人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀课后测评

第二章 直线和圆的方程 章末总结（精讲）

目录

第一部分：知识框架

第二部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：直线方程

重点题型二：两直线的平行与垂直

重点题型三：两直线的交点与距离问题

重点题型四：圆的方程

重点题型五：直线与圆的位置关系

重点题型六：切线和切线长问题

重点题型七：弦长问题

重点题型八：圆与圆的位置关系

重点题型九：两圆公共线方程和公共弦长

重点题型十：与圆有关的最值问题

重点题型十一：轨迹方程

第三部分：数学思想与方法

方程思想

函数思想

数形结合思想

分类讨论思想

转化与化归思想

重点题型一：直线方程

1．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知三个顶点是.

(1)求边中线所在直线方程；

(2)求边上的高线所在方程；

(3)求的重心的坐标.

2．（2022·四川达州·高一期末（理））已知直线l经过点．

(1)若点在直线l上，求直线l的方程；

(2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程．

3．（2022·江苏·高二）已知的三个顶点的坐标为、、，试求：

(1)边上的高所在的直线方程；

(2)的面积．

4．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）根据下列条件，分别写出直线的方程：

(1)过点，且在y轴上的截距为6；

(2)过点，且在x轴上的截距为3．

重点题型二：两直线的平行与垂直

1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，分别求实数的值，使得：

(1)；(2)．

2．（2022·江苏·高二）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值．

(1)；(2)；(3)．

3．（2022·江苏·高二课时练习）设m为实数，已知两条直线，.当m为何值时，与：

(1)相交？(2)平行？

4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，直线，且，求m的值．

重点题型三：两直线的交点与距离问题

1．（2022·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．

2．（2022·全国·高二期中）直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．

3．（2022·全国·高二课时练习）求过与的交点且与直线平行的直线方程．

4．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．

5．（2022·江苏·高二）两平行直线，分别过，.

(1)，之间的距离为5，求两直线方程；

(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.

重点题型四：圆的方程

1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点，.

(1)求线段的垂直平分线方程；

(2)求圆的标准方程.

2．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的圆的方程，并画出图形：

(1)经过点和，圆心在x轴上；

(2)经过直线与的交点，圆心为点；

(3)经过，两点，且圆心在直线上；

(4)经过，，三点．

3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆的方程：

(1)圆经过，两点，且圆心在直线上；

(2)圆经过，，三点.

4．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）已知三个顶点分别为，，．

(1)求经过两边AB和AC的中点的直线的方程；

(2)求的外接圆方程．

重点题型五：直线与圆的位置关系

1．（2022·浙江·温州中学高二期末）已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏盐城·高二期末）已知直线与圆相切，则实数a的值为_________．

3．（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x -y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．

(1)求该圆的方程；

(2)若直线x+ my -1=0与圆C交于 A、B两点，且|AB|=，求m的值．

4．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．

(1)求实数a的值；

(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．

5．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）已知圆经过，，且圆心在直线上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线：与圆无公共点，求实数的取值范围.

重点题型六：切线和切线长问题

1．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）过点作圆的切线，则切线方程为（       ）

A． B． C． D．或

2．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·天津河北·高二期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（       ）

A． B．

C．或 D．或

4．（2022·江苏泰州·模拟预测）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．

5．（2022·全国·高二课时练习）从点引圆的切线，则切线长是__________．

6．（2022·全国·高二课时练习）求通过圆上的一点所作该圆的切线方程．

7．（2022·山西·怀仁市第一中学校云东校区高二阶段练习（理））已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.

(1)求圆的方程；

(2)若点，求过点的圆的切线方程.

重点题型七：弦长问题

1．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知圆：，直线：.

(1)求圆的圆心及半径；

(2)求直线被圆截得的弦的长度.

2．（2022·江苏·高二）已知三点在圆C上，直线，

(1)求圆C的方程;

(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．

3．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆C：，其中．

(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；

(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．

4．（2022·辽宁·高三期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点．

(1)求线段的垂直平分线方程；

(2)求圆的标准方程；

(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．

5．（2022·江苏南通·高二期末）已知圆，点.

(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；

(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.

重点题型八：圆与圆的位置关系

1．（2022·福建福州·高二期末）圆与圆的位置关系为 （       ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

2．（2022·四川雅安·高二期末（理））圆：与圆：的位置关系是（       ）

A．内切 B．外切

C．相交 D．外离

3．（2022·江苏·高二）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为______．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________.

5．（2022·全国·高二课时练习）若点在圆上，则圆与圆的位置关系是______．

6．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．

重点题型九：两圆公共线方程和公共弦长

1．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知圆：和圆：，则（       ）

A．公共弦长为 B．公共弦长为

C．公切线长 D．公切线长

3．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆公共弦所在直线的方程为（     ）

A． B． C． D．

4．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________.

5．（2022·天津·静海一中高二期末）若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.

6．（2022·天津河西·二模）设与相交于两点，则________．

7．（2022·天津河东·二模）圆与圆的公共弦长为________．

重点题型十：与圆有关的最值问题

1．（2021·全国·高二课时练习）已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

2．（2021·全国·高二专题练习）已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（       ）

A．100 B．25 C．50 D．

3．（2021·安徽滁州·高二期中）已知，点P在直线上，点Q在圆C：上，则的最小值是______．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点Р在直线上（，），则mn的最大值是__________.

5．（2022·江苏·高二）已知圆：与：相交于A、B两点．

(1)求公共弦AB所在的直线方程；

(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；

(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．

6．（2022·江苏·高二）已知圆，点分别在轴和圆上.

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求的最小值.

7．（2022·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；

(1)求直线AB的方程；

(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．

重点题型十一：轨迹方程

1．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知点，动点满足，记的轨迹为曲线．

(1)求的方程，并说明是什么曲线；

2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.

3．（2022·全国·高二课时练习）等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？

4．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知圆的圆心在直线上，且过和两点.

(1)求圆的标准方程；

(2)过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.

方程思想

1．（2022·全国·高三专题练习）已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程．

2．（2022·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点

(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.

3．（2022·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．

4．（2022·全国·高二期中）直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．

函数思想

1．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．

数形结合思想

1．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（       ）

A． B． 

C． D．

3．（2019·全国·高一课时练习）已知是圆上任意一点，则的取值范围是

A． B．

C． D．

分类讨论思想

1．（2022·江苏·高二）已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．

(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．

2．（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）已知过点且斜率为的直线与圆交于、两点.

(1)求斜率的取值范围；

(2)过作圆的切线，求切线方程.

3．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上.

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程

转化与化归思想

1．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高二）已知实数a，b满足4a-2b+3=0，则的最小值为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．8

3．（2022·全国·高二）设实数，满足，则的最小值为（       ）

A． B．4 C． D．8

4．（2022·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．