专题15.1 分式-八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

专题15.1 分式

1、理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为零（正、负、整数）的条件；

2、了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则；

3、理解最简分式与最简公分母的概念。

知识点01 分式及基本概念

知识点

1.分式的定义

分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．

分式中，A叫做分子，B叫做分母．

注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0. ③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.

2.分式的相关概念

1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0

2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0

3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0

4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0

【知识拓展1】分式的概念

例1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）在式子、、、、、、中，分式的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【即学即练】

1．（2022·湖北·八年级期中）下列各式：，，，中，是分式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【知识拓展2】分式有（无）意义的条件

例2．（1）（2022·广东·八年级阶段练习）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）

A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣3

（2）．（2021·湖北嘉鱼·期末）当满足条件________时，分式没有意义．

【即学即练】

2.（2022·浙江·八年级开学考试）当时，分式没有意义，则b的值为（    ）

A． B． C． D．3

【知识拓展3】分式值为零

例3．（2022·山东·济宁市八年级阶段练习）如果分式的值为0，那么x的值为（    ）

A． B． C． D．

【即学即练】

3.（2022·河北·八年级阶段练习）若分式的值为零，则m＝（　　）

A． B．5 C．±5 D．0

【知识拓展4】分式值为正（负）

例4．（2022·江苏·八年级）若分式的值为正，则x的取值范围是______．

【即学即练】

4.（2022·江西宜春·八年级期中）若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　）

A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜

知识点02 分式的基本性质

知识点

1.分式的基本性质

1）分数的性质（特点）如下：

①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.

2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：

①分式分母也不能为零

②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：

用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．

③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.

2.分式的约分与通分

1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.

注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。

2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．

注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．

3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。

步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.

4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．

【知识拓展1】分式基本性质的运用

例1．（2022·江苏泰州·八年级阶段练习）下列变形中，正确的是（    ）

A．     B．    C．    D．

【即学即练】

1．（1）（2022·浙江浙江·七年级期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

（2）．（2022·江西景德镇·八年级期末）利用分式的基本性质填空：．

【知识拓展2】最简分式

例2．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）分式，，，中，最简分式有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【即学即练】

2．（2020·湖南·永州市八年级阶段练习）下列分式是最简分式的是（       ）

A．  B． C． D．

【知识拓展3】利用分式的性质判定分式值的变化

例3．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若分式中的x和y都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是（    ）

A．2 B．y C． D．

【即学即练】

3．（2022·河北·一模）只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（    ）

A．2 B． C． D．

【知识拓展4】最简公分母

例4．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）下列分式，，通分的最简公分母是______．

【即学即练】

4．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）分式的最简公分母为____________．

【知识拓展5】约分

例5．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（    ）

①，②，③，④

A．① B．② C．③ D．④

【即学即练】

5．（2022·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）下列运算结果为x+1的是（    ）

A． B． C． D．

【知识拓展6】通分

例6．（2022·湖南·新化县八年级期中）把，通分，则=________， =__________.

【即学即练】

6．（2022·江苏·八年级专题练习）将下列各分式通分：

（1）；（2）；（3）；（4）．

考法01 分式的规律探究

【典例1】（2022·全国·二模）观察下列各式：

第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……

根据你发现的规律解答下列问题：(1)第4个等式为：______．

(2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明．

变式1．（2022·湖南·八年级阶段练习）观察下列各式：，-，，-，……，则第10个式子为_____．

变式2．（2022·广西贺州·七年级期末）观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）．

考法02  分式值为整数

【典例2】（2022·安徽·九年级专题练习）若分式的值为正整数，则整数a的值有(　　)

A．3个      B．4个      C．6个      D．8个

变式1．（2021·安徽六安·七年级期末）若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．8个

变式2．（2022·四川南充·九年级期中）若的值为整数，则正整数a的值为______．

题组A  基础过关练

1．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）代数式的家中来了几位客人：，，，，，其中属于分式家族成员的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）下列运算中，错误的是（　　）

A． B． C． D．

3．（2022·山东滨州·八年级期末）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·湖南·岳阳市八年级阶段练习）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·四川·仁寿县八年级期末）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·新疆·八年级期中）下列分式是最简分式的是（　　）

A． B． C． D．

7．（2020·湖南·慈利县教育科学研究室八年级期中）分式的最简公分母是（　　）

A．xy B．     C．     D．

8．（2022·河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·贵州遵义·八年级期末）在计算通分时，分母确定为（    ）

A． B． C． D．

10．（2022·新疆·库车市第七中学八年级期末）若代数式的值为0，则x=______；当b=______时，分式无意义．

11．（2022·广东·佛山市八年级阶段练习）当时，分式无意义；当时分式的值为，则的值是______ ．

题组B  能力提升练

1．（2022·湖南·临武县八年级阶段练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2.（2022·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：，括号内应填（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）若分式中x、y均扩大为原来的2倍，分式的值也可扩大2倍，则M可以是（   ）

A．x-y B．x+2y C． D．xy

4．（2022·江苏南京·八年级期中）关于分式的判断，下列说法正确的是（　　）

A．当x＝2时，分式的值为零 B．当x＝﹣1时，分式无意义

C．当x≠2时，分式有意义 D．无论x为何值，分式的值总为负数

5．（2022·湖南·邵阳市八年级阶段练习）若是整数，则使分式的值为整数的值有（    ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习）若成立，则a的取值范围是_______

7．（2022·南昌市心远中学八年级期末）写出一个分式，使它符合下列条件：①含有字母，②无论取何值分式都有意义；③当时，分式的值为，这个分式时以是__________．（只写一个)

8．（2022·黑龙江·八年级期末）一列数：，…，它们按一定的规律排列，则第n个数(n为正整数)为_______．

9．（2021·河北· 八年级阶段练习）已知，x取哪些值时：

(1)y的值是正数；(2)y的值是负数；(3)y的值是零；(4)分式无意义．

10．（2023·安徽·九年级专题练习）观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：…

按照以上规律，解决下列问题：

(1)请写出第5个等式________；

(2)请写出第个等式，并证明．

题组C  培优拔尖练

1．（2022·山东·宁阳县八年级阶段练习）不论x取何值时，下列分式总有意义的是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）分式的值为负数的条件是（  ）

A． B．且 C．且 D．，且

3．（2020·湖南·李达中学八年级阶段练习）若分式是最简分式，则△表示的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·河南许昌·八年级期末）将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·湖南·永州市八年级阶段练习）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：

第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；

（即，）

第二次操作：将，作和，结果记为：作差，结果记为；

（即，）

第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；

（即，）…（依此类推）

将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．

①；②当时，；③若，则；

④在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值：

⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，；

以上结论正确的个数有（    ）个

A．5 B．4 C．3 D．2

6．（2022·山东·威海市九年级阶段练习）分式的值为0 ，分式无意义，则______________

7．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）使代数式的值为整数的全体自然数的和是______ ．

8．（2020·广东·罗定市培献中学八年级阶段练习）已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．

小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：

(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；

(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．

9．（2022·安徽滁州·二模）观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：；

第5个等式：；

……

按上述规律，回答以下问题：

(1)写出第6个等式：_______________________________________________；

(2)写出你猜想的第个等式：_____________________________________（用含的等式表示），并证明．

10．（2022·河南信阳·八年级期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．

如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．

解决下列问题：

(1)分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式；

(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．

(3)若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）．