令
f′(x)=0，得［x2+2(1-a)x-2a］ex=0，从而x2+2(1-a)x-2a=0.
解得x1=a-1-，x2=a-1+，其中x1
x
（-∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
fˊ(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
即f (x)在x=x1处取到极大值，在x=x2处取到极小值. 当a≥0时，x1<-1，x2≥0，f (x)在（x1，x2)为减函数，在(x2,+∞)为增函数，而当x<0时，f (x)=x(x-2a)ex>0，当x=0时，f (x)=0.
所以当x=a-1+时，f (x)取得最小值.
(Ⅱ)当a≥0时，f (x)在［－1，1］上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a-1+≥1,解得：a≥，综上，f(x)在［－1，1］上为单调函数的充分必要条件为a≥，即a的取值范围是［，+∞).
点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.
数学破题36计
第34计 参数开门 宾主谦恭
●计名释义
参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.
在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.
有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.
●典例示范
【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且·＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.
幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.
【解答】 如图，由条件知MN和PQ
是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），
且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条
存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.
【插语】 题设中没有这个k，
因此是“无中生有”式的参数.
我们其所以看中它，是认定它
不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图
【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则
x1=，
从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 亦即|PQ|=.
【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位，问题已经发生了转程.
【续解】 (ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为-，同上可推得，
｜MN｜=,
故四边形S＝|PQ|·|MN|=.
令u=k2+，得S=.
因为u=k2+≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以
≤S<2.
【插语】 以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话.
【续解】 (ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝2，|PQ|=，S=|PQ|·|MN|=2.
综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.
【点评】 参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角.
【例2】 对于a∈［-1,1］,求使不等式恒成立的x的取值范围.
【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.
【解答】 y=为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.
即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈［-1，1］时恒成立.
令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).
只须(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】 求函数y=的最大值与最小值.
【解答一】 设tan=t，则y=
即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ①
∵t=tan∈R, ∴关于t的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4·3(y-3)(y-1)≥0.
即3y2-12y+8≤0，解得：2-≤y≤2+.
即ymax =2+，ymin =2-.
【解答二】 原式变形：sin x-y cos x=2y-3，sin (x+φ)=2y-3.
∵ |sin (x+φ)|≤1，∴≤|2y-3|.
平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略)
【点评】 本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,
按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或
通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理
由是:这样解法简单，而且同样能达到目的.
【例4】 若cos2θ+2m sinθ-2m-2<0恒成立，试求实数m的取值范围.
【解答】 反客为主，不看成关于sinθ的二次式，而看成关于m的一次式.
原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ,
如sinθ=1，则0<1恒成立，此时m∈R.
如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sinθ∈［-1,1)，于是sinθ-1<0.
∴2m>2-
∵ (1-sinθ)+≥2.
当且仅当1- sinθ=，即sinθ=1-时，=2,
∴=2-2.
为使2m>恒成立,只需2m>2-2，∴m>1-.
综合得：所求m的取值范围为：m∈(1-，+∞).
已知动点P为双曲线=1的两个焦点，F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且=λ，求实数λ的取值范围.
【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆，
当P在椭圆上时，由cos∠F1PF2=<0，
知∠F1PF2必为钝角且为最大角，
则P应为短轴端点(须证明),据此可
求出椭圆方程.
(2)M、N在椭⊙上,=λ时,
与必共线,可用设参、消参 例5题图
的方式确定λ的范围.
【解答】 (1)设P(x,y)为轨迹上一点，命|PF1|= r1，|PF2|= r2，∵r1+r2=2a为定值，且
F1(,0)，F2(，0)为定点.
∴点P的轨迹为椭圆，已知(cos∠F1PF2)min=.
而cos∠F1PF2=，这里>0，且r1r2≤=a2，∴≥，从而
cos∠F1PF2≥-1=1-,
当且仅当r1=r2，即P为短轴端点时,1-=，∴a2=9，∵c2=5，∴b2=4.
∴所求动点P的轨迹方程为：=1.
(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外，设M(m，s)，N(n，t)在椭圆上.
∵=λ，即(m，s-3)=λ(n，t-3),
∴ ∴
消去n2得：
化简得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ-1)
如λ=1，则=，M，N重合于一点，且为椭圆与直线DM的切点.
如λ≠1，有：t=，∵|t|≤2，-2≤≤2，解得λ∈［，5］.
【点评】 设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围.
【小结】 什么样的问题适合“反客为主”？如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主.
所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置（例如含参变量的方程或函数）则相对容易破解问题.
●对应训练
1.求使A=为整数的一切实数x.
2.已知方程组同解，求m、n的值.
3.解关于x的方程：x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0.
4.已知正项数列{an}中，a1=1，且Sn=，求该数列的通项.
5.解方程x3+(1+)x2-2=0.
●参考答案
1.反客为主，让x为A服务.
∵A-1= 当A∈Z时，亦有A-1∈Z.
若x+1=0，则A=1∈Z(x= -1).
若x+1≠0，有：A-1=∈Z.这有两种可能.
(1)=±1. x2-4x+2=0，x=2±；或x2-2x+4=0，无实数解，舍去.
(2)是分子1的真分数. 令x2-3x+3=1，得x=1或2.
故所求实数为x=-1，1，2，2±.相应的整数为A=1，3，4，2.
2.设两方程组的相同解为(x0，y0).
由
代入.
3.反客为主，原方程改写为关于a的一元二次方程：
a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0. ［a-(x2-3x-1)］2 =(x-1)2
a=(x2-3x-1)±(x-1)
有x2-2x-2-a=0 ① 或x2-4x-a=0 ②
由①：（x-1）2 = a+3.
当a≥-3时，x=1±.
由②：(x-2)2=a+4.
当a≥-4时，x=2±. 故a<-4时，原方程无实根；
a∈［-4,-3)时原方程有两解：x=2±；a∈［-3，+∞)时，原方程有四解：
x=1±，x=2±.
4.反客为主，先求Sn再求an，∵2Sn=(S n - Sn-1)+，得：
2S2n - 2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1.
∴S2n - S2n-1=1，∵a1=S1=1，令n=2，3，…，n，用叠加法可得S2n - S21=n-1.
∴Sn=,得an=Sn - Sn-1=，于是an=.
5.设a=，原方程转化为：a2-ax2-x(x2+x)=0，即(a-x2-x)(a+x)=0,
∴x2+x=a或x= -a,
∵a=.
∴x2+x-=0x=± 或x=-.
数学破题36计
第35计 符号开门 来意弄懂
●计名释义
数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字：
3x+2y+z=100
问学生：“这句话的意思是什么？”
学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮3袋粮食，中马驮2袋，小马驮1袋，一共驮走了100袋粮食.
学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3个未知数x,y,z.这是个不定方程.
学生丙说：这是一个问题：第1个数乘3，第2个数乘2，第3个数乘1，其和为100.问这3个数各为多少？
老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字”，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+，=等数学文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句.
●典例示范
【例1】 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= ( )
A.6E B.72 C.5F D.B0
【分析】 本题破门首先是弄懂数学符号A，B,C，D，E，F的意思.依题意，他们是16位进制数中后6个数字.说它们是第10，11，12，…，15等数字时，则请注意，这是在借用10进制说话.这里11到15，在10进制中都是十位数，而A到F，在16位进制中都是个位数.
对于E+D=1B，有人写成E+D=14+13=27=1B.这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里14，13，1B中的1的意思相同吗？
【解答】 我们用符号［x］(10),［y］(16)分别表示10进制和16进制中的数，依题意，就是［16］(10)=［10］(16) .则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10) =［6×16+14］(10) =
［610+E］(16)=6E.
答案为A.
【插语】 这里，解题人的特殊数学语言（10进制数和16进制数）用特别符号（［x］(10)和［y］(16))来与读者“约定”，使表达式形式准确而简明.
【点评】 高考数学新题型中，往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译：（1）把“新符号”译成“普通话”；（2）把迁移后（解答后）的“普通话”译成“新符号”.
【例2】 对于任意的两个实数对(a1，b1)和(a2，b2), 规定：（a1，b1)=（a2，b2)，当且仅当a1=a2，b1=b2，运算“”为：（a1，b1)(a2，b2)=(a1a2-b1b2，b1a2+a1b2)；运算“”为：（a1，b1)(a2，b2)=(a1+a2，b1+b2). 设p,q∈R，若（1，2）（p,q)=(5,0)，则
(1,2)(p,q)= ( )
A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4)
【分析】 本题破门首先是弄清符号所表示的运算意义：（1）运算对象是有序数对（a,b),运算结果也是有序数对（a,b)；（2）运算法则则是(翻译）化为普通运算法则进行：
a3=a1a2-b1b2，b3=b1a2+a1b2，同样对符号进行类似的分析.于是我们得到如下的解法.
【解答】 B 由（1，2）(p,q)=(5，0)得，所以（1，2）(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0)，故选B.
【插语】 这里的运算、的一种具体形式是复数代数式加法运算和乘法运算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
由此可以看到，命题人在设计新题型时在如何“推陈出新”. 这里的运算法则、设计实际上是把一种具体的（复数）运算法推广到了（有序数对）“一般化”运算.
●对应训练
1.设是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有ab∈A，则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭
的是 （ ）
A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集
2.定义集合运算：A⊙B =｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 ( )
A.0 B.6 C.12 D.18
3.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
●参考答案
1.【分析】 这里“封闭”的定义，是说集合A中的任意两个数经过运算的结果，仍然是集合A中的元素，则称A对运算是封闭的.
【解答】 A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1÷ 2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中×=2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C.
【点评】 本题中的运算有四个，即加法、减法、乘法和除法（除数不为0），要想这四则运算都封闭，必须经四则运算后的结果，还是所给的数集中的一员.由于是单项选择题，这就需举出反例来说明它的不封闭性.
2.【分析】 集合运算A⊙B实际上两个集合中元素的积乘以两个集合中元素的和. 所给集合A中有一个元素0，这使问题简化了，因为0乘以任何数其结果为0.
【解答】 D 当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D.
【点评】 所给集合就是两个元素，我们可以一一把它们的结果列举出来，因为有0的存在，使得我们的计算大大地省下了一笔.这也是命题人给考生的照顾吧！
3.【解答】 C 依题意，建立方程组
解得d=7，c=1，b=4，a=6，选C.
【评说】 由信息的传递迁移到数学中的方程组，这是通过一些数字迁移到另外一些数字上去，可见数学的神密所在.
数学破题36计
第36计 思想开门 人数灵通
●计名释义
为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？
所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动. 中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.
●典例示范
【例1】 有一个任意的三角形
ABC（材料），计划拿它制造一个
直三棱柱形的盒子（有盒盖）
，怎样设计尺寸（用虚线表示），
才能不浪费材料（图右上）？ 例1图
【思考】 “任意”三角形属一般情况，
它的对立面是“特殊”的三角形.
我们先从正三角形考虑起.
假设这个尺寸如图（1）所示.
（1）三棱柱的底面A1B1C1的
中心G为原三角形的中心.
（2）柱体的三侧面是三个矩形，
矩形的长与底面△A1B1C1的边长对应相等.
（3）柱体的上底面（盒盖）由
三个四边形拼合，拼成后的三角形与A1B1C1全等. 例1题解图（1）
经过以上思考，底面小三角形的三个顶点，如C1，它应满足两个条件：其一，C1是GC的中点；其二，C1到∠C两边的距离相等，
因此它在∠C的平分线上.于是在一般的情况下，点G应是△ABC的内心.
【解答】 作△ABC的∠A和∠B的
平分线相交于内心G，如图（2）所示.
分别作GA、GB、GC的中点A1、B1、C1.
△A1B1C1为直三棱柱的一个底面.
过A1，B1，C1三点分别作对应边
的垂线（段），所得矩形为柱体的三个侧面.
经过以上截取后，原△ABC三个顶点
处所余下的三个四边形拼在一起，
作为柱体的另一个底面（盒盖）. 例1题解图（2）
【点评】 本题的设问，只要求讲出“设计操作”，形式上“不讲道理”.实质上，人的操作是受思想支配的，因此，本质上是在考“思想”.本解法在探索过程中为找到三角形的内心，运用的就是数学上七大基本思想之一——特殊一般思想.
【例2】 校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B级，若投中4次以上则可确定为A级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是.
(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；
（2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.
【解答】 (1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率为P=C23·（）2··=.
(2)若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围，该事件可分为下列几类：
①5次投中3次，有C24种可能投球方式，其概率为：P（3）=C24·（）5=；
②投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为：P（2）=（）4+3·（）5=；
③投中1次，其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式，
其概率为：P（1）=（）3+（）4=；
④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P（1）=（）2=，
∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)=+++ =.
【点评】 本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然的思想.
●对应训练
1.函数y=lg的定义域是： ( )
A.{x|x<0} B.{x|x>1} C.{x|01}
2.下面的数表
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
所暗示的一般规律是 .
●参考答案
1.D 利用特殊值.x= -1，2时，函数有意义，排除A、B，x=时，函数无意义，排除C.
2.（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］= n3
设第n行左边第一个数为an，则a1=1，a2=3，an+1=an+2n. 叠加得an=n2-n+1，而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是
（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3.
【点评】 数表问题由来已久，常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究，此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.
第1计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
●典例示范
［例题］将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
，其中 .
令，则 .
［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意.
［解Ⅰ］ 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有
对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1
对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.
［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.
第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项.
［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项，并将和数列 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.
因此得到 这就是本题第2空的答案.
［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案.
事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是
［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.
［法1］ 由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项.
［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即
根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而
［法3］ （2）将代入条件式，并变形得
取令得
，
… … …
以上诸式两边分别相加，得
［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.
●对应训练
1．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.
2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .
●参考解答
1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.
连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10
如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70
由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.
2．找“点”——动点P、Q的极限点.
如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合.
则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .
显然V棱柱.
∴∶=
于是奇兵天降——答案为.
［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.
第2计 西瓜开门 滚到成功
●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.
●典例示范
［题1］
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f ¢（x）³0，则必有
A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.
其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.
［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.
（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；f＇(x)≤0时x ≤1. 即f（x）在上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.
综合（i），（ii），本题的正确答案为C.
［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.
［再析］ 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）. 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.
［解二］ （i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件.
（ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2 又 f＇(x)=2（x-1）.
满足 (x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0
选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.
［插语］ 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.
［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f ¢（x）= 0找最值点x =0，由f ¢（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.
由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.
［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线）
（ii）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f ¢（x）≥0
若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f ¢（x）≥0.
［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f ¢（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函
数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.
［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ¢（x）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1)
［解析］ 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义；
对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；
答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.
且f ¢（x）=(x-1) 使得 (x-1) f＇(x) =(x-1)(x-1) ≥0.
［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f¢（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且n≥m.
［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.
［题2］ 已知实数x，y满足等式 ，试求分式的最值。
［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.
［解一］ （函数方程思想运用）
令 y = k (x-5) 与方程联立
消y，得：
根据x的范围应用根的分布得不等式组：
解得 即 ≤≤ 即所求的最小值为，最大值为.
［插语］ 解出≤≤，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.
［解二］ （数形结合思想运用）
由得椭圆方程 ，
0
看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直
线斜率（图右）.
联立 得
令得，故 的最小值为，最大值为.
［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.
［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.
解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.
●对应训练
1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的 ( )
2.函数y=1- (-1≤x<0)的反函数是 ( )
A.y=-(0
3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )
A.b2≤ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0
●参考答案
1.【思考】 利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选项D中无x>0的图像，均应否定；当x=y∈R+时，lg无意义，否定A,选C．
【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).
2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.
原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.
∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．
3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.
取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.
解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式.
令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,
f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.
【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:
4b<4a+c, ①
2b<-a-c, ②
①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.
用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.
第3计 诸葛开门 扇到成功
●计名释义
诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.
数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.
●典例示范
［题1］ 已知f (x)= 试求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值.
［分析］ 若分别求f (x)在x= -5，-4，…，0，…，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x)+f (1-x)的结果.
［解析］ 因为 f (x)+ f (1-x) =
=
=
所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )
=［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+…+（f (6 )+ f (-5 )）］
=［f (1-x )+ f (x )］×6 =
［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.
●对应训练
1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于 .
2.求已知离心率e=,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(-),长轴平行于y轴的椭圆方程.
3.若椭圆 (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.
●参考答案
1. 命sin2α=sin2β=sin2γ=,则cos2α=cos2β=cos2γ=.α、β、γ为锐角时，cosα=cosβ=cosγ=.
∴cosαcosβcosγ=.
(注：根据解题常识，最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得).
2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.
若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.
已知e=,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为
(x+，把点P(-看做当k→0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:
(x+
又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得λ=-.
因此所求椭圆方程为x2+=1.
点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.
3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:
①A,B两点都在椭圆外;
②A,B两点都在椭圆内.
若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.
设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围.
易得线段AB的方程为y=x+1,x∈［1,3］,
由方程组,x∈［1,3］,
a2的值在［1,3］内递增,且x=1和x=3时分别得a2=或a2=,故≤a2≤.
∵a>0,∴≤a≤.
故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为0
第4计 关羽开门 刀举成功
●计名释义
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.
数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！
●典例示范
［例1］
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.
（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.
［分析］ 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.
［解Ⅰ］ 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.
易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）.
［插语］ 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.
【例2】 设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.
（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；
（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
【分析】 （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=|AB|.
(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2
（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.
显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.
【解答】 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.显然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),
x=,代入：y=tanα·-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.
此方程有不同二实根y1y2,
∴y1+y2=,y1y2=-4p2.
∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.
∴,故点O仍在以AB为直径的圆上.
【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:
(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.
(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.
这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.
【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.
当α≠90°时，不妨设α∈［0,)，则
综上，|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p.
别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.
∴||2=|
=
≥2x1x2+2p(x1+x2)
≥2x1x2+4p.
∵y1y2=-4p2,∴x1x2=
于是||2≥16p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2.
【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.
●对应训练
1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.
(1)求数列{an}的通项公式，并求之值.
(2)证明0
(1)求证:PD⊥PC;
(2)求二面角P—DB—C的大小.
●参考答案
1.分析： (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).
(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这
种数列的求和方法是“错项相减”.
(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.
解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,
即Sn=n2,
∴an=Sn-Sn-1=2n-1,
=；
(2)由(1)知an=2n-1.
∴f=1× ①
②
①-②:
f =
=
=
=1-
设g(x)=,∵g′(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=.
∴g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，［g(n)］max=g(1)=,
又当n→∞时,g(n)→0,∴∈,从而f∈.
2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.
(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC.
(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,只须作OM⊥BD即可.
解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.
(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,
∵PB=6,
PD=2,∴BD=4,PM==3,
已证PD⊥PC,∴PC=,
PO=.
sin∠PMO=,∠PMO=arcsin,
即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin.
第5计 才子开门 风情万种
●计名释义
所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.
●典例示范
［引例］ 试比较以下三数的大小：，，
［解一］ 建构函数法
设f (x) = f＇(x)=ln≤0 f (x)为减函数 >>
［旁白］ 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.
［评语］ 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.
［解二］ 作差比较法
-=<0
-=>0
［旁白］ 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.
［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.
［旁白］ 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.
［奇解］ ×=<1 ×=>1 >>
［旁白］ 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.
［自评］ 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.
［旁白］ 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？
才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解
［正解］ f (x) = f＇(x)=ln<0 (x≥3)
>> >>
［旁白］ 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.
［评语］ 因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.
【例1】 已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b= ( )
A．(，) B．(,) C.() D．（1，0）
【特解】 由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.
【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A()是平行向量，一般考生不能做到.
【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项. 又a·b=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.
【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！
【另解】 设b=(cosα,sinα),则a·b=(,1)·(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60°+α)=在区间（0，π）上解α得：α=60°.
故b=().
【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.
【错解】 选A者,误在(a，
选C者,误在|（）·a|=1.
选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.
【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.
●对应训练
1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)<0}等于 （ ）
A.{x|x>3或-3
●参考答案
1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.
解析一 由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图（1）),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x·f(x)<0的解集为{x|0
(1) (2)
解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图（2）),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x·f(x)为偶函数,∴不等式x·f(x)<0的解集关于原点对称,故先解借助图象得0
【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二.
奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶.
数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.
2.【分析】 排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.
【通解】 考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进行排列共有A种排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A种，故满足条件的排法种数共有=20.
【正解】 5个元素设作A,B,（C,D）,x,y.将排列种数分两类:
第一类,x,y相连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C=8种方法.
第二类,x,y不连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C=12种方法.
【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.
【另解】 5个元素设作A，B，（C，D），x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f.
第1步考虑元素x到位，有5种可能；
第2步考虑元素y到位，有4种可能；
第3步，A，B，（C，D）按顺序到位，只1种可能.
由乘法原理，方法总数为5×4=20种.
【评说】 “另解”比“正解”简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，（C，D）按序到位情况只1种.——这点，一般学生不易想通.
【别解】 设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，则有xP3=P5x==5×4=20.
【评说】 别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.
第6计 勇士开门 手脚咚咚
●计名释义
一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.”
勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”
考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.
●典例示范
【例1】 已知x,y∈, a∈R，且,则cos (x+2y)的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【思考】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？
解：由条件得：
∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.
【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?
设f (t)=t3+sint-2a. 当t∈时，均为增函数，而-2a为常数.∴上的单调增函数.
∵f (x)= f (-2y)=0.
∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.
【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.
【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(,-1) ， 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( )
A.4,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0
【解答】 如图，点A(cosθ,sinθ)在圆上运动时，延OA到C，使==2a, 求的最值，
显然.当与
反向时有最大值4,与同向时有
最小值0. ∴选D.
【点评】 本例
解题思想很简单，谁不知道“三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢， 例2题解图
为求极值，我们的勇士勇敢地到极地——当
△BOC不复存在时，才有可能取得.
【例3】 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0，且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解答】 设F(x)= f (x)g(x), 当x<0时，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.
∴F(x)在R上为增函数.
∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)·g (x).=-F(x).
故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
∴F(x)在R上亦为增函数.
已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.
构造如图的F（x）的图象，可知 例3题解图
F(x)<0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3).
【点评】 本例选自04·湖南卷12题,
是小题中的压轴题，显然，不懂得
导数基本知识对待本例是无能为力的，高中
代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.
●对应训练
1.下列命题正确的是 ( )
A.若{an}和{bn}的极限都不存在，则{an+bn}的极值一定不存在
B.若{an}和{bn}的极限都存在，则{an+bn}的极限一定存在
C.若{an+bn}的极限不存在，则{an}和{bn}的极限都一定不存在
D.若{an+bn}的极限存在，则{an}和{bn}的极限要么都存在，要么都不存在
2.过定点M (-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 （ ）
A.0
A.2 B.1 C. D.
●参考答案
1.D (正反推证）若{an+bn}:1,1,1,1,…的极限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1…,{bn}:1,0,1,0,1,0…,极限都不存在，但若{an}:1,1,1,1…,{bn}:0,0,0,0…,极限又都存在，故D正确，同理可排除A、B、C.
2.A （数形并用）如图，以C (-2,0)为圆心，
r=3为半径的⊙C交x、y正半轴于A（1,0）,
B (0,), 而M (-1, 0)在⊙C内部，
当N∈时，显然，kMN>kMA=0;
kMN
3.A T3=C(-2x)2=36 (2x)2=288， ∴2 2x=8， x=, =∈(0,1).
∴数列{}是首项与公比均为的无穷递缩等比数列.原式==2. 选A.
第7计 模特开门 见一知众
●计名释义
一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.
模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！
数学的特殊性（特值）解题，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），这样，才能做到“一点动众”. 特值一旦确定，要研究的是特值的共性.
选择题中的“特值否定”，填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，都是“一点动众”的例子.
●典例示范
【例1】 如果0
C.(1-a)3>(1+a)2 D.(1-a)1+a>1
【思考】 本题关键点在a,我们一个特殊数值，作为本题的模特.
令a=,各选项依次化为： （ ）
A． B.
C． D.
显然，有且仅有A是正确的，选A.
【点评】 本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众.
你还需要讲“道理”吗？为减函数，log0,B不对；也是减函数，,D不对；直接计算，C也不对；只有A是对的.
【例2】 已知定义在实数集R上的函数y=f (x)恒不为零，同时满足:f (x+y)=f (x)·f (y),且当x>0时，f (x)>1,那么当x<0时，一定有 （ ）
A．f (x)<-1 B.-1
设f (x)=2x, 显然满足f (x+y)=f (x)·f (y) (即2x+y =2x·2y), 且满足x>0时，f (x)>1,根据指数函数的性质，当x<0时，0<2x<1.即0< f (x)<1. 选D.
【点评】 题干中的函数抽象，先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底，选定最简单且又符合题意的函数y=2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金，你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗？
【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = ［f (0)2 ( f (x)≠0), 则f (0)=1,
f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即, 当x<0时，-x>0.
由条件：f (-x)>1, 故x<0时, 0< f (x)<1.
【例3】 若A, B, C是△ABC的三个内角，且A
【点评】 此题用常法论证也不难，但是谁能断言：本解比之常法不具有更大的优越性呢？
●对应训练
1.设f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 则f (x)的反函数的解析式是 （ ）
A． B.
C． D.
2.下列命题中，命题M是命题N的充要条件的一组是 （ ）
A．
B.
C.
D.
3.已知两函数y= f (x)与y=g(x)的图像如图（1）所示，则y= f (x)·g(x)的大致图像为（ ）
第3题图（1） 第3题图（2）
●参考答案
1.B 取特殊的对称点. ∵f (0)=1, ∴(0,1)在f (x)的图像上，（1，0）在f (x)的图像上，将（1，0）代入各选项，仅B适合， ∴选B.
点评 题干和选项都那么复杂，解法却如此简明.你能发现（0，1）.就能找出（1，0），解题就需要这种悟性，说到底，还是能力.
2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，条件不必要.
3.B 取特殊的区间. 由图像知f (x)为偶函数（图（1）中图像关于y轴对称），g(x)为奇函数（图（2）中图像关于原点对称）. ∴y= f (x)·g(x)为奇函数，其图像应关于原点对称，排除A、C，取x∈(-2,-1), 由图(1)知f (x)>0,由图（2）知g(x)<0,故当x∈(-2, -1)时，应有y= f (x)·g(x)<0. 选B.
点评 无须弄清图（1）、图（2）到底表示什么函数，不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f (x)·g(x)的图像.只须鉴别四类图像哪一个符合题意，选定特殊区间（-2，-1）一次检验即解决问题.
第8计 小姐开门 何等轻松
●计名释义
有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.
后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！”
大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？”
小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”
数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.
●典例示范
【例1】 求证：抛物线没有渐近线.
【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.
抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？
【证明】 不妨设抛物线方程为y2=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, ∵x=, 代入直线方程，化简得：ky2-2py+2pb=0. ①
可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根y0, 那么，y0→∞,或, 方程①化为：2pby′2-2py′+k=0. ②
方程②应有唯一的零根, y′=0代入②得：k=0.
于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线有唯一公共点(), 因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.
【例2】 设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC不是正三角形.
【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！
【解答】 假定△ABC为正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点，不妨设x2≠x1, ∵kAB=, ∴直线AB的方程为：
即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 点C (x3, y3)到AB的距离.
但是|AB|=
∴S△ABC == (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).
即S△ABC为有理数.另一方面，
S△ABC = ①
∵|AB|≠0, ∴S△ABC为无理数. ②
①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.
【例3】 设f (x)=x2+a1x+a2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于
【分析】 三数中至少有一个不小于的情况有七种，而三数中“都小于”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路.
【解答】 假定同时有：| f (1)|<、| f (2)|<、| f (3)|<, 那么：
①+③: -11<4a1+2a2<-9 ④
②×2: -9<4a1+2a2<-7 ⑤
④与⑤矛盾，从而结论成立.
【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手.
遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路.
一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.
●对应训练
1.k为何值时，直线y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线y2=x的某弦.
2.已知α、β∈(0, ), 且sin(α+β)=2sinα.求证：α<β.
3.设a>b>c>0, 且a、b、c成等差数列，试证明：不能组成等差数列.
4.求证：抛物线y=上不存在关于直线y=x对称的两点.
●参考答案
1．正难反收，先解决k为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补
集，设弦两端点为A(x1, y1), B(x2, y2), 那么:
设直线l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB, 则kAB=, 设AB之中点为M(x0, y0), ∴y1+y2=2y0, y0=, 又由y0-1= k(x0-1),得x0=, 而M在抛物线内部.
∴y
（1）α=β, 此时有sin2α=2sinα.
α、β∈(0, )时，sinα≠0, 必有cosα=1, 这与α∈(0, )矛盾;
(2)α>β,在(0, )内y=sinx为增函数，必sinα>sinβ>0, 由条件：
sinα(cosβ-2) +cosαsinβ=0.
∴ ∴cosα+cosβ>2，这是不可能的.
故α≥β不能成立，必有α<β.
3.假定成等差数列, 必, 即
已知a，b，c成等差数列，∴b=.
故有： ∴a=c, 从而a=b=c, 这与已知a>b>c>0矛盾.
∴不能组成等差数列.
4.假定抛物线y=上存在关于直线y=x对称的两点A(a , b)与B (b, a).
∵kAB= -1, 知a≠b. 有：
①-②：b-a =(a+b) (a-b). ∵a≠b, ∴a+b=-2 ③
③代入①：-2-a=. 即 a2+2a+3=0.
此方程无实根，故所设符合题设条件的点A（a, b），B (b, a)不存在.
也就是抛物线y=x2-1上不存在关于直线y=x对称的两点.
第9计 瞎子开门 伸手摸缝
计名释义
命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸.在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了.
●典例示范
［例题］
已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，
（Ⅰ）证明：，；
（Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有
［分析］ 此题有3扇门，即题问（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）.用手去摸，发现（Ⅱ）是个门缝，因为（Ⅱ）最轻便：一是“猜”，二是“写出”（不要求说道理）.
于是，可以把手伸到（Ⅰ）的后面，把（Ⅱ）当作门闩抽掉.
［解Ⅱ］ 因为0 < an < 而后者的极限是0，所以an的极限是0.
［插语］ 解（Ⅱ）之时，承认并利用了（Ⅰ）的结果.
［评说］ 这么难的压轴题，竟这么容易地拿下了它的三分之一.即使最后不能攻下（Ⅰ），而（Ⅱ）的分数却已经拿到手了.
拿下（Ⅱ）之后，可以直抓后面的（Ⅲ）.既然an→0，那么要它an<，那就解不等式求N罢了.这时，仍然可以把（Ⅰ）的结果当作已知.
［解Ⅲ］ （放大为了化简）
令，
故取N=1024，可使当n>N时，都有
［插语］ （Ⅱ），（Ⅲ）已破，题门大开，回师攻（Ⅰ）形势更好.
［解Ⅰ］ 问题简化为
已知：① ②
求证：③
［插语］ 先抓住求证式③，其右边的分母中有变量，顺藤摸瓜，找到已知式①中的，不过它却在“分子”上.至此，快摸到问题（Ⅰ）的“门闩”.
［续解］ 式③变为
得式④ .
［插语］ 式④即为题（Ⅰ）的门闩.
以下用式④与式②连接，从式②中变出.
［续解］ 由式②得
得式⑤
依次令n=2,3,4,…… 得
…
两边相加得 ⑤
代式① 于⑤
得.这就是要证的式④.
从而证得式③：，即问题（Ⅰ）得证.
［插语］ 变③为④，用的是分析法.变①、②为⑤，用的是综合法.
条件（①，②）不等式（③）的证明，经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻.
［评论］ 本题是一道难度很高的压轴大题，“伸手摸缝”的策略，改变了命题人原来设定的解题顺序，即从（Ⅰ）到（Ⅱ）、再到（Ⅲ）的一般顺序.从而使得易解的（Ⅱ）成为该大题的“题缝”.
对于最难的题（Ⅰ），仍然采用了中间突破的办法，成功的关键也是从中找到了题（Ⅰ）的题缝：，实际上，不等式的证明中，分析法与综合法的接头处，正是问题的题缝.
●对应训练
对以上例题第（Ⅰ）问改为如下的问题：
已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，
（Ⅰ）设f(n)= ,用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）求证：，；
●参考答案
［分析］ 本题的（Ⅰ）、（Ⅱ）问，显然第（Ⅱ）问比第（Ⅰ）问容易.因此我们可以先解第（Ⅱ）问，这时必需把第（Ⅰ）问的结果当作已知——题门从后面拨开.
解（Ⅱ）： 由已知不等式
得≤
解（Ⅰ）： 设，利用数学归纳法证不等式
（ⅰ）当n=3时，由，
知不等式成立
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即，则
即当n=k+1时，不等式也成立
由（ⅰ）（ⅱ）知，
［插语］ 数学归纳法证题，在k到k+1之间，存在着一个“题缝”.从k正推，属综合法；由k+1反推，属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲，若在“接头处”遇上困难，可用“因为——所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”，以便逃脱阅卷人的苛求.
［说明］ 这里的解答，把（Ⅱ）放在（Ⅰ）的前面，只是“草纸”上的思考顺序.真正在试卷上答题时，仍应把第（Ⅰ）问的解答放在前面，除非对（Ⅰ）没有解出.
第10计 聋子开门 慧眼识钟
●计名释义
一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.
上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？
其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.
为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.
●典例示范
【例1】 若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+ax2008(x∈R), 则
(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)
【思考】 显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.
【点评】 本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.
【例2】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f (x)是偶函数；④函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .
【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.
【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.
【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).
【解答】 由y(2x)2-y·2x-1=0.
关于2x的方程中，恒有Δ=y2+4>0. ∴y∈R ①真.
∵y1=2x, y2=都是R上的增函数，∴y=y1+y2=2x-2也是R上的增函数，②真.
∵f (-x)=2-2x = -(2x-2)=-f (x),
∴当x∈R时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数) ③真.
【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.
正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.
本例是“全选”（即“都是”）的题型.
●对应训练
1.设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,…),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,…,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .
●参考答案
1.椭圆中：a=, b=, c=1.
∴e =,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|=(7-xi), 其中右准线x=7.
∵|FPn|=|FP1|+(n-1)d. ∴d=
∵|x1-xn|≤2, ∴|d|≤. 已知n≥21, ∴|d|≤, 但d≠0.
∴d∈［-，0)∪(0，］.
点评：本题有两处陷沟，一是d≠0, 二是可以d<0, 解题时考生切勿疏忽.
第11计 耗子开门 就地打洞
●计名释义
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.
庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.
●典例示范
【例1】 已知f (x)=，判定其单调区间.
【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.
【解答】 设x1
【续解】 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]
=
易知=△>0.
故有原式=<0.
故f (x)= 的增区间为（-∞,+∞).
【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.
【例2】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.
【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=;P(ξ=1)=；P (ξ=2)=，故ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
P
（Ⅱ）ξ的数学期望是：
Eξ=0×+1×+2×=1.
(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=.
【例3】 （04·上海，20文）如图，
直线y=x与抛物线y=x2 - 4交于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与直线y= -5交于点Q.
(1)求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于AB下方
（含点A、B）的动点时，
求△OPQ的面积的最大值.
【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图
思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.
【解答】 （1）由
设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=x0=1.
故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).
(2)由（1）知|OQ|=5为定值.
设P(x，x2-2)为抛物线上上一点，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：
x+y=0，点P到直线OQ的距离：
d=，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠4-4，为使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =6.
∴(S△POQ)max =·|OQ|·dmax=·5·6=30.
【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA·tanC的值.
【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.
不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A,
∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，
则有：sinα+sinγ=sinβ，
即sin2A+sin2C=2sin2B.
2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图
∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).
∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.
3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.
【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.
●对应训练
1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在
棱CC1上，且CC1= 4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所
成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的
射影是H，求证：D1H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图
2.证明不等式： (n∈N+).
3.设x∈，f (x)=，求f (x)的最大值与最小值.
4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u=的最小值.
●参考答案
1.建立如图的空间直角坐标系，有：
A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1.
∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵=
∴tan∠APB=.
∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan.
(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.
∵=（4,4,0)，=（-4,4,1）,
∴·=-16+16+0=0.
即⊥，也就是⊥. 第1题解图
已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)
（Ⅲ）在DD1上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，
∵S△ADQ =||·||=]||·||.
即：4·||= 4×3，∴||=.
已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为.
点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.
2.只须证
右式=
=
=.
∴成立，从而1+
3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin+.
当x∈时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,
［f(x)］min =，当x=时,［f (x)］max =-.
4.注意到，同理：，，
∴u≥=8.
第12计 小刀开门 切口启封
●计名释义
西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.
一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.
数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.
●典例示范
【例1】 已知5sinβ=sin(2α+β)，求证：
【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了这个数，试一试，就打的主意！
【解答】 化条件为考察结论的右式与的数量关系知，那么由合分比定理能使问题获得解决，即
而左端分子、分母分别进行和差化积即为于是等式成立.
【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.
【例2】 设m为正整数, 方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x为未知量)至少有一个整数根, 求m的值.
【分析】 若根据求根公式得到x=, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m(m是一个待求的常量)与变量x相互转化,则解决此问题就简单了.
【解答】 原方程可化为(x2+4x+4)m=2x+7,
即m=,
【插语】 m是本题的破题小刀，因为所给方程中m的最高次数是1，使得问题简化了.
【续解】 由于x为整数且m为正整数, 则x≠-2且≥1,得-3≤x≤1,于是x=-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m值为1或5,即m=1或m=5时,原方程至少有一个整数根.
【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.
【例3】 设函数f (x)=x2+x+a(a∈R*)满足f (n)<0, 试判断f (n+1)的符号.
【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.
【解答】 因为f (n)<0，所以函数
f (x)=x2+x+a的图像与与x轴有2个
相异交点，如图所示，设横坐标为
x1、x2且x1
则
所以-1
于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0).
【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.
【例4】 过抛物线y2=2px的顶点O作2条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点.
【解答】 因为OA⊥OB，所以OA与OB的斜率成负倒数关系.
设OA的斜率为k，将OA的方程：y=kx代入抛物线y2=2px中，求得A点坐标为,将OB方程代入抛物线方程求B点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以置换A点坐标中的k, 即得B点坐标为(2pk2, -2pk).
因而lAB：y=
故直线AB过定点(2p, 0).容易验证，斜率k=±1时，结论也成立.
【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.
【例5】 已知x、y、z∈R, x+y+z=1，求证:x2+y2+z2≥
【解答】 运用均值代换法.令x=, 则α+β+γ=0, 所以
x2+y2+z2=
(当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z=时“=”成立).
【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.
●对应训练
1.已知M是椭圆上的动点，椭圆内有一定点A(-2,), F是椭圆的右焦点，试求|MA|+2|MF|的最小值，并求这时点M的坐标.
2.已知函数f (x)=-ax, 其中a>0. 求a的取值范围，使函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调函数.
3.如图所示，已知梯形
ABCD中|AB|=2|CD|,
点E分有向线段
所成的比为λ，双曲线过
C,D,E三点，且以A，B为
焦点.当时，求双曲线离心率e的取值范围. 第3题图
4.已知a、b>0,并且a+b=1,求证：
5．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到此面的距离为a，求这个三棱柱的体积.
第5题图
●参考答案
1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可
为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率
与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系，
作MB垂直于右准线l，垂足为B，
如图所示.则
即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第1题解图
易知点M在线段AB上时，|MA|+2|MF|取最小值8，这时点M的坐标为（2）.
2.解析 探究a的值，应倒过来思考.
设x1
得. 注意到x1-x2<0, 所以只要a≥1，就有f (x1)-f (x2)>0. 即a≥1时，函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0
3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了.
事实上，由图形的对称性，可设直线AB为x轴，AB得中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
注意到|AB|=2|CD|，设OC=依题意记A(-c,0)，C, E(x0, y0).
由定比分点坐标公式得
设双曲线方程为将点C，E坐标代入方程，得 ①
②
将①代入②且用e代入，得e2=
又由题设可知e2∈［7, 10］， 所以离心率e的范围是
点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感.
4.解析 容易估计a=b=时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法.
构造
同理
两式相乘
注意到ab≤所以≥4, 故(a+)(b+)≥(当且仅当a=b=时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.
点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.
5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于aS.很明显三棱柱ABC—A1B1C1与三棱柱ACD—A1C1D1体积相等.所以三棱柱ABC—A1B1C1的体积等于
用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.
点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.
第13计 钥匙开门 各归各用
●计名释义
开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑.
所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.
数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.
定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.
●典例示范
【例1】 F1、F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|=2c, 椭圆上的点P（x, y)到F1（-c, 0), F2 (c, 0)的距离之和为2a. 求证：|PF1|=|PF2|=
【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程却有b无c，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.
【解答】 对|PF1| 和 |PF2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF1|= r1, |PF2|= r2的方程组
②-③消y2, x2和c2得 rr ④
①，④联立，解得 故|PF1|= |PF2|=
【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.
【例2】 设数列{an}的前n项和Sn=1+anlgb, 求使成立的b的取值范围.
【思考】 应首先分清{an}是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题.
【解答】 a1=1+a1lgb, 若lgb=0, 即b =1时， a1=S1=1与矛盾.
∴b≠1,于是a1= 而an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).
∴an(1-lgb)=-an-1lgb, =为常数，{an}是首项为公比q=的无穷递缩等比数列(已知存在)，∴q=∈(-1,0)∪(0,1).
由>-1, 即>0, 得lgb<或lgb>1,
又<00
综合①、②，取并集，所求b的取值范围为b∈(0，1)∪(1,).
【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).
(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；
(2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60
,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.
【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有
关计算公式也无法准确解题，例如：
(1)随机事件A发生的概率0≤P(A)≤1, 其计算方法为P (A)=, 其中m ，n分别表示
事件A发生的次数和基本事件总数；
(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与必有一个发生，故A与既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P(A)+P（）=1；
(3)离散型随机变量的期望，Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;
(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.
【解答】 (1)基本事件总数n=C=35, 设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件 ={任取3球，全是白球}.
∵A与为对立事件，而Card=1(任取3球全是白球仅一种可能).
∴P()=,于是P (A)=1-P ()=
即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为
(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),∴P (ξ=50)=
ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)=
ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)=
ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)=
于是ξ的分布列为：
ξ
50
60
70
80
P
∴Dξ=50×+60×+70×+80×=(元).
即该顾客获奖的期望是≈63(元).
●对应训练
1M为双曲线上任意一点， F1为左焦点， 求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.
2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相
切.
3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质:
(1)E(aξ+b)=aEξ+b; (2)Dξ=Eξ2 - E 2ξ.
4M为抛物线y2=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.
●参考答案
1如图所示，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连接PO、MF2,∵|PO|=|MF2|(中位线性质）
∴|PF1| - |PO|=(|MF1| - |MF2|)=·2a= a,
即|PO|= r-a, 故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.
2如图所示，设M为椭圆上任一点，MF1为焦半径，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连OP、MF2.
则|OP|=|MF2|=(2a-|MF1|)= a-r
∴以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
第1题解图 第2题解图
3．（1）∵Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn,
∴E (aξ+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+…+xn pn)+b(p1+p2+…+pn)
= aEξ+b (∵p1+p2+…+pn=1).
（2）Dξ=(x1 - Eξ)2·p1+(x2 - Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…
=（xp1+xp2+…+xpn+…）-2Eξ(x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…)+E2ξ(p1+p2+…+pn+…)
=Eξ2-2Eξ·Eξ+E2ξ·1=Eξ2 - E2ξ.
4如图所示，抛物线焦点F，
准线l:x=,作MH⊥l于H，FM中点
为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQ⊥y
轴于Q，则PQ为梯形MNOF的中位线.
∴|PQ|=
∴以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图
第14计 鲜花开门 情有独钟
●计名释义
冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？
数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？
●典例示范
【例1】 P点在平面内作匀速直线运动，
速度向量v=(4,-3).(P点沿v方向运动，每秒
移动的距离是|v|）.开始时P（-10，10），
求5秒后P点的位置.
【分析】 本质是对P点运动的速度向量
v=（4，3）的理解：因为P点按匀速直线
运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图
每秒P向右移4，向下移3.
【解答】 5秒P向右移20，下移15，设P点5秒后到P′（x, y).
x=-10+20=10, y=10-15=-5. 所以P′（10，-5）.
【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.
【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找=5v=(20,-15), 再求=+
当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数.
【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y=+1(x≥1)的反函数是 ( )
A．y=x2-2x+2 (x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1)
C．y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x≥1)
【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x≥1时，y≥1.∴反函数的定义域为x≥1，排除A、C.∵点（5，3）在f (x)的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x)的图象上，而点（3，5）适合B，不适合D,∴选B.
【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称”等特点，前呼后拥.
【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( )
A． B. C. D.
【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件：（1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值.
∵
故故否定A；当a,b异号时，否定C；当sinx<0时，亦有<0,否定D； ∴选B.
【点评】 可用直接法证明，∵存在且在分母中出现，∴ab>0.又a+b+2=(a+1)+(b+1)≥2，∴≥2. 当且仅当a=b=1时
【例4】 已知四边形ABCD
为矩形且AB≠BC, PA⊥平面ABCD, 连接
AC,BD,PB,PC,PD, 则以下各组向量中,数量
积不为零的是 ( )
A． B.
C. D. 例4题图
【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.
同理,C. ∵PA⊥平面ABCD, ∴，排除D，选A.
【点评】 可用反证法证明不垂直, 假定.∵PA⊥平面ABCD, ∴, 四边形ABCD是正方形, 这与题设AB≠BC矛盾.
●对应训练
1.若f (x)sinx是周期为π的偶函数，则f (x)可以是①sinx, ②cosx， ③cotx， ④tan中的( )
A.①② B.①④ C.③④ D.①
2.下列五个命题：①|a|=a2; ②; ③(a·b)2=a2·b2; ④(a- b)2=a2-2ab+b2; ⑤若a·b=0,则a=0或b=0.其中正确命题的序号是 （ ）
A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤
3.已知等比数列{an}的公比为q,下列命题正确的是 （ ）
A.若q>1, 则{an}为递增数列 B.若0
●参考答案
1.D【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①.
设F(x)= f (x)sinx， 如果f (x)=sinx，则F(x)=sin2x=(1-cos2x).
∵cos2x(从而F(x))是周期为π的偶函数，∴f (x)可以是①，否定C(无须检验③)，如果f (x)= cosx，则F(x)=sinxcosx=sin2x是周期为π的奇函数，与要求不符，否定A；如果f (x)=tan=，则F(x)=1-cosx是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x)仅可以是①, 选D．
【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.
2.B利用向量运算的性质. ∵a与b共线，其夹角为0.∴a2=a·a=|a||a|cos0=|a|2.①正确排除D；设a, b夹角为θ. 则而向量运算中不含除法运算，，②不能成立，排除A；若a⊥b，且a≠ b，则(a·b)2=0而a2·b2≠0, ∴③不能成立，排除C.
3.D选用特殊值取. q=2>1时，a1=-1<0, 则{an}为递减数列，排除A；当0
●计名释义
一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.
等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.
数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？
●典例示范
图中，BC1和DB1分别
是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1
的一条面对角线和体对角线. 例题图
试求它们的距离.
【解答】 连A1C1、C1B和BA1.
得边长为的正三角形A1C1B.
易知，体对角线DB1过△A1C1B
的中心G. 易得GB=GC1.
再作BC1的中点H. 猜想
GH是DB1和BC1的公垂线，
为此只须证明HG⊥DB1.
易知GB1=，HB1=
GH=·· 例题解图
因为 所以GH⊥GB1 即GH⊥DB1.
【说明】 此处证GH⊥DB1就是我们的“望蜀”，其实DB1⊥面A1BC1，而GH是面A1BC1中的线段，当然GH⊥DB1，由此我们“得陇”.
【续解】 故HG是BG与DB1的公垂线.且长度为它们的距离.
【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.
●对应训练
1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,其中a，b，c是非零平面向量，且a与b不共线，则该方（ ）A可能有无数多个实数解 B至多有两个实数解
C至少有一个实数解 D至多有一个实数解
2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A、B、C、D，使得AB=CD=8cm，AC=BD=10cm，AD=BC=13cm.
●参考答案
1.D 由于a与b不共线，所以可设c=ma+nb (其中m，n∈R)，代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx+(ma+nb)=0，即（x2+m) a+(x+n) b=0,又a与b不共线，故有
即 显然，当m>0时，原方程无实数解；当n2=-m≥0时，有一个实数解.故应选D.
【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误.对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.
2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论.
在空间中，分别以8、10、13为边长，
作如图所示平面四边形，它由△ABC和△BCD
组成，公共边为BC=13cm，AC=BD=10cm，
AB=CD=8cm，固定△ABC所在的平面，
令△BCD绕着边BC旋转.显然当D位于 第2题解图
△ABC所在的平面时，AD最大.由BC=13cm，AC=10cm，AB=8cm，可得cos∠BAC=-,即可知∠BAC是钝角，故对于平行四边形（即D在平面ABC内时）ABDC，对角线AD的长小于对角线BC的长，即AD
第16计 摆渡开门 萍水相逢
●计名释义
有道数学题，求证π>. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.
因为π>3，又3>，所以π>.
这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等.
●典例示范
【例1】 已知曲线C ：，求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C1的方程.
【分析】 一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P（x, y)是C1上的动点；（2）求出P（x, y)关于直线x-y+1=0的对称点Q（x′, y′)， (3)将Q点坐标代入C的方程；（4）用x，y表示x′，y′，即得C1的方程.
此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.
【解答】 由x-y+1=0得 代入C的方程得
即得C1的方程得
【点评】 对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线，现在拿来充当替代式，成了名符其实第三者“摆渡”.
【例2】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.
【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：
设AB中点为M(x,y)，那么:，
有:
∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =（1+4x2）（x1-x2）2 =（1+4x2）［（x1+x2)2-4x1x2］
=（1+4x2）［4x2-4（2x2-y）］
已知|AB|=2. ∴（1+4x2)（y-x2)=1所求点M的轨迹方程为：y=x2+
【点评】 本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.
【例3】 椭圆(a>b>0)的右准线是x=1，倾斜角为α=的直线l交椭圆于A、B两点，已知AB的中点为M.
（1）求椭圆的方程；
（2）若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2=的两点，求证：|kOP·kOQ|为定值.
【分析】 按常规，应设直线的斜截式方程，并代入椭圆方程，用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求，可这种方法计算量仍然太大.
请欣赏如下解法：
【解】 （1）椭圆的右准线为x=1，即∴a2=c，b2= a2-c2 = c-c2.
所求椭圆应为： 也就是 (1-c)x2+y2= c（1-c） ①
设弦AB的两端分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:
∵kAB=，又AB中点为M，∴x1+x2=-1，y1+y2=
以上全代入②：1=, ∴1-c=，c=，代入①：x2+y2=
所求椭圆方程为：2x2+4y2=1.
（2）由（1）知椭圆方程：2x2+4y2=1. 设P、Q的坐标依次为（x1，y1），(x2，y2).
有：③
∴|OP|2+|OQ|2=, ∴(x+y)+(x+y)= ④
③代入④：x+x+-（x+x）=,
∴x+x=.
∵
故|kOP·kOQ|=为定值.
【点评】 本解的优点是：
1.为确定椭圆方程，须求两个参数a与b，这里先由准线的条件归为只须求一个参数c；
2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值，都需要利用弦AB或PQ的端点，这里只是抽象的设定而并不真的去求它，在解题过程中都自然地逐一消失，使“设而不求”的技术达到最佳效果.
【例4】 设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程;
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
【分析】 （1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”；（2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.
【解答】 （1）∵点N（1，3）在椭圆3x2+y2=λ内，
∴3·12+32<λ，即λ>12，∴λ∈（12，+∞）.
设AB两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：
（1）-（2）：3（x1-x2）（x1+x2）
+（y1-y2）（y1+y2）=0 （3）
∵N(1，3)是线段AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6. 代入（3）： 例4题解图
6（x1-x2）+6（y1-y2）=0，于是kAB=，故直线AB的方程为：y-3= -（x-1），即x+y-4=0.
（2）解法1：CD为AB的垂直平分线，且kAB=-1，∴kCD=1，直线CD：y-3=1·（x-1），即x-y+2=0.直线AB的参数方程方程是：
∴代入椭圆方程得：，即2t2+12-λ=0.（由（1）知λ>12），设此方程之二根为tA，tB，则tA·tB =
直线CD的参数方程方程是：
代入椭圆方程得：，即2t2-6t+12-λ=0.
设此方程之二根为tC ，tD ，则tC·tD=
由（4），（5）知|tA·tB|=|tC·tD|，也就是│AN│·│BN│=│CN│·│DN│，这就是说，存在λ>12，使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.
【小结】 按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要“求”出最后的结果的.这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”.
从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少.因此需要做到:（1）凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;（2）“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.（3）“设而不求”的思想还可以应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.
●对应训练
1.长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.
2.求过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点，且和直线x+3y-4=0相切的圆的方程.
3.已知直线y=-x+1与椭圆(a>b>0)交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.（1）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程.
4.已知，(a>0，a≠1，x>0)，判断f (x)的单调性，并证明你的结论.
5.如图,已知直线l：x-ny=0（n∈N)，
圆M：(x+1)2+(y+1)2 =1,
抛物线φ：y=(x-1)2，
l交M于A、B，
交φ于C、D，
求 第5题图
●参考答案
1.无须设直线的点斜式解方程组.设A(x1，y1)，B (x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：
设AB中点为M(x，y)，那么:
有:
∴|AB| 2=（x1-x2）2+（y1-y2）2 =（1+4x2 )（x1-x2)2
=（1+4x2)［（x1+x2)2-4x1x2］
=（1+4x2)［4x2-4（2x2-y)］
已知|AB|=2. ∴（1+4x2）（y-x2）=1 所求点M的轨迹方程为：y=
2.无须求直线与圆的交点.设所求圆的方程为：x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0.
即x2+y2+（λ-2）x+2λy-3λ=0 ①
此圆的圆心为D
半径R=
∵直线x+3y-4=0与圆相切.
∴
化简得：λ2-4λ+4=0,∴λ=2.
代入①：x2+y2+4y-6=0 ②
②即为所求圆的方程.
3.无须先求直线与椭圆交点的坐标.
由
得AB中点为M,
∵点M在直线x-2y=0上，∴a2=2b2. 即 a2=2(a2-c2)，∴a2=2c2, e=
容易求得F(c,0)关于直线l：x-2y=0的对称点为F′.
代入x2+y2=4，得 c2 = 4，从而a2=2c2=8，b2=c2=4.
则所求椭圆方程为
4.无须先求函数的解析式.
设logax=t，则x= at，（t∈R).原函数式变形为:f (t)=或(x∈R).
∵
这里a≠0，无论a>1或0
的交点再求弦长，
如图，圆心M(-1，-1)到直线
x-ny=0的距离为：
∴|AB| 2=（22= 第5题解图
由
设此方程之二根为xC ，xD，则
|CD|2=（xC - xD)2+(yC - yD)2=
于是：
第17计 化归开门 江山一统
●计名释义
整数乘法有口诀：2×3=6，5×7=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀，那么分数在怎样作乘法呢？，原来是在进行“转化”，变成了分子分母上的整数乘法.
化归思想，连小学生都在用，有一老师问学生：前100个偶数的和为多少？一学生回答：10100.
老师问怎么来的？学生回答：由前100个自然数的和来的：
2+4+…+200=2×（1+2+…+100）=2×5050=10100.
这就是数学解题中的“化归法”，复杂向简单化归，陌生向熟悉化归，未知向已知化归.
●典例示范
【例1】 已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1.求数列的通项公式及前n项和Sn.
【分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换.
【解答】 在递推式an+1=2an+1两边加1，化为(an+1+1)=2(an+1)，数列{an+1}为等比数列，公比q=2. 所以an+1=2n-1(a1+1)，即an=2n-1，且Sn=2n-n-1.
【插语】 本数列的一般形式为：an+1=kan+b(k≠0、1，b≠0)，有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例，分别是k=1，或b=0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得：
设an+1+c=k(an+c)=kan+kcan+1=kan+kc-ckc-c=b，c=
对于上题，b=1，k=2，因此解得c=1.
【点评】 化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是an+1+c=bn+1=kbn.
说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路呢？
【例2】 已知三条抛物线y=x2+4ax-4a+3，y=x2+(a-1)x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一条抛物线与x轴有交点，求实数a的取值范围.
【解答】 解答本题如果从正面入手，将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x轴有交点的三类七种情况加以讨论，过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考，即考虑三条抛物线都不与x轴相交，则只要解下列不等式组：
所以使得原命题成立的实数a的取值范围是a≤
【点评】 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.
已知a，b，c均为正整数，且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c，求的值.
【解答】 因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价，这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0,故
【点评】 将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.
●对应训练
1.空间两条异面直线a，b所成的角为，过不在a,b上的任意一点P作一条直线c，使直线c与直线a,b成相等的角θ，则θ的取值范围为 ( )
A.θ∈Φ B.θ∈{}
C.θ∈［，] D.θ∈［，］
2.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则等于 （ ）
A.2a B. C.4a D.
3.函数f (x)满足:对任意实数x,y都有f (x)+f (y)=，且当x<0时，都有f (x)>0.
求证：
●参考答案
1.解析 若在三维空间考虑该问题，
就显得千头万绪.如右图所示，
过直线b上任意一点A作直线
a′∥a，a′与b确定平面a，
把点P移动到A点，问题便转化 第1题解图
为过A点作一条直线c′与直线a′，b
所成的角均为θ，求θ的取值范围.
易知当直线c′在平面a内时，
直线c′与a′，b所成的角最小为，当c′⊥a时，直线c′与a′，b所成的角最大为，故选D.
2.解析 一般解法是先求出焦点F坐标为（0，)，然后由直线PQ的方程与抛物线的方程联立，求出p，q的值,运算过程繁杂，容易出错.
若把一般性的PQ的直线方程转化为特殊性的方程，即取PQ与x轴平行的方程y=，很快就能选出正确答案C.应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果.
3.证明 易证f (x)为奇函数,且当x>0时都有f (x)<0.先从入手，向题设条件转化:
由于
故有=
再整体处理不等式左端数列的和有
依题意，恒有，则
故原不等式成立.
点评 本题融函数、数列、不等式为一体，正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化.
第18计 转换开门 亦必亦充
●计名释义
转换是化归的实施.化归重在理念，转换重在操作.
转换是寻找“替身”，由彼及此，“彼”得对“此”全盘负责.因此，转换前面经常冠以“等价”二字，即“等价转换”.
从“条件”的角度看问题，转换是在寻找解决问题的充要条件，而化归有时在寻找解决问题的充分条件，甚至是探究中的必要条件.
●典例示范
【例1】 设0
【解答】 （i)n=1时，a1=1+a>1，命题真;
(ii)假设n=k时，命题真，即ak>1. 对n=k+1，欲使ak+1>1，只须ak+1=
【插语】 因为ak>1，所以<1，由递推式ak+1=+a推不出ak+1>1来，因此，问题向何处转化，得另寻对象.
递推式中，ak出现在分母上，要得到ak+1成立必须找ak的取值范围.
【续解】 欲使ak+1=+a>1,必须且只须对一切n∈N+, 都有ak<
【插语】 以下问题转化为用数学归纳法证明1
因为1-a2<1(1+a)(1-a)<11+a< 所以+a<1+a<，即ak+1<
由（i)(ii)可知，对一切n∈N+，都有1
【例2】 在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A.第一 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】 =.这里都是负数，故复数对应的点位于第三象限，选C.
【点评】 本解实施由复数向实数的转换.
【例3】 设f (x)=log3(x+6)的反函数为f -1(x)，若［f -1(m)+6］［f -1(n)+6］=27， 则f(m+n)= .【解答】 由f (x)=log3(x+6)f -1(x)=3x-6.∴［f -1(m)+6］［f -1(n)+6］=273m·3n=33m+n=3.∴f(m+n)=log3(3+6)=2.
【点评】 本解实施函数与其反函数之间的互相转换.
【例4】 定义在R上的函数f (x)的图象关于点（，0）对称，且满足f (x)= -f (x+)，f (1)=1，f (0)=-2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2006)的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】 由f (x)= -f (x+)f (x+3)= f［(x+）+］=-f (x+)=f (x)知f (x)是最小正周期T=3的周期函数；由f (x)的图象关于点（，0）对称，知（x,y）的对称点是（--x，-y）.也就是若y=f (x)，则必-y=f (--x)，或y=-f (--x). 而已知f (x)=-f (x+)，故f (--x)= f (x+),今以x代x+，得f (-x)= f (x)，故知f (x)又是R上的偶函数.于是有：f (1)=f (-1)=1；f (2)= f (2-3)=f (-1)=1；f (3)= f (0+3)= f (0)=-2;
∴f (1)+f (2)+f (3)=0，以下，这个数列每3项之和为0. 而2006=3×668+2，于是f (2006)=0×668+f (1)+f (2)=2，故选A.
【点评】 本解实施的是由繁向简的转换.
【例5】 对于函数f (x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：①f (x1+x2)= f (x1)·f (x2)；②f (x1· x2) =f (x1)+f (x2)；③>0；④<，当f (x)=lgx时，以上结论中正确结论的序号是 .
【解答】 取x1=10，x2=100， 那么lg(10+100)=lg110，而lg10×lg100=2，知①不成立；lg(10×100)=lg1000=3，而lg10+lg100=1+2=3，知②成立；>0显然成立，③正确；lg=lg55=lg，，则④不成立.
综上，只有②③成立.
【点评】 本解实施的是虚实转换.使用特殊值使这种转换更为简洁直观.
●对应训练
1.函数y=(x≠kπ；k∈Z)的值域是 ( )
A.［2，+∞） B.（1，2］ C.（0，4］ D. ［4，＋∞）
2.若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ( )
A.4005 B.4006 C.4007 D.4008
3.设复数z满足=i，则|1+z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
4.在棱长为１的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去８个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D.
5.若双曲线2x2-y2=k(k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= ( )
A.1 B.4 C.6 D.8
●参考答案
1.D 令u=sin2x，则0
∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数（第一个负数），且|a2003|>|a2004|,
∵在等差数列{an}中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=>0.
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4006.
3.C 利用合分比性质，由，解得z=-i， ∴|1+z|=|1-i|=.
4.B 设每个三棱锥的体积为V′，则剩下的凸多面体的体积是
V=1-8，V′= ∴V=1-8V′=1-×8=
5.C 双曲线为，a2=，b2=k，∴c2=a2+b2=，由条件：c-=2，即=2. ∴b2=2c，得：k=2· ∴k2=6k，k>0，∴k=6.
第19计 模式开门 请君入瓮
●计名释义
数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.
如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.
数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.
第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.
典例示范
【例1】 实数x，y满足x2+(y-1)2=1，则使不等式x+y+c≥0恒成立的实数c的取值范围是 （ ）
A.［-1，-1］ B.［-1，+∞)
C.( +1，-1) D.(-∞，-1)
【分析】 容易看出：x2+(y-1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c≥0表示直线y=-x-c即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x，y）既在直线y=-x-c上方，又在圆x2+(y-1)2=1上运动时，实数c应满足什么条件？
【解答】 如图，斜率为-1的直线
y=-x-c切圆x2+(y-1)2=1于A，B，
交y轴于M，N.连AB，
则AB过圆心C（1，0）.
等腰直角三角形MCB中，∣CB∣=1，
∴∣CM∣=，设M（0，-c），
必-c=1-，得M（0，1-）.
当且仅当-c≤1-时，圆x2+(y-1)2=1 例1题解图
上的点在直线y=-x-c上或其上方.于是c≥-1，选B.
【例2】 正数x，y，z满足方程组，则xy+2yz+3xz的值是 .
【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.
【解答】 将原方程组改写如下：，
构造如图的直角三角形ABC，使AB=5，
AC=4，BC=3.又在△ABC内取一点P，
使∠APB=150°，∠APC=120°，
∠BPC=90°.显然符合题设条件.
∵S△APB+S△BPC+S△CPA=S△ABC，
而S△APB=x·y·sin150=xy，
S△APC=xz·sin120°=xz， 例2题解图
S△BPC =z·y=yz，S△ABC=6.∴xy+xz+yz=6，
∴xy+2yz+3xz=24.
【例3】 某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=.
(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的
25％，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p的取值范围.
(Ⅲ)当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p最高时，问原有道路标段为多少个？
【解答】 （Ⅰ）新建x个标段，则应建n=ax+b个道口，建x个标段需kx万元，建（ax+b）个道口需
y=kβ(ax+b)(万元).
(Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］,
∴0.05≤≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,
又p==.
∵p>0,β>0，∴>0，当β∈［4,9］时，∈［，］，所求p的范围是：
.
(Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大，
故β=9，又b=4.
∴p=，当且仅当a=. a>0，即a=4时，造价比p=为最高.∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.
【点评】 本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.
【例4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小?
【思考】 此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来.
【解答】 设扇形OAB的半径为R，中心角为2α.
(1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，
则S□CDEF ＝DE·EF=Rsinθ··［cos2(α-θ)-cos2α］
当2(α-θ)=0，即θ=α时，S□CDEF有最大值tanα.
（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF＝OE＝Rcosθ，
则S□CDEO=DE· EF=Rsinθ·Rcosθ=sin2θ，当2θ=即θ==α，S□CDEO有最大值.
(3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF为扇形的内接矩形，取的中点M，连结OM，则∠BOM=α,∠DEO=π-α，令∠DOM=θ，则矩形面积S=CD·DE=2R·sinθ［cos (2θ-α)-cosα］，当cos(2θ-α)=1.
即θ=时，Smax=.
此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF，再沿其周界切开即可.
例4题解图
●对应训练
1.已知a
3.设n是大于1的自然数，求证：
4.若a，b≠0，且a2+b2=1，求证：
5.α,β,γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，求证：tanαtanβtanγ≤
6.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（百台）.
(1)把利润l表示为产量x的函数L (x);
(2)年产量为多少时，企业所得利润得大？
（3）年产量为多少时，企业才不会亏本？
7.在边长为5cm，6cm，7cm的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论
●参考答案
1．原题即证：a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2<0或a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)<0.
设f (a)=a2(b-c)+a (c2-b2)+bc (b-c) (a
∴f (a)的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x=，而>b>a，函数在上递增，∴f (a)
设有A(a,b)，B(c,d)两点，
连接AO，OB，显然
|OA|+|OB|≥|AB|(当A、O、B
共线时等式成立).
∴ 第2题解图
若将点B的坐标改为 (-c,-d)，则有：
.
3设,
即, 则.
两式相乘：A2>2n+1，∴A=2.
即 .
4.在坐标平面内设有两点A(a，b),B，
则|AB|=
设过A的直线l：ax+by-1=0.
∵a·a+b·b-1=a2+b2-1=0,
∴点A(a，b)符合条件a2+b2=1.
作BC⊥l于C，则|AB|≥|BC|
（当直线l⊥AB时等式成立）.
∵|BC|= 第4题解图
∴≥3. 即≥9.
5如图所示，设长方体的长、宽、高
分别为a，b，c，连接BD1，设∠BD1B1=α,
∠BD1A=β，∠BD1C=γ.
∵BD1=，B1D1=,
AD1=,
CD1=，∴满足
cos2α+cos2β+cos2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图
于是tanα·tanβ·tanγ=
≤
故tanα·tanβ·tanγ≤
6.（1）年产量在500台以内（即0≤x≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x>5）.只能售出500台，x(百台)的生产成本为C(x)=0.25x+0.5(万元).
故利润函数L(x)=R(x)-C(x).
当0≤x≤5时，L(x)=(5x-x2)-(0.25x+0.5)= -x2+4.75x-0.5.
当x>5时，由于只能售出500台，∴L(x)=(5×5-×52)-(0.5+0.25x)=12-0.25x.
于是.
(2)为使利润最大，须求L(x)的最大值，显然x>5时不可取（会造成积压）.
当0≤x≤5时，∵L′(x)=-x+4.75，命L′(x)=0，得x=4.75，L(x)的图像为开口向下的抛物线，∴当x=4.75时，［L(x)］max==10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大.
(3)为使企业不亏本，必须L(x)≥0.显然，0≤x≤5时，应使-x2+4.75x-0.5≥0.
即2x2-19x+2≤0，解得0.11≤x≤14，综合得：0.11≤x≤5.
x>5时，应使12-0.25x≥0，得5
7.可以办到.如图所示，证明如下：
设△ABC内切圆半径为r，则
S△ABC=(5+6+7)r=9r ①
∵cosB= 第7题解图
∴sinB=
∴S△ABC=·5·6·=6（cm2） ②
比较①，②：9r=6得r=（cm），于是S⊙O==8（cm）2.
第20计 讨论开门 防漏防重
●计名释义
为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”.分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.
分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使:
①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.
分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.
●典例示范
【例1】 已知a∈R，函数f (x)=x2|x-a|.
(1)当a=2时，求使f (x)=x成立的x的集合；（2）求函数y=f (x)在区间［1，2］上的最小值.
【分析】 (1)只需分两种情况讨论；（2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.
【解答】 (1)当a=2时，f (x)=x2|x-2|=
当f (x)=x时，即x2(x-2)=x (x≥2)或x2(2-x)=x (x<2)x3-2x2-x=0，x(x2-2x-1)=0,
x1=0(舍去），x2=1-(舍去），x3=1+.
当x2(2-x)=x时，∴x3-2x2+x=0，x(x2-2x+1)=0，x=0或x=1.
综上所述：a=2时，f (x)=x成立的x的集合为{0，1，1+}.
(2)f (x)= 若a≤1时，即a<1≤x≤2，f (x)=x3-ax2.
∴f ′(x)=3x2-2ax=0，∴x1=0，x2=a ∵1≤x≤2，∴a
f ′(x)>0，即f (x)在［1，2］内为增函数. ∴f (1)=1-a，f (2)=8-4a. ∴f (x)min=1-a.
若a∈(1，2)，即f (x)=
当1≤x≤a时，f (x)=-3x2+2ax=0，x1=0，x2=a.
若a<时，1≤x
当a≤x≤2时，f ′(x)=3x2-2ax=0，x1=0，x2=a. 当x∈［a，2］，f ′(x)>0.
∴f (x)在［a，2］上为增函数. ∴f (x)min=0.
当a>2时，x∈［1，2］. f (x)=x2(a-x)= ax2-x3.
∴f ′(x)=2ax-3x2=0. ∴x1=0，x2=a
若
∴f (x)min为a-1，4a-8中的较小数. 即2
综上所述，a≤1时，f (x)min=1-a,
a∈(1，2)时，f(x)min=0, a∈(2，)时，f (x)min= 4a-8;
a∈［，3］时，f (x)min=a-1; a∈(3，+∞)时，f （x）min=a-1.
【点评】 本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x的取值进行讨论，第（2）问中对a的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在.
【例2】 设f (x)=g(x)-h(x)，其中g(x)=2x3++5，h(x)=(3a+3)x2-12a(1-a)x+.
(1)若x>0，试运用导数的定义求g′(x);
(2)若a>0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x)的单调递增区间与单调递减区间.
【解答】 （1）g′(x)= =
=.
(2)由f (x)=g(x)-h (x)=2x3-(3a+3)x2+12a(1-a)x+5得f′(x)=6x2-(6a+6)x+12a(1-a)=6(x-2a)(x-1+a),令f′(x)=0得x=2a或x=1-a.
①当0
③当1≤a<3时，1-a≤0<2a<6，于是函数f (x)在［0，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增；
④当a≥3时，1-a<0<6≤2a，于是函数f (x)在［0，6］上单调递减.
【点评】 本题中对a的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.
●对应训练
1.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定:当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是
A27 B26 C9 D8
2.若数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则等于 （ ）
A B C D
3. 如图，已知一条线段AB，
它的两个端点分别在直
二面角α-l-β的两个面内转动，
若AB和平面α、β所成的角分别
为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围.
第3题图
●参考答案
1.A 由于A={a1，a2，a3}=A1∪A2，以A1为标准分类.
A1是，则A2={a1，a2，a3}，这种分拆仅一种，即C·C=1;
如A1为单元素集，有C种可能,对其中每一种，例如A1={a1}，由于必有a1，a3∈A2，且a1∈A2或a1A2都符合条件. 这种分拆有C·C=6种.
如A1为双元素集，有C种可能,对其中每一种，不妨设A1={a1，a2}，则必a3∈A2，此外对a1，a2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有C·4=12种.
若A1为三元素集，则A2可以是{a1，a2，a3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.
2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n分奇数、偶数两种情况进行讨论.
解析：根据题意，得an=
∴{a2n-1}是首项为，公比为的等比数列，{a2n}是首项为，公比为的等比数列.
∴
= 故选C.
点悟：解分类讨论问题的一般步骤为：
（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；
（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
（4）归纳总结：将各类情况总结归纳.
3.分析：由于AB于l的位置关系不定，故需分类讨论.
解：（1）当AB⊥l时，显然θ1+θ2=90°.
（2）当AB与l不垂直时，在平面α内作AC⊥l，垂足为C，连结BC.
∵平面α⊥平面β，∴AC⊥平面β. ∴∠ABC是AB与平面β成的角，即∠ABC=θ2.
在平面β内作BD⊥l，垂足为D，连结AD. 同理可得∠BAD=θ1.
在Rt△BDA和Rt△ACB中，∵BD
（3）若线段AB在直线l上，则θ1+θ2=0°. 综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°.
点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.
第21计 图表开门 信息传送
●计名释义
图表也是一种数学语言.这种语言以图形和表格的形式传送信息，它有立意新颖，设计灵活，构思精巧，内涵丰富，解法多样等特点，因而备受当今命题人的青睐，许多创新题型每每在图表上打主意.
解图表型题目应在读图表，识图表和用图表上找窍点，通过观察找到其中的关键点，有效地实现图表语言到文字语言的转化，从而在思考上引起质的飞跃，从而达到破题的目的.
●典例示范
【例1】 如图，甲、乙两人分别
位于方格中A、B两处，从某一时刻开始
，两人同时以每分钟一格的速度向东或
西或南或北方向行走，已知甲向东、
西行走的概率均为，向南、北行走的
概率分别为和p；
乙向东、西、南、北行走的概率均为q. 例1题图
(1)求p和q的值；
（2）试判断最少几分钟，甲、乙两人可以相遇，并求出最短时间内可以相遇的概率.
【分析】 同时进行两个相互独立事件，因为概率的总和为1，因此有以下解答.
【解答】 （1）甲向四个方向行走是一个必然事件，
∴+++p=1, ∴p=. 同理4q=1，∴q=.
【分析】 甲、乙二人到底在哪儿相遇没有定数，但我们可以看到，甲、乙二人在一个正方形的两个对角顶点上.他们要在最短时间内相遇，他们必须沿着这个正方形的边行走.
【解答】 (2)如解图，
设甲、乙两人在C、D、E处
相遇的概率分别为pC、pD、pE.
【插语】 从图形中来，
回到图形中去，在图上标明
这三点，让我们的思路一目了然，
才会有下面的解答.
【继解】 甲、乙两人最少需要2分钟可以相遇.
【插语】 每人朝对方走2步，
因为他们的速度相同（每分钟都是一格）. 例1题解图
【继解】 则pC=， pD=2，
pE=×=
∴pC+pD+pE= 即所求的概率为.
【评说】 这是一个几何图形信息题，具有多样性、直观性的特征，充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数是解决信息题的关键.
函数f (x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
-80
-24
0
4
0
0
16
60
144
280
则函数y=lg f (x)的定义域为 .
【分析】 所求函数为复合函数，只需f (x)>0即可，但f (x)中含有四个系数a，b，c，d，所以先确定它们的值.
【解答】 设f (x)=a(x+1)(x-1)(x-2)，而f (0)=4，∴a=2.
【插语】 为什么这样设?这来源于表格中y有三个0值点，关键点的选取，使我们的系数一下减少了3个. 此设是本题的一个突破口.
【续解】 ∴f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2).
要使y=lg f (x)有意义，则有f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0,
由数轴标根法解得-1
∴函数y=lg f (x)的定义域为(-1，1)∪(2，+∞).
【评说】 本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，属开放问题，这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口，这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.
●对应训练
1.甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示.
(1)根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图，推断乙击中8环的概率P（ξ乙＝8），并求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；
（2）根据这次训练比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.
第1题图
2.如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin= .
第2题图
●参考答案
1.（1）由图乙可知P（ξ乙＝7）＝0.2,P(ξ乙＝9）=0.2，P(ξ乙＝10）＝0.35,
∴P(ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.35=0.25.
由图甲可知P（ξ甲＝7）＝0.2，P(ξ甲＝8）=0.15，P(ξ甲＝9）＝0.3,
∴P(ξ甲＝10）＝1－0.2-0.15-0.3=0.35.
∵P(ξ甲≥9)=0.3+0.35=0.65，P(ξ乙≥9)=0.2+0.35=0.55.∴甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率为：
P＝P（ξ甲≥9)×P(ξ乙≥9）=0.65×0.55=0.3575.
(2)∵Eξ甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,
Eξ乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7, ∴Eξ甲>Eξ乙，所以估计甲的水平更高.
【评说】 条形统计图能直观反映各种数据，具有可比性、规律性.理解图形内容,找出变化趋势和规律,是解答条形图信息的关键.
2.从第一图的开始位置变化到第二图时，向量绕点O旋转了(注意绕点O是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量绕点O旋转了，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量绕点O旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量绕点O共旋转了-6π，即θ= -6π，因而sin.
【评说】 本题要仔细阅读题意，分析图形，把握图形与题意的联系，可从简单情形，特殊位置入手，找到变化规律来解决问题.
第22计 数形开门 体美神丰
●计名释义
“有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义.
“凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征.
“遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动.
“图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补.
“观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏.
函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等.
然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在.
这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？
●典例示范
【例1】 若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a>0，a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是 .
【解答】 函数y=|ax-1|=，其图象由y=|ax|（a>0，a≠1）的图象下移一个单位得到.如图，当a>1时，直线y=2a与y=|ax-1|(a>0，a≠1)的图象仅一个交点； 当0
例1题解图
【评注】 本题也是有数无形，解法是“图形开门，体美神丰”.
当曲线y=1+与y=k(x-2)+4有两个相异交点时，
实数k的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【解答】 方程即y=1+即x2+(y-1)2= 4 (y≥1)，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆；方程y=k(x-2)+4表示过（2，4）且斜率为k的直线.原题的含义是：当直线与半圆有两个相异交点时，该直线的斜率应在什么范围？
如图，直线MB、MC与半圆切于B、C，
半圆的两端依次为A（-2，1）（2，1）.
显然，线段AB内任意一点与M的连线
与半圆都只一个公共点，
∴kmax=kMA=，设直线
MC交直线y=1于N，令
∠DMC=∠DMB=α，∠DNM=β，
例2题解图
显然tanα=，∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α=，
于是斜率k∈，选B.
【反思】 只有准确理解“数”的意义，才能恰当的“图形开门，体美神丰”.
【例3】 设实数(x，y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，则的最小值是 .
【解答】 圆(x-1)2+(y-1)2=1
的圆心C (1,1)，半径r=1. 如图所示，
此圆在第一象限且与两轴相切，
为求的最小值. 先求的最大值.
表示圆上的点（x,y）与定点P（-1，0）连线的斜率. 例3题解图
∴kPA≤≤kPB（其中PA、PB为过P所引圆的切线）. 设∠APC=∠CPB=θ，则tanθ=,
∴tan∠BPA=tan2θ=. ∴ 从而
【例4】 已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当x∈(0，3)时，f (x)的图像如图所示，那么不等式f (x)·cosx<0的解集是 .
【思考】 将f (x)在（-3，3）内的图像补充完整如图所示.
可知：当x∈(-1，0)∪(1，3)时，f(x)>0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx<0，得x∈;
当x∈(-3，-1)∪(0，1)时f (x)<0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx>0，得x∈∪(0,1)
∴f (x)·cosx<0的解集为∪(0,1)∪.
例4题图 例4题解图
【点评】 仅凭图像，无法断定f (x)的解析式，就本题而言，也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x)的正、负区间即足够解题需要，这即是图形的功能.
●对应训练
1.若不等式x2-log ax<0在(0，0.5)内恒成立，则a的取值范围是 （ ）
A.≤a<1 B.0
2.P是抛物线y=x2上任意一点，则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时，P与该抛物线的准线距离是（ ）A. B. C.1 D.2
3.方程的实根共有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若方程=2有实数解，则a的取值范围是 （ ）
A.(-2，0)∪(0，) B.［-2，0)∪(0，］
C.(-2，) D.［-2，］
5.若关于x的方程2log2(x+a)=1+log2x有且仅有一个实数解，试求实数a的取值范围.
●参考答案
1.A 在同一坐标平面内作y1=x2，y2=log ax的图像，如图，
由题意可知必有0
第1题解图 第2题解图
2.B 作出y=x2及x+y+2=0的图像如图所示，设与x+y+2=0平行的抛物线切线为L，由图可知，切点P0到x+y+2=0的距离最小，设P0（x0，y0）,则L方程为y=-x+b与抛物线y＝x2联立得：x0=，则y0=x=. 所以P0到抛物线准线y=-的距离为.
3.A 设y1=，
变形得(x-2)2+y=8，∴y1的图像是以（2，0）为圆心，2为半径的上半圆， 设y2=，变形得：(x-1)·(y2+1)=1，y2的图像是以直线x=1，y=-1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根.
第3题解图 第4题解图
4.A 原方程可变形为lg=lg(x-a)，设y=，它表示以原点为圆心，为半径的半圆，如图，设y=x-a(y>0)，它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a的几何意义是射线在x轴上的端点，如图所示，当-2≤a<时，两曲线有交点，又因为x-a≠1，令x=1+a代入方程2-x2-(x-a)2=0，解得a=0或a=-2，所以a≠0且a≠-2，故a∈(-2，0)∪(0，).
5.解析 ∵原方程
∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a=在x>0时有且仅有一个实数解.
问题转化为直线y=x+a与曲线y=(x>0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点，由图像易得a=或a≤0.
点评 本题若用代数方法求解比较繁琐，由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.
第23计 探索开门 智勇双锋
●计名释义
所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.
过河人还需要两大素质：大智大勇！
面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证.
●典例示范
【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足
条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考】 显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.
【解答】 连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1
例1题图 例1题解图
证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1.
【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2
【解答】 由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.
故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.
∵1-2x2≤1<2，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2 ∴1-2x2∈(-∞,2］，1+2x-x2∈(-∞,2］
当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时， 1-2x2<1+2x-x2
即x2+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2
【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为q.
∵a3a4=a1a6, ∴由
即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为an=·2n-1或an=·n-1.
（1）如an=·2n-1，设存在题设要求的m∈N，则2×=
化简得：22m-7·2m-8=02m=8，∴m=3.
（2）如an=·n-1，设存在m∈N,使2·
化简得：4(26-m)2－11·26-m-8=0，这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在. 综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3，数列的通项公式为：
an=·2n-1.
【例4】 将二次函数f (x)=ax2+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b.
(1)求f (x)=x2+2x+1对应的一次函数g (x). （2）观察后请写出这个对应法则.
（3）可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质：当g(x)>0时，对应的f (x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？
（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式.
【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b，知f′(x)=g(x)，可见，只有当
g(x)= f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质.
【解答】 (1)∵a=1，b=2，∴g (x)=2x+2.
（2）①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积；
②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数.
(3)g(x)>0，即2ax+b>0，当a>0时，x>，而x=是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单调增函数；a<0时，x<，f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为.后者单调区间为).
(4)当g(x)<0时，f (x)是单调减函数(请仿照（3）证明之).
(5)g(x)=x时，2ax+b=x，知a=，b=0. 只须在f (x)=ax2+bx+c中，命a=，b=0，c取任意值即可，如f (x)=x2+1，f (x)=x2+，f (x)=x2+5.
【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.
●对应训练
1.已知圆O′过定点A（0，P）(P>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上截得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ.
(1)当O′运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；
（2）求的最大值,并求取得最大值的θ的值.
2.如图所示，已知在矩形ABCD中，
AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面AC，
且PA=1.
(1)问BC边上是否存在Q，
便得PQ⊥QD，并说明理由；
（2）若BC边上有且只有一点Q，
使得PQ⊥QD，求这时二面角
Q—PD—A的大小. 第2题图
3.已知椭圆(a>b>0)的离心率e=，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点距离为.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由.
4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件：
①原点O与直线x=1是它的焦点和准线；
②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.
●参考答案
1.(1)如图所示，设抛物线上一点O′(x0，)，
连结O′A，O′M. 作O′C⊥MN于C，
则|MN|=2|MC|，
∵|O′M|=|O′A|=
∴|MC|= 第1题解图
∴|MN|=2p为定值.
即当O′运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p.
(2)如图所示，有M（x0-p，0），N(x0+p，0)
∴d1= d2=
∴d+d=4p2+2x，d1d2=
∴=
=4
当且仅当x=2p2，即x0=±p，y0=p时等式成立，此时|O′M′|=|O′N′|=p.
∴∠MO′N=90°， ∴△MO′N为等腰直角三角形. ∴θ= 45°.
2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD，∵PA⊥面ABCD，只需满足AQ⊥QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件，从而使问题得到解决.
【解答】 （1）连结AQ，∵PA⊥面ABCD.
∴要使PQ⊥QD，只要AQ⊥QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点.
这就是说，当AD≥2AB，即a≥2，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD.
(2)∵当a>2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点.
当a=2时，只有BC的中点满足条件.
∴AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM.
∵面PAD⊥面ABCD，QM⊥AD，∴QM⊥面PAD.过M作MN⊥PD于N，连结NQ.
根据三垂线定理有，QN⊥PD. ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角.
在Rt△QMN中，QM=1，MN=MD·sin∠MDN=1×. ∴tan∠MNQ=.
∴二面角Q—PD—A为arctan.
3.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a、b的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k值则存在，反之，则不存在.
【解答】 （Ⅰ）e=，∴，∴a2=3b2，即a=b.
过A（0,-b），B (a,0)的直线为.
把a=b代入，即x-y-b=0,
又由已知，解得b=1，∴a=.
(Ⅱ)设C(x1，y1)，D（x2，y2）.
由消去y， 得(1+3k2)x2+12kx+9=0.
必须 1+3k2≠0且Δ=（12k）2-36(1+3k2)>0 ∴k<-1或k>1 ①
要存在k满足①且使, 即x1x2+x1+x2+1+y1y2=0. ②
∵y1=kx1+2，y2=kx2+2
∴②式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 ③
∵x1+x2=，代入③得9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0.
∴k=满足①式.∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是.
4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得：.
化简为：(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0
将弦所在直线y=x+b代入得：(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0
设弦AB的两端点A(x1，y1)B (x2，y2)，AB中点M（x0，y0）则
x1+x2=，x1x2=，x0=
即y0=x0+b=+b，代入x+y=0，得b=-2.
从而x1+x2=2，x1·x2=弦长|AB|=
解得e=2符合题意,
所以存在双曲线方程：3x2-y2-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线.
第24计 杠杆开门 以轻拨重
●计名释义
派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找.
其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力.
支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，……，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！
●典例示范
【例1】 正四面体的高线长为4，求其外接球的体积.
【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆，要“扛”的东西就来了.线段AB的重心在其中点M点.如果A，B处各放1个质点，则其点M会聚了2个质点.正三角形ABC的重心在它的中线CM上，C点放1个质点，中点M处有2个质点，故重心G会聚了3个质点，按杠杆原理，CG=2GM.
至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？
【解答】 设正四面体的顶点为V，底面中心为G，四面体中心为O. 由杠杆原理，O在GV的第1个四等分点上，即VO=3OG.
因此，正四面体的外半径R=h=3.
故正四面体体积为πR3=36π.
【点评】 如果派大力士去解此题，他将是：①先解2个直角三角形求得“斜高”；②用列方程求外半径.精力过剩者，这当然是一种乐趣.
直线l左移3个单位，再上移1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的斜率是（ ）
A. B.-3 C. D.3
【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O（0，0）左移3个单位，上移1个单位得M（-3，1）.
于是k+l=kOM=.选A.
【点评】 两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨重之目的,即是最实惠的选择.
【例3】 若函数f (x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f (x)= ( )
A.10-x-1 B.10x-1 C.1-10-x D.1-10x
【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y=lg(x+1)的图象上取一点A（9，1），将OA绕原点逆时针旋转90°得B（-1，9），代入各选项，仅A适合，∴选A.
【点评】 函数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到A（9，1），（经过旋转则得B（-1，9））这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确的答案，这难道不痛快淋漓的吗？
【例4】 如图（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是 （ ）
例4题图
A. B.5 C.6 D.
【思考】 用特殊图形.如图（2）所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2.连AF、DF.则EF⊥面ADE.
∵VF—ADE=·EF·S△ADE=×3×2=.
VF—ABCD=·DE·S□ABCD=·2·32=6.∴V多面体=+6=.选D.
【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不算经典道理吗？
●对应训练
1.动点A在双曲线=1上，B、C为双曲线的左、右焦点，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边a,b,c满足a=10，c-b=6，则tancot的值是 （ ）
A. B. C. D.1
2.已知0
3.设{an}是公比为a,首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的n∈N+，点（Sn，
Sn+1） ( )
A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上
C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上
4.函数y=x+sin |x|,x∈［-π,π］的大致图像是 （ ）
第4题图
●参考答案
1.A 取特殊图形.BC=10双曲线
焦点为B（-5,0）,C(5,0)
c-b=62m=6,
∴m=3,n=4，双曲线方程为：=1,
离心率e=.
取特殊位置AC⊥BC，则有A,
∴AC=,从而AB=,
cos B=,sin B=，而C＝90°. 第1题解图
∴tan cot =·cot 45°=.
2.D 取特殊值.x=,y=,a=,满足0
3.D 取特殊值.取a=2,b=1,则Sn==2n-1.各选项依次为：
A.y=2x-1 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=2x+1
取点（S2，S3）=(3，7)，代入各选项，仅D适合.
4.C 取图形上的特殊点.令x=-，则y=-+1，点应位于直线y=x上方，排除A、B、D.
第25计 函数开门 以静显动
●计名释义
函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量（动数）的个数较多时，我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止（常数或参数），例如，考虑二次函数y=ax2+bx+c时，是把x,y看作一对互动的变数，而把a,b,c看作“静数”.其实，a,b,c也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数.
●典例示范
【例1】 设双曲线与直线x+y=1相交于两个不同的点A和B，求双曲线离心率的取值范围.
【分析】 求取值范围就是求离心率e的值域.为此，我们要寻求e的函数式.
【解答】 按双曲线离心率的关系式，有
【插语】 公式e=本来是“静式”，现在让其运动起来，成了函数式f (a).启发我们求函数e=f (a)的定义域，即a的取值范围.
【续解】 由双曲线与直线相交于两点，得方程组
【插语】 我们并非要从这个方程中解得x和y的值，而是要由“方程组有2个解”的条件求出a2的取值范围.
【续解】 消y后整理得
函数e=f (a)=在（0，1）和（1，）上都是减函数，故有f (a)>且f (a)≠.即所求范围是.
【点评】 函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动.
【附录】 以下我们用函数性质讨论a2的取值范围.
由方程组解得：a2=h(x)=.由于≠0,所以a2≠1.因为，所以a2≤2.
由于相交的两点A、B对应着不同的x值，因此a2到x的对应是1对2，因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2.
故有a2<2.
【例2】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.
【解答】 将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).
由方程的特点，我们构造函数f x)=x2003+x，知f (x)是x∈R上的单调递增函数，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3.
【点评】 此题从方程的特点入手，利用函数思想，构造了函数f (x)=x2003+x，把解方程的问题变为讨论函数的性质的问题，巧妙地求出了方程的解.
【例3】 在xOy平面上给定一曲线y2-2x=0.
(Ⅰ)设点A的坐标为(,0)，曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(Ⅱ)设点A的坐标为(a,0)，a∈R，曲线上点到点A的距离的最小值.
【解答】 (Ⅰ)设P(x,y)为曲线上任意一点，y2=2x(x≥0),
|PA|2=，
∴当x=0时，|PA|取得最小值.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线上任意一点,同理有 |PA|2=(x-a)2+y2=［x-(a-1)］2+(2a-1)(x≥0),
①当a≥1时，在x=a-1≥0处，|PA|取得最小值.
②当a<0时，在x=0处，|PA|取得最小值
【点评】 解题方向是建立目标函数，然后转化为以a为自变量的二次函数在闭区间上的最值问题.
【例4】 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用是元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元.经过讨论有两种方案：
（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房一面的边长；
（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）、（2）两种方案哪个更好？
【分析】 通过分析已知条件比较容易想到用函数模型来解此题.以建墙费用为目标函数，再通过讨论函数的最小值来解决问题.
【解答】 设利用旧墙的一面边长为x米，则矩形的另一面边长为米.
（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为元，其余建新墙的费用为:元，
故总费用为:
y=
得: 所以，
当且仅当 即x=12∈(0，14)米时，ymin=35a
(2)若利用旧墙一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，故总费用为：
即
∵但由于x=时，x=<14，x［14,+∞)，因此均值不等式此处失灵.
以下用求导法解决问题：
∵y′=2a（1-）. ∴x>时，y′>0，而14>.
故x∈［14,+∞）时函数y单调增.
∴x=14时，ymin=
综上所述，采用方案（1），利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙的总费用最省，费用为35a元.
【点评】 函数应用题真正的难点在于处理其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段很多，有利用均值不等式；利用函数的单调性；利用导函数；利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有通用、快捷的特点，应是掌握的重点.
●对应训练
1.设a、b、c∈R，且它们的绝对值都不大于1，求证ab+bc+ca+1≥0.
2.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1在左支交于A，B两点,直线l过P(-2,0)和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.
3.某工厂2005年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c（其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
●参考答案
1.分析 构造函数f (a)=ab+bc+ca+1，f (a)是关于a的一次函数，由于a∈［-1,1］，只要证明f (1)≥0且f (-1)≥0，即可证明f (a)≥0.
证明 设f (a)=(b+c)a+bc+1，f (a)是关于a的一次函数.
∵a、b、c∈［-1,1］, ∴f (1)=b+c+bc+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)≥0
f (-1)=-(b+c)+bc+1=b(c-1)+(1-c)=(1-b)(1-c)≥0.
∴f (a)在［-1,1］上恒为非负，即f (a)≥0. ∴ab+bc+ca+1≥0.
点评 本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子结构特征构造出一次函数f (a)，从而由一次函数的图象及性质，使问题得以解决.
2.解析 由消去y得(k2-1)x2+2kx+2=0,
由题意得解得1
由P(-2,0)，M，Q(0,b)三点共线可求得b=.
设f (k)=-2k2+k+2，则f (k)在(1,)上为减函数.
∴，且f(k)≠0.
∴ ∴b<-(2+)或b>2.
点评 通过建立b与k的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定.
3.思考 根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种.其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式.
设y1=f (x)=px2+qx+r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2=g(x)=abx+c.
据已知，得
解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7;
a=-0.8，b=0.5，c=1.4 ∴f (x)=-0.05x2+0.35x+0.7;
g(x)=-0.8×0.5x+1.4. ∴f (4)=1.3，g(4)=1.35,
显然g(4)更接近于1.37，故选用y=0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.
点评 用待定系数法确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键.
第26计 数列开门 前后跟踪
●计名释义
数列是特殊的函数，告诉了自变量是正自然数的函数，因此只要我们应知道这个特殊函数有两种关系式，除通项公式外，还有前后跟踪关系的递推式.高考30年来，数列的难题几乎都出现在递推式中.
●典例示范
【例1】 若数列{an}满足：a1=1，an=+n+an-1， n∈N*，n≥2，求证：an=，n∈N*.
【证明】 在递推式中，分别令n=2，3，4,…，直到n，得到(n-1)个等式：
a2=+2+a1 a3=+3+a2
a4=+4+a3…… an=
将这(n-1)个等式整体相加得
an=++…++2+3+…+n+a1
=.
当n=1时，a1=1,也适合上式，
∴an=，n∈N*
【点评】 这里an与an-1的系数相等（都是1），并且在等号的两旁，因此由递推式得到的（n-1）个等式相加后，很多项可以消去，进而顺利求出an.
由于数列可以看作是正整数n的函数，因此对于以递推关系式出现的问题，常常可以从递推关系式中的n=1，2，3，……入手，得到一系列的等式，通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算，使问题获得解决.递推意识是解数列问题的一种最基本、最重要的意识.
【例2】 设数列{an}的前n项的和Sn=an-×2n+1+,n=1，2，3,……（Ⅰ）求首项a1与通项an；
（Ⅱ）设Tn=，n=1，2，3,……求证：
【解答】 （Ⅰ）a1=S1=a1-，解得a=2.
an+1=Sn+1-Sn=an+1-an-(2n+2-2n+1),∴an+1=4an+2n+1.
这里an的系数是4，无法仿照例1直接用递推法求解.先将已知递推式的两边同除以2n+1得到
若令bn=，则有bn+1=2bn+1 (*)
(*)式就是我们熟知的线性递推式，它可以运用待定系数法求解.
设bn+1+k=2(bn+k)，即bn+1=2bn+k. ∴k=1，故=2(n∈N*)，
即{bn+1}是以b1+1为首项，2为公比的等比数列.
∴bn+1=(b1+1)·2n-1bn=2n-1an=4n-2n.(n∈N*)
（Ⅱ）Sn=an-×2n+1 +=(4n-2n)- ×2n+1 +=(2n+1-1)(2n-1).
Tn=,
∴
【点评】 这里的递推式an+1=4an+2n+1化成bn+1=2bn+1后，形如an+1=Aan+B.
对于an+1=Aan+B：当A=1时，an+1=an+B， 即an+1-an=B，故通项an=a1+(n-1)B；
当A≠1时，an+1+k=Aan+B+k=A,
令k=，则(A-1)k=B，即k=,
∴{an+k}是以a1+k=a1+为首项，公比为A的等比数列.
于是an+k=·An-1，∴an=·An-1 -.
【例3】 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=，Sn=n2an-n(n-1)，n=1,2,……写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2)，并求Sn关于n的表达式.
【解答】 当n≥2时，an=Sn-Sn-1,代入Sn=n2an-n(n-1)中，
得Sn=n2(Sn-Sn-1)-n (n-1), 即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1) (*)
这就是Sn与Sn-1的递推关系式.
将(*)式两边同除以n(n-1)得Sn-Sn-1=1(n≥2).
构造新数列，它是以2S1=2a1=1为首项，1为公差的等差数列.
于是=1+(n-1)×1=n，即Sn=(n≥2).
显然，上式当n=1时也成立.∴Sn=，n∈N*.
【点评】 这里构造新数列，关键在于能将（*）式变形为Sn-Sn-1=1,由此发现递推关系.
高考中许多数列问题，往往是以等比、等差这两类基本数列为背景设计而成的.解决这类问题，常常可以通过构造新数列来实现问题的转化.强化构造意识，有助于创新能力的提高
●对应训练
1.假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并此后每一个月生一对小兔，如果不发生死亡，问一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？
2.对任意函数f (x)，x∈D,可按图所示构造
一个数列发生器，其工作原理如下：
输入数据x0∈D，经数列发生器
输出x1=f (x0);
②若x1D，则数列发生器结束工作；
若x1∈D，则将x1反馈回输入端，
再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去，
现定义f (x)=
若输入x0=则由数列发生器产生数列{xn}, 第2题图
请写出数列{xn}的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列，试求输入的初始数据x0的值；
(3)若输入x0时，产生无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xn
职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3,并用k、n和b表示ak;(不必证明)
(2)证明ak>ak+1(k=1,2,…,n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义.
(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b)，对常数b，当n变化时，求.
●参考答案
1.把第n个月的兔子总数记为f (n)，则f (1)=1，f (2)=1，f (3)=2，f (4)=3，f (5)=5，f (6)=8，f (7)=13,…….考查数列{f (n)}的规律，不难发现，从第三项开始，第一项都是前两项之和：f (3)= f (1)+f (2)；f (4)= f (2)+f (3)；f (5)=f (3)+f (4)；f (6)= f (4)+f (5)；f (7)=f (5)+f (6);…，
f (13)= f (11)+f(12)=89+144=233,所以，一对兔子一年可繁殖成233对.
2.(1)∵ f (x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)
∴ 数列{xn}只有三项：x1=，x2=，x3=-1.
(2)∵ f (x)==x即x2-3x+2=0, ∴ x=1或x=2.
即当x0=1或2时，xn+1==xn
故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2(n∈N)
解不等式x<,
∴ <0，得x<-1或1
综上所述，x1∈(1,2)时，由x1= f (x0),得x0∈(1,2).
点评 本题主要考查函数的基本知识，数列的基本知识，解不等式的基本方法，以及综合运用知识的能力和判断推理能力.本题利用框图形式把函数、数列、不等式等知识点冶为一炉，形式新颖，结构巧妙，富于思考.今后仍有可能出现这种富有创新意识的试题.
3.(1)第1位职工的奖金a1=；第2位职工的奖金a2=；
第3位职工的奖金a3=；……第k位职工的奖金ak=.
(2)ak - ak+1=>0.
此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则.
（3）设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余款，则
f1(b)=，f2(b)=，…，fk(b)=.
得 Pn(b)= fn(b)=， 故 .
点评：本题主要考查数列、不等式、极限的综合运用以及结合职
工福利的实际应用，这正是近年高考命题的热点和重点.
第27计 方程开门 欲擒故纵
●计名释义
数学，顾名思义，是关于数的科学.于是，数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容——函数、方程和不等式都是关于数的内容.
方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题，函数研究的是“从数到象”，而方程相反，研究的是“从象到数（原象）”.
方程解题步骤：（1）设x. 对数（原象x）先作假设；（2）放x. 把这个“假”x放到函数（笼子）中去.(3)关x. 按函数解析式的运算，列出一个等式——方程（笼子关闭）.(4)擒x，解这个方程，把x抓出来.
●典例示范
【例1】 求二项式展开式中的常数项.
【分析】 这是数学运算中的“求值”问题，解决问题的工具是函数和方程式，为了设方程，先得找函数.
【解答】 由二项展开式的通项公式Tr+1=C
【插语】 在n为常数的条件下，这是一个关于r的函数式T（r)=f(r)
【续解】 由此得Tr+1=Cr=…=（-1）rCx
欲Tr+1为常数，只须=0.
【插语】 按“函数值”满足的条件，转入方程.
【续解】 解方程，得r=4.故所求的常数项为T5=(-1)4C=210.
【点评】 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程；“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”.
【例2】 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.
【解答】 令x=sin20°cos70°+sin10°sin50°，构造与之对应的对偶式y=cos20°sin70°+cos10°cos50°,
则x+y=（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)
=sin90°+cos40°=1+cos40° ①
x-y=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+(sin10°sin50°-cos10°cos50°)
=sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°-] ②
①+②得x=，故sin20°cos70°+sin10°sin50°=.
【点评】 构造方程组，利用对偶方程组解决问题，是充分借助方程思想解题的方法之一.
【例3】 已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y=-x相交于P点，一条以A为焦点，M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点P. 设PM的斜率为k，且≤k≤，求实数a的取值范围.
【解答】 由双曲线方程知A(0,1),则抛物线方程为 x2=-4(m-1)(y-m),
由双曲线与直线相交解得点P的坐标为(-a,a)，又因为点P在抛物线上,
∴a2=-4(m-1)(a-m) ①
而MP的斜率为k=，故m=ak+a.
将m=ak+a代入①得a2=-4(ak+a-1) (-ak),
即4ak2+4(a-1)k-a=0 ②
根据题意,方程②在区间[，]上有实根.
令f (k)=4ak2+4(a-1)k-a，则其对称轴方程为 k=<0
∴≤a≤4. ∴实数a的取值范围为［,4］.
【点评】 根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解.
【例4】 （Ⅰ）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p的值；（Ⅱ）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，求证：数列{cn}不是等比数列.
【解答】 （Ⅰ）由题意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列，
∴(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，展开整理得 (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0.
将c1=5，c2=13，c3=35，c4=97代入上式得p2=-5p+6=0，解得p=2或p=3.
而当p=2时,=3; 当p=3时，=2.均适合.
故满足条件的p的值为2或3.
（Ⅱ）假设数列{cn}是等比数列，则c22=c1c3，即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3)，
故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2)，其中q，r分别是{an}，{bn}的公比.
化简整理，得a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0，即(q-r)2=0，解得q=r.
这与题设中两数列公比不相等矛盾，因此数列{cn}不是等比数列.
【点评】 这里选取等比数列的前三项，根据等比中项的意义列方程求出p的值，再验证一般情况.第(Ⅱ)问的反证法中，也是通过构建方程获证.
●对应训练
1.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= .
2.已知椭圆=1(a>b>0)，A,B的椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0,0)，求证：.
3.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
●参考答案
1.分析 本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数性质求解，但可用赋值法构造方程求解.
解：由于f (x)=(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
令x=1得：f (1)=(2-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 ①
令x=-1得f (-1)=［2-(-1)］5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35 ②
两式相加再除以2得：a1+a3+a5=-121.
2.证明 若AB的中点为M,
AB的垂直平分线为l：y=k(x-x0) ①
由于l与x轴相交,因此k≠0，故kAB=.
又kOM·（）=，故kOM =,
∴OM所在直线方程为y=x,代入①得x=k(x-x0).
因此所证的结论变为方程的解在椭圆内的取值范围问题.
故由上述方程解得x=x0. (x为点M的横坐标)
但点M在椭圆=1内部，即-a
3.设等差数列{an}的前n项和Sn=an2+bn.
由S7=7，S15=75，得即解得a=，b=
∴Sn=n2n. ∴.
∴数列是首项为-2，公差为的等差数列.
故Tn=n2 n.
点评 因为等差数列（公差不为0）的前n项和公式是关于n的二次函数，因此可将等差数列的前n项和直接设为Sn=an2+bn的形式，往往能达到化繁为简的目的.
数学破题36计
第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：
1.公式多，变换多，技巧多；
2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；
3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.
●典例示范
【例1】 设a,b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是 （ ）
A.-2 B. C.-3 D.
【解答】 a2+2b2=6=1. 设(θ∈［0，2π］)，则
a+b=cosθ+sinθ=3cos(θ-φ)，其中cosφ=，sinφ=，∴a+b≥-3，选C.
【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.
【例2】 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是 .
【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见；
由条件y2=3x-x2.
∴x2+y2=x2+x2+3x=(x-3)2+.
∴当且仅当x=3时，（x2+y2）max =.你能发现这种解法有什么毛病吗？
先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：
3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.
显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是:
∵y2=3x-x2≥0，∴x2-2x≤0. 得x∈［0,2］，而x2+y2=(x-3)2+.
令z=(x-3)2+，则当x≤3时，z为增函数，已求x∈［0,2］，故当x=2时，
zmax =(2-3)2+= 4，即(x2+y2)max= 4.
【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：
(x-1)2+y2=1.
设，则
x2+y2=(1+cosθ)2+sin2θ=cos2θ+2cosθ+(cosθ-2)2+.
由于cosθ∈［-1,1］,故当cosθ=1时，(x2+y2)max =+=4.
此时，x=2，y=0.
【例3】 设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A
、B两点，求AB中点的轨迹方程.
【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),
设过M的直线参数方程为：(t为参数)代入y2=4px：
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)
方程(1)有相异二实根的条件是：
1,
设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2=
设AB之中点为Q(x,y)， ∵t=.
∴，消去θ得：y2=2p(x+p),
∵|cotθ|>1，∴|y|>2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p)(|y|>2p).
【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.
但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：
其中P(x0，y0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0，y0)所连有向线段的数量，若M在P上方则t>0，反之t<0.
【例4】 两圆O1与O2外离，其半径分别为r1，r2，直线AB分别交两圆于
A、C、D、B,且AC=DB，过A，B
的切线交于E，求证：.
【思考】 本例是平面几何题吗?
不是，谁要试图仅用平几知识证明，
肯定难以成功，但若引入三角，则不然.
【解答】 作两圆直径AF，BG，连
CF，DG，命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,
那么AC=2r1sinα，BD=2r2sinβ,
已知AC=BD，∴2r1sinα=2r2sinβ， 例4题图
,
△EAB中，由正弦定理：∴.
【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m千米，B距铁路n千米. 在铁路上要建造两个火车站C与D，并修两条公路AC与BD. A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C，然后用火车运至D，再用汽车运到冶炼厂B（如图所示）A、B在铁路MN上的投影A′、B′距离为l千米.若汽车每小时行u公里，火车每小时行v公里（v>u）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？
【分析】 求的是C、D建的地方，
为了将问题简化，暂不考虑车站D，
设法求出从A经过C到B′所需最短时间.
【解答】 ∵AC=A′C=mtanA,
∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA
∴从A经过C到B′所需时间为 例5题图
t=
由于，，为常数，问题转化为求y=的最小值.
∵y′=，令y′=0,得时，sinA<1.
sinA<时，y′<0,sinA>时，y′>0.
故函数y，从而函数t当sinA=时，取得极小值：
∵sinA=，∴A′C=mtanA=，即车站C距A′为千米，它与l的长短无关.
同理，站D距B′为千米.
【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.
●对应训练
1已知方程x2+xsin2θ- sinθcotθ=0(π<θ<π)之二根为α,β，求使等比数列1,，…前100项之和为零的θ值.
2设实数对(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求的最小值.
3已知圆的方程是x2+y2=1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长.
4△ABC中，已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.
(Ⅰ)证明任意交换A、B、C位置y的值不变；
（Ⅱ）求y的最大值.
5.一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B. 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?
●参考答案
1由条件：,
∴，即等比数列的公比q=2sinθ，∴S100=.
已知S100=0，∴(2sinθ)100=1且2sinθ≠1,于是2sinθ= -1,sinθ=,
∵θ∈(π，π), ∴θ=π.
2圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值，先求的最大值.
如图，表示圆上的点(x,y)与
定点P(-1,0)连线的斜率,PA，PB为
圆C的切线，则，连PC,
设∠BPC=∠APC=θ，则tanθ=, 第2题解图
tan∠BPA=tan2θ=, 即，从而.
3如图所示，有A(1,0),B(-1,0),
⊙方程为x2+y2=1，∴设P(cosθ，sinθ)为
圆上一点，不妨设P在第一象限，
则有Q(-cosθ,sinθ).
∴|PQ|=2cosθ,Rt△PAB中∠PBA=,
∴|BQ|=|PA|=|AB| sin=2sin，
l=2+2cosθ+4sin=2+2(1-2sin2)+4sin=5-4(sin)2, 第3题解图
当且仅当sin=，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，lmax=5，此时
点P的坐标为.
4(Ⅰ)y=2+cos C［cos (A-B) - cosC］
=2+cos C［cos (A-B)+cos (A+B)］=2+2cos Acos Bcos C
此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.
(Ⅱ)y=2-［cos Ccos (A-B)］2 +cos2(A-B),为求y的最大值必须［cosCcos (A-B)］2取得最小而cos2(A-B)取得最大.
∵［cosCcos (A-B) 2≥0，且cos+(A-B)≤当且仅当时以上两条同时成立.
∴ymax =，此时故△ABC为正三角形.
5.解法一:如图所示，设OM=x km，则AM=-x，BM=. 总修建费
S=2（-x）+4
=2++x+3(-x)
=2+（+x）+≥2+2
由+x=,得当x=时，
S取最小值2+2，此时，
AM≈3.3，BM≈1.2.
故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆，
再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时， 第5题解图
总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.
解法二：如图所示，设∠OBM=α(0<α
设t=，则sinα+tcosα=2 ∴ sin(α+φ)=
由及t>0，得t≥， ∴ S≥2+2
将t=代入sinα+tcosα=2，解得α=
∵ 0<
数学破题36计
第29计 向量开门 数形与共
●计名释义
非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.
向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.
●典例示范
【例1】 α,β为锐角，且sinα-sinβ=,cosα-cosβ=，求tan(α-β)之值.
【解答】 如图，设A(cosα,sinα),
B(cosβ,sinβ)为单位圆上两点，
由条件知：0<α<β<.
那么：
=（cosα- cosβ,sinα- sinβ）
=.
∴||=，||=||=1. 例1题解图
△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =.
∴sin(α-β)=,tan(α-β)=.
【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量
模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.
【例2】 设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤
【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|·|n|=
∵m·n=|m|·ncos（m,n）≤|m|·|n|. ∴ac+bd≤.
【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几
何中又能起作用吗?
【例3】 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC1之长为 .
【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事?
向量的数量积公式可以保驾护航.
对！走向量法解题的道路.
【解答】 如图所示，
∴
=
=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6
∴||=. 例2题解图
【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是||2=的运用奇妙.注意：与所成角等于与所成角，是60°而不是120°.
●对应训练
1如图,在棱长为a的正方体
ABCD—A′B′C′D′中，E、F
分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，
求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图
2已知a,b∈R+，且a≠b，求证：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4).
3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上.
●参考答案
1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设=x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a).
∵·=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，
∴⊥.
(2)VB′—BEF=S△EEF·||=·(a-x)·x·a
=a(a-x)·x≤a·，
当且仅当a-x=a，即x=时,
(VB′—BEF)max =，
此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD.
设垂足为M，连B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1题图
由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角,
设为θ,∵||= ∴tanθ=.
即θ=arctan2，则二面角B′—EF—B的大小为arctan2.
2设m=(a,b)，n=(a2,b2), ∵m·n≤|m|·|n|.
∴a3+b3≤，即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4).
3如图,设A(x1,)，B(x2,),
C(x3，)，△ABC的垂心为H(x0，y0),
则,
, 第3题解图
∵,∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0-·.
∵x1≠x2，∴x0-x3.
∴x0+ (1)
同理：x0+.
∴x2-x1=y0.
∵x1≠x2，∴y0=-x1x2x3，代入 (1)：x0-=x3=0,
∴x0y0=1，即H(x0，y0)在双曲线xy=1上.
数学破题36计
第30计 统计开门 存异求同
●计名释义
甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统.
甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.
甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.
甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!
●典例示范
【例1】 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求：
（1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【分析】 本题告诉了y与x间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.
注：设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数．
相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.
解：（1）列表如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3．8
5．5
6．5
7．0
xiyi
4．4
11．4
22．0
32．5
42．0
x
4
9
16
25
36
于是b=，
a=0.08. ∴线性回归方程为：=bx+a=1.23x+0.08.
（2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38（万元）
即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
【点评】 本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.
【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求：
（1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率；
（2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.
【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次（事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.
【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A，则P（A）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.
∴P3(2) =C(0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.
(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P3（2）+P3(3)=0.441+C0.73=0.784.
【点评】 用独立重复试验的概率公式Pn(k)=C·Pk·(1-p)n-k来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A发生的概率P；③利用公式计算在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.
【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.
【解答】 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
3
P
甲答对试题数ξ的数学期望.
Eξ=0×+1×+2×+3×=
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)= P(B)=
因为事件A、B相互独立,
方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P=1-P（）=1-
方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=P(A·)+P（·B）+P(A·B)=P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=
【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.
●对应训练
1.在袋里装30个小球，其彩球中有n(n≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.
2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)
3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），问车门应设计多高？
4.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：
广告费用（千元）
1．0
4．0
6．0
10．0
14．0
销售额 （千元）
19．0
44．0
40．0
52．0
53．0
现要使销售额达到6万元，则需广告费用为 （保留两位有效数字）.●参考答案
1.取3个小球的方法数为C=4060.
设“3个小球全是红球”为事件A，“3个小球全是蓝球”为事件B，“3个小球全是黄球”为事件C，则P(B)=，P(C)=.
∵A、B、C为互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
即=P(A)++P(A)=0.∴红球的个数≤2，又∵n≥2，故n=2.
记“3个小球至少有一个是红球”为事件D，则为“3个小球没有一个红球”.
P(D)=1-P()=1.
2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元);
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400×0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）.
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）
④若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元)综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.
3.设公共汽车门的设计高度为x cm，由题意，需使P（ξ≥x）＜1%.
∵ξ～N（173，72），∴P（ξ≤x）=Φ（）＞0.99.
查表得＞2.33，∴x＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.
4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程=bx+a，令=6，得x=1.5万元.
答案：1.5万元
点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.
数学破题36计
第31计 解几开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.
●典例示范
【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.
【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为P（1-2a,2）.椭圆中心为(1-a,2)，左准线为y轴.∴-a=0，而e=. ∴=2，有-3a+1=0，a=. 得点P1(,2)；如M（1，2）为左顶点，有P2（1，2），∴P1P2中点为（，2）.
由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′(,2)的椭圆.
【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x0，y0）=F(x+a-c，y)，
∵e=，且左准线为y轴, ∴=0,
得a=x，c==，有：F，由椭圆第二定义：= e=.
∴ ，化简得： ①
(2)椭圆①的长半轴a′=，∴-≤x-≤，得x∈.
原椭圆长半轴为a=x，∴2a=2x∈.故原椭圆长轴最大值为2，最小值为.
【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，其中F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A（-1，2），B（3，2）在双曲线上，（1）求点F2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由.
【思考】 F1（1，0）为定点，∴|AF1|=2=|BF1|为定值，设F2(x，y)，则|F2A|-2=±(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.
【解答】 （1）点F2的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆.(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).
（2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x=1的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由
∴3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.
此方程应有相等二实根，
∴Δ=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.
化简得：m2-2m-11=0,∴m=1±2.
【小结】 探求轨迹，一要注意
其完备性也就是充分性：只要符合
条件的点都适合轨迹方程；二要
注意其纯粹性也就是必要性：只要
适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图
以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.
●对应训练
1.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6,0），另一个焦点F2为动点.
(1)求双曲线中心的轨迹方程;
(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点P的轨迹方程.
3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6，0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
4.已知抛物线C：y2=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一个定点，Q是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值.
●参考答案
1.设F2(x0，y0), ∵O(0,0)在双曲线上,
∴|OF2| - |OF1| =±2，|OF1|=6,
∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ①如|OF2|=4，则x20+y20=16 ②
当O、F1、F2共线时，F1、F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）设双曲线中心为M（x，y）,则
③
③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x≠7)
③代入②：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(x≠5)
(2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF1|=,
如M的轨迹为(x-3)2+y2=16， 则c=
∵-4≤x-3<4，∴-1≤x<7
当x=-1时，cmax=7.
如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5，当x=1时，cmax=5,
于是取c=7，a=1，∴b2=48，又当x=-1时，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F1(6,0),故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2-=1.
2.如图作OA⊥l于A，以直线OA为x轴，
过O且垂直于OA的直线为y轴建立
如图的直角坐标系，设A（a,0），则有
直线l：x=a，设|OQ|=|OP|=d
∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+
设P(x,y)，∵d=，
∴x= d cos (θ+)=(cosθ-sinθ) 第2题解图
=(1-tanθ),
y=dsin(θ+)=(sinθ+cosθ)= (tanθ+).
于是得点P的参数方程：（θ为参数） 消去参数得：x+y=2a.
3.(1)设F2(x0，y0)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF2| - |OF1|=±2，|OF1|=6，∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ①；如|OF2|=4，则x20+y20=16 ②，当O，F1，F2共线时，F1，F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.
设双曲线中心为O′(x，y)，则 ③
③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64, 即 (x-3)2+y2=16 (x≠7).
③代入②：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x≠5).
(2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF1|=,
如M的轨迹为（x-3）2+y2=16,
则c=.
∵-4≤x-3<4, ∴ -1≤x<7,
当x= -1时，cmax =7.
如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则c=.
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5当x=1时，cmax =5.
于是取c=7，a=1. ∴b2=48，又当x= -1时，由(x-3)2+y2=16，得y=0，即双曲线中心为（-1，0），一个焦点为F1（6，0），故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2=1.
4.（1）如图设椭圆中心为O′(x0,0)，
由于左焦点F（1，0），左准线x= -1，
∴x0=c+1，且x0+1=.
∴a2=c(x0-1)=x20-1，
b2=a2-c2=(x20-1) - (x0-1)2=2x0-2，
得椭圆短轴端点B（x0，）. 第4（1）题解图
设FB的中点为P(x，y)，则：
消去x0：y2=x-1(x≥1).
(2)曲线y2=x-1(x≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F（1，0）.
显然当m≤1时，|MQ| min=1-m，即点M（m,0）到抛物线顶点F最近，当m>1时，以M（m,0）为圆心，R为半径的圆的方程为：(x-m)2+y2=R2.(*)
由x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.
命Δ≥0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0, ∴R2≤. (1)
当m≥时，R min=， 即|MQ|的最小值为.
当1
当≤1，即m≤时，|MQ|无最小值；当>1，即m>时，|MQ| min=.笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.
数学破题36计
第32计 立几开门 平面来风
●计名释义
空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.
●典例示范
【例1】 “神舟六号”飞船上
使用一种非常精密的滚球轴承，
如图所示，该滚球轴承的内
外圆的半径分别为1mm、3mm，
则这个轴承里最多可放
滚珠 个. 例1题图
【解答】 6如图，设两滚球P，Q相切
于点T，轴承中心为O，连接OT，
设滚球半径为d，内、外圆半径
分别为r、R，则R=3，d=r=1.
在Rt△OTP中，∠POT=，OP=2，PT=1,
则有sin=，
得α=2×=，即在圆心角为的轨道内， 例1题解图
可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）
时可放的滚珠为=6个.
【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.
【例2】 在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面四边形ABCD边长为3，高为4，在棱C1B1，C1D，CC上分别取一点M、N、L使C1M＝C1N＝1，C1L＝.
(1)求证：对角线AC1⊥面MNL； （2）求四面体D—MNL的体积；
（3）求AM和平面MNL所成夹角的正弦值.
【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC1与LM、LN之一垂直即可;
(2)四面体D—MNL的体积不好求，可退而求四面体C1—MNL的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C1—MNL的体积适当扩大即可；
（3）AM与面MAC1夹角的正弦不好求，可退而求AM、AC1夹角的余弦.
【解答】 （1）如图所示，以D1为原点，直线D1A1，D1C1，D1D分别为x,y，z轴建立空间坐标系，
则有：A（3，0，4），C1（0，3，0）
∴=(-3,3,-4)；L，N(0,2,0),
∴=∵·=0+3-3=0,
∴⊥,根据图形对称性，
同理有⊥，故AC1⊥平面MNL. 例2题解图
(2)四面体D—MNL与C1—MNL同底不等高，设其高分别为h1，h2，连C1D交NL于E.
∵D(0,0,4),
∴=(0,-3,4),且·=(0,-3,4)·=0.
∴⊥，知L、E、D、C在同一个圆上，||·||=||·||,
即·4=||·5.
∴||=，从而||=5-=.
h1∶h2=.
易求VC1－MNL＝·C1M·C1N·C1L=×1×1×，∴VD-MNL==(立方单位).
(3)设AM与平面AC1成θ角，已证AC1⊥平面MNL，∴∠MAC1=90°-θ.
∵M(1,3,0),∴=(-2,3,-4), ·=(-2,3,-4)·(-3,3,-4)=6+9+16=31.
又｜｜=,
｜｜= .
∴cos (90°-θ)=.从而sinθ=，即AM与平面MNL所成角的正弦值为.
【评注】 本题第（2)问另一解法：∵VD-MNL=VM-DNL，而S△DNL易求，且MC1⊥面DNL，从而VD-MNL =·S△DNL·MC1也不失为另一有效解法.
【例3】 如图，
四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
AB=8，AD=4，侧面PAD为等边
三角形，并且与底面所成二面角为60°.
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：PA⊥BD.
【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥，
不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题，
否则是“瞎子点灯”——白费蜡，
因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图
2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略.
【解答】 （Ⅰ）设O为P在底面的射影，作OE⊥AD于E，连PE，则∠PEO是二面角P—AD—O的平面角，有∠PEO=60°.已知△PAD为正三角形，且边长为4.
∴|PE|=4sin60°=6，PO=6sin60°=3.
∴VP—ABCD=·S□ABCD·PO=·8·4·3]=96(立方单位).
(Ⅱ)以O为原点，平行于AD的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，垂线OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系.
则有P(0,0,3)，A(2,-3,0)，B(2,5,0),D(-2,-3,0),
∴=(2,-3,-3),=(-4,-8,0),
∵·=-24+24+0=0. ∴⊥.
●对应训练
1.如图所示，ABCD是边长
为2a的正方形，
PB⊥平面ABCD，
MA∥PB，且PB=2MA=2a，
E是PD的中点
(1)求证：ME∥平面ABCD;
(2)求点B到平面PMD的距离;
(3)求平面PMD与平面
ABCD所成二面角的余弦值 第1题图
2.在正三棱锥S—ABC中，底面是边长为a的正三角形，点O为△ABC的中心，点M为边BC的中点，AM=2SO，点N在棱SA上，且SA=25SN.
(Ⅰ)求面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：SA⊥平面NBC.
3.如图,边长为2的正方形ADEF所在的
平面垂直于平面ABCD，AB=AD，
AB⊥AD，AC=3，AC⊥BD，
垂足为M，N为BF的中点.
(1)求证：MN∥平面ADEF；
（2）求异面直线BD与CF所成角的大小；
（3）求二面角A-CF-D的大小. 第3题图
●参考答案
1.(1)延长PM、BA交于F，连接FD，FD、BC延长交于G，连接PG，
∵MAPB=a，
∴M为PF中点，又E为PD中点，
∴ME为△PFD中位线，ME∥FD，
而FD平面ABCD,
∴ME∥平面ABCD.
(2)MAPB时，A为FB的中点.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，DC∥AB，
∴D、C分别为FG、BG的中点. 第1题解图
∵AB=BC=2a. ∴BF=BG=4a. ∴BD⊥FG，∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥FG，故FG⊥平面PBD. 作BH⊥PD于H，必FG⊥BH，
故BH⊥平面PFG，BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离.
Rt△PBD中，PB=2a，BD=2a.
∴PD==2a，BH=a，即所求距离为a.
(3)由(2)知FG⊥DB，FG⊥DP. ∴∠PDB是二面角P-FG-B的平面角，且
cos∠PDB=，即所求二面角的余弦值为.
点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.
(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：
①若用S，S1，S2，S3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S2=S 21+S 22+S 23
②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a，b，c，则其底面积：S=
③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a，b，c，且直角顶点到底面的距离为h，那么
h=.
根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B—PFG为直角四面体，且BP=2a，BF=BG=4a
∴BH=
2.(1)如图，正△ABC边长为a时，
AM=a，OM=AM=a.
SO=AM=a.
∠SMA是二面角S—BC—A的平面角，
设为α，则tanα=.
∴面SBC与面ABC成arctan的角. 第2题解图
(2)以O为原点，直线AM、OS分别为x,z轴，过O且平行于BC的直线为y轴建立如图的空间直角坐标系，则有B(a,,0)，M(a，0,0)，C (a,,0)，S (0,0, a).
∵a，有A(-a，0，0).
∵=(-a，0，-a)，=（0，a，0）， ∴·=0,⊥.
又=，故有N(a，0，a). =a，0，-a).
故·=（- a,0,- a）·（a,0,-a）= -a2 +0+a2 =0.
∴⊥，从而SA⊥平面NBC.
3.方法一：（1）∵AB=AD，AC⊥BD，垂足为M，∴M为BD的中点，∵N为BF中点，∴MN∥DF
∵MN面ADEF，DF面ADEF，∴MN∥平面ADEF.
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，
∵AC是FC在平面ABCD内的射影，BD⊥AC，∴BD⊥CF，
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.
（3）在平面ACF内过M作MH⊥CF于H，连DH，
∵BD⊥AC，BD⊥CF，AC∩CF=C，
∴BD⊥面ACF，斜线DH在平面ACF内的射影是MH，
又CF⊥MH，∴CF⊥DH，∴∠MHD是二面角A-CF-D的平面角.
在等腰Rt△ABD中，DM=，AM=，∵AC=3，∴CM=2，CF=,
∵△CMH∽△CFA,∴，∴MH=,tanMHD =,
∴二面角A-CF-D的大小为arctan.
方法二：（1）同法一；
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，
∴平面FAC⊥平面ABCD，在平面FAC内作MG⊥AC交FC于点G，
∴MG⊥平面ABCD.
如图，建立空间直角坐标系M-xyz,
则C（2，0，0），B（0，-，0），D（0，，0），F（-，0，2），
∴=（0,2,0），=（3,0,-2），∴·=0，∴⊥.
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.
第3题解图（1） 第3题解图（2） 第3题解图（3）
(3)设n=（x,y,z）是平面CFD的法向量，
∵=（3，0，-2）,=（，，-2）,
由，∴，令z=3，则x=，y=2，
∴n=（，2，3），∵MD⊥AC，∴MD⊥平面ACF
∴平面ACF的法向量=（0，，0），则cos
∴二面角A-CF-D的大小为arccos.
数学破题36计
第33计 导数开门 腾龙起凤
●计名释义
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.
近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.
●典例示范
【例1】 过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .
【分析】 本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试.
【解答】 对于未给定切点的要先求导数，即y′=（ex）′.
设切点为(x0，e)，y′=ex，yx= x=e. 则切线方程为y-e=e(x-x0),
∵切线过（0，0）点，0－e=e(0-x0)，∴x0=1，∴e=e,∴切点坐标为（1，e),切线斜率为e.
【点评】 求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.
【例2】 若函数f (x)=loga（x3-ax) （a>0,a≠1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解答】 B 设u=x3-ax，则u′=3x2-a.
当a>1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x2-a>0，即a<3x2在上恒成立.又0<3x2<，∴a≤0，这与a>1矛盾.
当0
∴a≥且（-）3 -a (-)>0，即a>,故有≤a<1,故正确答案为B.
【点评】 此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决.
【例3】 已知a∈R，讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.
【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］.
令f′（x)＝0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.
(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.
即a<0或a>4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1，x2，不妨设x1
从而有下表：
x
（-∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
fˊ(x)
+
0
-
0
+
f (x)
↗
f (x1)为极大值
↘
f (x2)为极小值
↗
即此时f (x)有两个极值点.
(2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是
f′(x)=ex(x-x1)2.
故当x
(3)当Δ<0，即0
【点评】 此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数.
●对应训练
1.已知函数f (x)=的图象在点M（-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f (x)的解析式； （2）求函数y=f (x)的单调区间.
2.已知函数f (x)=，x∈［0，1］.
(Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≥1，函数g (x)=x3-3a2x-2a，x∈［0，1］.若对于任意x1∈［0,1］，总存在x0∈［0,1］,使得g (x)=f (x1)成立，求a的取值范围.
3.已知a≥0，函数f (x)=(x2-2ax)ex.
(Ⅰ)当x为何值时，f x)取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设f (x)在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围.
●参考答案
1.分析：由已知导出f (-1)=-2，结合f′(-1)= -，易求出a、b的值.
解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f′(-1)= -.
∵f′(x)=，∴
即
解得a=2，b=3(∵b+1≠0，b= -1舍去）.所以所求的函数解析式是f (x)=.
(2)f′(x)=.令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-2，x2=3+2，当x<3-2，或x>3+2时，f′(x)<0;
当3-2
在（3-2，3+2)内是增函数； 在（3＋2，+∞)内是减函数.
点评：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识分析、解决问题的能力.
2.解析：(Ⅰ)对函数f (x)求导,得f′(x)=，
令f′(x)=0解得x=或x=.
当x变化时，f′(x)、f (x)的变化情况如下表：
x
0
（0，）
（，1）
1
fˊ(x)
+
-
0
+
-
f(x)
↘
-4
↗
-3
所以，当x∈(0，)时，f (x)是减函数；
当x∈(，1)时，f (x)是增函数；
当x∈［0,1］时，f (x)的值域为［－4，－3］.
(Ⅱ)对函数g (x)求导，得g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<3(1-a2)≤0.
因此当x∈(0,1)时，g (x)为减函数，从而当x∈［0,1］时有g(x)∈［g(1)，g(0)］.
又g (1)=1-2a-3a2，g(0)= -2a，即当x∈［0,1］时有g (x)∈［1-2a-3a2，-2a］.
任给x1∈［0，1］，f (x1)∈［-4,-3］,存在x0∈［0，1］使得g(x0)= f (x1)，则
［1-2a-3a2，-2a］［-4,-3］.
即
解①式得a≥1或a≤-； 解②式得a≤.
又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.
点评：本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础知识，以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.
3.分析：（Ⅰ)利用导数的性质解决问题.
(Ⅱ)利用函数f (x)在［－1，1］上是单调函数的充要条件是x2≥1.(x=x2时f (x)取到极小值）
解：(Ⅰ)对函数f (x)，求导数，得：f′(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=［x2+2x(1-a)x-2a］ex，令
f′(x)=0，得［x2+2(1-a)x-2a］ex=0，从而x2+2(1-a)x-2a=0.
解得x1=a-1-，x2=a-1+，其中x1
x
（-∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
fˊ(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
即f (x)在x=x1处取到极大值，在x=x2处取到极小值. 当a≥0时，x1<-1，x2≥0，f (x)在（x1，x2)为减函数，在(x2,+∞)为增函数，而当x<0时，f (x)=x(x-2a)ex>0，当x=0时，f (x)=0.
所以当x=a-1+时，f (x)取得最小值.
(Ⅱ)当a≥0时，f (x)在［－1，1］上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a-1+≥1,解得：a≥，综上，f(x)在［－1，1］上为单调函数的充分必要条件为a≥，即a的取值范围是［，+∞).
点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.
数学破题36计
第34计 参数开门 宾主谦恭
●计名释义
参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.
在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.
有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.
●典例示范
【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且·＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.
幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.
【解答】 如图，由条件知MN和PQ
是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），
且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条
存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.
【插语】 题设中没有这个k，
因此是“无中生有”式的参数.
我们其所以看中它，是认定它
不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图
【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则
x1=，
从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 亦即|PQ|=.
【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位，问题已经发生了转程.
【续解】 (ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为-，同上可推得，
｜MN｜=,
故四边形S＝|PQ|·|MN|=.
令u=k2+，得S=.
因为u=k2+≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以
≤S<2.
【插语】 以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话.
【续解】 (ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝2，|PQ|=，S=|PQ|·|MN|=2.
综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.
【点评】 参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角.
【例2】 对于a∈［-1,1］,求使不等式恒成立的x的取值范围.
【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.
【解答】 y=为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.
即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈［-1，1］时恒成立.
令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).
只须(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】 求函数y=的最大值与最小值.
【解答一】 设tan=t，则y=
即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ①
∵t=tan∈R, ∴关于t的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4·3(y-3)(y-1)≥0.
即3y2-12y+8≤0，解得：2-≤y≤2+.
即ymax =2+，ymin =2-.
【解答二】 原式变形：sin x-y cos x=2y-3，sin (x+φ)=2y-3.
∵ |sin (x+φ)|≤1，∴≤|2y-3|.
平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略)
【点评】 本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,
按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或
通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理
由是:这样解法简单，而且同样能达到目的.
【例4】 若cos2θ+2m sinθ-2m-2<0恒成立，试求实数m的取值范围.
【解答】 反客为主，不看成关于sinθ的二次式，而看成关于m的一次式.
原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ,
如sinθ=1，则0<1恒成立，此时m∈R.
如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sinθ∈［-1,1)，于是sinθ-1<0.
∴2m>2-
∵ (1-sinθ)+≥2.
当且仅当1- sinθ=，即sinθ=1-时，=2,
∴=2-2.
为使2m>恒成立,只需2m>2-2，∴m>1-.
综合得：所求m的取值范围为：m∈(1-，+∞).
已知动点P为双曲线=1的两个焦点，F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且=λ，求实数λ的取值范围.
【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆，
当P在椭圆上时，由cos∠F1PF2=<0，
知∠F1PF2必为钝角且为最大角，
则P应为短轴端点(须证明),据此可
求出椭圆方程.
(2)M、N在椭⊙上,=λ时,
与必共线,可用设参、消参 例5题图
的方式确定λ的范围.
【解答】 (1)设P(x,y)为轨迹上一点，命|PF1|= r1，|PF2|= r2，∵r1+r2=2a为定值，且
F1(,0)，F2(，0)为定点.
∴点P的轨迹为椭圆，已知(cos∠F1PF2)min=.
而cos∠F1PF2=，这里>0，且r1r2≤=a2，∴≥，从而
cos∠F1PF2≥-1=1-,
当且仅当r1=r2，即P为短轴端点时,1-=，∴a2=9，∵c2=5，∴b2=4.
∴所求动点P的轨迹方程为：=1.
(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外，设M(m，s)，N(n，t)在椭圆上.
∵=λ，即(m，s-3)=λ(n，t-3),
∴ ∴
消去n2得：
化简得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ-1)
如λ=1，则=，M，N重合于一点，且为椭圆与直线DM的切点.
如λ≠1，有：t=，∵|t|≤2，-2≤≤2，解得λ∈［，5］.
【点评】 设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围.
【小结】 什么样的问题适合“反客为主”？如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主.
所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置（例如含参变量的方程或函数）则相对容易破解问题.
●对应训练
1.求使A=为整数的一切实数x.
2.已知方程组同解，求m、n的值.
3.解关于x的方程：x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0.
4.已知正项数列{an}中，a1=1，且Sn=，求该数列的通项.
5.解方程x3+(1+)x2-2=0.
●参考答案
1.反客为主，让x为A服务.
∵A-1= 当A∈Z时，亦有A-1∈Z.
若x+1=0，则A=1∈Z(x= -1).
若x+1≠0，有：A-1=∈Z.这有两种可能.
(1)=±1. x2-4x+2=0，x=2±；或x2-2x+4=0，无实数解，舍去.
(2)是分子1的真分数. 令x2-3x+3=1，得x=1或2.
故所求实数为x=-1，1，2，2±.相应的整数为A=1，3，4，2.
2.设两方程组的相同解为(x0，y0).
由
代入.
3.反客为主，原方程改写为关于a的一元二次方程：
a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0. ［a-(x2-3x-1)］2 =(x-1)2
a=(x2-3x-1)±(x-1)
有x2-2x-2-a=0 ① 或x2-4x-a=0 ②
由①：（x-1）2 = a+3.
当a≥-3时，x=1±.
由②：(x-2)2=a+4.
当a≥-4时，x=2±. 故a<-4时，原方程无实根；
a∈［-4,-3)时原方程有两解：x=2±；a∈［-3，+∞)时，原方程有四解：
x=1±，x=2±.
4.反客为主，先求Sn再求an，∵2Sn=(S n - Sn-1)+，得：
2S2n - 2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1.
∴S2n - S2n-1=1，∵a1=S1=1，令n=2，3，…，n，用叠加法可得S2n - S21=n-1.
∴Sn=,得an=Sn - Sn-1=，于是an=.
5.设a=，原方程转化为：a2-ax2-x(x2+x)=0，即(a-x2-x)(a+x)=0,
∴x2+x=a或x= -a,
∵a=.
∴x2+x-=0x=± 或x=-.
数学破题36计
第35计 符号开门 来意弄懂
●计名释义
数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字：
3x+2y+z=100
问学生：“这句话的意思是什么？”
学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮3袋粮食，中马驮2袋，小马驮1袋，一共驮走了100袋粮食.
学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3个未知数x,y,z.这是个不定方程.
学生丙说：这是一个问题：第1个数乘3，第2个数乘2，第3个数乘1，其和为100.问这3个数各为多少？
老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字”，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+，=等数学文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句.
●典例示范
【例1】 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= ( )
A.6E B.72 C.5F D.B0
【分析】 本题破门首先是弄懂数学符号A，B,C，D，E，F的意思.依题意，他们是16位进制数中后6个数字.说它们是第10，11，12，…，15等数字时，则请注意，这是在借用10进制说话.这里11到15，在10进制中都是十位数，而A到F，在16位进制中都是个位数.
对于E+D=1B，有人写成E+D=14+13=27=1B.这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里14，13，1B中的1的意思相同吗？
【解答】 我们用符号［x］(10),［y］(16)分别表示10进制和16进制中的数，依题意，就是［16］(10)=［10］(16) .则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10) =［6×16+14］(10) =
［610+E］(16)=6E.
答案为A.
【插语】 这里，解题人的特殊数学语言（10进制数和16进制数）用特别符号（［x］(10)和［y］(16))来与读者“约定”，使表达式形式准确而简明.
【点评】 高考数学新题型中，往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译：（1）把“新符号”译成“普通话”；（2）把迁移后（解答后）的“普通话”译成“新符号”.
【例2】 对于任意的两个实数对(a1，b1)和(a2，b2), 规定：（a1，b1)=（a2，b2)，当且仅当a1=a2，b1=b2，运算“”为：（a1，b1)(a2，b2)=(a1a2-b1b2，b1a2+a1b2)；运算“”为：（a1，b1)(a2，b2)=(a1+a2，b1+b2). 设p,q∈R，若（1，2）（p,q)=(5,0)，则
(1,2)(p,q)= ( )
A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4)
【分析】 本题破门首先是弄清符号所表示的运算意义：（1）运算对象是有序数对（a,b),运算结果也是有序数对（a,b)；（2）运算法则则是(翻译）化为普通运算法则进行：
a3=a1a2-b1b2，b3=b1a2+a1b2，同样对符号进行类似的分析.于是我们得到如下的解法.
【解答】 B 由（1，2）(p,q)=(5，0)得，所以（1，2）(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0)，故选B.
【插语】 这里的运算、的一种具体形式是复数代数式加法运算和乘法运算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
由此可以看到，命题人在设计新题型时在如何“推陈出新”. 这里的运算法则、设计实际上是把一种具体的（复数）运算法推广到了（有序数对）“一般化”运算.
●对应训练
1.设是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有ab∈A，则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭
的是 （ ）
A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集
2.定义集合运算：A⊙B =｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 ( )
A.0 B.6 C.12 D.18
3.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
●参考答案
1.【分析】 这里“封闭”的定义，是说集合A中的任意两个数经过运算的结果，仍然是集合A中的元素，则称A对运算是封闭的.
【解答】 A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1÷ 2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中×=2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C.
【点评】 本题中的运算有四个，即加法、减法、乘法和除法（除数不为0），要想这四则运算都封闭，必须经四则运算后的结果，还是所给的数集中的一员.由于是单项选择题，这就需举出反例来说明它的不封闭性.
2.【分析】 集合运算A⊙B实际上两个集合中元素的积乘以两个集合中元素的和. 所给集合A中有一个元素0，这使问题简化了，因为0乘以任何数其结果为0.
【解答】 D 当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D.
【点评】 所给集合就是两个元素，我们可以一一把它们的结果列举出来，因为有0的存在，使得我们的计算大大地省下了一笔.这也是命题人给考生的照顾吧！
3.【解答】 C 依题意，建立方程组
解得d=7，c=1，b=4，a=6，选C.
【评说】 由信息的传递迁移到数学中的方程组，这是通过一些数字迁移到另外一些数字上去，可见数学的神密所在.
数学破题36计
第36计 思想开门 人数灵通
●计名释义
为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？
所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动. 中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.
●典例示范
【例1】 有一个任意的三角形
ABC（材料），计划拿它制造一个
直三棱柱形的盒子（有盒盖）
，怎样设计尺寸（用虚线表示），
才能不浪费材料（图右上）？ 例1图
【思考】 “任意”三角形属一般情况，
它的对立面是“特殊”的三角形.
我们先从正三角形考虑起.
假设这个尺寸如图（1）所示.
（1）三棱柱的底面A1B1C1的
中心G为原三角形的中心.
（2）柱体的三侧面是三个矩形，
矩形的长与底面△A1B1C1的边长对应相等.
（3）柱体的上底面（盒盖）由
三个四边形拼合，拼成后的三角形与A1B1C1全等. 例1题解图（1）
经过以上思考，底面小三角形的三个顶点，如C1，它应满足两个条件：其一，C1是GC的中点；其二，C1到∠C两边的距离相等，
因此它在∠C的平分线上.于是在一般的情况下，点G应是△ABC的内心.
【解答】 作△ABC的∠A和∠B的
平分线相交于内心G，如图（2）所示.
分别作GA、GB、GC的中点A1、B1、C1.
△A1B1C1为直三棱柱的一个底面.
过A1，B1，C1三点分别作对应边
的垂线（段），所得矩形为柱体的三个侧面.
经过以上截取后，原△ABC三个顶点
处所余下的三个四边形拼在一起，
作为柱体的另一个底面（盒盖）. 例1题解图（2）
【点评】 本题的设问，只要求讲出“设计操作”，形式上“不讲道理”.实质上，人的操作是受思想支配的，因此，本质上是在考“思想”.本解法在探索过程中为找到三角形的内心，运用的就是数学上七大基本思想之一——特殊一般思想.
【例2】 校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B级，若投中4次以上则可确定为A级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是.
(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；
（2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.
【解答】 (1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率为P=C23·（）2··=.
(2)若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围，该事件可分为下列几类：
①5次投中3次，有C24种可能投球方式，其概率为：P（3）=C24·（）5=；
②投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为：P（2）=（）4+3·（）5=；
③投中1次，其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式，
其概率为：P（1）=（）3+（）4=；
④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P（1）=（）2=，
∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)=+++ =.
【点评】 本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然的思想.
●对应训练
1.函数y=lg的定义域是： ( )
A.{x|x<0} B.{x|x>1} C.{x|0
2.下面的数表
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
所暗示的一般规律是 .
●参考答案
1.D 利用特殊值.x= -1，2时，函数有意义，排除A、B，x=时，函数无意义，排除C.
2.（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］= n3
设第n行左边第一个数为an，则a1=1，a2=3，an+1=an+2n. 叠加得an=n2-n+1，而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是
（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3.
【点评】 数表问题由来已久，常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究，此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.
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