专题03 整式的运算与因式分解篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题03 整式的运算与因式分解 知识回顾 合并同类型： 法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。 整式的加减的实质： 合并同类项。 整式的乘除运算： ①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。 ②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。 ③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。 ④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。 ⑤多项式÷单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。 乘法公式： ①平方差公式：。 ②完全平方公式：。 因式分解的方法： ①提公因式法：； ②公式法：平方差公式： 完全平方公式：。 ③十字相乘法：在中，若，则： 。 专题练习 1．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1． 2．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0． 3．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4． 4．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值． 5．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝． 6．（2022•衡阳）先化简，再求值． （a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2． 7．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝． 8．（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1． 9．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣． （2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝． 10．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值． 11．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值． 12．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值： （1）（x﹣）2； （2）x4+． 13．（2022•无锡）计算： （1）|﹣|×（﹣）2﹣cos60°； （2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）． 14．（2022•安徽）观察以下等式： 第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2， 第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2， 第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2， 第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 15．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b） ＝（2﹣3b）（a﹣2） 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2﹣3b） 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1． 根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．