2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷(解析版)

2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列运算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    数据，，，，的中位数和众数分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

5.    如图，在平行四边形中，点是边的中点，交对角线于点，则等于(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6.    抛物线的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    九章算术第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长步，其所在圆的直径是步，则这块田面积为(    )

A. 平方步 B. 平方步 C. 平方步 D. 平方步

9.    若点，，在反比例函数为常数的图象上，则，，大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知点，分别在反比例函数的图象上，且，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 分解因式：______．
12. 若点，关于原点对称，则______．
13. 如图，是上一点，若，则的度数是______．

14. 不等式的解集为______．
15. 如图，菱形的面积为，，则菱形的边长为______．

16. 如图，在等腰中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为，当与相似时，的值为______

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
    求反比例函数的解析式和点坐标；
    当时，直接写出自变量的取值范围．

20. 本小题分
    某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了个活动小组每位学生只能参加一个活动小组：音乐；体育；美术；阅读；人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
    
    根据图中信息，解答下列问题：
    此次调查一共随机抽取了______名学生；
    补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
    扇形统计图中圆心角______度；
    若该校有名学生，估计该校参加组阅读的学生人数；
    刘老师计划从组人工智能的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
21. 本小题分
    在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
    求证：四边形是矩形；
    若平分，，，求矩形的面积．

22. 本小题分
    由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上开，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包元涨到了每包元．
    求出这两次价格上调的平均增长率；
    在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包元，而且调查发现，定价为每包元时，一天可以卖出包，每降价元，可以多卖出包，当销售额为元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
23. 本小题分
    如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．
    求证：是的切线；
    过点作的切线交的延长线于点，，求的长．

24. 本小题分
    党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“高质量发展点”．
    若点是反比例函数为常数，的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式；
    若函数为常数图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围；
    若二次函数是常数，的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，有最大值，求的值．
25. 本小题分
    如图、已知、、在上，经过点且与垂直垂足为点，点是线段上的一个动点不与，重合，连接并延长与交于点，过点作的切线交的延长线于点．
    
    求证：；
    如图，连接，，，，已知，当时，求证：；
    在的条件下，若，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、不能合并，故本选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知，数据，，，，中出现次数最多的是，故众数为，
将这组数据排好顺序为：、、、、，故中位数为．
故选：．
根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握中位数和众数的定义是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
点是边的中点，
，
，
，
故选：．
根据题意易得，则有∽，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【试题解析】

【分析】
由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
【解答】
解：
，
顶点坐标为，
故选B．
 

7.【答案】 

【解析】解：把代入可得，
解得，
故选：．
把代入求值即可．
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：扇形所在圆的直径是步，
扇形所在圆的半径是步，
弧长是步，
扇形的面积是平方步，
即这块田面积为平方步，
故选：．
先求出扇形所在圆的半径，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
本题考查了扇形的面积计算和弧长计算，注意：扇形的面积弧长半径．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
函数图象位于一、三象限，
点，位于第三象限，，
；
位于第第一象限，
，
．
故选：．
先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当时，在每个象限内，反比例函数值随的增大而减小．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

，
，
，
，
，
∽，
，
，
点在反比例函数上，
由反比例函数的几何意义可知，
，
，
反比例函数在第四象限，
；
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，则∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方及反比例函数的几何意义可求解问题．
本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟知反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：点，关于原点对称，
，，
．
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案．
此题主要考查了原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．
 

13.【答案】 

【解析】解：由圆周角定理可得，
，
故答案为：．
根据圆周角定理可得答案．
本题考查圆周角定理，掌握“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半”是正确计算的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设与相交于点，如图所示：

四边形是菱形，面积为，且，
，
在中，；
故答案为：．
设与相交于点，然后根据菱形的面积可求，进而根据勾股定理可求解．
本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：由题意得：，则有，
当与相似时，可分：
当时，∽，
，即，
解得，
当时，∽，
，即，
解得．
综上所述：当为或秒时，使得与相似，
故答案为或．
根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据有理数的乘方运算，二次根式的性质，负整数指数幂和绝对值的意义进行化简或计算，再算实数加减即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握有理数的乘方运算，二次根式的性质，负整数指数幂和化简绝对值是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式．
当时，原式． 

【解析】先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．再把的值代入求值．
此题考查了分式的混合运算，能够熟练代值计算．
 

19.【答案】解：把代入得：
，
解得：，
，
把代入得：
，
解得：，
，
令，
解得：，，
把代入得：
，
点的坐标为．
根据函数图象可知，当或时，．
即当时，自变量的取值范围为或． 

【解析】把代入求出的值，得出点的坐标，把点的坐标代入得出的值，即可求出反比例函数解析式；令即可求出点的坐标；
根据函数图象直接可以得出当时，自变量的取值范围．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想．
 

20.【答案】   

【解析】解：此次调查一共随机抽取的学生人数为：名，
故答案为：；
组的人数为：名，
补全条形统计图如下：

扇形统计图中圆心角，
故答案为：；
名，
答：估计该校参加组阅读的学生人数为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有种，
恰好抽中甲、乙两人的概率为．
由组的人数除以所占百分比即可；
求出组的人数，补全条形统计图即可；
由乘以组所占的比例即可；
由该校共有学生人数乘以参加组阅读的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：，，，
，
平分，，
，，
，
，
矩形的面积是：，
即矩形的面积是． 

【解析】根据平行四边形的性质可以得到，再根据，可以得到四边形是平行四边形，然后根据，即可证明结论成立；
根据勾股定理可以得到的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到，从而可以得到，然后即可得到的值，最后根据矩形的面积计算即可．
本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：设这两次价格上调的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这两次价格上调的平均增长率为．
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要让顾客获得更大的优惠，
的值为．
答：每包应该降价元． 

【解析】设这两次价格上调的平均增长率为，利用经过两次上调价格后的价格原价这两次价格上调的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连，如图，

为直径，
，即，
又，，
，
，即，
为半径，
是的切线；
解：如图，连接，

为的切线，
，即，
又是的切线，
，
，，
∽，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
，
解得，
即的长为． 

【解析】连，根据圆周角定理得到，而，，于是，即可证明是的切线；
连接，由切线长定理可知，再证明∽，即有，即可求出，设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解即可获得答案．
本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、切线长定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．
 

24.【答案】解：将代入，得：，即，
又因为是“高质量发展点”，
故，解方程组，得：或，
则这个反比例函数的解析式为或．
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意将代入得：，
由函数为常数图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程有两个不相等的实根，即，解得：，
且由韦达定理可知的两根之和为，两根之积为，
又因为这两点都在第一象限可得：，
解得：，
综上可得：．
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得，整理得，
根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知方程两根相等，即，变形得：，
因为，
所以，
故由抛物线性质：开口向下，对称轴为，顶点，
当时，有最大值，
分情况讨论最值情况：
当，即时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，
故当时有最大值，即，化简得：，得：，
，故舍去，
，
当且，即时，函数的自变量取值范围包括了顶点，即当，有最大值，解得：，
，
时函数自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时最大值当时取得，即：，整理得：，解得，

均不合要求，此时无解，
综上可得：或． 

【解析】将代入得到关于，的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于，的另一个方程，解方程组即可；
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意可得含的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应，即可求出的取值范围；
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得含的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等，即，得出，的关系式，从而由变形为关于，的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可．
本题结合新定义综合考查了二次函数的性质，关键是运用新定义设坐标结合二次函数增减性变化及最值取得的条件建立新的二次函数，第问运用分类讨论可条理清晰解决问题．
 

25.【答案】证明：连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：，且与都是弧所对圆周角，
，
，且过圆心，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
∽，
，
；
解：由得，
，
∽，
，
，
连接，

是的切线，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
解得：，
，
． 

【解析】连接，根据切线的性质可得到，根据，可得，根据可得，即可得到证明；
易得，从而得到，从而得到∽即可得到证明；
由得，，再证明∽，即可得到答案．
本题考查三角形相似，垂径定理，等腰三角形性质，解题的关键是找到到相似三角形成立的条件．