拓展一：空间角（直线与平面所成角，二面角）(探索性问题）（精讲）-高二数学上学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第一册）

拓展一：空间角（直线与平面所成角，二面角）

(探索性问题）（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：直线与平面所成角探索性问题

重点题型二：平面与平面所成角探索性问题

知识点一：直线与平面所成角

1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.

注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.

如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.

2、直线和平面所成角：（有三种情况）

（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；

（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；

（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.

结论：直线与平面所成角的范围为.

3、利用向量法求线面角

设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；

②.

知识点二：平面与平面所成角

1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作

棱的垂线、,则称为二面角的平面角.

2、二面角的范围：

3、向量法求二面角平面角

（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．

（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：

①；

②

若二面角为锐二面角（取正），则；

若二面角为顿二面角（取负），则；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）

重点题型一：直线与平面所成角探索性问题

1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在三棱锥中， 所有棱的长均为，点在棱上， 满足， 点在棱上运动， 设直线与平面所成角为， 则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·高二课时练习）在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（       ）

A．            B．         C．       D．

4．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．

(1)求二面角的大小；

(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．

5．（2022·广东·高二阶段练习）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.

(1)求异面直线与所成的角的余弦值；

(2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．

(1)求证：平面平面PAD；

(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

7．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．

8．（2022·福建·莆田一中高二期末）如图，在三棱锥中，．

(1)证明：平面平面．

(2)若点Q在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．

重点题型二：平面与平面所成角探索性问题

1．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．

(1)求证：AA1⊥CD；

(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．

(1)证明：平面平面

(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．

3．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．

(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；

(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；

(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

4．（2022·山东聊城·三模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.

(1)求证：；

(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

5．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD平面ABCD，PA=PD=2，E为PA中点.

(1)求证：ED平面PBC；

(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由.