高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质第1课时教案及反思

3.2.2 奇偶性

第一课时 函数的奇偶性

易误提醒　

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．

3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．

必记结论　

1．函数奇偶性的几个重要结论：

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

2．有关对称性的结论：

(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．

若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．

(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称．

若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．

[自测练习]

1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是(　　)

A．奇函数  B．偶函数

C．非奇非偶函数  D．既奇又偶函数

解析：由知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．

答案：C

2．(2015·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(　　)

A．－  B.

C．2  D．－2

解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝，故选B.

答案：B

3．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.

解析：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.

答案：0

[自测练习]

4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.

解：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，

∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.

答案：－

考点一　函数奇偶性的判断|

判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝3x－3－x；

(4)f(x)＝；

(5)f(x)＝

解：(1)由得x＝±1，

∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，

即f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，

∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(3)∵f(x)的定义域为R，

∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.

∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，

∴f(x)＝＝＝，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，

则当x<0时，－x>0，

故f(－x)＝x2－x＝f(x)；

当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，

故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．

探究一　利用单调性、奇偶性求解不等式

2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)

A.

B.∪(1，＋∞)

C.

D.∪

解析：函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)，∴|x|>|2x－1|，解得<x<1，故选A.

答案：A

　　2.构造法在函数奇偶性中的应用

【典例】　设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

[思路点拨]　直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．

[解析]　易知f(x)＝1＋.

设g(x)＝f(x)－1＝，

则g(x)是奇函数．

∵f(x)的最大值为M，最小值为m，

∴g(x)的最大值为M－1，最小值为m－1，

∴M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.

[答案]　2

[方法点评]　在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．

[跟踪练习]　已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)

A．－26　　　　　　　　　 B．－18

C．－10  D．10

解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8知f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，

令F(x)＝f(x)＋8可知F(x)为奇函数，

∴F(－x)＋F(x)＝0.

∴F(－2)＋F(2)＝0，故f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0.

∴f(2)＝－26.

答案：A

A组　考点能力演练

1．(2015·陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的(　　)

A．必要不充分条件

B．充要条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：f(x)在R上为奇函数⇒f(0)＝0；f(0)＝0　f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.

答案：A

2．(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为(　　)

A．2  B．－2

C．0  D．2log2

解析：由题意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f－1＋f－1＝0，所以f＋f＝2.

答案：A

3．在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当0<x≤1时，f(x)＝2x，则f(2 015)＝(　　)

A．－2  B．2

C．－  D.

解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数的周期为3，所以f(2 015)＝f(672×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.

答案：A

4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)

A．{x|－1<x<0，或x>1}

B．{x|x<－1，或0<x<1}

C．{x|x<－1，或x>1}

D．{x|－1<x<0，或0<x<1}

解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，

∴f(－1)＝0，

从而有函数f(x)的图象如图所示：

则有不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为

{x|－1<x<0或0<x<1}，选D.

答案：D

5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)＝1，且对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，则f(2 017)＝________.

解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数f(x)的周期T＝3，则f(2 017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2 017)＝f(2)＝1.

答案：1

6．函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.

解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.

答案：－1

7．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象知

所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

8．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f<0的解集．

解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.

又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，

若f<0＝f(1)，∴

即0<x<1，解得<x<或<x<0.

f<0＝f(－1)，∴

∴x<－1，解得x∈∅.

∴原不等式的解集是

.

B组　高考题型专练

1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.

答案：C

2．．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝  B．y＝x＋

C．y＝2x＋  D．y＝x＋ex

解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．

答案：D

3．(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c  B．a<c<b

C．c<a<b  D．c<b<a

解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数得m＝0，则f(x)＝2|x|－1，当x∈[0，＋∞)时，f(x) ＝2x－1递增，又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0<log23<log25，则f(0)<f(log23)<f(log25)，即c<a<b.

答案：C

4．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.

答案：A