岳阳市 2023 届高三教学质量检测第一次考试数学试卷(含答案解析)

岳阳市 2023 届高三教学质量检测第一次考试数学试卷

1.  在复平面内，复数z对应的点为，则(    )

A. i B.  C. 2i D.

2.  已知集合，，则

A.  B.  C.  D. R

3.  已知直线和圆，则“”是“直线l与圆C相切的”(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4.  已知函数的一个零点是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄露核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩参考数据

A.  B.  C.  D.

6.  已知两个等差数列2，6，10，及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为(    )

A. 1666 B. 1654 C. 1472 D. 1460

7.  已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面平面SBC，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为(    )

A. 9 B. 18 C. 27 D. 36

8.  已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，则(    )

A. 是周期函数 B. 函数在定义域上是单调递增函数
C. 函数是偶函数 D. 函数的图象关于点对称

10.  甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则(    )

A. 四名同学的报名情况共有种
B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.

11.  正方体的棱长为1，点P在线段上运动，则下列结论正确的是

A. 异面直线与所成的角为
B. 异面直线与所成角的取值范围是
C. 二面角的正切值为
D. 直线与平面所成的角为

12.  已知抛物线上的两点，及抛物线上的动点，直线PA，PB的斜率分别为，，坐标轴原点记为O，下列结论正确的是(    )

A. 抛物线的准线方程为
B. 三角形AOB为正三角形时，它的面积为
C. 当为定值时，为定值
D. 过三点，，的圆的周长大于

13.  已知，，，均为锐角，则__________.

14.  已知某车间在上半年的六个月中，每个月的销售额万元与月份满足线性回归方程，则该车间上半年的总销售额约为__________万元.

15.  已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆分别交线段、于M、N两点，则__________

16.  数列的前n项和为，，且对任意的都有，则

若，则实数m的取值范围是__________;

若存在，使得，则实数m为__________.

17.  已知数列满足，且数列的前n项和为

求数列的通项公式;

设，求数列的前n项和

18.  8月5日晚，2022首届湖南岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园岳阳港工业遗址公园举行.举办2022首届湖南岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅 IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：

假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.

试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率;

若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望.

19.  在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，

证明：

求的取值范围.

20.  已知直三棱柱中，E，F分别为棱和的中点，，，

求证：平面平面

若直线与平面EFC所成角的正弦值为且，证明：平面平面

21.  已知直线和直线，过动点E作平行的直线交于点A，过动点E作平行的直线交于点B，且四边形为原点的面积为

求动点E的轨迹方程;

当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线，若过点的直线m与曲线交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若，，求证：为定值.

22.  已知函数，，

讨论函数在区间上的最大值;

确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

【解答】

解：由复数z对应的点为，则，所以

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的并集运算，属于基础题.

【解答】

解：，

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，充分条件、必要条件等，属基础题.

【解答】

解：圆C：，则圆心坐标为，，

当直线l与圆C相切时，圆心到直线l的距离，解得，满足必要性；

当时，直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，即直线l与圆C相切，满足充分性，
因此，“”是“直线l与圆C相切的”充要条件 .

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查根据三角函数的零点以及图象的平移变换求图象的表达式，属于基础题.

【解答】

解：根据题意可知，，则，可知，
故，，
将函数的图象向左平移个单位长度后得到
 

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数运算的实际应用，属于中档题.

【解答】

解：由题可知，设，两边同时取对数，
，
故

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列通项公式及前n项和公式，属于中档题.

【解答】

解：设两个数列分别为 ，由题知 ， ， 
数列与首项， 
构成新数列也是等差数列记为，首项，且公差为4和6的最小公倍数12， 
所以 ， ，，且 ， 
解得 ，即新数列有17项， 
前17项和为 

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查球的内接体，三棱锥的体积求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．

【解答】

解：三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，
因为，，

可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，O是斜边SC上的中点，
，，平面AOB，
则易得平面AOB，
又平面平面SBC，易得平面SAC，
由球O的体积为，则球O的半径，
可得三棱锥的体积为

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的大小比较，属于难题.

【解答】

解：对于A，取，，A选项错误.
对于B，由题知，，取，
得，此时，B选项错误.
对于C，不妨取，，且，
，此时，C选项错误.
对于D，由题知，假设，两边取对数，即证，由题可知正实数x，y满足，即证，
构造函数，，
令，，，故在上单调递减，
且，在上大于0，在上小于
也即当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，即，得证，D选项正确.

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性，涉及到三角函数的有关性质，属较难题.

【解答】

解：对于A，由题意知的定义域为R，且设，
则，
所以是周期函数，且是它的一个周期，故A正确；
对于B，，其定义域为R，
函数是增函数，
函数是增函数，是减函数，是增函数，
是增函数，故B正确；
对于C，函数，设且定义域为R，
则，即为奇函数，
因此，函数是奇函数，故C错误；
对于D，且定义域为R，
，则，
则函数图象的一个对称中心为，故D正确.

10.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了排列组合的综合运用、古典概型的概率以及条件概率计算，属于中档题.

【解答】

解：对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，
故四名同学的报名情况共有种，A正确；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，
再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，
故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；
对于C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
，C正确；
对于D，由已知有：，
，
所以，D正确.

11.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用空间向量坐标运算求异面直线所成角，二面角及线面角，属于较难题.

【解答】

解：建立如图所示空间直角坐标系，

对于A，，，异面直线与所成角的余弦值，所以异面直线与所成的角为，A错误.
对于B，异面直线与所成角即为直线与直线所成角，易知为等边三角形，故当点P位于B或时，异面直线与所成角最小为位于线段的中点时，异面直线与所成角最大为，异面直线与所成角的取值范围是正确.
对于C，设平面的法向量为，，，
，取，得
平面的一个法向量为，
，由图可知二面角为锐角，故二面角的正切值为，
C正确.
对于D，，平面的一个法向量，
，直线与平面所成的角的正弦值为，故直线与平面所成的角为，D错误.

12.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的准线、抛物线中的面积问题、抛物线中的定值等问题，属较难题.

【解答】

解：对于A，由抛物线方程可得该抛物线的准线方程为，故A错误；
对于B，当三角形AOB为正三角形时，不妨设点A在第一象限，则其坐标为，
于是有，即得，此时正三角形AOB的边长为，
则其面积为，故B正确；
对于C，由题意知，则，
当为定值时，为定值，亦即为定值，故C正确；
对于D，不妨设，又由题意可知，则可得，，
于是，
则，
由正弦定理可知，三角形的外接圆直径，
可得过、、三点的圆的周长为，
又，即，
因此，过、、三点的圆的周长大于，故D正确.

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题.

【解答】

解：由题意可知，，由，均为锐角，则，
所以

14.【答案】198 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用线性回归方程对总体进行估计，属于中档题.

【解答】

解：由题可知上半年总销售为：
万元

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆和圆的相关知识，以及向量的数量积等知识，属中档题.

【解答】

解：椭圆的左、右焦点分别为、，
由题意知圆心在椭圆E上，则垂直于x轴，
又圆P的半径为，则点N的坐标为，即可得，
又可得直线的方程为，
联立方程，得不合题意，舍或，
即点M的坐标为，
则，
因此，

16.【答案】

或11

【解析】

【分析】

本题主要考查由数列的递推公式以及前n项和的关系来判断参数的取值，属于中档题.

【解答】

解：由，且对任意的都有，当时，，，
当时，，，又，可得，所以，
故实数m的取值范围是；
，，两式相减可得，，
可知，
当n为偶数时，，当n为奇数时，，
，，
①当k为偶数时，，解得，
②当k为奇数时，，解得，
故实数m为或

17.【答案】解：因为，所以

所以数列是首项为1公比为3的等比数列

所以数列的通项为

由知数列的前n项和

所以

数列的前n项和

【解析】本题主要考查等比数列的通项公式及裂项相消法求和，属于中档题.
 

18.【答案】解：设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，则事件A对应三种情形：

①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟;

②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟;
③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.

所以，即估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率为

所有可能的取值为0，1，

对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟，

所以

对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，

所以

对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，

所以

所以X的分布列为：

【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的均值，属中档题.
 

19.【答案】解：由余弦定理得又，所以，

由正弦定理得，

又，

所以得，

在三角形中得或舍去得；

由知且，所以所以，

，

令，且，

，

可知当时所以在 单调递增，

可知当时所以在单调递减，

在时取到极大值也是最大值，且最大值为，

又，，，所以，

故的取值范围为

【解析】本题主要考查解三角形中的余弦定理，正弦定理，三角恒等变换以及利用导数判断单调性求最值问题，属于较难题.
 

20.【答案】解：法一：延长，CF交于点N，连NE交于M，则可知平面EFC即平面CEMF，且M为靠近的三等分点

所以，又，，

由余弦定理知

所以

故为直角三角形，

直三棱柱中，平面，，所以，

又，且、，

所以平面，平面EFC

所以平面平面

法二：如图所示，以A为原点，，为y轴和z轴的正方向，过A作y轴垂线为x轴建立空间直角坐标系，设，

则，，，，，

所以，，，

设平面EFC的一个法向量为，

则即

令，则

设平面的一个法向量为，

则即

令，则

所以所以故平面平面

，由知平面EFC的一个法向量为

由直线与平面EFC所成角的正弦值为得

得得或

因为，所以

当时，，，知，所以平面EFC

而平面，故平面平面EFC

【解析】本题主要考查面面垂直的判定，平面与平面垂直的坐标表示及直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.
 

21.【答案】解：法一：设，过且平行的直线方程为，

由得交点A的横坐标为，

所以，

E点到直线的距离为，

所以即或

故动点E的轨迹方程为或

法二：设，E点到直线的距离为，到直线的距离为，

四边形为原点的面积为S

则

所以所以

时，，

时，

又，所以

得动点E的轨迹方程为或

由题知的方程为

设，，，

当直线m的斜率为0时，

若，，因为，，知，，所以

若，，因为，，知，，所以

当直线m的斜率不为0时，设直线m的方程为显然，则，即

因为，，

所以，，

解得，，

由消去x并整理成

因为直线m与曲线有两个交点，则在且判别式时有

且，

所以，

综上可知，为定值

【解析】本题考查了椭圆中的定值问题，涉及点斜式方程、两条直线的交点坐标、点到直线的距离、二倍角正弦公式等知识，属困难题.
 

22.【答案】解：令，则

当时，对于恒成立，又所以恒成立

所以在上单调递减

所以当时，有最大值，且最大值为0

当时知时，函数单调递增

时，函数单调递减

所以时有最大值，且最大值为
由知知，当时，时

当时，对任意的，

又欲成立，显然

当时，

令，，则有

，

有两个不同实数根，

，且

故当时，，在上单调递增

故即，所以满足题意的t不存在

当时由知存在，使得对任意的恒有

此时

令，，则有

，

有两个不同实数根

且

故当时，，在上单调递增

故即，

记与中较小者为，则当时恒有，

所以满足题意的t不存在

当时，则知，当，

令，，则有

，

当时，所以在时单调递减，故

故当时，恒有，此时，任意实数t满足题意

综上，

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值及利用导数研究恒成立问题，属于难题.